Przykładowe zadania projektowe

PRZYKŁADOWE TEMATY ZADAŃ PROJEKTOWYCH
Z PRZEDMIOTU EWOLUCYJNE METODY OPTYMALIZACJI
1. Rozwiązać zadanie zadania załadunku (plecakowego) z ograniczeniami na
dopuszczalne wymiary oraz ciężar [3]:
a) algorytmem symulowanego wyżarzania.
b) algorytmem genetycznym
c) strategią ewolucyjną (µ, λ)
d) strategią ewolucyjną (µ+λ)
e) programowaniem ewolucyjnym
2. Rozwiązać zadanie zbierania plonów oraz zadanie pchania wózka [3]:
a) algorytmem symulowanego wyżarzania.
b) algorytmem genetycznym
c) strategią ewolucyjną (µ, λ)
d) strategią ewolucyjną (µ+λ)
e) programowaniem ewolucyjnym
3. Rozwiązać problem komiwojażera:
a) algorytmem symulowanego wyżarzania.
b) algorytmem genetycznym
c) strategią ewolucyjną (µ, λ)
d) strategią ewolucyjną (µ+λ)
e) programowaniem ewolucyjnym
W rozwiązywanym problemie przyjąć, iż nie wszystkie połączenia między dowolnymi
miastami są dopuszczalne. Zastosować odpowiednia reprezentację rozwiązania.
Przyjąć funkcje kryterialną złożoną z kilku wskaźników np. droga, czas, opłaty za
przejazd itp.
4. Zrealizować algorytm z podejściem ewolucyjnym dobierający parametry regulatora
PID dla wybranego obiektu opisanego w dziedzinie czasu ciągłego. Jako kryteria
poszukiwań przyjąć odpowiednie wskaźniki charakterystyk czasowych lub
częstotliwościowych. Dla uzyskanych najlepszych rozwiązań przeprowadzić
symulacje z uzyskanymi w sposób genetyczny regulatorami. Przeprowadzić analizę
porównawczą zaprojektowanego regulatora z klasycznym (tzn. zaprojektowanym na
podstawie np. metod Zieglera-Nicholsa) w warunkach zakłóceń systemowych,
pomiarowych, niepewności modelu obiektu.
5. Zastosować algorytm
transportowego [3].
ewolucyjny
do
rozwiązywania
liniowego
zadania
6. Skonstruować algorytm ewolucyjny do planowania drogi w środowisku ruchomego
robota [2, 3]. Program powinien wczytywać mapy (przykładowe środowiska z
1
przeszkodami, w którym miałby się poruszać się robot) dwuwymiarowe oraz punkty
startowe i końcowe trasy. Drogę robota przykładowo budować z kawałków linii
prostych. Ponadto należy zaprezentować na bieżąco najlepsze znalezione rozwiązania.
7. Wyznaczyć optymalne parametry algorytmów ewolucyjnych dla zadań
„benchmarkowych” (Dodatek 2) przyjmując odpowiedni rodzaj kodowania, metodę
selekcji, operacje krzyżowania i mutację oraz strategię podstawień.
8. Zastosować algorytm z kodowaniem wielopoziomowym (HGA) do identyfikacji
strukturalnej i parametrycznej danego procesu.
9. Zastosować algorytm z kodowaniem wielopoziomowym (HGA) projektowania
regulatorów w dziedzinie czasu ciągłego.
Dodatek 1
Krótkie opisy rozważanych zadań optymalizacji (więcej w cytowanej literaturze):
a) zadanie załadunku polega na doborze dla ustalonego zbioru artykułów (rzeczy) wraz z ich
wartościami i rozmiarami (lub wagami), takiego podzbioru artykułów, aby suma ich rozmiarów
(wag) nie przekraczała zadanego ograniczenia (pojemności lub dopuszczalnej ładowności
plecaka) oraz by suma ich wartości była maksymalna.
Problem można zdefiniować w następujący sposób. Niech istnieje plecak o zadanej
dopuszczalnej ładowności C > 0 oraz N > 0 artykułów. Każdy i-ty artykuł posiada wartość
vi oraz wagę wi . Należy znaleźć taki wektor binarny x = [ x1 x2 K xN ] ( xi = 1 oznacza
wybrany artykuł do plecaka, zaś xi = 0 reprezentuje brak artykułu w plecaku), aby
nienaruszone było następujące ograniczenie
N
∑x w
i
i
≤C
i =1
oraz by wartość wskaźnika wartości plecaka była maksymalna
N
∑x v
i i
i =1
Przyjąć liczbę artykułów N kolejno 100, 250 i 500. Wagi artykułów wygenerować losowo (z
rozkładem równomiernym) z przedziału [1,10]
b) problem zbierania plonów definiuje się jako następujące zadanie maksymalizacji
N −1
J = ∑ uk
k =0
przy ograniczeniu będących równaniem wzrostu
x k +1 = ax k − u k ,
2
oraz ograniczeniu równościowym
x0 = xN
gdzie x0 jest stanem początkowym, a oznacza pewna stałą, zaś xk ∈R , uk ∈R + reprezentują
odpowiednio stan i (nieujemne) sterowanie. Do rozwiania zadania przyjąć następujące parametry:
a = 1.1 , x0 = 100 i N = 2, 4,10, 20, 45 .
c) zadanie pchania wózka określone jest jako problem maksymalizacji całkowitej drogi
przebytej w zadanym czasie po odjęciu całkowitego wysiłku. Dyskretny model stanowy
opisujący taki problem wyraża się następująco
x1 (k + 1) = x2 (k ),
1
u k (k ),
N2
jako kryterium poszukiwań przyjmuje się następujący wskaźnik jakości sterowania
x 2 (k + 1) = 2 x 2 (k ) − x1 (k ) +
J = x1 ( N ) −
1
2N
N −1
∑u
2
(k ),
k =0
Zadanie rozwiązać dla następujących parametrów, N = 5,10,15, 20, 25, 30, 35, 40, 45
Dodatek 2. Funkcje benchmarkowe.
n
2.1.
Model sfery f ( x) = ∑ x i2 .
i =1
Dziedzina poszukiwań: − 100 ≤ x i ≤ 100, i = 1,2,..., n .
Globalne minimum dla f (0,0,...,0) = 0 .
2.2.
n
n
i =1
i =1
Funkcja Schwefel'a nr. 1 f ( x) = ∑ x i + ∏ x i .
Dziedzina poszukiwań: − 10 ≤ x i ≤ 10, i = 1,2,..., n .
Globalne minimum dla f (0,0,...,0) = 0 .
2.3.
Funkcja Schewfel'a nr.2 f ( x) = max{ x i , 1 ≤ i ≤ n }.
i
Dziedzina poszukiwań: − 100 ≤ x i ≤ 100, i = 1,2,..., n .
Globalne minimum dla f (0,0,...,0) = 0 .
n
2.4.
(
Funkcja Schewfel'a nr.3 f ( x) = −∑ x i sin
i =1
(
xi
))
Dziedzina poszukiwań: − 500 ≤ x i ≤ 500, i = 1,2,..., n .
Globalne minimum dal f (420.9687,420.9687,...,420.9687) = −12569.5 .
3
2
 i

