Metody symulacyjne Systemu Oceny Układów Torowych (SOUT)

Transkrypt

6. Metody symulacyjne Systemu Oceny Układów Torowych (SOUT)
6. METODY SYMULACYJNE SYSTEMU OCENY UKŁADÓW TOROWYCH
(SOUT) (wg Woch, 1977)
6.1 Ogólne ujęcie zagadnień przepustowości jako wymiarowania układów kolejowych
6.1.1 Układy i ich przepustowość
Przedstawiając w tym rozdziale zagadnienie przepustowości elementów sieci kolejowej,
istotne w planowaniu technicznym przewozów, rozważa się w dalszym ciągu te elementy jako
systemy masowej obsługi szczególnego rodzaju, nazywane dalej układami. W tak
rozumianym układzie wyodrębnia się trzy struktury: torową, ruchową i jakościową.
Rys.6.1. Struktury układu
R
T
J
Struktura torowa (rys. 6.1; T), nazywana również układem torowym, jest w systemie
masowej obsługi urządzeniem obsługującym. Obsługiwanymi jednostkami są pociągi lub
składy pociągów. W badanym okresie zgłaszające się jednostki tworzą strukturę ruchową (R)
nazywaną również dalej obciążeniem ruchowym lub krótko obciążeniem układu. Przed
wejściem do układu, podczas działania, powstają kolejki pociągów zmiennej długości,
określające jakość działania, a więc strukturę jakościową układu (J).
Trzem strukturom układu odpowiadają trzy grupy charakterystyk:
- charakterystyki procesu zgłoszeń (struktura ruchowa);
- charakterystyki obsługi (struktura torowa);
- charakterystyka procesu kolejek, inaczej - procesu kolizji (struktura jakościowa).
Odwzorowaniem poszczególnych struktur układu są w modelu matematycznym
odpowiednie charakterystyki. Tak, więc wprowadzone tu wyodrębnienie poszczególnych
struktur wiąże się ściśle z odpowiednimi procesami stochastycznymi, co narzuca potrzebę
rozszerzenia zakresu pojęć stosowanych dotychczas w problematyce kolejowej. Na przykład
przez strukturę torową (układ torowy) rozumie się tu wszystkie urządzenia, od których zależy
czas obsługi, a więc nie tylko sam układ torowy w potocznym znaczeniu tego pojęcia, ale np.
również urządzenia zabezpieczenia ruchu.
Układy mogą być różnego typu. Układem może być np. posterunek odgałęźny z
rozkładowym ruchem pociągów, stacja rozrządowa z ustalonym procesem technologicznym,
rejon sieci kolejowej złożony z kilku stacji i szlaków z nałożonym rzeczywistym
obciążeniem. Z modelowego punktu widzenia są to wszystko systemy masowej obsługi.
W dotychczas przyjętej terminologii przepustowość układu jest różnie nazywana w
zależności od typu układu. Używa się np. określeń przepustowość stacji, węzła torowego, ale
w stosunku do szlaku lub odcinka linii używa się terminu przelotność, a w stosunku do stacji
rozrządowej lub np. ładunkowej - zdolność przerobowa. Tu, w dalszym ciągu wszystkie te
terminy zastępuje się jednym - przepustowość (układu), używanym w ogólniejszym niż
zwykle sensie.
W teorii masowej obsługi dla określenia stopnia wykorzystania systemu używa się
pojęcia intensywności ruchu:
ρ=
λ
µ
gdzie: λ - intensywność zgłoszeń do systemu masowej obsługi
µ - intensywność obsługi.
TPR6-149
(6.1)
Od wartości ρ należących do przedziału (0; l) zależy zachowanie się systemu; im.
większe wartości ρ, tzn. im bliższe l, tym większe tworzą się kolejki do obsługi, tym większe
prawdopodobieństwo zdarzenia, że zgłaszająca się do systemu jednostka nie będzie
obsługiwana natychmiast, ale po pewnym czasie oczekiwania w kolejce.
Przepustowość układu w problematyce kolejowej określa zwykle różnie interpretowaną
największą liczbę pociągów, składów lub ogólnie - jednostek, które można obsłużyć w
układzie w określonym czasie. Powodem różnych interpretacji przepustowości jest zawarte w
definicji sformułowanie „można obsłużyć”, którego nie daje się uściślić bez uciekania się do
pojęć probabilistycznych. Wiadomo, że w takim samym okresie czasu przez ustalony układ
można przepuścić różną liczbę pociągów ze względu na nierównomierność ruchu i różne
następstwa pociągów, jak to się określa tradycyjnie. Używając terminów matematycznych,
chodzi tu o losowość zgłoszeń oraz o losowość następstw zgłoszeń.
W dalszym ciągu średnią liczbę pociągów zgłaszających się do układu w jednostce
czasu nazywa się intensywnością zgłoszeń. Największa intensywność zgłoszeń, dla której
spełnione są pewne dodatkowe warunki (sformułowane w następnym paragrafie), jest
przepustowością układu. Jest to więc terminologia z jednej strony zgodna z stosowaną w
teorii masowej obsługi (intensywność zgłoszeń λ), a z drugiej strony zgodna w zasadzie z
terminologią kolejową, z której jednak usuwa się niejednoznaczności związane z
deterministycznym ujęciem zagadnień w istocie probabilistycznych. Odpowiednikiem
intensywności ruchu ρ (6.1) z teorii masowej obsługi jest tu wskaźnik wykorzystania
pojemności układu, określony jako frakcja czasu całkowitego, w którym układ nie może
przyjąć do obsługi zgłaszającej się jednostki.
Metody oceny przepustowości można sklasyfikować dwojako: albo - ze względu na
używane narzędzia - na metody analityczne i symulacyjne, albo - ze względu na ujęcie
zagadnienia - na metody deterministyczne i probabilistyczne.
Ideę deterministycznych, analitycznych metod oceny przepustowości można wyrazić
następującym wzorem:
T
n =α
(6.2)
t
gdzie:
n - przepustowość, tj. liczba pociągów, które mogą być obsłużone przez rozważany
układ w zadanym okresie T,
t - średni czas zajęcia badanego elementu przez jeden pociąg (średni czas obsługi),
α - współczynnik urealniający.
Różnice między poszczególnymi metodami polegają na odmiennym sposobie
obliczania średniego czasu zajęcia t dla różnych układów oraz na odmiennych zaleceniach co
do przyjmowania wartości współczynnika α. Przedziały wartości α, które zaleca się
przyjmować przy obliczeniach są bardzo szerokie, jak podaje Gajda (1964) i Janocha,
Kowalski-Michalak i Smolarz (1967).
Drugą grupą metod w zasadzie deterministycznych są metody graficzne, polegające na
konstruowaniu wykresu ruchu pociągów lub też na wykreślaniu zależności technologicznych
okresów obsługi na stacji i wnioskowaniu na tej podstawie o przepustowości układu. Metody
graficzne można zaliczyć do metod symulacyjnych. Liczba doświadczeń jest tu jednak
zwykle równa l, ze względu na dużą czasochłonność tych metod. Z naukowego punktu
widzenia można te metody określić jako wnioskowanie o średniej w populacji na podstawie
jednego doświadczenia wybranego w sposób subiektywny.
Następne etapy rozwoju metod przepustowości charakteryzuje już probabilistyczne
ujęcie zagadnienia. Pierwszym autorem, który zastosował metody rachunku
prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, jest Potthoff (1973), które mają jednak
pewne ograniczenia wykazane przez Wocha (1971). Metody te opierają się na analitycznych
rozważaniach. Metody Potthoffa należy także wyróżnić z tego względu, że po raz pierwszy
pojawia się tu pojęcie kolizyjności układu, co można traktować jako punkt zwrotny w
TPR6-150
rozwoju metod, rozdzielający je na klasyczne (deterministyczne) oraz nowoczesne
(probabilistyczne).
Ostatni, najnowszy etap w rozwoju metod badania przepustowości został osiągnięty
dzięki rozwojowi techniki obliczeniowej; jest to zastosowanie metod symulacji
komputerowej. Modele symulacji komputerowej pozwalają na ocenę kolizyjności układu tj.
prawdopodobieństwa zakłócenia zgłoszenia na wejściu do układu. Muszą to być jednak
probabilistyczne metody symulacji, nazywane czasem metodami Monte Carlo. Obok nich
stosuje się jeszcze często deterministyczne metody symulacji komputerowej, które są niczym
innym jak zautomatyzowanymi metodami graficznymi, a więc są obciążone ich wadami. W
dalszej treści mówiąc o symulacji komputerowej ma się na myśli jedynie probabilistyczne
metody symulacji.
Prace nad metodami symulacji układów prowadzi się w wielu ośrodkach. W Polsce
rozpoczął je Węgierski (1972, 1974) rozważaniami modeli układów rozrządowych.
Prezentowane w dalszej treści książki metody są wynikiem kontynuacji tych prac.
Równoległe prace nad metodami symulacji układów prowadzi się w ZSRR, RFN, Szwajcarii i
CSRS z tym, że w ZSRR i RFN prace te prowadzi się na szeroką skalę, a w ośrodkach
pozostałych państw badania dotyczą bardzo zawężonych zagadnień (p.np. Brandalik, 1968,
Brettman, 1971, König Stähli, 1971, Mühlhans, 1968). Porównując metody badań, można
stwierdzić, że najbliższe pracom polskim są prace ośrodka we Frankfurcie nad Menem,
prowadzone przez Brettmanna (1971)
Określanie przepustowości sprowadza się do wyznaczania właściwej intensywności
zgłoszeń w układzie. Ze względu na prostą zależność między kolizyjnością układu a
intensywnością zgłoszeń (większa intensywność - większa kolizyjność), zagadnienia te są
równoważne znalezieniu dopuszczalnej kolizyjności układu. Jest to trudne zadanie, gdyż
trudno jest uzasadnić, że np. układ węzła torowego, w którym prawdopodobieństwo
zakłócenia zgłaszającego się pociągu wynosi 0,2, jest dopuszczalny, natomiast dla
prawdopodobieństwa 0,3 - nie jest dopuszczalny. Z tego powodu E. Brettmann (1971) ułatwiając zadanie- przyjmuje, że określenie żądanej jakości działania układu należy do sfery
polityki gospodarczej, natomiast zadaniem naukowym jest tylko wyznaczenie zależności
pomiędzy charakterystykami jakościowymi a ilościowymi badanego układu.
Ogólnie, zagadnienia decyzyjne w kształtowaniu układów są dwojakiego rodzaju:
- ustalona jest struktura torowa układu, poszukuje się właściwego (optymalnego,
efektywnego) obciążenia ruchowego;
- ustalone jest obciążenie ruchowe układu, poszukuje się właściwej (optymalnej, efektywnej)
struktury torowej.
Jak można zauważyć, zagadnienia przepustowości należą do problemów decyzyjnych
pierwszego rodzaju. Problemy decyzyjne kształtowania układów nazywa się inaczej
zagadnieniami wymiarowania układów. Tak więc do zagadnień wymiarowania należą
następujące przykładowe problemy optymalizacyjne, polegające na znalezieniu:
- dopuszczalnego obciążenia ruchowego węzła torowego;
- optymalnej intensywności ruchu na stacji;
- optymalnej liczby torów grupy przyjazdowej stacji rozrządowej;
- optymalnego wariantu automatyzacji górki rozrządowej;
- dopuszczalnego obciążenia ruchowego linii kolejowej, itp.
Dość często używa się tu pojęcia „dopuszczalne obciążenie ruchowe” jako
konsekwencja pojęcia ,,dopuszczalne zakłócenia ruchowe”. Jak wynika z dalszych wywodów,
termin „dopuszczalne” równoważny jest terminowi „optymalne”. Oznacza to, że
dopuszczalne obciążenie ruchowe to takie, które realizuje optymalną intensywność zgłoszeń.
6.1.2 Elementy i charakterystyki układów
TPR6-151
Układy kolejowe są bardzo złożonymi systemami obsługi masowej o specyficznych
zasadach obsługi i specyficznych regulaminach kolejek. Na ogół są to systemy obsługi o
wielu strumieniach zgłoszeń jednostek różnych kategorii oraz o wielofazowej obsłudze.
