Analiza matematyczna modeli reologicznych

Transkrypt

Warsztaty Reologiczne - Kraków 4-5.12.2012
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Analiza matematyczna modeli reologicznych
Anna Ptaszek, Paweł Ptaszek
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, Wydział Technologii Żywności, Katedra
Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego
11 stycznia 2013
1 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Dane
Danymi będziemy nazywać zbiór punktów otrzymanych w
wyniku przeprowadzonego doświadczenia.
Model matematyczny
Modelem matematycznym będziemy nazywać funkcję którą
chcemy dopasować do danych.
2 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Dobór postaci modelu
3 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Poszukiwanie (estymacja) parametrów modelu
3 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Weryfikacja modelu i jego parametrów
3 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Bardzo ważna uwaga: Do jednego zestawu danych
doświadczalnych da się dopasować nieskończenie wiele modeli
matematycznych.
4 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Ogólny podział modeli
Modele teoretyczne. Wynikają one z rozważań
teoretycznych. Przykładem może być równanie Arrheniusa
czy modele używane w liniowej teorii lepkosprężystości model Maxwella, Zenera, Burgera. W tym przypadku
parametry tych modeli posiadają interpretację fizyczną.
5 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Ogólny podział modeli
Modele empiryczne. Model ten ma za zadanie jak najlepiej
przybliżyć dane doświadczalne. Parametry takiego modelu
najczęściej nie posiadają interpretacji fizycznej. Typowym
przykładem może być dopasowanie funkcji wielomianowej.
6 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Kiedy dobierzemy postać modelu możemy przystąpić do
poszukiwania jego parametrów. Najczęściej stosuje się do tego
metodę najmniejszych kwadratów. Metoda ta opiera się na
poszukiwaniu minimum odpowiednio zdefiniowanej funkcji celu.
Właśnie ta funkcja jest źródłem problemów.
7 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Przy poszukiwaniu wartości najmniejszej musimy posłużyć się
twierdzeniem Kuna-Tackera. W wyniku czego możemy
otrzymać dwa typy zagadnień: liniowe i nieliniowe. Zagadnienie
liniowe jest dobrze znane w literaturze pod nazwa regresji
liniowej. NAtomiast w przypadku zagadnienia nieliniowego nie
dysponujemy jednoznaczną metodą rozwiązania. Musimy
posłużyć się metodami minimalizacji numerycznej. I właśnie te
problemy omówimy szczegółowo dla kilku zagadnień
reologicznych.
8 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Metody poszukiwania parametrów modeli reologicznych i
problemy z tym związane
Linearyzacja, czyli sprowadzenie zadania nieliniowego do
postaci liniowej. Najczęściej stosowana do estymacji
parametrów równania Ostwalda.
Dane w postaci zespolonej G ∗ (ω) = G 0 (ω) + j · G 00 (ω) lub
J ∗ (ω) = J 0 (ω) + j · J 00 (ω). Brak standardowego
oprogramowania do analizy tego typu zagadnień.
Rozwiążemy to zagadnienie na dwa sposoby.
9 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Metody poszukiwania parametrów modeli reologicznych i
problemy z tym związane
Analiza szybkości zmian wielkości reologicznej w czasie,
czyli poszukiwanie równań kinetycznych. Badania
szybkości np. żelowania, starzenia itp. Dla prostych
przypadków zagadnienie da się rozwiązać wmiarę prostymi
metodami. My zajmiemy się tymi trudniejszymi.
10 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
W wyniki doświadczeń oscylacyjnych dostajemy zazwyczaj dane
w postaci zespolonej G 0 i G 00 w funkcji częstotliwości.
Najczęściej nasze doświadczenie dodatkowo wykonane było w
zakresie liniowym co umożliwia nam zastosowanie liniowej teorii
lepkospreżystości. Wówczas mamy do dyspozycji kilka modeli:
Maxwella, Burgera, Kelvina-Voigta. Poszukiwanymi
parametrami są tutaj czas relaksacji lub retardacji, jego
intensywność i dodatkowe prametry moduł równowagowy czy
podatność natychmiastowa. Przeanalizujemy szczegółowo
model Maxwella w postaci zespolonej.
11 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Zespolony moduł sprężystośći przedstawia się następująco:
