Ciąg liczbowy. Granica ciągu

Transkrypt

Temat:
Ciąg liczbowy. Granica ciągu
Kody kolorów:
Ŝółty – nowe pojęcie
pomarańczowy - uwaga
Anna Rajfura, Matematyka – semestr 1, WSZiM w Sochaczewie
1
Pojęcie ciągu – przykłady
Przykład 1. Ciąg ulubieńców
1.
2.
3.
4.
5.
elementy ciągu
2
Pojęcie ciągu – przykłady
Przykład 1. Ciąg ulubieńców
1.
2.
3.
4.
5.
ciąg nieliczbowy
3
Pojęcie ciągu – przykłady cd.
Przykład 2. Ciąg czynności
wykonywanych przy robieniu
kanapki:
1. posmarować chleb masłem
2. połoŜyć ser, wędlinę, itp.
3. połoŜyć plasterek pomidora,
ogórka, itp.
elementy ciągu to wymienione czynności
4
Przykład 2. Ciąg czynności
wykonywanych przy robieniu
kanapki:
1. posmarować chleb masłem
2. połoŜyć ser, wędlinę, itp.
3. połoŜyć plasterek pomidora,
ogórka, itp.
ciąg nieliczbowy
5
Przykład 3a. Ciąg kolejnych liczb
pierwszych mniejszych od 10
1.
2.
3.
4.
2
3
5
7
ciąg liczbowy skończony
6
Przykład 3b. RóŜne ciągi liczb
2.
3.
4.
1.
2
3
5
7
1.
2.
3.
4.
5
3
7
2
7
Przykład 4. Ciąg kolejnych liczb
parzystych dodatnich
1.
2.
3.
4.
...
2
4
6
8
...
ciąg liczbowy nieskończony
8
Definicja ciągu
Ciąg to funkcja określona na
zbiorze N + lub jego skończonym
podzbiorze { 1, 2, ..., m }
o wartościach w zbiorze R , ozn.:
f :
+
N →R
Ozn.:
N + – zbiór liczb naturalnych dodatnich
R – zbiór liczb rzeczywistych
9
Oznaczenia – przykład
2
f (x ) = x +1
n
n
2
oznaczenie
argumentu
funkcji
10
Oznaczenia – przykład
2
f (x ) = x +1
n
n
2
oznaczenie
argumentu
funkcji
2
f (n ) = n +1
11
Oznaczenia – przykład cd.
2
f (x ) = x +1
a
oznaczenie
wartości
funkcji
12
2
f (x ) = x +1
2
a (n ) = n +1
13
2
f (x ) = x +1
2
a (n ) = n +1
oznaczenie
wartości
funkcji
2
an = n +1
14
Terminologia na przykładzie cd.
2
an = n +1
indeks wyrazu
a n – wyraz ogólny ciągu, n - ty
wyraz ciągu (wartość funkcji
dla argumentu n )
15
Oznaczenia cd.
Ciąg o wyrazie ogólnym a n
( a n ), { a n }
16
Komentarz do przykładów
( a n ) – ciąg kolejnych liczb
1.
2.
3.
4.
2
3
5
7
ciąg liczbowy skończony
Ciąg określony na zbiorze
skończonym {1, 2, 3, 4 }
17
Komentarz do przykładów cd.
( b n ) ciąg liczb parzystych
dodatnich
1.
2.
3.
4.
2
4
6
8
...
...
ciąg liczbowy nieskończony
Ciąg określony na zbiorze
+
nieskończonym {1, 2, 3, 4, ... }= N
18
Przykłady określenia ciągu
1. Wyraz ogólny ciągu dany
wzorem
2n + 1
an =
dla n = 1, 2, 3, K
3
19
Przykłady określenia ciągu
1. Wyraz ogólny ciągu dany
wzorem
2n + 1
an =
dla n = 1, 2, 3, K
3
Wyznaczanie wyrazów ciągu:
2 ⋅1+ 1
2⋅2 +1 5
a1 =
= 1, a2 =
= ,
3
3
3
2⋅3+1 7
a3 =
= ,
3
3
K
20
Przykłady określenia ciągu cd.
2. Ciąg opisany warunkiem
( b n ) – ciąg kolejnych liczb
pierwszych
b1 = 2, b2 = 3, b3 = 5, K
bn – nie dzieli się przez Ŝaden
wcześniejszy wyraz ciągu (bn )
bn = ?
21
Przykłady określenia ciągu, cd.
3. Ciąg opisany wzorem rekurencyjnym
c1 = 1