Funkcja Schewfel'a nr.4 f ( x) = ∑  ∑ x j 
i =1  j =1

Dziedzina poszukiwań: − 100 ≤ x i ≤ 100, i = 1,2,..., n .
Globalne minimum dla f (0,0,...,0) = 0 .
n
2.5.
n −1
2.6.
[
Funkcja Rosenbrock'a f ( x) = ∑ 100( x i +1 − x i2 ) 2 + ( x i − 1) 2
i =1
]
Dziedzina poszukiwań: − 30 ≤ x i ≤ 30, i = 1,2,..., n
Globalne minimum dla f (1,1,...,1) = 0
n
2.7.
Funkcja skokowa f ( x) = ∑ ( x i + 0.5 )
2
i =1
Dziedzina poszukiwań: − 100 ≤ x i ≤ 100, i = 1,2,..., n
Globalne minimum dla f (0,0,...,0) = 0
n
2.8.
Zaszumiona funkcja czwartego stopnia f ( x) = ∑ ix i4 + random[0,1)
i =1
Dziedzina poszukiwań: − 1.28 ≤ x i ≤ 1.28, i = 1,2,..., n
Globalne minimum dla f (0,0,...,0) = 0
n
2.9.
[
Funkcja Rastrigin'a f ( x) = ∑ x i2 − 10 cos(2πx i ) + 10
i =1
]
Dziedzina poszukiwań: − 5.12 ≤ x i ≤ 5.12, i = 1,2,..., n
Globalne minimum dla f (0,0,...,0) = 0
2.10. Funkcja Ackley'a

1 n 2
f ( x) = −20 exp − 0.2
xi
∑

n
i
=
1

n

 − exp 1 ∑ cos(2πx i )  + 20 + exp(1)

 n i =1


Dziedzina poszukiwań: − 32 ≤ x i ≤ 32, i = 1,2,..., n
Globalne minimum dla f (0,0,...,0) = 0
2.11. Funkcja Griewank’a f ( x) =
x 
1 n 2 n
x i − ∏ cos i  + 1
∑
4000 i =1
i =1
 i
Dziedzina poszukiwań: − 600 ≤ x i ≤ 600, i = 1,2,..., n
Globalne minimum dla f (0,0,...,0) = 0
4


