belka

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI
TEMAT: Wyznaczanie przemieszczeń układów prętowych
Zadanie 1.
Dla belki jak na rys. 1 wyznaczyć przemieszczenia punktów:
a) yC;
b) ϕB.
q=10 kN/m; P=20 kN; l=2 m.
P
q
A
B
C
RA
D
RD
RB
l
l
l
l
2l
Rys. 1. Schemat ustroju.
•
Wyznaczenie reakcji podporowych:
∑ M pC : R D ⋅ 2l − q ⋅ 3l ⋅1,5l = 0
R D = 45kN
∑ M lC : R A ⋅ 3l + R B ⋅ l − P ⋅ 2l = 0
∑ Y : R A + R B + R D − P − q ⋅ 3l = 0
R A = 2,5
R B = 32,5
-30
-20
A
B
C
D
+5
+11,25
Rys. 2. Wykres momentów zginających od obciążenia rzeczywistego.
1|Strona
a) wyznaczenie pionowego przemieszczenia przegubu C - ∆yC:
1
A
B
C
D
RB
RA
l
l
RD
l
l
2l
Rys. 3. Schemat ustroju z obciążeniem wirtualnym.
•
Wyznaczenie reakcji podporowych:
∑Y : R + R + R
∑ M : R ⋅ 3l + R
A
l
C
∑M
p
C
B
A
D
B
=1
⋅l = 0
: R D ⋅ 2l = 0
R A = −0,5
RB = 1
RD = 0
-2
-1
A
B
C
D
Rys. 4. Wykres momentów zginających wywołanych obciążeniem wirtualnym.
•
Obliczenie zadanego przemieszczenia:
1 ⋅ yC = ∫
Mi ⋅ M p
s


1 

=
EJ 


ds =
EJ
2
1
1
-
-
-
+
2
2
30
+
2|Strona
+
5
2
5
+
30
-
2




 1 
=

 EJ 




2
1
1
-
+
2
2
1
-
+
2
-
-
+
2
35
+
5
+
5
2
2
30
-







=

2
2  1
1  1
2
1 1


⋅ (− 1) ⋅ 2 ⋅ ⋅ 5 + 5 ⋅ 2 ⋅  − 1 − ⋅1 + ⋅ 2 ⋅ (− 35) ⋅  − 1 − ⋅1 + ⋅ 2 ⋅ (− 2 ) ⋅ ⋅ (− 30) =

3
3  2
2  2
3
EJ  2



175
1  10
 1
− − 15 +
+ 40 =
⋅ 80

3
EJ  3
 EJ
EJ = 2,1 ⋅10 5 MPa ⋅ 2140cm 4 = 2,1 ⋅10 8 kN / m 2 ⋅ 2,14 ⋅10 −5 m 4
=
EJ = 4494kNm 2
yC =
80kNm3
= 0, 0178m = 1, 78cm
4494kNm 2
b) wyznaczenie obrotu węzła B - ϕB:
1
A
B
C
D
RB
RA
l
l
RD
l
l
2l
Rys. 5. Schemat ustroju z obciążeniem wirtualnym.
•
Wyznaczenie reakcji podporowych:
∑Y:R + R + R
∑ M : R ⋅ 3l + R
∑ M : R ⋅ 2l = 0
A
B
l
C
A
p
C
D
D
B
=0
⋅ l +1 = 0
R A = −0,25
R B = 0,25
RD = 0
-1
-0,5
A
B
C
D
Rys. 6. Wykres momentów zginających wywołanych obciążeniem wirtualnym.
3|Strona
Obliczenie zadanego przemieszczenia:
•
1 ⋅ ϕB = ∫
Mi ⋅ M p
s


1 

=
EJ 


EJ
ds =
1
0,5 0,5
-
+
2
30
2
+
+
5
5




 1 
=

 EJ 




1
0,5
0,5
-
+
2
1
0,5
-
+
2
2
35
+
5
+
5
=
1 1
2
1  1
2 
 1
 1
⋅ ( −0,5 ) ⋅ 2 ⋅ ⋅ 5 + 5 ⋅ 2 ⋅  − ⋅ 0,5 − ⋅ 1 + ⋅ 2 ⋅ ( −35) ⋅  − ⋅ 0, 5 − ⋅1  =

EJ  2
3
2  2
3 
 2
 3
=
1  5
175  1
− − 7,5 +
=
⋅ 20

EJ  3
6  EJ
EJ = 4494kNm 2
ϕB =
20kNm 2
= 0, 00445rad = 0, 255° = 0°15′
4494kNm 2
4|Strona