c n +1 = c n + 8n
c 2 = c1 + 8 ⋅ 1 = 9,
c 3 = c 2 + 8 ⋅ 2 = 9 + 16 = 25, K
Dowodzi się (indukcyjnie), Ŝe
c n = (2n − 1) ,
2
n = 1, 2, 3, K
22
Ciąg arytmetyczny – definicja
Ciąg (an ) nazywamy arytmetycznym,
gdy:
(wzór rekurencyjny)
a1 dany

an +1 = an + r ,
n = 1, 2, 3, K
r ∈R
r – róŜnica ciągu arytmetycznego
(wzór na wyraz ogólny)
an = a1 + (n − 1) ⋅ r ,
n = 1, 2, 3, K,
r ∈R
23
Ciąg arytmetyczny – przykład
a1 = 4

an +1 = an + 2
róŜnica r = 2
a2 = 6,
a3 = 8,
K
an = 4 + (n − 1) ⋅ 2,
n = 1, 2, 3, K
an = 4 + n ⋅ 2 − 2 = 2n + 2,
n = 1, 2, 3, K
24
Ciąg geometryczny – definicja
Ciąg (an ) nazywamy geometrycznym,
gdy:
(wzór rekurencyjny)
dany
a1

an +1 = an ⋅ q ,
q ∈ R − {0},
q – iloraz ciągu geometrycznego
(wzór na wyraz ogólny)
an = a1 ⋅ q
n −1
,
n = 1, 2, 3, K ,
q ∈ R − {0}
25
Ciąg geometryczny – przykład
a1 = 4

