Przykład 4

mgr inż. Robert Cypryjański
Mechanika ogólna / Wyznaczenie reakcji w belkach
Zadanie 4. Wyznaczyć wartości reakcji w belce jak na rysunku.
a) Sposób pierwszy: belkę traktujemy jako jedną całość (zalecany dla belki z jednym przegubem).
MA
P=15 kN
M=5 kNm
q=7 kN/m
HA
A
B
C
VA
VC
3
2
5
2
Suma rzutów poziomych składowych wszystkich sił, na oś x.
∑
W przegubie moment zawsze jest równy zero, dlatego możemy skorzystać z następujących równań
równowagi:
Suma momentów względem przegubu B z prawej strony ∑
.
Suma momentów względem przegubu B z lewej strony ∑
.
Suma momentów względem przegubu B dla całości ∑
.
Dzięki sumie momentów względem przegubu B z jego prawej strony, od razu obliczona zostanie wartość Vc.
∑
Należy wziąć pod uwagę obciążenie tylko z prawej strony przegubu. Założono, że reakcja VC kręci
względem punktu B na minusie (znak minus). Reakcja ta działa na ramieniu 5 m. Moment M kręci
względem punktu B w tą samą stronę, co VC (znak minus). Wypadkowa obciążenia równomiernie rozłożonego (która znajduje się w środku ciężkości tego obciążenia) kręci względem punktu B, przeciwnie
niż VC (znak plus). Obciążenie to działa na ramieniu (5+2)/2=3,5 m.
,
VC należy przenieść na drugą stronę znaku równości ze zmienionym znakiem i obustronnie podzielić
przez wartość stojącą przy niewiadomej.
,
,
:
,
,
Dzięki sumie rzutów pionowych składowych wszystkich sił, na oś y, od razu obliczona zostanie war. VA.
∑
Założono, że reakcja VA działa ze znakiem minus (znak minus). Siła P dział przeciwnie niż VA (znak
plus).
Obciążenie równomiernie rozłożone działa przeciwnie niż VA (znak plus). Reakcja VC działa zgodnie z VA
(znak minus).
mgr inż. Robert Cypryjański
Mechanika ogólna / Wyznaczenie reakcji w belkach
VA należy przenieść na drugą stronę znaku równości ze zmienionym znakiem.
,
,
Dzięki sumie momentów względem przegubu B z jego lewej strony, od razu obliczona zostanie war. MA.
∑
Należy wziąć pod uwagę obciążenie tylko z lewej strony przegubu. Założono, że moment MA kręci
względem punktu B na minusie (znak minus). Reakcja VA kręci w tą samą stronę, co MA (znak minus).
Reakcja ta działa na ramieniu 5 m. Siła P kręci przeciwnie niż MA (znak plus). Siła ta działa na ramieniu
2 m.
MA należy przenieść na drugą stronę znaku równości ze zmienionym znakiem.
,
,
b) Sposób drugi: belkę wieloprzęsłową traktujemy jako układ jednoprzęsłowych belek prostych (zalecany przy belce z więcej niż jednym przegubem).
P=15 kN
A
M=5 kNm
q=7 kN/m
HA
A
B
C
VA
VC
3
2
2
5
W przegubie następuje rozcięcie belki wieloprzęsłowej
na dwie belki proste (belkę A-B oraz belkę B-C).
Belka A-B
Belka B-C
Schemat pracy belki.
M=5 kNm
q=7 kN/m
Belka B-C musi opierać się na belce A-B w
miejscu przegubu, zatem należy narysować
ją ponad belką A-B z wirtualną podporą w
miejscu przegubu.
MA
HB
P=15 kN
VB
VC
HB
HA
VB
VA
mgr inż. Robert Cypryjański
Mechanika ogólna / Wyznaczenie reakcji w belkach
Wyznaczenie reakcji podporowych
Obliczenia zaczynamy od belki znajdującej się najwyżej, czyli od belki B-C.
Belka B-C
∑
∑
,
,
,
,
∑
,
,
,
,
Przerzucamy siły VB oraz HB z przeciwnym zwrotem na belkę A-B znajdującą się poniżej.
Belka A-B
∑
∑
,
,
∑
,
,
,