Największym układem jest sieć kolejowa; jest to najszersze pojęcie układu, które ma jedynie
znaczenie poglądowe, ponieważ w praktyce trudno sobie wyobrazić kształcenie struktury
sieci w całości.
Podstawowym składnikiem układu jest droga przejazdu - element układu torowego,
inaczej: odcinek toru łączący dwa punkty z otoczenia układu. Natomiast podstawowym
składnikiem struktury ruchu jest trasa pociągu nazywana dalej krótko trasą lub pociągiem.
Najmniejszym do pomyślenia układem jest jedna droga przejazdu z założonym obciążeniem
ruchowym - trasami pociągów. Bardziej szczegółowe określenia drogi przejazdu i trasy
pociągu podaje się w dalszej treści.
W strukturze torowej sieci kolejowej wyodrębnia się kilka klas typowych składników, z
których złożony jest każdy układ torowy. W pewnych przypadkach składniki te mogą być
rozważane niezależnie, w innych nie można pomijać wzajemnego oddziaływania składników.
Z modelowego punktu widzenia nie wszystkie konfiguracje złożone z tych podstawowych
składników wymagają specjalnego rozpatrywania. W pierwszej fazie układ torowy sieci
kolejowej można rozłożyć na:
- stacje kolejowe;
- szlaki;
- posterunki odgałęźne.
Następnie powyższe elementy rozkłada się na mniejsze składniki. W układzie stacji
kolejowej wyodrębnia się stacyjne węzły torowe, tory główne oraz układy specjalne. Stacyjny
węzeł torowy stanowi element łączący przyległe szlaki z innymi składnikami stacji. Tory
główne stacji są przeznaczone do obsługi ruchu pociągów. Wśród nich wyodrębnia się
jeszcze tory zasadnicze i dodatkowe; podział ten nie ma jednak większego znaczenia w
zagadnieniach wymiarowania. Układy specjalne stacji są różnego typu; z punktu widzenia
modelowania, ruchu pociągów można je określić jako generatory i pochłaniacze ruchu. Są to
przede wszystkim układy rozrządowe, które pełnią rolę urządzenia przetwarzającego pociągi,
następnie - bocznice i grupy torów o znaczeniu handlowym w przewozach towarowych oraz
pozostałe elementy o znaczeniu technicznym, a więc grupy torów postojowych (stacje
postojowe), lokomotywownie, wagonownie itp.
W obciążeniu ruchowym stacji kolejowej wyodrębnia się dwa rodzaje ruchu - ruch
pociągowy oraz ruch manewrowy. Problemy związane z ruchem manewrowym wiążą się
przede wszystkim z zagadnieniami kształtowania procesów technologicznych stacji, które
jakkolwiek pokrewne zagadnieniom wymiarowania, wymagają odmiennego szerszego ujęcia
i tutaj nie będą rozważane szczegółowo. Natomiast kształtowanie układów rozrządowych,
chociaż w nich nie występuje wewnątrz ruch pociągowy, zalicza się do klasycznych
zagadnień wymiarowania.
Układy rozrządowe wiążą dwie grupy zagadnień inżynierskich
- zagadnienia optymalnej struktury torowej i optymalnego obciążenia układu rozrządowego
tzn. wymiarowania układów oraz zagadnienia optymalnej organizacji pracy stacji
rozrządowej (sterowania procesem technologicznym stacji),. Chociaż te dwie grupy
zagadnień są bardzo pokrewne i dotyczą tego samego obiektu, to jednak wymagają
odmiennego ujęcia, ponieważ występują w różnych sferach: zagadnienia wymiarowania
układów to sfera planowania działalności kolei, natomiast zagadnienia sterowania procesami
technologicznymi, to sfera kierowania przewozami.
Szlaki są elementami sieci o najprostszej strukturze. Szlak składa się z odstępów
szlakowych, które w modelu obsługi są interpretowane jako urządzenia obsługujące (kanały
obsługi). Model szlaku, to system wielofazowej, szeregowej obsługi. Czas obsługi w danym
odstępie szlakowym, to czas zajęcia tego odstępu przez pociąg. Model ten nie jest jednak
prostym modelem wielofazowej obsługi, jakby się wydawało. W teorii masowej obsługi już
TPR6-152
takie systemy należą do trudnych do rozwiązania analitycznego. Rozwiązania istnieją tu
jedynie dla pewnych bardzo szczególnych przypadków. W przypadku szlaku pociąg jest
obsługiwany w pewnych okresach przez jeden odstęp, w innych przez dwa odstępy; zajęcie
odstępu następuje wcześniej niż zwolnienie poprzedniego. W praktyce wymiarowania dość
rzadko rozważa się wyłącznie szlak ze względu na jego dużą zależność od sąsiednich
układów, którą czasem trudno jest ocenić; zwykle szlaki są elementami większych układów.
Trzeci element sieci - posterunek odgałęźny - odgrywa rolę rozdzielacza kierunków i
ma strukturę torową podobną do struktury stacyjnego węzła torowego. Z modelowego punktu
widzenia można by nie rozróżniać tych dwóch elementów, w praktyce wymiarowania jednak
wiele względów przemawia za tym, aby wyraźnie rozróżnić węzły stacyjne i węzły szlakowe
(posterunki odgałęźne). Wymiarowanie węzłów torowych wymaga modelowania nieco
większych układów, zawierających dany węzeł. Otoczeniem posterunku odgałęźnego są
szlaki, natomiast otoczeniem stacyjnego węzła torowego są, oprócz szlaków, tory główne i
układy specjalne stacji, a więc o wiele bogatsze konfiguracje. Stąd zwykle trochę inaczej
modeluje się posterunki odgałęźne niż stacyjne węzły torowe, jak to przedstawił Woch
(1974b).
Układ torowy opisują następujące charakterystyki:
- opis powiązań z otoczeniem (liczba kierunków, z których zasilany jest układ; liczba
kierunków, do których prowadzi się trasy pociągów);
- liczba dróg przejazdu;
- parametry poszczególnych dróg przejazdu (długość, ograniczenie obsługi, rodzaj
zabezpieczenia itp.);
- opis powiązań dróg przejazdu.
Układ ruchowy opisują charakterystyki obciążenia, do których należą:
- liczba kategorii tras pociągów, które są obsługiwane przez układ;
- liczby tras poszczególnych kategorii w ustalonym okresie (intensywność zgłoszeń lub
obciążenie ruchowe układu w ścisłym sensie);
- opis przyporządkowania drogi przejazdu każdej kategorii tras;
- parametry tras (pociągów) poszczególnych kategorii {średnia prędkość, priorytet itp.);
- regulamin obsługi (przejazdu) pociągów przez układ;
- charakterystyki probabilistyczne procesów zakłócających obsługę.
Badania statystyczne Węgierskiego (1971), przeprowadzane dla procesów zgłoszeń
pociągów na elementach sieci PKP, pozwalają przyjmować hipotezy o rozkładach odstępu
czasu między zgłoszeniami. W związku z tym, na podstawie charakterystyk obciążenia oraz
charakterystyk układu torowego otoczenia badanego układu, można ustalać szczegółowe
charakterystyki probabilistyczne całego układu.
6.1.3 Proces regulacji
W wyniku ograniczonych możliwości jednoczesnej obsługi większej liczby zgłoszeń
pociągów do układu, w pewnych okresach przed układem powstają kolejki zgłoszeń
oczekujących na zwolnienie układu przez inne pociągi. Są to. sytuacje kolizyjne, a proces ten
nazywa się procesem kolizji lub procesem regulacji. W pewnych przypadkach używa się
również określenia - proces zakłóceń ruchowych, chociaż ogólnie biorąc zakłócenie ruchowe
jest szerszym pojęciem niż kolizja lub regulacja.
Proces kolizji jest to dyskretny proces stochastyczny k(t) o ciągłym parametrze
czasowym t, który określa się jako liczbę tras pociągów będących w kolizji w momencie t.
Pociąg znajduje się w stanie kolizji, jeżeli musi czekać na przejazd przez element układu z
powodu zajęcia tego elementu przez inny pociąg (trasę). Element układu może być zajęty
obsługą w ścisłym sensie lub też może być zajęty zapowiedzią obsługi pociągu
priorytetowego, który należy obsłużyć bez zakłóceń. Charakterystyki procesu kolizji nazywa
się charakterystykami kolizyjności układu.
TPR6-153
Kolizyjność układu zależy od stopnia złożoności układu torowego oraz od złożoności i
wielkości obciążenia ruchowego. Charakterystyki kolizyjności są miarami przewidywanej
jakości działania układu. Jakość działania elementu sieci kolejowej ocenia się potocznie
zakłóceniami rzeczywistymi, które można zaobserwować w praktyce kolei i które mierzy się
odchyleniami realizacji ruchu pociągów od przyjętego planu tej realizacji. Im większa
kolizyjność układu, tym większy łańcuch wtórnych zakłóceń może być wywołany przez takie
same zakłócenia ruchu spowodowane zawodnością elementów układu lub jego otoczenia.
Kolizyjność, innymi słowy, jest miarą skłonności układu do przenoszenia i potęgowania
rzeczywistych zakłóceń ruchu.
Ocena przewidywanej jakości działania elementu wymaga. w zasadzie znajomości
charakterystyk niezawodnościowych badanego układu i jego otoczenia oraz ich wpływu na
powstawanie łańcuchów zakłóceń. Z modelowego punktu widzenia, zawodność urządzeń
można traktować w wielu przypadkach jako dodatkowe „obciążenie ruchowe” układu, to
znaczy jako dodatkowo obsługiwane fikcyjne zgłoszenia. W ten sposób, na przykład
Węgierski (1971) uwzględnia przerwy w pracy górki rozrządowej w modelu stacji
rozrządowej. Zagadnienia zawodności sieci kolejowej wykraczają poza ramy tego
opracowania, stąd tutaj pojęcie „jakość działania układu” utożsamia się z pojęciem
„kolizyjność”. Ściślej, należałoby tu użyć terminu „niekolizyjność” jako terminu
odpowiadającego dobrej jakości.
Ruch pociągów powinien odbywać się według wcześniej opracowanego planu rozkładu jazdy. Od rozkładu jazdy zależy jakość działania układów. Ogólnie biorąc, im więcej
będzie kolejnych tras pociągów planowanych w krótkich odstępach czasu, tym większe będzie
prawdopodobieństwo przenoszenia się ewentualnych zakłóceń ruchu. Miary zakłóceń ruchu
stanowią miary jakości działania układów. Tak więc większość rozważań nad zagadnieniami
wymiarowania układów wychodzi z analizy rozkładu jazdy, to jest jego podstawowej formy wykresu ruchu pociągów, jak podaje Węgierski (1971, 1974).
Podstawowym pojęciem związanym z wykresem ruchu pociągów jest trasa pociągu na
wykresie ruchu stanowiąca plan przejazdu pociągu przez układ. Zadaniem konstruktora
rozkładu jazdy pociągów jest przeprowadzenie przez dany układ torowy ustalonej liczby tras
pociągów o ustalonych kategoriach i parametrach (prędkość, czas niezbędnego postoju) w
zadanym okresie czasu.
Konstruktor podczas nanoszenia tras powinien spełnić wiele postulatów dotyczących
poszczególnych tras i wynikających z życzeń klientów kolei oraz z zasad prowadzenia ruchu
pociągów. W pierwszej kolejności nanosi się na wykres ruchu trasy kategorii
najważniejszych. Ważność tras ustalonych kategorii, nazywana priorytetem, może wynikać ze
zróżnicowanej jakości usług kolei, jak i z przyczyn technicznych - oddziaływania innych
układów.
Już w tym pierwszym etapie konstruowania wykresu ruchu zdarza się, że dwie trasy
przeprowadzane przez układ kolidują ze sobą i jedną z nich należy poprowadzić „.później”
lub „wcześniej”. Jeżeli są to trasy prowadzone z sąsiednich układów i nie można żądać
przesunięcia ich terminów zgłoszenia, to konstruktor musi zaplanować dla jednej z tras
dłuższy niż niezbędny postój na stacji lub wydłużyć czas dojazdu do elementu kolizyjnego.