G ∗ (ω) = G 0 (ω) + j · G 00 (ω)
Pojedynczy element Maxwella w postaci zespolonej:
G ∗ (jω) = Ge + h ·
(λω)2
λω
+j ·h·
1 + (λω)2
1 + (λω)2
Poszukiwanymi przez nas parametrami są Ge , λ, h. Wszystkie
parametry posiadają interpretację fizyczną, co oznacza w tym
przypadku że muszą być większe lub równe zero.
12 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Pierwsza metoda estymacji: odwrotna transformacja Fouriera
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
G ∗ (jω) → IFFT → G (t)
Dysponując danymi w dziedzinie czasowej, możemy dopasować
czasową postać modelu Maxwella:
t
G (t) = Ge + h · exp(− )
λ
13 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Pierwsza metoda estymacji: odwrotna transformacja Fouriera
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
G ∗ (jω) → IFFT → G (t)
Dysponując danymi w dziedzinie czasowej, możemy dopasować
czasową postać modelu Maxwella:
t
G (t) = Ge + h · exp(− )
λ
Metoda ta działa tylko w podręcznikach i wymaga dużej liczby
danych (najlepiej żeby ich liczba byłą potęgą liczy 2).
13 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Druga metoda estymacji: sumowanie
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
G ∗ (ω) = G 0 (ω) + j · G 00 (ω)
g (ω) = G 0 (ω) + G 00 (ω)
To samo robimy z modelem Maxwella:
g (ω) = Ge + h ·
(λω) + (λω)2
1 + (λω)2
Następnie wykonujemy dopasowanie.
14 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Opisana poprzednio metoda działa dobrze, ale posiada kilka
bardzo poważnych wad związanych z analizą błędu:
Jeżeli błędy pomiarowe dla części rzeczywistej i urojonej są
takie same to metoda jest poprawna.
Jeżeli błędy pomiarowe dla części rzeczywistej G 0 i
urojonej G 00 są różne to wtedy metody można użyć tylko
poglądowo.
15 / 38
Przykład:
Jednoparametrowy model Maxwella, po lewej znajduje się
”surowe” dopasowanie, po prawej właściwe dopasowanie części
rzeczywistej G 0 i urojonej G 00 .
14
10
9
12
8
G', G", Pa
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
10
G'+G"
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
8
7
6
G'
5
G"
6
4
3
4
2
2
1
0
0
0
10
20
30
40
50
,Hz
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
,Hz
16 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Trzecia metoda estymacji: Wykorzystanie relacji ternarnych
Niektóre języki programowania i programy do tworzenia
wykresów wykorzystują właśnie tego typu relacje. Metoda ta
jest może trudniejsza pojęciowo ale nie posiada wad swoich
poprzedników. Ponadto wymaga kilku zabiegów które trzeba
wykonać na danych. Ale efekt jest bardzo bobry.
17 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Przygotowanie danych:
Tak jak w przypadku sumowania należy stworzyć dwie
kolumny liczb, które będą reprezentować nasze dane
pomiarowe. Pierwsza odpowiadać będzie częstotliwości, a
druga modułom G 0 i G 00 . Jednak wartości częstotliwości
muszą być nieznacznie zmodyfikowane. Do wartości
częstotliwości odpowiadającym G 00 należy dodać wartość
częstotliwości odpowiadającej ostatniej wartości G 0 .
18 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Teraz kolej na przygotowanie naszego modelu:
G 0 (ωi ) = Ge + h ·
G 00 (ωn+i + ωn ) = h ·
(λωi )2
1 + (λωi )2
λ(ωn+i + ωn )
1 + [λ(ωn+i + ωn )]2
gdzie: i = 1, ..., n
19 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Teraz ”sklejamy” naszą funkcję, czyli tworzymy relację
ternarną:
{< G 0 (ωi ), G 00 (ωn+i + ωn ), 0 >}
gdzie: i = 1, ..., n
20 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Zastosujmy teraz to wszystko w praktyce, do tego celu
potrzebujemy:
Gnuplota, programu który jest niezastąpionym do takich
zadań.
Notatnika lub Wordpada albo innego edytora który potrafi
zapisać plik tekstowy.
MS Excela aby przygotować plik z danymi.
Uwaga techniczna: Należy pamiętać o tym, że w Polsce
separatorem dziesiętnym jest przecinek (,) natomiast w krajach
anglosaskich do tego celu używa się kropki (.). Gnuplot
wymaga liczb zmiennopozycyjnych oddzielonych kropką.
21 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
A oto skrypt dla Gnuplota, którym wyznaczymy poszukiwane
parametry:
x1 =0.0999 −> pierwsza częstotliwość
x2 =3.9534 −> ostania częstotliwość
f ( x )=x1 <=x && x< x2 ? ge+h ∗ ( x ∗ t ) ∗∗2/(1+( x ∗ t ) ∗ ∗ 2 ) : ( x1+x2