1
a
=
 n +1 3 an
q =
iloraz
a2 =
4
3
,
1
3
a3 =
4
9
 1
an = 4 ⋅  
3
a3 =
,
4
27
,K
n −1
,
n = 1, 2, 3, K
26
Granica ciągu – idea
Przykład 1.
an = n1
1,5
n
an
1
1
2
3
4
1/2 1/3 1/4
an
1
0,5
0
n
0
1
2
3
4
5
an → 0
27
Granica ciągu – idea cd.
Przykład 2.
an = n
5
4
3
2
1
0
n
an
1
1
2
2
3
3
4
4
an
n
0
1
2
3
4
5
an → + ∞
28
Granica ciągu – idea cd.
Przykład 3.
n +1
an = (−1) ⋅ n
n
an
1
1
2
-2
3
3
4
-4
an
3
2
1
0
-1
-2 0
-3
-4
n
1
2
3
4
5
6
an → ?
29
Granica ciągu – oznaczenia
Przykład
an → 0
czyt.: granicą ciągu an jest liczba 0
30
Granica ciągu – oznaczenia cd.
Przykład
an → 0
limes (łac.) – granica
31
Przykład
an → 0
limes (łac.) – granica
zapis:
lim an = 0
n→ ∞
32
Ogólniej:
an → g
czyt.: granicą ciągu an jest liczba g
zapis:
lim an = g
n→ ∞
33
Granica ciągu – definicja *
Liczba rzeczywista g jest granicą
ciągu (an ), wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ ∃ ∀
ε > 0 k ∈N + n > k
an − g < ε
34
Granica ciągu – definicja *
Zapis:
def
lim an = g ⇔
n →∞
∀ ∃ ∀
ε > 0 k ∈N + n > k
an − g < ε
35
Twierdzenia o granicach ciągów
lim
n→ ∞
lim c = c ,
n→ ∞
1
n
=0
c = const ,
(1)
c ∈ R (2)
36
Terminologia
(an ) – ciąg zbieŜny, gdy ma granicę
skończoną
Przykłady ciągów zbieŜnych:
a)
an =
b)
bn = c ,
1
n
c ∈ R,
c = const
37
Ciąg rozbieŜny do ∞ – definicja *
Ciąg (an ) jest rozbieŜny do + ∞ wtedy
i tylko wtedy, gdy
∀ ∃ ∀a
M ∈R k ∈N + n > k
n
>M
38
Ciąg rozbieŜny do ∞ – definicja cd. *
Zapis:
(an ) – ciąg
def
lim an = + ∞ ⇔
n →∞
∀ ∃ ∀a
M ∈R k ∈N + n > k
n
>M
39
Ciąg rozbieŜny do – ∞ – definicja *
Ciąg (an ) jest rozbieŜny do – ∞ wtedy
i tylko wtedy, gdy
∀ ∃ ∀a
M ∈R k ∈N + n > k
n
<M
40
Ciąg rozbieŜny do – ∞ – definicja cd. *
Zapis:
(an ) – ciąg
def
lim an = − ∞ ⇔
n →∞
∀ ∃ ∀a
M ∈R k ∈N + n > k
n
<M
41
Twierdzenia o granicach ciągów cd.
lim n = + ∞
(3)
lim n = + ∞
(4)
n→ ∞
n→ ∞
42
Terminologia
(an ) – ciąg rozbieŜny do ∞ ;
ma granicę nieskończoną;
ciąg ma granicę niewłaściwą
Przykłady ciągów rozbieŜnych do ∞:
a)
an = n
b)
bn = n
43
Terminologia cd.
(an ) – ciąg rozbieŜny, gdy granica
ciągu nie istnieje
Przykłady ciągów rozbieŜnych:
a)
b)
an = (− 1)
n +1
⋅n
bn = (− 1)
n
44
lim n = + ∞ ,
gdy k > 0
(5)
lim k = + ∞ ,
gdy k > 1
(6)
gdy k < 1
(7)
k
n→ ∞
n
n→ ∞
lim k = 0 ,
n
n→ ∞
45
Ogólniej:
lim a n = + ∞ , gdy a n → + ∞ , k > 0
k
(8)
lim k
an
= + ∞ , gdy an → + ∞ , k > 1
(9)
lim k
an
= 0 , gdy an → + ∞ , k < 1
n→ ∞
n→ ∞
n→ ∞
(10)
46
lim (1 +
n→ ∞
1
n
)
n
=e
(11)
Ogólniej:
lim (1 +
n→ ∞
1
an
)
an
= e , gdy an → + ∞ (12)
47
Twierdzenia o ciągach zbieŜnych
JeŜeli lim an = a , lim bn = b oraz a, b
n→ ∞
n→ ∞
są skończone, to:
lim (an + bn ) = a + b
(13)
lim (an − bn ) = a − b
(14)
lim (an ⋅ bn ) = a ⋅ b
(15)
n→ ∞
n→ ∞
n→ ∞
lim
n→ ∞
an a
= ,
bn b
gdy
∀b
n ∈N+
n
≠ 0 oraz b ≠ 0
(16)
48
Twierdzenia o ciągach rozbieŜnych
JeŜeli lim a n = + ∞ , lim b n = + ∞ , to
n→ ∞
(
n→ ∞
lim a n + bn
n→ ∞
)
=+∞
(18)
JeŜeli lim a n = − ∞ , lim b n = − ∞ , to
n→ ∞
n→ ∞
lim (an + bn ) = − ∞
n→ ∞
(19)
49
Twierdzenia o ciągach rozbieŜnych cd.
JeŜeli lim a n = + ∞ ,
n→ ∞
lim b n = b ,
n→ ∞
b - skończona, to lim (a n + bn ) = + ∞ (20)
n→ ∞
JeŜeli lim a n = − ∞ ,
n→ ∞
lim bn = b ,
n→ ∞
b - skończona, to lim (an + bn ) = − ∞