Nanoszenie na wykres tras pociągów niższych kategorii wymagać będzie - w miarę
zapełniania wykresu - coraz częstszych decyzji konstruktora o wydłużeniu postoju lub o
wydłużeniu czasu jazdy. Wynik tych decyzji można nazwać planowaniem, lub
legalizowaniem zakłóceń. Planowane wydłużenia postoju lub czasu jazdy, przesunięcia
terminów zgłoszeń, związane z konstrukcją wykresu ruchu pociągów, nazywa się w dalszym
ciągu regulacjami biegu pociągów lub prowadzenia tras - krótko: regulacjami.
Liczba i czas trwania regulacji dla ustalonego układu torowego zależą od wielkości i
złożoności obciążenia ruchowego: im większe i bardziej złożone jest obciążenie ruchowe,
tym większa liczba, i czas trwania regulacji. Z kolei, im wykres ruchu zawiera więcej
regulacji, tym bardziej jest niestabilny. Regulacje biegu pociągów stanowią potencjalne
TPR6-154
zakłócenia, tkwiące w rozkładzie jazdy; mogą one przekształcić się w liczne zakłócenia
rzeczywiste w przypadku nie rozkładowego biegu choćby jednego pociągu. Regulację biegu
pociągu przeprowadza się nie tylko w przypadkach kolizyjnych, ale również w celu
zapewnienia terminowości biegu pociągu. Jest to jednak szerszy aspekt zagadnienia
wymagający interpretacji pojęcia zakłócenie biegu pociągu, jako odchylenia od rozkładu
jazdy. Problemy oceny przepustowości występują w sferze działalności rozwojowej kolei, w
której pojecie rozkładu jazdy pociągów ma inny sens, bardziej ogólny, niż w sferze
działalności eksploatacyjnej. Regulacje biegu pociągu, dla zapewnienia terminowości jego
kursowania {rezerwy czasu mające na celu likwidację opóźnień powodowanych zawodnością
elementów systemu kolejowego), w zagadnieniach przepustowości mogą być uwzględniane
jako dodatkowe obciążenia związane z każdą trasą pociągów (generowane zakłócenia losowe
lub zdeterminowane wydłużenia czasów jazdy, postojów). Dlatego pomija się je w
rozważaniach ogólnych nad przepustowością, analizując jedynie regulacje wynikające z
wzajemnego oddziaływania na siebie pociągów. Stąd też w dalszym ciągu utożsamia, się
terminy: zakłócenia, kolizje i regulacje.
6.1.4. Modele układów
Konstruowanie wykresu ruchu pociągów można traktować również jako modelowanie
działania systemu obsługi masowej, stąd zamiast terminów „bieg pociągu” lub „prowadzenie
trasy” używa się terminu „obsługa”, a także - opisując model układu używa się innych
pokrewnych terminów zaczerpniętych z teorii obsługi masowej.
Niech rozważany układ przyjmuje zgłoszenia tras do obsługi z n kierunków,
nazywanych dalej źródłami. Każde źródło generuje proces zgłoszeń tras do układu.
Charakterystyki probabilistyczne każdego procesu zgłoszeń są znane. Procesy zgłoszeń z
różnych źródeł są niezależne. Ze źródła i zgłaszają się trasy mi kategorii. Dla każdego źródła
znane jest prawdopodobieństwo pih zdarzenia takiego, że zgłoszona trasa ze źródła i należy do
kategorii h (h =,1, 2,..., mi).
Odpowiednikiem kanału obsługi w układzie jest droga, przejazdu. Ogólnie biorąc,
drogę można traktować jako system szeregowo położonych kanałów obsługi - odstępów
drogi, do których zalicza się tu zarówno odstępy szlakowe, jak i odcinki toru między
kolejnymi semaforami stacyjnymi. Liczbę jednocześnie zajętych, szeregowo położonych
odstępów określają w praktyce zasady nazywane „jazdą na zielone światło” i „jazdą pod
zielone światło”. Należy zaznaczyć, że odstępy traktowane jako zajęte w modelu masowej
obsługi są według terminologii kolejowej odstępami, które właśnie są i muszą pozostać
wolne, aby umożliwić obsługę zgłoszenia, tj. jazdę danego pociągu; dla kolejnego pociągu
jadącego w ślad za danym pociągiem są one jednak zajęte. Oprócz zajmowania kilku
szeregowo położonych odstępów drogi, obsługa jednej trasy może wykluczać obsługę w
odstępach innych dróg; są to tak zwane drogi uzależnione lub sprzeczne. Zbiór zasad
orzekających o tego rodzaju regułach obsługi nazywa się zasadami prowadzenia ruchu
pociągów. Czas obsługi tras przez poszczególne odstępy drogi jest - ogólnie biorąc losowy, a
jego charakterystyki probabilistyczne zależą od kategorii trasy i parametrów drogi.
Oprócz zasad prowadzenia ruchu, które wynikają z potrzeb bezpieczeństwa, ważną rolę
w modelowaniu odgrywa regulamin kolejki. W przypadkach, gdy bieg jednego z dwóch
kolidujących ze sobą pociągów musi być regulowany, decyduje się według regulaminu
kolejki, którego z tych pociągów ma to dotyczyć. Naturalnym regulaminem jest obsługa
według kolejności zgłoszeń (first in, first served - FIFS). Regulamin FIFS jest wygodnym
regulaminem w rozważaniach systemów masowej obsługi, lecz dla rozważanych tu układów
może być niedopuszczalnym uproszczeniem. Przy konstruowaniu rozkładu jazdy pociągów
istnieje, bowiem hierarchia kategorii w kolejności nanoszenia tras na wykres ruchu; wynika
ona z powiązań rozważanego układu z otoczeniem, gdzie otoczenie rozumie się bardzo
szeroko - jako dopełnienie do sieci, żądania co do jakości usług kolei itp. W rzeczywistości,
rozważane układy, jak wszystkie systemy rzeczywiste, są otwarte, to znaczy sprzężone z
TPR6-155
otoczeniem, natomiast odwzorowuje się je na modele, będące systemami zamkniętymi, bez
wpływów zewnętrznych. Aby odwzorowanie było wierne, należy w modelu ująć wpływ
otoczenia na działanie układu. Podczas konstruowania wykresu ruchu odzwierciedleniem
ujmowania wpływów zewnętrznych jest między innymi właśnie ustalona kolejność
nanoszenia tras poszczególnych kategorii, której w modelu odpowiada układ priorytetów.
Reakcją układu, jako wyżej opisanego systemu obsługi masowej, jest poprzednio
omówiony proces kolizji lub proces regulacji k(t). Przykładową realizację procesu k(t)
ilustruje rys. 6.2.
k(t) )
t
Rys.6.2. Przykładowa realizacja procesu regulacji (procesu kolizji) k(t).
W celu klasyfikacji układów wprowadza się pojęcie pojemności. Przez pojemność
układu c rozumie się największą liczbę pociągów, które mogą jednocześnie znajdować się w
układzie przy zachowaniu zasad prowadzenia ruchu pociągów. O układzie o pojemności c
mówi się, że jest złożony z c jednostek pojemności.
Należy tu podkreślić abstrakcyjny w pewnych przypadkach charakter pojęcia
„jednostka pojemności”. Dla układów takich, jak na przykład tor szlakowy, łatwo jest
wskazać fizyczny odpowiednik jednostki pojemności: jest nim odstęp szlakowy. Inaczej jest
w przypadku węzłów torowych, których nie można rozbić na c rozłącznych podukładów
torowych o pojemności l, chociaż jest łatwo stwierdzić, ile jednostek pojemności wypełnia
zajęcie ustalonej drogi przejazdu; jest to c-k, gdzie c jest pojemnością węzła, a k jest
największą liczbą wzajemnie niesprzecznych dróg, które są niesprzeczne również z drogą
rozważaną.
Każdy układ można określić jako zbiór dróg przejazdu traktowanych jako odrębne
podukłady. Drogi przejazdu klasyfikuje się ze względu na ich pojemność oraz rozmieszczenie
punktów charakterystycznych. Punktami charakterystycznymi drogi przejazdu nazywa się
miejsca przesyłania lub odbierania informacji o zajęciu dróg przejazdu oraz inne miejsca
związane z nimi. Punktami charakterystycznymi są kontakty szynowe zwalniające odstępy,
miejsca ustawienia semaforów, tarcz ostrzegawczych, wskaźników WllA itp.
Każdy odstęp drogi przejazdu zawiera punkty charakterystyczne zwalniania i
zajmowania odstępów sąsiednich. Jeżeli droga składa się z odstępów, które zawierają punkty
zwalniania i zajmowania tylko dla sąsiednich, szeregowo położonych odstępów, to nazywa
się ją drogą prostą. Jeżeli punkty zwalniania i zajmowania drogi są jednocześnie punktami
zajmowania lub zwalniania odstępów innych dróg, to nazywa się ją drogą złożoną.
Przykładem drogi prostej jest tor szlakowy, natomiast złożonej - droga węzła torowego.
Układy składające się tylko z dróg prostych nazywa się dalej układami prostymi,
pozostałe - układami złożonymi. Oprócz podanej klasyfikacji układy dzieli się ze względu na
ich wielkość; układy składające się tylko z dróg przejazdu o pojemności l nazywa się małymi,
natomiast - układy składające się z co najmniej jednej drogi o pojemności większej niż l dużymi. Dla układów dużych i złożonych używa się określenia - układy wielkie. Przykładem
układu wielkiego jest stacja kolejowa wraz z przyległymi szlakami.
TPR6-156
Model układu składa się, ogólnie biorąc, z elementów dwóch klas:
- elementów nie zagregowanych, składających się odwzorowanych dróg przejazdu, w których
występuje pojęcie „droga” i pojęcia pochodne („odstęp”, „zależność dróg”, „pojemność
drogi”);
- elementów zagregowanych, które składają się z generatorów strumieni zgłoszeń oraz
strumieni zakłóceń.
Elementy zagregowane nazywa się elementami generująco-pochłaniającymi lub
punktami zewnętrznymi. Ograniczeniem intensywności pochłaniania zgłoszeń jest generator
strumieni zakłóceń, blokujący swobodne pochłanianie. Jak już poprzednio wspomniano,
każdy układ jest systemem otwartym, to znaczy sprzężonym z siecią kolejową, natomiast
model jest systemem zamkniętym. Sprzężenie z siecią ujmuje się poprzez nadanie
odpowiedniej struktury punktom zewnętrznym. Rysunek 6.3. przedstawia schematy modelu
układów
a
A
B
A
B
b
C
c
D
F
C
B
E
G
A
1
2
3
4
5
6
H
Rys.6.3. Schematy modeli układów
a - szlaku, b - szlaków z posterunkiem odgałęźnym, c - rejonu sieci kolejowej
1 - element generująco-pochłaniający (punkt zewnętrzny), 2 - tor szlakowy z punktami
charakterystycznymi, 3 - miejsce podziału na odstępy, 4 - punkty zajęcia i zwolnienia
skrzyżowania lub odstępu, 5 - węzeł torowy nie zagregowany ( składający się z dróg), 6
- stacja (element nie zagregowany składający się z dróg i węzłów torowych)
TPR6-157
Punkty charakterystyczne, które służą do określania stanu odstępu (zajęty, wolny) są
punktami rozgraniczającymi elementy modelu. Punkty te znajdują się zawsze poza odstępem,
co powinno się uwzględnić przy konstruowaniu modelu układu. Dla przykładu, w modelu
posterunku odgałęźnego na rys. 6.4 ujęto odcinki wyznaczone przez punkt zajęcia posterunku
odgałęźnego i początek odstępu (W11A - semafor wjazdowy) oraz punkt zwalniający
skrzyżowanie (inne drogi) i punkt zwalniający odstęp.
1
2
3
4
Rys.6.4. Schemat posterunku odgałęźnego
1 - ujście, 2 - źródło, 3 - punkty podziału na odstępy, 4 - punkty zajęcia lub zwolnienia
skrzyżowania
A więc z każdą drogą posterunku odgałęźnego związanych jest pięć punktów
charakterystycznych:
-punkt zajęcia posterunku;
-początek odstępu (posterunku);
-punkt zwolnienia posterunku;
-koniec odstępu;
-punkt zwolnienia odstępu.