)<=x && x<(2x2 ) ? h ∗ ( ( x−x2 ) ∗ t ) /( 1+ (( x−x2 ) ∗ t ) ∗ ∗ 2 ) : 0
−> funkcja którą będziemy dopasowywać
4 ge=10 −> wartość startowa do minimalizacji
5 t=10 −> wartość startowa do minimalizacji
6 h=2 −> wartość startowa do minimalizacji
7 fit f ( x ) ’md1’ via ge , h , t −> minimalizacji
8 f1 ( x )=h ∗ ( x ∗ t ) ∗∗2/(1+( x ∗ t ) ∗ ∗ 2 ) −> część rzeczywista
9 f2 ( x )=h ∗ ( ( x ) ∗ t ) /( 1+ (( x ) ∗ t ) ∗ ∗ 2 ) −> część urojona
10 plot f1 ( x ) , f2 ( x ) , ’m1’ u 1 : 2 , ’m1’ u 1 : 3 −> zobaczmy nasze
dopasowanie
1
2
3
22 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
I rezultat jego działania:
1 After 5 iterations the fit converged.
2 final sum of squares of residuals : 1 0 1 . 0 0 5
3 rel. change during last iteration : −5.48711e−015
4
5 degrees of freedom
(FIT_NDF)
: 197
6 rms of residuals
(FIT_STDFIT) = sqrt(WSSR/ndf)
: 0.716041
7 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : 0 . 5 1 2 7 1 4
8
9 Final set of parameters
Asymptotic Standard Error
10 =======================
==========================
11
12 t1
= 0.0996905
+/− 0 . 0 0 2 4 7 4
(2.481%)
13 h1
= 10.0424
+/− 0 . 1 1 5 5
(1.15%)
14
15
16 correlation matrix of the fit parameters:
17
18
t1
h1
19 t1
1.000
20 h1
−0.464 1 . 0 0 0
23 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
”Surowe” dopasowanie:
10
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
9
8
G', G", Pa
7
6
5
4
3
2
1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
, Hz
24 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Pożądane dopasowanie:
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
G', G", Pa
10
1
0.1
G'
G"
0.01
1
10
100
ω, Hz
25 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Metody estymacji w dziedzinie zespolonej - podsumowanie
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Dysponujemy trzema metodami estymacji, w tym dwie
nadają się do codziennego użytku.
Metodę wykorzystująca sumowanie można zastosować
praktycznie w każdym programie, który posiada możliwość
wykonywania dopasowań nieliniowych.
Metodę korzystającą z relacji ternarnej można użyć tylko
tam gdzie te relacje są zdefiniowane np. Gnuplot.
Narzędzia te można uogólnić na dowolne dane w postaci
zespolonej (dielektryki, akustyka itp.)
26 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Drugim często spotykanym zagadnieniem podczas pomiarów
reologicznych jest poszukiwanie parametrów równania
kinetycznego. Oznacza to że dysponujemy zbiorem jakiejś
wielkości reologicznej w funkcji czasu. Najczęściej wielkościami
tymi są lepkość lub rzeczywista część zespolonego modułu
sprężystości. Na podstawie tak skonstruowanych doświadczeń
można badać szybkość reakcji enzymatycznych lub starzenie się
żywności, rozpad i powstawanie struktury płynu złożonego, itp.
Zacznijmy od typowego przypadku jakim jest reakcja
odwracalna (bardzo dużo procesów w reologii da się opisać
takim modelem reakcyjnym):
AB
27 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
W ogólnym przypadku równanie kinetyczne możemy zapisać
następująco:
d[A]
= rAB = −k1 · [A]p + k2 · [B]q
dt
kiedy p i q są równe jeden równanie to da się rozwiązać
analitycznie (rozwiązanie to można zaleźć w każdym
podręczniku do chemii fizycznej). Najczęściej w realnych
przypadkach tak nie jest, więc równanie staje się silnie
nieliniowe i nie da się go rozwiązać analitycznie.
28 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
W literaturze opisane są dwie podstawowe metody
poszukiwania parametrów tego typu równań:
Metoda całkowa. Nie będziemy jej omawiać ze względu na
to że jest trudna i wymaga dobrej znajomości metod
numerycznych oraz jakiegoś języka programowania.
Metoda różniczkowa. Bardzo prosta metoda, wymagająca
narzędzi tych o których mówiliśmy poprzednio. Metoda ta
posiada tylko jedno ograniczenie, ilość danych
doświadczalnych. Im więcej tym lepiej, a w zasadzie im
gęściej tym lepiej.
29 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Nasz problem polega na tym że wyniki doświadczenia są
szeregiem czasowym czyli niejako ”rozwiązaniem równania
różniczkowego”, a w równaniu kinetyczny przedstawionym
powyżej mamy niejako ”zakodowane” rozwiązanie. Mamy dwie