n→ ∞
(21)
50
Twierdzenia o ciągach rozbieŜnych, cd.
JeŜeli lim a n = a , a – skończona
n→ ∞
i a ≠ 0 , oraz lim b n = ± ∞ , to
(
)
n→ ∞
lim a n ⋅ b n = ± ∞
n→ ∞
(22)
znak zgodny z regułą znaków
JeŜeli lim an = a , a – skończona,
n→ ∞
an
=0
lim bn = ±∞ , to lim
n→ ∞ b
n→ ∞
n
(23)
znak zgodny z regułą znaków
51
Granica funkcji
Granica funkcji y = f ( x )
w punkcie x 0
Wprowadzenie ...
52
Granica funkcji w punkcie x 0
Niech f : D → R , y = f ( x )
53
y = f (x )
Y
0
X
54
Wprowadzenie ...
Niech f : D → R , y = f ( x )
Wybieramy punkt x 0 ,
x0 ∈ D
lub
x0 ∉ D
55
Rozpatrujemy ciąg argumentów
( x n ) dąŜący do x 0
xn → x0
56
Y
y=f(x)
x0
X
57
y=f(x)
Y
x1
x0
X
58
y=f(x)
Y
x1
x2
x0
X
59
y=f(x)
Y
x1
x2
x3
x0
X
60
y=f(x)
Y
x1
x2
x3
x4 ... x0
X
61
y=f(x)
Y
x1
x2
x3
x4 ... x0
X
62
y=f(x)
Y
y1
x1
x2
x3
x4 ... x0
X
63
y=f(x)
Y
y4
y3
y2
y1
x1
x2
x3
x4 ... x0
X
64
Rozpatrujemy ciąg argumentów
( x n ) dąŜący do x 0
xn → x0
Rozpatrujemy ciąg wartości
(yn)
inaczej ( f ( x n )).
65
Jaka jest granica ciągu
wartości
yn → ?
f (x n ) → ?
66
Jaka jest granica ciągu
wartości
yn → ?
f (x n ) → ?
lim f (x n ) = ?
n→∞
67
Granica funkcji w punkcie x 0 *
Definicja
Niech f : D → R , x 0 – ustalony
punkt, (x 0 ∈ D lub x 0 ∉ D ) ,
( x n ) – dowolny ciąg spełniający
warunki:
68
1. lim x n = x 0
n→∞
2. x n ∈ D
n∈N
i
x n ≠ x 0 dla kaŜdego
+
69
JeŜeli istnieje granica ciągu
wartości funkcji lim f ( x n ) = g
n→∞
niezaleŜna od wyboru ciągu
( x n ), to nazywamy ją granicą
funkcji f w punkcie x 0 i piszemy
lim f ( x ) = g
x → x0
70
Jeśli
lim f ( x ) = + ∞ lub
x → x0
lim f ( x ) = − ∞
x → x0
to mówimy, Ŝe
funkcja f ma w punkcie x 0
granicę niewłaściwą.
Uwaga. x 0 moŜe oznaczać ± ∞
Koniec definicji
71
Przykład 3
1
Da n y je s t wzó r fu n k c ji y = f ( x ) =
x
Df = R − { 0
4
}
3
{ }
zbiór wartości R − 0
2
1
brak miejsc zerowych
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Zapiszemy granice
widoczne na
wykresie
72
Przykład 3 cd.
1
x
4
granica widoczna
na wykresie
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3
4
lim
x →+∞
1
= 0
x
-4
73
Przykład 3 cd.
1
x
4
granica widoczna
na wykresie
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3
4
lim
x →−∞
1
= 0
x
-4
74
Przykład 3 cd.
1
x
4
granica widoczna
na wykresie
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
lim+
= +∞
x→0 x
75
Przykład 3 cd.
1
x
4
granica widoczna
na wykresie
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
lim− = − ∞
x →0 x
76
Asymptoty funkcji
•
asymptota pionowa
•
asymptota pozioma
•
asymptota ukośna *
77
Asymptota pionowa
Y
O
1
2
3
X
78
równanie prostej
x=2
Y
O
1
2
3
X
79
x=2
y = f (x)
Y
O
2
X
80
x=2
y = f (x)
Y
O
2
X
MoŜna zapisać granicę funkcji dla ciągu
argumentów dąŜących do x=2 z lewej strony.
81
lim− f (x) = + ∞
x=2
x →2
y = f (x)
Y
O
2
X
82
Rys. 1
Rys. 2
lim− f (x) = + ∞
lim− f (x) = − ∞
x →2
Y
O
x →2
x=2
y = f (x)
2
X
Y
x=2
y = f (x)
O
2
X
Prosta o równaniu x=2 jest asymptotą lewostronną funkcji f(x).
83
Rys. 1
Rys. 2
lim− f (x) = + ∞
lim− f (x) = − ∞
x →2
Y
O
x →2
x=2
y = f (x)
2
X
Y
x=2
y = f (x)
O
2
X
Prosta o równaniu x=2 jest asymptotą lewostronną funkcji f(x).
84
Rys. 3
Rys. 4
lim+ f (x) = + ∞
lim+ f (x) = − ∞
x →2
Y
O