6.2 KRYTERIUM OPTYMALNOŚCI UKŁADU
6.2.1 Problemy oceny układów
Ujmując w sposób deterministyczny zagadnienie przepustowości układów kolejowych,
nie uwzględnia się w jawny sposób wzrostu podatności układu na zakłócenia ruchowe w
miarę wzrostu obciążenia układu, a używając terminologii tu wprowadzonej, nie uwzględnia
się w modelu struktury jakościowej układu. Co prawda w klasycznych metodach oceny
przepustowości, zdając sobie sprawę z niedoskonałości tych metod, wprowadza się
współczynniki urealniające, które mają uwzględnić nierównomierność ruchu, a więc losowość
zgłoszeń, jednak jest to postępowanie mocno zniekształcające rzeczywistość, a co za tym
idzie - prowadzące do praktycznie dowolnych, subiektywnych ocen układu (p.np. Janocha,
Kowalski-Michalak i Smolarz, 1967) .
Powstaje pytanie, co to jest obiektywna ocena układu? Projektanci układów kolejowych,
a więc ludzie decydujący bądź o strukturze torowej, bądź o strukturze ruchowej, znajdują się
w sytuacji, w której trzeba wyważyć sprzeczne ze sobą dążenia. Pierwsze z nich, to dążenie
do maksymalizacji obciążenia ruchowego (maksymalizacji stopnia wykorzystania układu),
bądź dążenie do minimalizacji układu torowego (minimalizacja nakładów inwestycyjnych).
Drugie, to dążenie do minimalizacji kolizyjności układu, a więc do minimalizacji możliwych
zakłóceń ruchowych. Bez uwzględniania kolizyjności układu, tj. jego struktury jakościowej
sformułowanie kryterium optymalnego układu jest niemożliwe - próby prowadzą do
TPR6-158
Koszt jednostkowy
wniosków trywialnych typu: najlepszy układ torowy, to najmniejszy układ; taką zasadę
wysuwa O. Blum.
Z ekonomicznego punktu widzenia istnieją dwa warianty optymalnego postępowania
(tzw. zasada gospodarności Lange, 1961):
- maksymalizacja efektu przy ustalonych nakładach;
- minimalizacja nakładów przy wymaganym efekcie działania rozważanego obiektu.
Jak już poprzednio stwierdzono, w zagadnieniach wymiarowania występują również
dwa warianty postępowania optymalizacyjnego:
- ustalona jest struktura torowa, poszukuje się właściwego obciążenia ruchowego (projektant
ruchu pociągów);
- ustalone jest obciążenie ruchowe, poszukuje się właściwego układu torowego.
Można zauważyć, że pojęcie „maksimum efektu” z zasady gospodarności odpowiada w
zagadnieniach wymiarowania pojęciu „właściwe obciążenie”, natomiast pojęcie „ustalone
nakłady”
- pojęciu „ustalony układ torowy”; podobnie w drugim wariancie zadania ,,minimalne
nakłady” - to „właściwy układ torowy”, „wymagany efekt” - to „ustalone obciążenie”.
W rozważaniach ekonomicznych dotyczących wymiarowania układów w ogólności
przeprowadza się często rozumowanie, którego przebieg ilustruje rys. 6.5.
Jest to przedstawienie zależności jednostkowego kosztu działania układu od wielkości
obciążenia ruchowego (w innych przypadkach może być to np. wielkość produkcji) przy
ustalonym układzie torowym. Koszt ten zależy od dwóch składników: nakładów na
urządzenia stałe odniesionych do wielkości obciążenia ruchowego (jest to składnik malejący
w miarę wzrostu obciążenia) oraz jednostkowych kosztów trudności eksploatacyjnych
powodowanych zakłóceniami ruchowymi w ogólnym sensie. Jednostkowy koszt trudności
eksploatacyjnych rośnie w miarę wzrostu obciążenia ruchowego. W sumie łączny koszt
jednostkowy maleje dla małych obciążeń w miarę wzrostu obciążenia, aż do osiągnięcia
obciążenia optymalnego, a w miarę dalszego wzrostu obciążenia ruchowego rośnie z powodu
3
2
Obciążenie
układu
1
Obciążenie najefektywniejsze
(jednostka układu najtańsza)
coraz większego udziału w nim kosztu zakłóceń ruchowych.
Rys.6.5. Wykres zależności kosztów jednostkowych od obciążenia układu
1 - koszt strat powodowanych trudnościami ruchowymi (zakłóceniami), 2 - koszt
jednostkowy urządzeń stałych, 3 - łączny koszt jednostkowy układu
TPR6-159
Efektywność jednostkowa
Schemat myślowy zilustrowany rys. 6.5. dotyczy przypadku, w którym ustalona jest
struktura torowa układu. Gdy ustalone jest obciążenie ruchowe układu, a poszukuje się
optymalnej struktury torowej można przeprowadzić analogiczne rozumowanie jak
poprzednio, operując efektywnością jednostkową zamiast kosztem jednostkowym. Schemat
taki zawiera rys. 6.6.
1
2
Wielkość
układu
torowego
3
Właściwa wielkość układu
Rys.6.6. Wykres zależności efektywności od układu torowego
1 - efektywność jednostkowa wynikająca z ustalonego obciążenia, 2 - straty
efektywności powodowane kolizyjnością układu, 3 - łączna efektywność jednostkowa
układu
Przez jednostkową efektywność rozumie się tu obciążenie ruchowe (liczba pociągów)
odniesione do jednostki nakładów. Łączna efektywność jednostkowa w przypadku
przedstawionym na rys. 6.6 jest różnicą efektywności nakładów oraz strat efektywności z
powodu trudności eksploatacyjnych, które jak przyjęto, maleją szybciej - w miarę rozwoju
struktury torowej - niż pierwszy składnik.
Zamiast poszukiwania minimum kosztu w pierwszym przypadku, a maksimum
efektywności - w drugim, można otrzymać odwrotne sytuacje operując odwrotnościami tych
wielkości.
Schematy myślowe przedstawione na rys. 6.5 i rys. 6.6, jakkolwiek intuicyjnie
poprawne, nie mają żadnego praktycznego znaczenia, dopóki nie są znane sposoby
uwzględniania w tych rozważaniach jakości działania układu (koszt strat z powodu zakłóceń
ruchowych, straty efektywności z powodu trudności eksploatacyjnych).
W bardziej wyrafinowanych analizach ekonomicznych systemów masowej obsługi
formułuje się warunek optymalności systemu, przyjmując, że system jest optymalny, jeżeli
koszty krańcowe czasu bezczynności urządzeń obsługujących są równe kosztom krańcowym
czasu oczekiwania w kolejce. Niestety, jak stwierdza Naylor (1975), ani ekonomiści, ani
matematycy nie potrafią podać prostych sposobów wyznaczania punktów równowagi w
powyższym sensie dla większości złożonych systemów masowej obsługi.
Projektanci kształtujący układy kolejowe (projektanci organizacji ruchu lub układu
torowego) kierują się kryterium, które Węgierski (1971) wyraził w formie zasady płynności
ruchu: „dobry ruch kolejowy, to ruch płynny”. Zasada płynności ruchu występuje w ukryty
sposób w większości tradycyjnych metod wymiarowania. Wyraża się to w formie postulatów,
jakie powinny spełniać kształtowane układy. Na przykład przy wyznaczaniu liczby torów
głównych stacji kolejowej różni autorzy postulują „by liczba torów była taka, żeby nie
występowały zakłócenia przed stacją przy normalnym ruchu i ograniczonych jego
TPR6-160
zakłóceniach”. Podczas projektowania ruchu spełnienie postulatu płynności mają
gwarantować zapasy czasu pomiędzy kolejnymi trasami pociągów (p.np. Węgirski, 1971).
Jakkolwiek pojęcie płynności ruchu kolejowego jest ogólnie rzecz biorąc intuicyjnie
jasne, tutaj wymaga jednak dokładniejszego sprecyzowania. W pojęciu tym, bowiem
zawierają się dwa aspekty. Aspekt pierwszy: ruch płynny, to ruch bez zakłóceń. Porównując
zatem dwie struktury ruchu należy uznać za lepszą tę strukturę, w której prawdopodobieństwo
wejścia zgłoszenia bez zakłóceń do układu jest większe. Drugi aspekt: ruch płynny, to duża
intensywność zgłoszeń, uzyskiwana dzięki zwiększaniu równoodstępowości ruchu; czasem
pojęcie płynności ruchu zawiera w sobie pojęcie regularności ruchu. Jak wiadomo większa
intensywność ruchu, to większe prawdopodobieństwo zakłócenia, a więc w pojęciu płynności
ruchu występują dwie przeciwstawne tendencje. Inaczej określając, płynność ruchu
kolejowego można interpretować jako bezwzględną charakterystykę jakości działania układu;
wtedy można ją mierzyć prawdopodobieństwem obsługi bez zakłóceń. Płynność ruchu można
jednak również interpretować jako względną charakterystykę jakości działania układu; jak ją
wówczas mierzyć, wyjaśniają dalsze rozważania
6.2.2 Optymalne obciążenie ruchowe układu
Symbol r oznacza intensywność zgłoszeń pociągów mierzoną liczbą pociągów w
ustalonym okresie. Zakłada się, że r może przyjmować wartości rzeczywiste (nie tylko
naturalne). Przez p(r) oznacza się prawdopodobieństwo zdarzenia, że trasa przeprowadzana
przez układ o ustalonej strukturze torowej i intensywności zgłoszeń r wymagać będzie
regulacji. Miarą bezwzględnej płynności ruchu będzie się nazywać
f(r) = l - p(r)
(6.3)
natomiast miarą względnej płynności ruchu będzie się nazywać
F(r)=[l - p(r)] r
(6.4)
Funkcja F(r) określona wzorem (6.4) wyraża oczekiwaną liczbę tras nieregulowanych w
ustalonym okresie. Wiadomo, że p(r) jest rosnącą funkcją r, gdzie r jest liczbą tras w
ustalonym okresie (intensywność zgłoszeń) i dlatego łatwo jest przewidzieć przebieg F(r). Dla
małych obciążeń ruchowych r względna płynność ruchu F(r), określona wzorem (6.3), jest
mała i rośnie w miarę wzrostu obciążenia do pewnej wartości, następnie z powodu dużego
prawdopodobieństwa regulacji p(r) - względna płynność ruchu F(r) maleje do zera. Przebieg
zależności oczekiwanej liczby tras nieregulowanych od obciążenia przedstawia rys. 6.7.
Łatwo teraz sformułować warunek optymalności obciążenia układu
TPR6-161
Oczekiwana liczba
tras nieregulowanych
względna płynność ruchu
F(r)
Intensywność
zgłoszeń
Optymalna
intensywność
zgłoszeń r0
r
Rys.6.7. Wykres zależności oczekiwanej liczby tras nieregulowanych F(r) od
intensywności zgłoszeń r
Obciążenie ruchowe układu jest optymalne, jeżeli względna płynność ruchu jest
maksymalna, tzn., jeżeli oczekiwana liczba tras nieregulowanych w ustalonym okresie jest
największa.
Niech r0 oznacza optymalne obciążenie ruchowe, tj. takie obciążenie, że F(r0) = max.
Wartość l - p(r0) nazywa się optymalną (maksymalną) wartością bezwzględnej płynności
ruchu, natomiast p(r0) - dopuszczalną wartością prawdopodobieństwa regulacji lub
dopuszczalnym poziomem zakłóceń ruchowych. Dla celów klasyfikacji układów wprowadza
się pojęcie wykładnika strat n:
1 − p (r0 )
n=
(6.5)
p(r0 )
gdzie r0 jest obciążeniem optymalnym. Układy, dla których p(r0) = 0.5, nazywa się układami
liniowymi. Wykładnik strat dla układów liniowych równy jest l. W praktyce wzrost poziomu
zakłóceń w miarę wzrostu obciążenia jest szybszy niż wzrost liniowy, tzn. p(r0) < 0.5, co
pociąga za sobą warunek n > l.
Wykładnik strat może służyć jako miara, złożoności układów; im większa wartość
wykładnika strat, tym bardziej układ jest złożony. Na przykład dla węzłów torowych
stwierdzono w większości, że wartość wykładnika, strat jest bliska 2, a więc dopuszczalne
1
prawdopodobieństwo zakłóceń bliskie jest , jak wykazał Woch (1975).