drogi: albo scałkować równie kinetyczne po czasie, albo
zróżniczkować dane doświadczalne po czasie. Pierwszy sposób
to droga do metody całkowej, a drugi do metody różniczkowej.
Jak widać zagadnienie na razie sprowadza się do tego że
musimy mieć dane i równanie w tej samej postaci.
30 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Dokonajmy więc różniczkowania naszych danych
doświadczalnych. Nie możemy uczynić tego analitycznie
ponieważ dysponujemy tylko dyskretnym zbiorem punktów,
zatem uciekamy się do metody numerycznej. W przybliżeniu
pierwszą pochodną możemy przedstawić następująco:
∆[A]
[A]i+1 − [A]i
d[A]
≈
=
dt
∆t
t i+1 − t i
I w rezultacie otrzymujemy:
[A]i+1 − [A]i
= −k1 · [A]ip + k2 · [B]iq
t i+1 − t i
Wprowadźmy tylko drobne uproszczenie składnik [B] zastąpmy
wrażeniem 1-[A].
31 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
A oto idea różniczkowania i czułość na wartości ujemne metody
różniczkowej:
[A]
0.09
0.05
0.08
0.04
0.07
0.03
[A] 0.06
i=7
d[A] /dt
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
[A]
i=6
[A]
i=5 0.04
[A]
i=4
[A]
i=3
0.02
0.01
0.00
-0.01
[A]
i=2
0.02
-0.02
[A]
i=1
-0.03
0
0
0
i=1
t
0.5
1
ti=2
ti=3
1.5
2
ti=4
2.5
ti=5
3
ti=6
3.5
i=7
t
4
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
[A]
czas
32 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Teraz możemy wykonać dopasowanie, a odpowiedni skrypt
Gnuplota będzie wyglądał następująco:
1
2
3
4
5
6
k1 =2.2
k2 =0.15 −> wartości startowe
p =1.4
f ( x )= −k1 ∗ x ∗∗ p+k2∗(1−x ) ∗∗ q −> funkcja
fit f ( x ) ’dane1.txt’ u 2 : 3 via k1 , k2 , p , q −> dopasowanie
plot f ( x ) w l , ’dane1.txt’ u 2 : 3 −> wizualizacja
33 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
1 After 26 iterations the fit converged.
2 final sum of squares of residuals : 1 . 0 0 0 1 e−005
3 rel. change during last iteration : −9.4492e−006
4 \rightarrow
5 degrees of freedom
(FIT_NDF)
: 506
6 rms of residuals
(FIT_STDFIT) = sqrt(WSSR/ndf)
: 0.000140587
7 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : 1 . 9 7 6 4 8 e−008
8
9 Final set of parameters
Asymptotic Standard Error
10 =======================
==========================
11
12 k1
= 1.91418
+/− 0 . 0 9 4 7 5
(4.95%)
13 k2
= 0.099729
+/− 8 . 9 0 1 e−005
(0.08925%)
14 p
= 1.2048
+/− 0 . 0 2 5 5
(2.117%)
15 q
= 0.720546
+/− 1 . 3 3 5
(185.3%)
16
17
18 correlation matrix of the fit parameters:
19
20
k1
k2
p
q
21 k1
1.000
22 k2
−0.892 1 . 0 0 0
23 p
−0.995 0 . 8 5 3
1.000
24 q
−0.999 0 . 8 7 3
0.999
1.000
34 / 38
W wyniku transformacji otrzymujemy następujący zestaw
danych:
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
0.09
0.1
0.08
0.09
0.08
0.07
d[A] /dt
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
[A]
0.06
0.05
0.07
0.06
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0
0
0
0.5
1
1.5
2
czas
2.5
3
3.5
4
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
[A]
Proszę zwrócić uwagę na zmienną niezależną po
różniczkowaniu (nie jest to czas tylko [A])
35 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
... i oto efekt naszej pracy gotowe dopasowanie danych
kinetycznych metodą różniczkową.
0.1
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
0.09
0.08
d[A] /dt
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
[A]
36 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Wady metody różniczkowej:
Duża czułość na znak pochodnej.
Wymaga ”ostrej” preselekcji danych.
Brak możliwości porównania wyniku dopasowania z
szeregiem czasowym.
Wymaga dużej ilości danych.
37 / 38
Analiza
matematyczna
modeli
reologicznych
Anna Ptaszek,
Paweł Ptaszek
Zalety metody różniczkowej:
Nie wymaga stosowania specjalistycznego
oprogramowania.
Wprawne oko dostrzeże od razu postać funkcji liniowa,
wykładnicza itp.
Np. w Gnuplocie możemy bezpośrednio korzystać z
macierzy korelacji i błędu dopasowania.
38 / 38

Analiza matematyczna modeli reologicznych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zabawny ptaszek - Miejska Biblioteka Publiczna w Gorlicach

KTO TAM?- wiersz dla babci i dziadka

Lewis Hamilton

polski kongres reologii opole 2015 program

Ziemia krzyczy spod poduchy: Ratujcie mnie zuchy!

zabawny ptaszek - Biblioteki.org

Kliknij aby pobrać dokument w formacie PDF

Drukuj produkt