klucz odpowiedzi

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI
Próbna Matura z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Listopad 2011
W niniejszym schemacie oceniania zadań otwartych są prezentowane przykładowe poprawne odpowiedzi. W tego typu
zadaniach należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej sformułowane, ale ich sens jest zgodny z podanym
schematem, oraz inne poprawne odpowiedzi w nim nieprzewidziane.
Numer
zadania
1.
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający zapisze równanie w postaci alternatywy.
2x - 1 - 2 = 4
lub
2x - 1 = 6
2x - 1 = - 2
lub
Liczba
punktów
1 pkt
2x - 1 - 2 = - 4
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zauważy, że równanie
2x - 1 = - 2
2 pkt
jest sprzeczne.
pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
2x - 1 = 6 .
2x - 1 = 6 lub 2x - 1 = - 6
x = 3,5 lub x = - 2,5
Zdający rozwiąże równanie
4 pkt
rozwiązanie pełne
Zdający wskaże ujemny pierwiastek:
2.
x = - 2,5 .
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający skorzysta z proporcjonalności boków prostokątów podobnych i rozważy
proporcję.
1 pkt
a
b
=
a+5
b+5
a (b + 5) = b (a + 5)
ab + 5a = ba + 5b
a=b
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zapisze drugą proporcję wynikającą z podobieństwa czworokątów i sprowadzi ją
do prostszej postaci.
2 pkt
a
b
=
a+5
b+5
a 2 + 5a = b 2 + 5b
a 2 - b 2 + 5a - 5b = 0
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający przekształci odpowiednio otrzymane wyrażenie, aby znaleźć zależność między
bokami
3 pkt
a, b.
]a - bg]a + bg + 5]a - bg = 0
]a - bg]a + b + 5g = 0
a=b
Warunek
w w w. o p e r o n . p l
a + b =-5
a + b = - 5 nie może być spełniony, gdyż a + b 2 0 .
lub
1
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Liczba
punktów
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
4 pkt
rozwiązanie pełne
a=b
Zdający stwierdzi, iż z równości
Skoro
3.
wynika, że pierwszy prostokąt jest kwadratem.
a = b , to a + 5 = b + 5 , zatem drugi prostokąt też jest kwadratem.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający zauważy, że aby wyrażenie
x!
r
+ kr
2
1
2 tg x
miało sens, to
tg x ! 0
dla
x ! kr
1 pkt
oraz
(tangens jest wtedy określony).
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający wykorzysta własność kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego – zapisze
odpowiedni warunek i przekształci go tak, aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko
jedną funkcję trygonometryczną.
Np.:
2 pkt
1
2 tg x
1
cos2 x = sin x $
2 sin x
cos x
cos2 x = sin x $
2 cos 2 x = cos x
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający przedstawi równanie w formie alternatywy.
cos x = 0
lub
2 cos x - 1 = 0
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający rozwiąże uzyskane równania.
x=
r
+ kr
2
lub
x =-
r
+ 2kr
3
lub
4 pkt
x=
r
+ 2kr , gdzie k ! C
3
rozwiązanie pełne
Zdający wybierze spośród uzyskanych rozwiązań właściwe i zapisze odpowiedź.
x=
4.
r
+ 2kr
3
3 pkt
lub
x =-
5 pkt
r
+ 2kr , gdzie k ! C
3
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający wykorzysta wzór na zamianę podstawy logarytmu i zapisze nierówność w postaci
1 pkt
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zapisze nierówność w równoważnej postaci
2 pkt
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający zapisze lewą stronę nierówności w postaci sumy kwadratów dwóch wyrażeń
3 pkt
log 2 ]rag + log 2 ]r + ag H 2 log (r + a) - 1 .
log 2 ]rag + log 2 ]r + ag - 2 log (r + a) + 1 H 0 ,
aby wykazać, że lewa strona nierówności jest większa bądź równa zero.
2
6log ]rag@ + 6log ]r + ag - 1@
2
.
rozwiązanie pełne
Zdający zauważy, że suma kwadratów dwóch liczb jest zawsze liczbą nieujemną i wyprowadzi
stąd wniosek, że
4 pkt
6log ]rag@ + 6log ]r + ag - 1@ H 0 .
2
w w w. o p e r o n . p l
2
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
5.
Liczba
punktów
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający znajdzie współrzędne punktu
C
1 pkt
jako współrzędne wierzchołka paraboli.
6
x = = 3 , y = 9 - 18 = - 9
2
C = ]3, - 9g
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zauważy, że punkty
nachylonych do osi
OX
A, B
2 pkt
leżą na prostych przechodzących przez punkt
pod kątem odpowiednio
60° i 120°
OX
pod kątem
oraz
(jako wierzchołki trójkąta
równobocznego) i określi, że szuka np. współrzędnych punktu
nachylonej do osi
C
A
leżącego na prostej
p
60° .
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający znajdzie równanie prostej
3 pkt
p.
y = 3x+b
-9 = 3 3 + b
b =-9 - 3 3
y = 3x-9-3 3
rozwiązanie prawie całkowite
4 pkt
Zdający znajdzie pierwszą współrzędną punktu
paraboli i prostej
A , wykorzystując fakt, że punkt leży na
p.
x 2 - 6x = 3 x - 9 - 3 3
x 2 - x (6 + 3 ) + 9 + 3 3 = 0
D=3
x=3
lub
x = 3+ 3
Zdający zauważy, że liczba
3
to pierwsza współrzędna punktu
rozważaniach uwzględni liczbę
C , zatem w dalszych
3+ 3.