3
W przytoczonych rozważaniach nad optymalnością układów ukrytych jest kilka
założeń. Po pierwsze zakłada się, że rozważane układy znajdują się w równowadze
stochastycznej (p.np. Fisz 1967), co oznacza, że istnieje średnie prawdopodobieństwo
regulacji p(r). Z matematycznego punktu widzenia, aby tak było, potrzebne jest spełnienie
pewnych istotnych założeń procesów stochastycznych związanych z układem. W
podrozdziale 6.3 wykazuje się, że założenia takie są spełnione w praktycznych przypadkach.
Następnie zakłada się, że zwiększanie obciążenia ruchowego układu jest jedynie ograniczone
możliwościami obsługi przez układ. Pod tym względem w praktyce bywa różnie.
Ograniczenie obciążenia ruchowego może wynikać z możliwości obsługi w sąsiednich
układach. W praktyce wymiarowania jednak rzadko zdarza się, aby maksymalne obciążenie
ruchowe - ze względu na możliwości obsługi w otoczeniu badanego układu - było mniejsze od
TPR6-162
obciążenia najbardziej efektywnego w sensie płynności ruchu. Wynika to stąd, że sieć
kolejowa jest specyficznym systemem, masowej obsługi, który dla zapewnienia płynności
ruchu musi mieć dużą pojemność, tj. duże możliwości obsługi w każdym elemencie sieci z
osobna. Tak duża pojemność sieci jest niezbędna ze względu na wzajemne sprzężenia jej pod
układów; jest ona potrzebna nie tylko po to, aby obsługiwać ruch kolejowy, ale również po to,
aby pochłaniać zakłócenia ruchowe, ponieważ każdy podukład stanowi „poczekalnię” dla
następnego podukładu.
Maksymalna względna płynność ruchu nie jest celem samym w sobie dla kolei.
Wielkość ruchu kolejowego wynika bowiem z zadań przewozowych. Z tego względu wiele
elementów sieci kolejowej jest wykorzystywanych w małym stopniu, tzn. ich obciążenie
ruchowe r jest mniejsze od najefektywniejszego r0. Wskaźnik obciążenia układu określa iloraz
r r0 . Przy takim sformułowaniu wskaźnik obciążenia układu może przyjmować wartości
większe niż l. Można by próbować wyznaczyć maksymalną możliwą wartość wskaźnika
obciążenia układu, co próbuje się czynić w dotychczasowej praktyce; wartość taka jest nie do
zrealizowania.
Maksymalne obciążenie ruchowe rm można by próbować określać jako wynikające z
równania F(rm) = 0, co odpowiada warunkowi p(rm) = 1, tzn. przypadkowi, gdy prawie
wszystkie trasy są regulowane. Jednak układ, dla którego p(r) =; l, jest systemem wytrąconym
z równowagi stochastycznej. W teorii masowej obsługi przypadek ten jest równoważny
warunkowi ρ = l (intensywność zgłoszeń jest równa intensywności obsługi), patrz np.
Kopocińska, Kopociński (1971). Oznacza to, że nie istnieją graniczne prawdopodobieństwa
stanów procesu kolejek, a więc nie istnieje prawdopodobieństwo regulacji w sensie
poprzednich rozważań. Na użytek chwilowy określmy rm > r0, dla którego układ znajduje się
w równowadze stochastycznej. Prawdopodobieństwo regulacji p(rm) jest bliskie jedności, a
względna płynność ruchu F(rm)jest bliska zeru. Idea klasycznych metod oceny
przepustowości polega na szacowaniu największych wartości rm.
Przedział obciążeń r0 < r ≤ rm powinien być uważany za niedopuszczalny ze względu
na kolizyjność układu. Układy z obciążeniem r z przedziału (r0; rm) charakteryzują się dużymi
wartościami charakterystyk regulacji, co w praktyce oznacza. przenoszenie się zakłóceń
ruchowych. Tak więc, obowiązująca do dzisiaj jeszcze zasada konstrukcji maksymalnego
wykresu ruchu pociągów [9] stwarza niepotrzebne pozory możliwości przepustowych sieci
kolejowej.
W dotychczasowych rozważaniach miarą obciążenia ruchowego jest jedna liczba r średnia liczba tras w zadanym okresie. Można by sądzić, że rozważania te dotyczą tylko
takich układów, w których wszystkie obsługiwane pociągi są jednej kategorii. W istocie tak
nie jest; chodziło jedynie o skupienie uwagi na samym kryterium optymalności, stąd
konieczne, a nieistotne dla rozważań uproszczenia.
Niech charakterystyką obciążenia układu o m kategoriach tras będzie wektor
r
r = (r1 , r2 ,..., rm ) Składowe ri są liczbami tras w zadanym okresie czasu, tzn. są
r
intensywnościami zgłoszeń dla poszczególnych kategorii. Niech pi (r ) oznacza
prawdopodobieństwo regulacji trasy kategorii i; ściślej - jest to prawdopodobieństwo
warunkowe regulacji trasy pod warunkiem, że trasa jest kategorii i. Prawdopodobieństwo
r
zgłoszenia trasy kategorii i, oznaczamy wi (r ) , natomiast r oznacza łączną intensywność
zgłoszeń:
m
r = ∑ ri
(6.6)
i =1
r
Prawdopodobieństwo całkowite (p.np. Fisz, 1967) regulacji p(r ) , które występowało w
poprzednich ogólnych rozważaniach, jest określone wzorem:
TPR6-163
m
r
r
r
p (r ) = ∑ wi (r ) p i (r )
(6.7)
i =1
Zakładamy, że:
r r
wi (r ) = i
r
(6.8)
a więc:
r 1 m
r
p (r ) = ∑ ri pi (r )
r i =1
(6.9)
r
Niech Fi (r ) oznacza składową efektywność obciążenia trasami kategorii i
r
r
Fi (r ) = [1 − pi (r )]ri
(6.10)
r
Globalną efektywność F (r ) określa się jako sumę efektywności składowych (6.10):
m
r
r
F (r ) = ∑ Fi (r )
(6.11)
i =1
Oczywiste jest, że najbardziej efektywne obciążenie jedną wybraną kategorią tras przy
niezmienionych obciążeniach pozostałymi kategoriami ogólnie biorąc nie pokrywa się z
globalnym najefektywniejszym obciążeniem oraz, że zmiana obciążenia w jednej wybranej
kategorii tras wpływa na wszystkie składowe funkcji efektywności (6.11). Dlatego też
wyznaczenie globalnie najefektywniejszego obciążenia jest kłopotliwe, ale też bez większego
znaczenia praktycznego. W praktyce bowiem poszukuje się zwykle najefektywniejszych
obciążeń ruchowych wybranych kategorii pociągów przy ustalonym obciążeniu w
pozostałych kategoriach, a więc np. szuka się największej liczby pociągów towarowych
ustalonego kierunku przy ustalonej liczbie pozostałych pociągów.
Tak więc, w praktyce występują zadania o wiele prostsze, niż to wynika z ogólnych
) r
) r
rozważań. Ponieważ jedynie wyznacza się w sposób doświadczalny estymatory p (r ) i pi (r ) ,
r
r
bo nie są znane analityczne zależności p (r ) lub pi (r ) od charakterystyk układu (co
r
umożliwiałoby badanie F (r ) jako funkcji wielu zmiennych) można nie rozważać zagadnienia
globalnej efektywności obciążenia układu. Niemniej dla celów ogólnych wygodnie jest
operować jedną charakterystyką; stąd czasem określa się najefektywniejsze obciążenie układu
w ustalonym kierunku, tzn. takie, dla którego F (r ) = max oraz dla każdej kategorii j w j (r )
(6.8) jest stałe.
W dotychczasowych rozważaniach trasy poszczególnych kategorii traktuje się jako
jednakowo efektywne. Może jednak czasem wystąpić konieczność zróżnicowania
TPR6-164
efektywności tras różnych kategorii. W takich przypadkach wystarczy określić wagi
efektywności ei (gdzie i = l, 2,..., m) przyporządkowane poszczególnym kategoriom. Na
przykład, jeżeli ei e j = 2 , to uważa się, że trasy kategorii i są 2 razy efektywniejsze, niż trasy
kategorii j. Waga efektywności może np. wynikać z średniej wartości masy ładunków
przewożonych pociągami danej kategorii. Następnie, uogólniając funkcję-kryterium (6.11):
m
r
Fe (r ) = ∑ ei Fi (r )
(6.12)
i =1
można wyznaczać ważone najefektywniejsze obciążenie, tj. takie, które realizuje maksimum
funkcji (6.12).
6.2.3 Ogólne kryterium optymalności układu
Omówione funkcje-kryteria optymalności obciążenia ruchowego układu są
szczególnymi przypadkami ogólnej miary efektywności układu. Konstruuje się ją wychodząc
z postulatów (t, r, j), jakie wysuwa się w stosunku do każdej z trzech struktur układu torowej, ruchowej i jakościowej (rys.6.1) - z osobna. Postulaty te można sformułować
następująco:
t) 3 układ jest tym lepszy, im mniejszy jest układ torowy (mniejsza nakłady);
r) układ jest tym lepszy, im większe jest obciążenie ruchowe(większe efekty);
j) układ jest tym lepszy, im niższy jest przewidywany poziom zakłóceń lub im większa
jest bezwzględna płynność ruchu (wyższa jakość działania układu).
Jeżeli oznaczyć przez m1 ( j ), m2 (r ), m3 (t ) - na razie bez ich szczegółowego definiowania miary bezwzględne poszczególnych struktur układu (odpowiednio - jakościowej, ruchowej i
torowej), to wymienione poprzednio postulaty t), r) i j) spełnia łącznie następująca miara:
E (t , r ) = m1 [ j (t , r )]
m 2 (r )
m3 (t )
(6.13)
gdzie j, t, r należy interpretować jako „wektory” opisujące poszczególne struktury układu.
Układ jest bardziej efektywny w sensie (6.13), gdy jest lepsza jego jakość działania - stąd
proporcjonalność do m1; gdy większe jest obciążenie ruchowe - stąd proporcjonalność do m2;
oraz gdy mniejszy układ torowy - stąd odwrotna proporcjonalność do m3.
Miarą jakości działania układu może być bezwzględna miara płynności ruchu:
m1 [ j (t , r )] = 1 − p (t , r )
(6.14)
gdzie p(t, r) jest prawdopodobieństwem regulacji trasy dla struktury torowej t i ruchowej r.
Przy wyznaczaniu optymalnego obciążenia jest ustalona struktura torowa t0, stąd
poszukiwanie maksimum funkcji (6.13) jest równoważne poszukiwaniu maksimum funkcji
Fe(r):
Fe (r ) = E (t 0 , r ) m3 (t 0 ) = [1 − p (r )] m2 (r )
(6.15)
Podstawiając np. za m 2 (r ) liczbę tras w zadanym okresie otrzymuje się funkcję (6.3).
Analogicznie, gdy ustalona jest struktura ruchowa r0, to wyznaczenie maksimum funkcji
(6.13) jest równoważne wyznaczaniu minimum funkcji Ke (t):
TPR6-165
K e (t ) =
m 2 (r0 )
m (t )
= 3
F (t , r0 ) 1 − p (t )
(6.16)
Funkcję Ke(t) interpretuje się jako koszt jednostkowy jakości (płynności) ruchu. Miara
m3(t) w płaszczyźnie technicznej może być miarą wielkości układu torowego (np. liczbą
torów badanej stacji), natomiast w płaszczyźnie ekonomicznej może być interpretowana jako
nakłady na realizację struktury t. Przykładowy przebieg funkcji (6.16) ilustruje rys. 6.8. Układ
jest optymalny w sensie najmniejszej wartości kosztu (6.16) wtedy, gdy koszt jednostkowy
płynności ruchu jest najmniejszy.
Wprowadzone tu pojęcia precyzują niezbyt jasne przedtem sformułowania: właściwy
układ, dopuszczalne obciążenie, dopuszczalny poziom zakłóceń, optymalne obciążenie,
optymalna płynność ruchu itp. Można, więc znajdować optymalne układy kolejowe pod
warunkiem, że znane są zależności miar bezwzględnej płynności ruchu lub miar kolizyjności
od kształtowanej struktury układu. Na ogół układy kolejowe są bardzo złożonymi systemami
masowej obsługi. Nawet wiele bardzo prostych układów kolejowych nie daje się odwzorować
na modele masowej obsługi o wyznaczonych analitycznie charakterystykach. Stąd jedynym
praktycznym sposobem postępowania jest stosowanie metod symulacji komputerowej.