 1

25
1

2.12. Funkcja „wilcze doły” f ( x) = 
+∑
2
 500 j =1
6 
j + ∑ ( x i − a ij ) 

i =1


−1
gdzie aij oznaczają elementy następującej macierzy
0
16
32 − 32 K 0 16 32
− 32 − 16
A=

− 32 − 32 − 32 − 32 − 32 − 16 K 32 32 32
Dziedzina poszukiwań: − 65.536 ≤ x i ≤ 65.536, i = 1,2
Globalne minimum dla f (−32, − 32) ≈ 1

x (b 2 + bi x 2 ) 
2.13. Funkcja Kowalik'a f ( x) = ∑ a i − 21 i

bi + bi x 3 + x 4 
i =1 
11
2
gdzie współczynniki ai , bi przyjmują następujące wartości
i
ai
bi−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.1957
0.1947
0.1735
0.1600
0.0844
0.0627
0.0456
0.0342
0.0323
0.0235
0.0246
0.25
0.5
1
2
4
6
8
10
12
14
16
Dziedzina poszukiwań: − 5 ≤ x j ≤ 5, j = 1,2,3,4
Globalne minimum dla f (0.1928, 0.1908, 0.1231, 0.1358) ≈ 0.0003075
2.14. Funkcja „sześciogarbnego wielbłąda” f ( x) = 4 x12 − 2.1x14 +
1 6
x1 + x1 x 2 − 4 x 22 + 4 x 24
3
Dziedzina poszukiwań: − 5 ≤ x i ≤ 5, i = 1,2
Globalne minimum dla: f (0.08983, − 0.7126) = −1.0316285 oraz
f (−0.08983, 0.7126) = −1.0316285
2
5 .1 2 5
1 



x1 + x1 − 6  + 101 −
2.15. Funkcja Branin’a f ( x) =  x 2 −
 cos x1 + 10
2
π
4π


 8π 
Dziedzina poszukiwań: − 5 ≤ x1 ≤ 10, 0 ≤ x 2 ≤ 15
5
Global minimum dla: f (−3.142, 12.275) = 0.398 , f (3.142, 2.275) = 0.398 oraz
f (9.425, 2.425) = 0.398
2.16. Funkcja Goldstein’a-Price’a
f ( x) = [1 + ( x1 + x 2 + 1) 2 (19 − 14 x1 + 3 x12 − 14 x 2 + 6 x1 x 2 + 3x 22 )]
⋅[30 + (2 x1 − 3 x 2 ) 2 (18 − 32 x1 + 12 x12 + 48 x 2 − 36 x1 x 2 + 27 x 22 )]
Dziedzina poszukiwań: − 2 ≤ x1 ≤ 2, i = 1,2
Globalne minimum dla f (0, − 1) = 3
4
 3

2.17. Funkcja Hartman'a nr.1 f ( x) = −∑ c i exp ∑ a ij ( x i − p ij ) 2 
i =1
 j =1

gdzie współczynniki aij , ci oraz pij przyjmują nstępujące wartości
i
ai1
ai 2
ai 3
ci
pi1
pi 2
pi 3
1
2
3
4
3
0.1
3
0.1
10
10
10
10
30
35
30
35
1
1.2
3
3.2
0.3689
0.4699
0.1091
0.03815
0.1170
0.4387
0.8732
0.5743
0.2673
0.7470
0.5547
0.8828
Dziedzina poszukiwań: 0 ≤ x j ≤ 1, j = 1,2,3
Globalne minimum dla f (0.114, 0.556, 0.852) = −3.86
4
 6

2.18. Funkcja Hartman'a nr.2 f ( x) = −∑ c i exp ∑ a ij ( x i − p ij ) 2 
i =1
 j =1

gdzie współczynniki aij , ci oraz pij przyjmują następujące wartości
i
ai1
ai 2
ai 3
ai 4
ai 5
ai 6
ci
pi1
pi 2
pi 3
pi 4
pi 5
pi 6
1
2
3
4
10
0.1
3
17
3
0.05
3.5
8
17
17
1.7
0.05
3.5
0.1
10
10
1.7
8
17
0.1
8
14
8
14
1
1.2
3
3.2
0.1312
0.2329
0.2348
0.4047
0.1696
0.4135
0.1415
0.8828
0.5569
0.8307
0.3522
0.8732
0.0124
0.3736
0.2883
0.5743
0.8283
0.1004
0.3047
0.1091
0.5886
0.9991
0.6650
0.0381
Dziedzina poszukiwań: 0 ≤ x j ≤ 1, j = 1,2,3,4,5,6
Globalne minimum dla f (0.201, 0.150, 0.477, 0.275, 0.311, 0.657) = −3.32
−1
 4