5 pkt
rozwiązanie pełne
Zdający znajdzie drugą współrzędną punktu
A.
y = ^3 + 3 h - 6^3 + 3 h = - 6
2
Zdający poda obie współrzędne punktu
A = ^3 + 3 , - 6h
6.
A.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
1 pkt
C
h
x
Zdający obliczy długość połowy przekątnej podstawy.
1
d=a 2
2
w w w. o p e r o n . p l
A 1– d
2
a
B
2a
3
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Liczba
punktów
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zauważy, że trójkąt
ABC
2 pkt
jest prostokątny i obliczy długość odcinka
x.
x
= tg a
a 2
x = a 2 $ tg a
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający obliczy wysokość graniastosłupa.
3 pkt
h 2 + ^a 2 h = x 2
2
h = 2a 2 tg 2 a - 2a 2
4 pkt
rozwiązanie pełne
Zdający obliczy objętość graniastosłupa.
V = ]2ag $ 2a 2 tg 2 a - 2a 2 = 4a 2 $ a 2 $ tg 2 a - 1 = 4 2 $ a 3 $ tg 2 a - 1
2
7.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający określi liczbę zdarzeń elementarnych – liczbę sposobów wyboru
X=
4
spośród
20
17 $ 18 $ 19 $ 20
= 4845
1$2$3$4
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający rozważy zdarzenie przeciwne – uczestnik wysłuchał
których nie zna, i określi liczbę zdarzeń sprzyjających.
A=
1 pkt
piosenek.
2 pkt
4
piosenek spośród
8,
5$6$7$8
= 70
1$2$3$4
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.
P ( A) =
3 pkt
70
4845
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający obliczy prawdopodobieństwo rozważanego zdarzenia.
P ( B) = 1 -
4 pkt
70
4775
=
4845
4845
rozwiązanie pełne
Zdający podaje wynik z żądaną dokładnością.
5 pkt
P (B) = 0,9855... . 0,99
8.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający znajdzie współrzędne punktu przecięcia prostych.
*
1 pkt
y =-x
y = x+k
-x = x + k
k
k
x =- , y =
2
2
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający skorzysta z tego, że punkt przecięcia prostych musi należeć do koła i przekształci
uzyskaną nierówność do najprostszej postaci.
2 pkt
2
2
b1 - k l + b1 + k l G 10
2
2
k 2 G 16
w w w. o p e r o n . p l
4
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Liczba
punktów
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający zapisze uzyskaną nierówność w postaci
3 pkt
( k - 4) ( k + 4) G 0
(zdający może
zaznaczyć te liczby na rysunku).
4 pkt
rozwiązanie pełne
Zdający podaje rozwiązanie.
k ! - 4, 4
9.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający znajdzie współczynniki wielomianu, korzystając z tego, że liczby
-1, 2
1 pkt
są
pierwiastkami wielomianu.
*
-1 + a - b + 6 = 0
8 + 4a + 2b + 6 = 0
a =-4, b = 1
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający znajdzie trzeci pierwiastek wielomianu
2 pkt
W ( x) =
x3
-
4x 2
+ x + 6 , stosując
twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.
W (3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0
x=3
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający zapisze wielomian oraz nierówność w postaci iloczynowej.
3 pkt
W (x) = ] x + 1g] x - 2g] x - 3g
] x + 1g] x - 2g] x - 3g > 0
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający określi przedziały (może zaznaczyć je np. na osi liczbowej), w których będzie
4 pkt
poszukiwał wartości dodatnich wyrażenia ] x + 1g] x - 2g] x - 3g .
1.
]- 3, - 1g
2.
- 1, 2h
3.
2, 3h
4.
3, 3h
rozwiązanie do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności
rozwiązania (np. błędy rachunkowe)
Np. źle zaznaczone końce jednego z przedziałów; błędne obliczenie jednego z pierwiastków
wielomianu; błąd w obliczeniu współczynników wielomianu.
5 pkt
rozwiązanie pełne
Zdający określi, kiedy rozpatrywane wyrażenie przyjmuje wartości dodatnie (np. za
pomocą siatki znaków albo odpowiedniego „wężyka”) i zapisze odpowiedź.
6 pkt
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający rozważy przypadek, gdy analizowane równanie jest równaniem liniowym.
1 pkt
x ! ]- 1, 2g , ]3, 3g
10.
m-1 = 0
m=1
4x + 1 + 4 = 0
5
x =4
w w w. o p e r o n . p l
5
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Liczba
punktów
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający założy, że rozpatruje równanie kwadratowe i zapisuje jego wyróżnik.
2 pkt
m!1
D = 62 (m + 1)@ - 4 (m - 1) (m + 4) = - 4m + 20
2
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający zauważa, że równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, gdy wyróżnik jest
równy zero.
3 pkt
- 4m + 20 = 0
m=5
rozwiązanie prawie całkowite
4 pkt
Zdający sprawdza, czy znalezione rozwiązanie spełnia zakładane warunki
m = 5 ! 1.
5 pkt
rozwiązanie pełne
Zdający podaje rozwiązanie.
m=1
11.
lub
m=5
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający znajduje sinus kąta zawartego między bokami
1 pkt
a, b.
1
1
ab sin a = ab
2
4
1
sin a =
2
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający znajduje miarę kąta zawartego między bokami
a = 30°
lub
2 pkt
ai b.
a = 150°
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający wykorzystuje twierdzenie cosinusów do znalezienia długości
trójkąta.
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 30°
lub
a 2 + b 2 - ab 3
w w w. o p e r o n . p l
lub
trzeciego boku
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 150°
4 pkt
rozwiązanie pełne
Zdający poda rozwiązanie.
c=
3 pkt
c
c=
a 2 + b 2 + ab 3
6