Koszt jednostkowy
płynności ruchu
Ke(t)
Wielkość
układu
torowego
Optymalna wielkość
układu torowego t0
t
Rys.6.8 Wykres zależności kosztu jednostkowego płynności ruchu Ke(t) od wielkości
układu torowego t
6.3 SYMULACJA KOMPUTEROWA I OPTYMALIZACJA
ALGORYTMICZNA UKŁADÓW
6.3.1 Modele symulacyjne
Wśród zmiennych opisujących model symulacyjny układu wyodrębnia się dwie ich klasy:
-zmienne wejściowe, nazywane inaczej czynnikami;
-zmienne wyjściowe, nazywane reakcją modelu.
Do zmiennych wejściowych zalicza się wszystkie charakterystyki struktury torowej
oraz struktury ruchowej, natomiast do reakcji - wszystkie charakterystyki struktury
jakościowej. Do wymienionych dwóch grup zmiennych należy dodać trzecią - zmienne
TPR6-166
decyzyjne, które - jak przedstawiono w podrozdziale 6.2 - są względnymi miarami reakcji
modelu, odniesionymi do zmiennych wejściowych.
Eksperymenty z modelem układu przeprowadzane przy użyciu komputera nazywa się
symulacją komputerową. Istnieje wiele różnie sformułowanych określeń tej techniki; tutaj
symulację definiuje się za Naylorem (1975) jako technikę numeryczną służącą do
dokonywania eksperymentów na pewnych rodzajach modeli matematycznych, które
pozwalają przy użyciu komputera śledzić zachowanie się złożonego systemu w ciągu
długiego czasu. Zasadniczą zaletą symulacji komputerowej jest to, że eksperymenty
przeprowadza się na modelu systemu rzeczywistego, nie zaś na samym systemie
rzeczywistym. W wielu przypadkach dokonanie eksperymentów na systemie rzeczywistym
byłoby niemożliwe; tak jest w przypadku układów kolejowych. Jeżeli w-modelu systemu
choćby jeden czynnik ma charakter stochastyczny, to symulacja nazywa się symulacją
probabilistyczną (stochastyczną) 1ub symulacją Monte Carlo. Tak jest w przypadku układów;
ich modele mają charakter probabilistyczny, np. w układach kolejowych czynnikami
stochastycznymi są zgłoszenia pociągów, zakłócenia pracy elementów, a więc ich symulacja
jest symulacją probabilistyczną. Pociąga to za sobą konieczność rozwiązywania problemów z
zakresu statystyki matematycznej, począwszy od problemów generatorów liczb
pseudolosowych, przez problemy wpływu warunków początkowych na wyniki, problemy
wyznaczenia długości cyklu symulacji, oceny wariancji obserwowanych zmiennych
wyjściowych, a skończywszy na trudnych problemach planowania doświadczeń
symulacyjnych i analizy danych wyjściowych.
Komputerowe doświadczenia symulacyjne na modelach systemów przebiegają zwykle
według procedury obejmującej sześć etapów:
1) sformułowanie problemu;
2) sformułowanie modelu matematycznego;
3) sformułowanie programu dla komputera;
4) testowanie modelu;
5) planowanie doświadczeń symulacyjnych;
6) analiza danych wyjściowych.
Jest to ogólne podejście, w którym nie zawierają się zagadnienia decyzyjne
(optymalizacyjne). W przypadku układów kolejowych do powyższej sześcioetapowej
procedury trzeba dodać jeszcze dwa skrajne etapy:
0) określenie celu;
7) optymalizacja systemu na podstawie wyników symulacji.
W poprzednich punktach przeprowadzono rozważania, które nie dotyczyły
bezpośrednio symulacji, a więc w dużej mierze zrealizowano etapy 0, 1, 2, 7 przedstawionej
procedury, przy czym wyniki można podsumować w następujący sposób:
0) celem jest opracowanie efektywnej metody optymalnego kształtowania układów kolejowych;
1) zasadniczy problem leży w wyznaczaniu charakterystyk struktury jakościowej układu;
2) model układu jest modelem złożonego systemu obsługi masowej;
7) układ optymalny, to układ o największej względnej płynności ruchu lub najmniejszym
względnym koszcie jednostkowym płynności ruchu.
Pozostają więc do sformułowania szczegółowe modele matematyczne układów różnych
typów (2); sformułowanie programów symulacyjnych dla tych modeli (3) oraz zbadanie tych
modeli (4). Przygotowywanie danych (5) i analiza wyników (6), jak się dalej wykazuje, dają
się w dużej mierze zautomatyzować.
6.3.2 Problemy statystyczne symulacji
Jednym z pierwszych zagadnień, jakie pojawiają się podczas formułowania programu
symulacyjnego dla modelu probabilistycznego jest generowanie danych za pomocą specjalnie
do tego celu sformułowanych podprogramów. W przypadku symulacji układów konieczne
jest generowanie danych opisujących strukturę ruchu oraz losowe procesy zakłóceń
TPR6-167
zewnętrznych układu. Niektóre zmienne wejściowe układu, są opasane w takich przypadkach
rozkładami prawdopodobieństwa, według których losuje się ich realizacje.
Podprogram
(procedura)
generujący
dane
według
zadanego
rozkładu
prawdopodobieństwa nazywa się generatorem liczb pseudolosowych. Dane generowane przez
ten podprogram, chociaż powstają w sposób zdeterminowany, mają wszystkie potrzebne
własności danych losowych (p.np. Ulam, 1951 Zieliński, 1970, 1972).
Należy tutaj zrobić takie samo zastrzeżenie z pozycji roku 2001, jak to zrobiono w
rozdziale 5, gdzie przedstawiono zastosowanie metod Monte Carlo do symulacji ruchu
samochodowego. Rozwój narzędzi informatyki dał niewyobrażalną przedtem wzrost mocy
komputerowej oraz narzędzi programowych, jednak istota problematyki symulacji potoków
ruchu nie zmieniła się, mimo że ówczesne narzędzia informatyczne wywołują dzisiaj uśmiech
wśród informatyków. Do dzisiaj jednak mimo znanego rozwoju informatyki nie ma
odpowiednich narzędzi oceny przepustowości i optymalizacji sieci transportowych. Dlatego
autor uważa, że treści rozdziałów 5 i 6 są cały czas aktualne. Natomiast zestawienie różnych
doświadczeń inżynierów ruchu z różnych branż ma również znaczenie dydaktyczne. Język
Fortran prezentowany dalej, jest do dzisiaj używanym językiem, również w publikacjach.
Natomiast Algol 1204 jest językiem podobnym do Pascala. Dlatego procedury prezentowane
w dalszym ciągu zachowały oryginalną formę z lat 70.
Podstawowe znaczenie ma generator liczb pseudolosowych o rozkładzie jednostajnym
na odcinku (0; l). Jest to podprogram, który generuje liczby z przedziału (0; l) w sposób
równomierny; tzn., prawdopodobieństwo wylosowana liczby mniejszej od r, takiego, że:
0 < r < 1 , jest równe r. W każdym współczesnym zestawie komputerowym w bibliotece
programów znajdują się podprogramy - generatory liczb pseudolosowych rozmieszczonych
jednostajnie na odcinku (0; l). Na przykład w bibliotece komputera ODRA 1204 -znajduje się
generator następującej konstrukcji:
x n +1 = frac (3125 x n )
(6.17)
gdzie: n ≥ 1; frac( y ) oznacza część ułamkową liczby y; x0 ∈ (0; 1).
Podprogram w ALGOL-u realizujący rekurencyjną procedurę (6.17), przedstawiony jest
w tab.6/1. Na zmienną nielokalną x, występującą w funkcji unif z tab. 6/1, należy przed
pierwszym odwołaniem się do niej podstawić wartość początkową generatora, tj. liczbę z
przedziału (0, l). Funkcja entier(y) jest funkcją standardową ALGOL-u; jest to część
całkowita argumentu.
Tablica 6/1
GENERATOR LICZB PSEUDOLOSOWYCH O ROZKŁADZIE JEDNOSTAJNYM
W PRZEDZIALE (0, 1) DLA KOMPUTERA ODRA 1204
real procedurs unif:
begin
x: = 3125.0 > x
unif: =x:=x - entier(x)
end
W systemie komputerowym ICL 1900 (ODRA 1300) odpowiednikiem generatora
(6.17) jest np. dla programów formułowanych w FORTRANIE generator FPMCRV, który
można wywoływać jako jednoparametrową funkcję lub jednoparametrowy podprogram.
Generator ten ma następującą konstrukcję:
TPR6-168
(
)
x n +1 = 219 + 3 x n
(modulo 237),
(6.18)
gdzie x0 jest liczbą z przedziału (o; 1) różną od 0,5.
Generatory (6.17) i (6.18) należą do grupy generatorów multiplikatywnych (p.np. Woch, !974b).
Z generatorów jednostajnych na odcinku (0; l) można otrzymać w sposób
algorytmiczny generator o innym rozkładzie prawdopodobieństwa. Istnieją dwa rodzaje
sposobów otrzymania takich generatorów: transformacja generatora jednostajnego. przez
funkcję odwrotną do dystrybuanty rozkładu oraz sposoby wykorzystujące twierdzenia
graniczne rachunku prawdopodobieństwa lub zależności pomiędzy zmiennymi losowymi o
różnych rozkładach.
Dla przykładu, jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0;
l), to zmienna Y = − ln X ma unormowany rozkład wykładniczy (funkcja odwrotna do
X = e − X ), albo - jeżeli X i (i = 1, 2,..., k ) są niezależnymi zmiennymi losowymi o
jednakowym rozkładzie wykładniczym, to Y = X 1 + X 2 + ... + X k ma rozkład Erlanga k-tego
rzędu.
W wielu typach układów kolejowych odstęp czasu pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami
pociągów składa się z dwóch części - stałej i losowej. Część losowa ogólnie ma rozkład
Erlanga, a często wykładniczy (Erlanga l-go rzędu). W tablicy 6/2 przedstawiono generator
odstępu zgłoszeń pociągów z ustalonego kierunku, w którym oparto się na wyżej cytowanych
twierdzeniach rachunku prawdopodobieństwa (p.np. Zielińnski, 1972).
Tablica 6/2
GENERATOR ODSTĘPU MIĘDZY KOLEJNYMI ZGŁOSZENIAMI POCIĄGÓW Z.
USTALONEGO KIERUNKU
FUNCTION ERLANG (A,B,N)
31
COMMON (GEWE) X
C = 0.0
DO 31 I =1, NM
CALL FPMCRV(X)
C = C = ALOG(X)
CONTINUE
ERLANG = C > A+B
RETURN
END
Parametry formalne: A - średnia losowej części odstępu; B - minimalny odstęp; E- rząd
rozkładu Erlanga częstości losowej (FORTRAN ICL 1900)
Wywołanie podprogramu FPMCRV, jakie występuje wewnątrz opisu funkcji
zamieszczonego w tab. 6/2, generuje następną liczbę według (6.18), która umieszczana jest w
X. Funkcja ALOG jest standardową; jest to logarytm naturalny. Wywołując funkcję
ERLANG, umieszcza się w parametrach aktualnych średnią wartość losowej części
minimalnego odstępu między zgłoszeniami i parametr rozkładu Erlanga (p. wzór 6.46).
Generatory normalnego rozkładu prawdopodobieństwa zwykle konstruuje się na
podstawie centralnego twierdzenia granicznego [5], które można sformułować następująco:
TPR6-169
jeżeli X 1 , X 2 ,..., X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i
skończonej wariancji, to Y = X 1 + X 2 + ... + X n dla dużych n ma w przybliżeniu rozkład
normalny. W praktyce generatory rozkładów normalnych polegają zwykle na sumowaniu - ze
względu na prostą normalizację zmiennej wynikowej - 12 liczb pseudolosowych rozkładu
jednostajnego z odcinka (0; l).