2.19. Funkcja Shekel'a nr.1 f ( x) = −∑  ∑ ( x i − a ij ) 2 + c j 
j =1  i =1

gdzie współczynniki aij i c j przyjmują następujące wartości
5
j
a1 j
a2 j
a3 j
a4 j
cj
1
2
3
4
4.0
1.0
8.0
6.0
4.0
1.0
8.0
6.0
4.0
1.0
8.0
6.0
4.0
1.0
8.0
6.0
0.1
0.2
0.2
0.4
6
5
6
7
8
9
10
3.0
2.0
5.0
8.0
6.0
7.0
7.0
9.0
5.0
1.0
2.0
3.6
3.0
2.0
3.0
8.0
6.0
7.0
7.0
9.0
3.0
1.0
2.0
3.6
0.6
0.6
0.3
0.7
0.5
0.5
Dziedzina poszukiwań: 0 ≤ x i ≤ 10, i = 1,2,3,4
Globalne minimum dla f (4, 4, 4, 4) = −10.15320
 4

2.20. Funkcja Shekel'a nr.2 f ( x) = −∑  ∑ ( x i − a ij ) 2 + c j 
j =1  i =1

7
−1
Dziedzina poszukiwań: 0 ≤ x i ≤ 10, i = 1,2,3,4
Globalne minimum dla f (4, 4, 4, 4) = −10.402820
 4

2.21. Funkcja Shekel'a nr.3 f ( x) = −∑  ∑ ( x i − a ij ) 2 + c j 
j =1  i =1

Dziedzina poszukiwań: 0 ≤ x i ≤ 10, i = 1,2,3,4
Globalne minimum dla f (4, 4, 4, 4) = −10.53628
10
2.22. Funkcja Schaffer'a nr.1 f ( x) = 0.5 +
sin 2
(
−1
x12 + x 22 − 0.5
[1 + 0.001( x
2
1
+ x )]
2
2
)
2
Dziedzina poszukiwań: − 100 ≤ x i ≤ 100, i = 1,2
Globalne minimum dla f (0, 0) = 0
2.23. Funkcja Schaffer'a nr.2 f ( x) = ( x12 + x 22 ) 0.25 [sin(50( x12 + x 22 ) 0.1 ) + 1]
Dziedzina poszukiwań: − 100 ≤ x i ≤ 100, i = 1,2
Globalne minimum dla f (0, 0) = 0
5
5
i =1
i =1
2.24. Funkcja Shubert'a f ( x) = −∑ i cos[(i + 1) x1 + i] ⋅ ∑ i cos[(i + 1) x 2 + i]
Dziedzina poszukiwań: − 10 ≤ x i ≤ 10, i = 1,2
Globalne minimum dla wartości –183.73 w 18 punktach
(
2.25. Funkcja Easom'a f ( x) = − cos( x1 ) cos( x 2 ) exp − ( x1 − π ) 2 − ( x 2 − π ) 2
Dziedzina poszukiwań: − 100 ≤ x i ≤ 100, i = 1,2
Globalne minimum dla f (π , π ) = −1
2.26. Funkcja Bohachevsky'ego nr.1
f ( x) = x12 + 2 x 22 − 0.3 cos(3πx1 ) − 0.4 cos(4πx 2 ) + 0.7
Dziedzina poszukiwań: − 50 ≤ x i ≤ 50, i = 1,2
7
)
Globalne minimum dla f (0, 0) = 0
2.27. Funkcja Bohachevsky'ego nr.2
f ( x) = x12 + 2 x 22 − 0.3(cos(3πx1 ) + cos(4πx 2 ) ) + 0.3
Dziedzina poszukiwań: − 50 ≤ x i ≤ 50, i = 1,2
Globalne minimum dla f (0, 0) = 0
2.28. Funkcja Bohachevsky'ego nr.3
f ( x) = x12 + 2 x 22 − 0.3 cos(3πx1 ) − cos(4πx 2 ) + 0.3
Dziedzina poszukiwań: − 50 ≤ x i ≤ 50, i = 1,2
Globalne minimum dla f (0, 0) = 0
2.29. Coldville's function
f ( x) = 100( x 2 + 2 x12 ) 2 + (1 − x1 ) 2 + 90( x 4 + x 32 ) 2 + (1 − x 3 ) 2 +
(
)
+ 10.1 ( x 2 − 1) 2 + ( x 4 − 1) 2 + 19.8( x 2 − 1)( x 4 − 1)
Dziedzina poszukiwań: − 10 ≤ x i ≤ 10, i = 1,2,3,4
Globalne minimum dla f (1, 1, 1, 1) = 0
Literatura
[1]
[2]
[3]
Arabas J., (2001): Wykłady z algorytmów ewolucyjnych, WNT Warszawa.
Goldberg D. E., (1995): Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, WNT Warszawa.
Michalewicz Z., (1996): Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy
ewolucyjne, WNT Warszawa.
8