x →2
x=2
y = f (x)
2
X
Y
x=2
y = f (x)
O
2
X
Prosta o równaniu x=2 jest asymptotą prawostronną funkcji f(x).
85
Rys. 3
Rys. 4
lim+ f (x) = + ∞
lim+ f (x) = − ∞
x →2
Y
O
x →2
x=2
y = f (x)
2
X
Y
x=2
y = f (x)
O
2
X
Prosta o równaniu x=2 jest asymptotą prawostronną funkcji f(x).
86
Prosta o równaniu x=2 jest asymptotą obustronną funkcji f (x).
lim− f (x) = ± ∞ oraz lim+ f (x) = ± ∞
x →2
Y
O
x →2
x=2
y = f (x)
2
X
x=2
y = f (x)
Y
O
2
X
87
Definicja asymptoty lewostronnej
Prostą o równaniu x = a nazywamy asymptotą
pionową lewostronną funkcji y = f (x), gdy
lim− f ( x ) = ± ∞
x→ a
88
Definicja asymptoty prawostronnej
pionową prawostronną funkcji y = f (x), gdy
lim+ f ( x ) = ± ∞
x→ a
89
Definicja asymptoty obustronnej
pionową obustronną funkcji y = f (x), gdy
lim− f ( x ) = ± ∞ oraz
x→ a
lim+ f ( x ) = ± ∞
x→ a
90
Asymptota pozioma
Y
1
O
X
91
równanie prostej
y=1
Y
1
O
X
92
Y
y=1
y = f (x)
1
O
X
93
lim f (x) = 1
x →− ∞
Y
y=1
y = f (x)
1
O
X
94
Rys. 5
Rys. 6
lim f (x) = 1
lim f (x) = 1
x →− ∞
x →− ∞
Y
Y
y = f (x)
y=1
1
O
y = f (x)
y=1
1
X
O
X
Prosta o równaniu y=1 jest asymptotą lewostronną funkcji f (x).
95
Rys. 5
Rys. 6
lim f (x) = 1
lim f (x) = 1
x →− ∞
x →− ∞
Y
Y
y = f (x)
y=1
1
O
y = f (x)
y=1
1
X
O
X
Prosta o równaniu y=1 jest asymptotą lewostronną funkcji f (x).
96
Rys. 7
Rys. 8
lim f (x) = 1
lim f ( x ) = 1
x →+ ∞
x→ + ∞
y=1
Y
y = f (x)
Y
y = f (x)
1
1
O
X
O
X
Prosta o równaniu y=1 jest asymptotą prawostronną funkcji f (x).
97
Rys. 7
Rys. 8
lim f ( x ) = 1
lim f (x) = 1
x→ + ∞
x →+ ∞
y=1
Y
y = f (x)
Y
y = f (x)
1
1
O
X
O
X
Prosta o równaniu y=1 jest asymptotą prawostronną funkcji f (x).
98
Prosta o równaniu y=1 jest asymptotą obustronną funkcji f (x).
lim f ( x ) = 1
x→ ± ∞
y=1
Y
y=1
y = f (x)
Y
1
O
y = f (x)
1
X
O
X
99
Definicje asymptot cd.
Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą
poziomą lewostronną funkcji y = f (x), gdy
lim f ( x ) = b
x→ − ∞
100
poziomą prawostronną funkcji y = f (x), gdy
lim f ( x ) = b
x→ + ∞
101
poziomą obustronną funkcji y = f (x), gdy
lim f ( x ) = b
x→ ± ∞
102
Przykład
Funkcja dana jest wzorem:
1
f ( x) =
1 − x2
Dziedzina:
1 − x2 ≠ 0
1 − x 2 = 0 ⋅ (−1)
x −1 = 0
(x − 1) ⋅ (x + 1) = 0
x = 1 lub x = −1
2
Dziedzina D = R-{ -1, 1 }
103
Przykład cd.
Granice funkcji:
1
lim
2
−
x
1
x → +∞
1
lim
2
x → −∞ 1 − x
1
lim
2
+ 1− x
x →1
1
lim
2
− 1− x
x →1
 1 
=
= 0,

− ∞
 1 
=
= 0,

− ∞
1
1
= lim
=  −  = − ∞,
0 
x →1+ (1 − x ) ⋅ (1 + x )
1
1
= lim
=  +  = + ∞,
0 
x →1− (1 − x ) ⋅ (1 + x )
104
Przykład cd.
Asymptoty (dla argumentów nieujemnych)
x = 1, asymptota pionowa obustronna,
y = 0, asymptota pozioma obustronna.
105
Wykres
Y
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
5
X
-2
-3
106

Ciąg liczbowy. Granica ciągu

Transkrypt

Podobne dokumenty

Regulamin rekrutacji on-line na studia w Wyższej Szkole

Zarządzenieotwiera się w nowym oknie

Wzór strony tytułowej pracy zaliczeniowej „Tytuł pracy”

2.Uchwała nadanie nazwy dla ronda_Braci

Zaświadczenie od pracodawcy - Moduł II

HARMONOGRAM ZJAZDÓW rok szkolny 2010/2011 Szkoły

Badanie fizykochemiczne i bakteriologiczne wody W Powiatowej

Agencja Pracy Tymczasowej RANDSTAD

Zaświadczenie aktywność