Generatory rozkładów normalnych występują w programach symulacji układów stacji
rozrządowych, gdzie pewne obsługi składów pociągów mają w przybliżeniu rozkład
normalny. Podprogram generujący czas obsługi składu pociągu zamieszczony jest w tab. 6/3
w tym przypadku jest to generator liczb o rozkładzie normalnym o średniej S i dyspersji
SIGMA. Znaczenie nazw nielokalnych X i FPMCRV jest tu takie, jak w przypadku generatora
z tab. 6/2.
Tablica 6/3
GENERATOR CZASU OBSŁUGI O ROZKŁADZIE NORMALNYM, ŚREDNIĄ
S I DYSPERSJĄ SIGMA
FUNCTION ORMAL (S,SIGMA)
COMMON (GEWE) X
A = 0.0
DO 30 I = 1,12
CALL FPMCRV(X)
A=A+Z
30 ORMAL = (A - 6,0)xSIGMA + S
RETURN
END
Od konstrukcji generatorów liczb pseudolosowych wymaga się przede wszystkim, aby
generowane liczby spełniały wymogi statystyczne stawiane w odniesieniu do liczb losowych;
aby czas działania generatora był możliwie krótki oraz alby sformułowanie generatora w
języku programowania komputera było krótkie. Ten ostatni postulat ma drugorzędne
znaczenie. W chwili obecnej istnieje pokaźna literatura na temat technik generowania liczb
pseudolosowych. Czytelnikowi zainteresowanemu szerzej tą tematyką poleca się prace
Zielińskiego, (1970, 1972).
Ważnym zagadnieniem symulacji układów kolejowych jest ustalenie stanu
początkowego modelu oraz wybór momentu rozpoczęcia rejestracji statystyk. W momencie
rozpoczęcia symulacji model musi mieć zadany tzw. stan początkowy, na który składają się
informacje o ostatnich zdarzeniach, o aktualnym stanie urządzeń obsługujących itp.
Oczywiste jest, że od stanu początkowego zależy w pierwszej fazie dalszy przebieg
symulacji. Po pewnym czasie można oczekiwać, że dalszy przebieg symulacji będzie coraz
mniej zależał od stanu początkowego, aż wreszcie przestanie od niego zależeć. Moment, w
którym można stwierdzić, że dalszy przebieg symulacji nie -zależy od stanu początkowego
jest właściwy dla rozpoczęcia rejestracji statystyk.
W praktyce rozpoczyna się symulację tak zwanym „jałowym biegiem” algorytmu
symulacyjnego od pewnego szczególnego stanu systemu (np. „system pusty”).. Czas „biegu
jałowego” zależy od przewidywań co do wpływu stanu początkowego na przebieg
obserwowanego procesu.
Celem symulacji układów jest uzyskanie estymatorów charakterystyk procesu regulacji:
prawdopodobieństwa regulacji - p, średniego czasu regulacji - x oraz średniej kolejki - k.
Przez n(T) oznacza się liczbę regulowanych zgłoszeń w okresie T w procesie regulacji - k(t),
natomiast N(T) oznacza liczbę zgłoszeń w okresie T, a S(T) - czas regulacji w okresie T:
TPR6-170
T
S (T ) = ∫ k (t ) dt
(6.19)
0
Zgodnie z podanymi oznaczeniami można zapisać:
n(T )
T →∞ N (T )
p = lim
x = lim
T →∞
k = lim
T →∞
S (T )
N (T )
S (T )
T
(6.20)
(6.21)
(6.22)
Oceniając charakterystyki procesu regulacji - p, x, k - zakłada się milcząco, że granice
(6.20), (6.21), (6.22) istnieją, to znaczy, że symulowany układ znajduje się w równowadze
stochastycznej. W teorii obsługi masowej łatwo jest określić, czy system będzie znajdował się
w równowadze; warunkiem równowagi jest bowiem ρ < l (6.1). W przypadku układów
kolejowych jest to trudniejsze, ale w praktyce przyjmuje się, ze charakterystyki regulacji
6.20), (6.21), (6.22) istnieją.
Z symulacji komputerowej otrzymuje się estymatory charakterystyk regulacji.
Estymatorem prawdopodobieństwa regulacji jest:
n
)
pT = T
NT
(6.23)
gdzie NT jest liczbą symulowanych zgłoszeń pociągów w okresie T, natomiast nT - liczbą
regulowanych zgłoszeń w okresie T. Estymatorem średniego czasu regulacji jest:
)
xT =
gdzie
∑x
i
∑x
i
T
NT
(6.24)
- sumaryczny czas regulacji w okresie T. Natomiast estymatorem średniej kolejki
T
jest:
) ∑
kT = T
T
TPR6-171
xi
(6.25)
Estymatory (6.23), (6.24), (6.25) są zgodne i nieobciążone (p.np. Fisz, 1967), to znaczy,
że w miarę wzrostu okresu symulacji T ciąg estymatorów dąży do wartości estymowanej i
wartość oczekiwana tych estymatorów jest równa parametrom estymowanym, jednak trudno
w praktyce ocenić ich efektywność.
Miarą efektywności statystycznej estymatorów jest ich wariancja (p.np. Fisz, 1967). W
przypadku eksperymentów symulacyjnych ocena wariancji powyższych estymatorów jest
kłopotliwa, ponieważ, ogólnie biorąc, realizacja procesu regulacji zależy od jego historii.
W praktyce czasem stosuje się następujący sposób postępowania. Kolejne obserwacje xi
grupuje się w równoliczne klasy, obliczając dla każdej klasy średnią. Liczność klasy powinna
być tak dobrana, aby ciąg tych średnich można było uważać za próbę prostą. Tak obliczona
średnia równa jest średniej obliczonej w zwykły sposób, ale dla ciągu średnich łatwo jest
ocenić (próba prosta) wariancję estymatora (6.24), patrz Kopociński (1973).
Ogólnie biorąc, zmniejszenie wariancji estymatorów można osiągnąć dwoma drogami przez:
- wydłużanie okresu obserwacji;
- niezależne powtarzanie symulacji, przy czym każdorazowo nowymi estymatorami są
średnie z estymatorów każdego powtórzenia.
Gafarian i Ancker (1966) wykazali, że spośród powyższych sposobów bardziej
efektywny jest sposób drugi, to znaczy, jeżeli σ 12n oznacza wariancję estymatora pewnej
średniej, który został otrzymany na podstawie wyników symulacji w okresie nT, a σ 22n jest
odpowiednią wariancją z serii n niezależnych doświadczeń w okresie T, to zachodzi
następująca nierówność:
σ 12n ≥ σ 22n
(6.26)
W wielu praktycznych zagadnieniach symulacji układów rejestracja statystyk musi być
ograniczona ze względu na czas obliczeń komputerowych do rejestrowania na przykład tylko
liczby zakłóceń oraz sumarycznego czasu zakłóceń. Pozwala to na skonstruowanie
estymatorów (6.23), (6.24), (6.25), lecz nie można ocenić dokładnie ich wariancji. Fishman
(1968) podał tak zwaną metodę przeciwstawnych zmiennych (antithetic variates), która
pozwala na zmniejszenie wariancji estymatorów symulacyjnych przy stosunkowo małym
nakładzie czasu obliczeń.
Metoda przeciwstawnych zmiennych polega na wykonaniu dwóch przebiegów
symulacyjnych. Przebieg pierwszy wykonuje się na podstawie ciągu niezależnych liczb
pseudolosowych {xi}, na przykład o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0;1), natomiast
drugi przebieg symulacyjny wykonuje się na podstawie ciągu {l-xi}, który w stosunku do
poprzedniego jest ujemnie skorelowany. Szukanymi estymatorami są średnie arytmetyczne
odpowiednich estymatorów każdego przebiegu. Metoda przeciwstawnych, zmiennych daje
wyniki w pewnych przypadkach równoważne wynikom, jakie można by otrzymać dopiero
przez ośmiokrotne zwiększenie próbki symulacyjnej, jak podaje Fishmann (1968).
W symulacji układów, oprócz zagadnienia niezbędnego czasu symulacji lub wielkości
próbki symulacyjnej niezbędnej dla otrzymania efektywnych estymatorów charakterystyk
regulacji, występuje problem ustalenia niezbędnego czasu symulacji dla otrzymania zadanej
stabilizacji struktury obciążenia układu. Strukturę obciążenia układu zadaje się przez liczbę
kategorii tras m oraz liczby ni (i = 1, 2,..., m ) poszczególnych tras w ustalonym okresie. Przez
N oznacza się liczbę tras wszystkich kategorii:
TPR6-172
m
N = ∑ ni
(6.27)
i =1
a przez pi - prawdopodobieństwo wylosowania trasy kategorii i:
pi =
ni
N
(6.28)
Generowanie poszczególnych tras w modelu symulacyjnym jest niezależne, a więc
można określić prawdopodobieństwo realizacji zadanej struktury obciążenia (rozkład
wielomianowy, p.n. Fisz, 1967). Przez ni' oznacza się liczby wylosowanych tras przy czym
∑n
'
i
'
= N .Problem stabilizacji struktury obciążenia polega na określeniu przed symulacją
liczby N' tak, aby dla każdej kategorii i zachodziła równość:
n'
)
pi = i' ≈ pi
N
(6.29)
Przybliżona równość (6.29) powinna zachodzić z zadaną dokładnością, wynikającą z
określenia przedziałów ufności.
R. Hurtubise [8] podaje obliczenia liczby N' dla różnych przedziałów ufności,
skonstruowanych dla statystyk (6.29), gdy m = 20. Dla przykładu, przy poziomie istotności
0,1 i przedziale ufności 0,025, dla pi == 0,5 konieczna wielkość-próbki N = 3150, a dla pi =
0,1 lub pi = 0,9 wielkość N = 1140.
Zagadnienia statystyczne symulacji układów są często nie dostrzegane lub też są
niedopuszczalnie upraszczane. Najczęściej spotykanym uproszczeniem, o ile w ogóle
rozważa się zagadnienia statystyczne, jest przyjmowanie, że wyniki doświadczeń
symulacyjnych stanowią próbę prostą. Tymczasem problemy te mają zasadnicze znaczenie,
gdyż od ich rozwiązania zależy zarówno konstrukcją algorytmów symulacyjnych, jak i
przebieg doświadczeń.
6.3.3 Optymalizacja algorytmiczna układów
Obliczenie estymatorów charakterystyk procesu regulacji stanowi ważną część całego
zadania optymalizacji układów, lecz jest to zaledwie fragment procesu wymiarowania. W
następnym etapie, na podstawie wyników symulacji oblicza się wartość funkcji kryterium. Z
kolei zmienia się parametry wejściowe układu i przeprowadza symulację, aby ponownie
znaleźć wartość funkcji kryterium dla zmienionej struktury układu. Te dwie wartości
pozwalają stwierdzić, który z dwóch wariantów jest lepszy.
Następnie ponownie zmienia się strukturę układu, uwzględniając wynik porównania
poprzednich dwóch wariantów, symuluje, oblicza wartość funkcji kryterium i porównuje
aktualny wariant z poprzednimi itd. Tę cykliczną sekwencję czynności nazywa się procesem
wymiarowania lub procesem optymalizacji układu. Praktycznie możliwe są tu trzy stopnie
skomplikowania sytuacji:
1) zbiór dopuszczalnych wariantów zmiennej struktury układu składa się z małej liczby
elementów - wtedy proces wymiarowania polega na porównaniu wartości funkcji kryterium
dla wszystkich wariantów i wyborze wariantu najlepszego;
TPR6-173
2) kierunek poszukiwania optimum jest ustalony - wtedy każdy następny wariant układu
powstaje w sposób określony z góry z poprzedniego wariantu, aż do zaobserwowania zmiany
monotoniczności funkcji kryterium;
3) zbiór dopuszczalnych rozwiązań jest wielowymiarowy - wtedy należy określić sposób
przejścia do badania następnego wariantu układu oraz określić regułę zakończenia
poszukiwań.
Przykładem sytuacji najtrudniejszej, odpowiadającej trzeciemu stopniowi
skomplikowania, może być następujące zadanie: znaleźć optymalne obciążenie ruchowe stacji
o ustalonej strukturze torowej oraz m kategoriach pociągów dla obciążeń każdej kategorii
zmieniających się w ustalonych granicach. Przykładem sytuacji łatwiejszej, drugiego stopnia
skomplikowania, może być zadanie: znaleźć optymalne obciążenie (zdolność przerobową)
stacji rozrządowej o ustalonych parametrach struktury torowej, albo zadanie: wyznaczyć
optymalne obciążenie ruchowe węzła o ustalonych proporcjach pomiędzy intensywnościami
zgłoszeń wszystkich kategorii pociągów, albo też: wyznaczyć największą dopuszczalną
intensywność zgłoszeń pociągów towarowych ustalanego kierunku dla zadanej linii
kolejowej. Jako przykłady sytuacji najłatwiejszych, pierwszego stopnia skomplikowania,
mogą służyć zadania: wskazać najlepszy wariant z zadanych projektów struktury ruchu
ustalonego układu, wskazać najlepsze rozwiązanie projektu węzła torowego dla zadanej
struktury obciążenia itp.
Jak można zauważyć, stopnie skomplikowania sytuacji, praktycznie rzecz biorąc,
polegają na różnicach w liczbie wariantów dopuszczalnych, jakie należy porównywać.
Ponieważ porównanie wariantów układu wymaga symulacji każdego z nich, co jest zadaniem
czasochłonnym, dla dużej liczby wariantów porównywanie ich może być nieopłacalne. Jest to
problem typowy dla większości praktycznych zagadnień optymalizacyjnych. Na ogół
poszukuje się w takich przypadkach metod, które by pozwalały zredukować liczbę wariantów
poddawanych szczegółowej analizie. Udaje się to wtedy, gdy można określić reguły
wyznaczania wariantu nie gorszego od ostatnio zbadanego, oraz gdy są określone metody
rozpoznania rozwiązania optymalnego (reguły stopu algorytmu optymalizacyjnego). W takich
przypadkach proces wymiarowania układu można próbować w całości zautomatyzować.
Przykładem zadania wymiarowania, które można zautomatyzować, tzn. sformułować
algorytm optymalizacyjny do zrealizowania przez komputer, jest wyznaczenie
najefektywniejszego obciążenia ruchowego w ustalonym kierunku zmian tego obciążenia.
Kierunek zmian obciążenia ruchowego może być na przykład określony warunkiem:
„ustalone prawdopodobieństwa następstw dla każdej pary pociągów”, przy czym
następstwem (i, j) nazywa się zdarzenie, że po pociągu kategorii i jako następny zgłosi się
do układu pociąg kategorii j.
Ponieważ ustalone są prawdopodobieństwa następstw dla każdej pary pociągów, to
intensywność zgłoszeń można określać jedną zmienną r - średnią liczbą pociągów w
ustalonym okresie. Niech ri (i = 1, 2,...) oznaczają intensywności zgłoszeń do układu
spełniającego powyższe ustalenia, a F(ri) oznaczają odpowiadające im wartości względnej
płynności ruchu określonej wzorem (6.4). Zakłada się dodatkowo, że ri +1 − ri = k l
(k l > 0, l = 1, 2,...) oraz że warunek
F (ri ) < F (ri +1 )
(6.30)
jest prawdziwy dla l = 1.
W łatwy sposób można sformułować algorytm poszukiwania najbardziej
efektywnego obciążenia:
TPR6-174
0) ustalić wartość początkową r1 i k1;
1) znaleźć najmniejszy wskaźnik j, dla którego warunek (6.30) nie jest spełniony;
2) zmniejszyć krok zmian intensywności ruchu, np. wyznaczyć k l +1 = k l 2 ;
3). sprawdzić czy k l +1 jest większe od z góry zadanej dokładności szacowania
optimum; jeżeli tak, to powtórzyć powyższą sekwencję czynności od punktu l, dla kroku
k l +1 i nowego punktu początkowego r1 = r j ,gdzie j jest wskaźnikiem znalezionym w
czynności l, jeżeli nie, to rozwiązaniem optymalnym jest rj, gdy F (r j ) > F (r j + k l +1 ) lub
r j + k l +1 - w przeciwnym przypadku.
Powyższy algorytm numerycznego poszukiwania ekstremum bardzo regularnej
funkcji jednej zmiennej {rys. 6.7) jest chyba najprostszym zadaniem algorytmicznej
optymalizacji, a w przypadku wymiarowania układów byłby prostym zadaniem, gdyby
nie utrudnienie polegające na tym, że nie ma możliwości otrzymania dokładnych
wartości funkcji kryterium F(r), a jedynie można otrzymać za pomocą symulacji
estymatory tych wartości obarczone błędem losowym. Z tego powodu pozornie proste, a
nawet wręcz banalne zagadnienie wyznaczenia optymalnego obciążenia ruchowego w
ustalonym kierunku, stanowi trudny problem numeryczno-statyczny.
)
Rysunek 6.9 ilustruje wahania wartości estymatorów F (ri ) dla węzła torowego przy
ustalonym kierunku wzrostu obciążenia.
)
F (ri )
ri
)
Rys.6.9 Rozmieszczenie wartości estymatorów F (ri ) dla węzła torowego. Przykład z
przeprowadzonych doświadczeń symulacyjnych
Wahania losowe, widoczne na rysunku 6.9, rosną w miarę wzrostu intensywności
zgłoszeń (wzrost intensywności zgłoszeń w doświadczeniach, które wykorzystano dla
ilustracji wahań wartości estymatorów F (ri ) - rys. 6.9, nie odbywał się wg przedstawionego
wyżej algorytmu - ilustracja pochodzi z okresu pierwszych doświadczeń symulacyjnych
(Woch, 1974b)Tak więc, aby znaleźć w sposób numeryczny najefektywniejsze obciążenie,
)
)
należy „wygładzić” przebieg empirycznej funkcji F (r ) . Wygładzanie F (r ) przebiegu
wymaga zwiększenia liczby doświadczeń symulacyjnych, co z praktycznego punktu
)
widzenia jest niepożądane, gdyż czas obliczeń jednej wartości F (ri ) jest duży. Dla układów
złożonych w niewielkim stopniu czas ten wynosi kilka minut pracy komputera klasy ODRA
1204 lub ODRA 1325, ale dla układów bardzo złożonych czas ten sięga kilkudziesięciu, a w
skrajnych przypadkach praktycznych - kilkuset minut (układy wielkie).
TPR6-175
Sposób postępowania przy wyznaczaniu optymalnej struktury układu zależy od
dokładności, jakiej się żąda od oszacowania optimum. Na przykład przy wyznaczaniu
najefektywniejszego obciążenia układu w ustalonym kierunku praktycznie najdalej idącym
wymaganiem co do dokładności wymiarowania może być dokładność do jednego pociągu w
ustalonym okresie, zwykle w dobie. Jest to na ogół warunek zmuszający do znacznej liczby
doświadczeń symulacyjnych i złożonych zabiegów. Dla różnych typów układów stosuje się w
takich przypadkach różne sposoby postępowania, ponieważ np. dokładność oszacowania
najefektywniejszego obciążenia węzła torowego do 1 pociągu w dobie wymaga innego podejścia
niż np. taka sama dokładność oszacowania najefektywniejszego obciążenia w przypadku
układu rozrządowego. W pierwszym przypadku zmiana intensywności zgłoszeń o l pociąg w
dobie jest zmianą niewielką, praktycznie niedostrzegalną w reakcji modelu, ponieważ średni
czas obsługi pociągu przez węzeł torowy jest mały w stosunku do doby. W drugim przypadku
- dla układu rozrządowego - zmiana intensywności zgłoszeń o l pociąg w dobie może być
stosunkowo znaczną zmianą, ponieważ czas obsługi w poszczególnych fazach układu
rozrządowego bywa tu większy w odniesieniu do doby.
Dla zadania wyznaczenia najefektywniejszego obciążenia ruchowego w ustalonym
kierunku stosuje się sposób, który można nazwać „podejściem z dwóch stron”: Idea tego
sposobu polega na tym, aby dla każdego oszacowania optimum niezależnie powtórzyć
obliczenia symulacyjne "podchodząc z drugiej strony” do optimum. To znaczy, w pierwszej
fazie ciąg {ri} intensywności zgłoszeń, któremu dla pierwszych wyrazów odpowiada rosnący
)
ciąg estymatorów F (ri ) (podejście z lewej strony do optimum), a w drugiej fazie
)
przeprowadza się symulacje dla malejącego ciągu ri' - odpowiedni ciąg F ri' jest rosnący dla
pierwszych wyrazów - (podejście z prawej strony do optimum).
Jeżeli w niezależnym powtórzeniu obliczeń w dwóch fazach otrzyma się ten sam
przedział zawierający optimum, to dopiero wtedy uważa się ten przedział za oszacowanie.
Następnie zmniejsza się krok zmian intensywności zgłoszeń i ponownie stosuje się tę samą
procedurę, aż do osiągnięcia żądanej dokładności. W przypadku gdy nie otrzyma się tego
samego wyniku powtarza się obliczenia od punktu, zależnego od wyniku drugiej fazy.
Poszukiwanie najefektywniejszego obciążenia udaje się więc jeszcze zautomatyzować.
Ogólnie rzecz biorąc w łatwy sposób można automatyzować rozwiązywanie zadań
pierwszego stopnia komplikacji, tj. zadań wyboru najlepszego wariantu układu ze
skończonej, praktycznie małej liczby wariantów dopuszczalnych.
Można również automatyzować zadania drugiego stopnia komplikacji, tzn. wyznaczać,
optymalną strukturę układu w zadanym kierunku - najefektywniejszą intensywność
zgłoszeń w zadanym kierunku zmian, optymalną liczbę torów grup stacyjnych przy
ustalonych pozostałych parametrach itp. - co jednak wymaga konstruowania dość
czasochłonnych algorytmów, ale jest jeszcze efektywne.
Trudno jednak automatyzować rozwiązywanie zadań trzeciego stopnia komplikacji
tj. - ogólnie rzecz biorąc - w sposób algorytmiczny optymalizować układy ze względu na
wiele zmiennych jednocześnie. Z teoretycznego punktu widzenia automatyzacja
rozwiązywania zadań trzeciego stopnia komplikacji jest możliwa, jednak z
praktycznego punktu widzenia - nieefektywna.
W praktyce najczęściej występują zadania pierwszego stopnia komplikacji, rzadko
- drugiego. Zadania trzeciego stopnia komplikacji dotychczas w ogóle nie były
stawiane w praktyce kolejowej. Jest to jeszcze jeden argument przeciwko algorytmizacji
zadań trzeciego stopnia, które - jeżeli już się pojawią - mogą być rozwiązywane z
wykorzystaniem symulacji w sposób nieautomatyczny.
Optymalizacja modeli probabilistycznych jest ostatnio szybko rozwijającym się
kierunkiem zastosowań matematyki, patrz np. Zieliński (1974). Występują tu
jednocześnie problemy z różnych dziedzin - statystyki matematycznej, teorii procesów
stochastycznych, metod numerycznych. Między innymi i z tego względu optymalizacja
{}
TPR6-176
( )
modeli probabilistycznych, a więc również układów, jest trudnym problemem,
wymagającym jeszcze wielu badań. Powyżej jedynie zasygnalizowano niektóre z nich.
Pełne przedstawienie wszystkich zagadnień oraz propozycji ich rozwiązań stanowi
samodzielną grupę tematyczną, nie mieszczącą się w ramach niniejszej pracy.
TPR6-177

Metody symulacyjne Systemu Oceny Układów Torowych (SOUT)

Transkrypt

Podobne dokumenty

Nazwa: Dyspozytor ruchu kolejowego Kod: 831212 Synteza

Pojedzie do Brukseli

amatorska liga piłki nożnej na osiedlu bukowym sezon 2015-2016

Zastępca Dyrektora ds. Rozkładów Jazdy Ireneusz Kluczyk Centrum

Lufthansa PDF - rozklad jazdy AIRail stacji Kassel

stern projekt specjalista ds. obsługi klienta niemieckojęzycznego

1 Zmiana nr 2 z dnia 18 maja 2015 r. wprowadzona w Regulaminie

Stawki jednostkowe opłaty podstawowej i opłat dodatkowych za

KOMUNIKAT PRASOWY nr 49/13 - curia