6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji
w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych
sytuacjach.
Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie.
Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz niech a, x0 ∈ R.
Mówimy, że liczba a ∈ R jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą
dwa warunki:
(i)
x0 jest punktem skupienia zbioru X,
(ii)
∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że xn ≠ x0 dla n ∈ N oraz limn→∞ xn = x0 zachodzi
limn→∞ f(xn) = a.
Fakt ten zapisujemy limx→x0 f(x) = a.
6.2. Sformułować definicję w sensie Cauchy’ego granicy (właściwej)
funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych
sytuacjach.
Definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie.
Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz niech a, x0 ∈ R.
Mówimy, że liczba a ∈ R jest granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x0, gdy
zachodzą dwa warunki:
(i)
x0 jest punktem skupienia zbioru X,
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − a| < ε)
(ii)
Fakt ten zapisujemy limx→x0 f(x) = a lub f(x) → a, gdy x → x0.
6.3. Sformułować definicję w sensie Heinego i Cauchy’ego granicy
właściwej w punkcie niewłaściwym, niewłaściwej w punkcie właściwym i
niewłaściwej w punkcie niewłaściwym.
Granica właściwa w punkcie niewłaściwym (Cauchy’ego).
Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz niech a ∈ R.
Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
zbiór X jest nieograniczony z góry,
(b)
∀ ε > 0 ∃ δ ∈ R ∀ x ∈ X, ( x > δ ⇒ |f(x) − a| < ε ).
Fakt ten zapisujemy limx→+∞ f(x) = a.
Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w -∞, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
zbiór X jest nieograniczony z dołu,
(b)
∀ ε > 0 ∃ δ ∈ R ∀ x ∈ X, ( x < δ ⇒ |f(x) − a| < ε ).
Fakt ten zapisujemy limx→-∞ f(x) = a.
Granica właściwa w punkcie niewłaściwym (Heinego)
Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz niech a ∈ R.
Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
zbiór X jest nieograniczony z góry,
(b)
∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że lim n->∞ xn = +∞ zachodzi lim n->∞ f(xn) = a.
Fakt ten zapisujemy limx→+∞ f(x) = a.
Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w -∞, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
zbiór X jest nieograniczony z dołu,
(b)
∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że lim n->∞ xn = -∞ zachodzi lim n->∞ f(xn) = a.
Fakt ten zapisujemy limx→-∞ f(x) = a.
Granica niewłaściwa w punkcie właściwym (Cauchy’ego).
Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, oraz niech x0 ∈ R.
Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
x0 jest punktem skupienia zbioru X,
(b)
∀A ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x − x0| < δ ⇒ f(x) > A)
Fakt ten zapisujemy limx→x0 f(x) = +∞.
Mówimy, że -∞ jest granicą funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
x0 jest punktem skupienia zbioru X,
(b)
∀A ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x − x0| < δ ⇒ f(x) < A)
Fakt ten zapisujemy limx→x0 f(x) = -∞.
Granica niewłaściwa w punkcie właściwym (Heinego).
Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, niech x0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz a ∈ {−∞, +∞}.
Mówimy, że a jest granicą funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy limx→x0 f(x) = a wtedy i tylko
wtedy, gdy
∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że xn ≠x0 ∀n ∈ N oraz limn→∞ xn = x0 zachodzi lim n→ ∞ f(xn) = a .
Granica niewłaściwa w punkcie niewłaściwym (Cauchy’ego).
Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R.
Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
zbiór X jest nieograniczony z góry,
(b)
∀ A ∈ R ∃δ ∈ R ∀ x ∈ X, x > δ ⇒ f(x) > A.
Fakt ten zapisujemy limx→+∞ f(x) = +∞.
Mówimy, że -∞ jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
zbiór X jest nieograniczony z góry,
(b)
∀ A ∈ R ∃δ ∈ R ∀ x ∈ X, x > δ ⇒ f(x) < A.
Fakt ten zapisujemy limx→+∞ f(x) = -∞.
Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w −∞, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
zbiór X jest nieograniczony z dołu,
(b)
∀A ∈ R ∃ δ ∈ R ∀ x ∈ X x < δ ⇒ f(x) > A.
Fakt ten zapisujemy limx→−∞ f(x) = +∞.
Mówimy, że -∞ jest granicą funkcji f w −∞, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
zbiór X jest nieograniczony z dołu,
(b)
∀A ∈ R ∃ δ ∈ R ∀ x ∈ X x < δ ⇒ f(x) < A.
Fakt ten zapisujemy limx→−∞ f(x) = -∞.
Granica niewłaściwa w punkcie niewłaściwym (Heinego)
Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, a ∈ {−∞, +∞}.
Mówimy, że a jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
zbiór X jest nieograniczony z góry,
(b)
∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że lim n->∞ xn =∞ zachodzi lim n->∞ f(xn) =a.
Fakt ten zapisujemy: limx→+∞ f(x) = a.
Mówimy, że a jest granicą funkcji f w -∞, gdy zachodzą dwa warunki:
(a)
zbiór X jest nieograniczony z dołu,
(b)
∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że lim n->∞ xn =-∞ zachodzi lim n->∞ f(xn) =a.
Fakt ten zapisujemy: limx→-∞ f(x) = a.
6.4. Jak zmodyfikować odpowiednie definicje granic, aby otrzymać
definicję granicy jednostronnej? Jaki jest związek pomiędzy granicami
jednostronnymi i obustronną? Omówić ten związek również na
przykładach.
Definicja . Dla zbioru X ⊂ R oraz liczby x0 ∈ R określamy zbiory
X- X = {x ∈ X : x < x0}, X+x = {x ∈ X : x > x0}.
0
0
Definicja granicy lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie.
Niech X ⊂ R, f : X → R, x0 ∈ R, oraz niech a ∈R∪ {−∞, +∞}.
Mówimy, że liczba a jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0, gdy a jest granicą funkcji
f | X-x w punkcie x0. Fakt ten zapisujemy a = limx→x − f(x).
0
0
Mówimy, że liczba a jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, gdy a jest granicą
funkcji f | X+x w punkcie x0. Fakt ten zapisujemy a = limx→x+ f(x).
0
0
Uwaga.
Niech f : X → R będzie funkcją oraz x0 ∈ R. Wprost z powyższej definicji dostajemy:
Jeśli x0 jest punktem skupienia zbioru X-x , to fakt, że liczba a ∈ R jest granicą
lewostronną funkcji f w punkcie x0 można zapisać w notacji Cauchy’ego:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (x < x0 ∧ |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − a| < ε)
lub równoważnie w notacji Heinego:
∀(x )n∈N⊂X−x ( limn→∞xn = x0 ⇒ limn→∞ f(xn) = a).
(b)
Jeśli x0 jest punktem skupienia zbioru X+x , to fakt, że liczba a ∈ R jest granicą
prawostronną funkcji f w punkcie x0 można zapisać w notacji Cauchy’ego:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (x0 < x ∧ |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − a| < ε)
lub równoważnie w notacji Heinego:
∀(xn)n∈N⊂X+x (limn→∞xn = x0 ⇒ limn→∞f(xn) = a).
(a)
0
n
0
0
0
Związek granicy funkcji z granicami jednostronnymi
Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, będzie funkcją, x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbiorów X-x i
X+x oraz a∈R∪ {−∞, +∞}. Wówczas:
limx→x f(x) = a
limx→x− f(x) = a oraz limx→x+ f(x) = a.
0
0
0
0
0
6.5. Sformułować definicję Heinego i Cauchy’ego funkcji ciągłej w
punkcie. Co to jest funkcja ciągła?
Definicja funkcji ciągłej. (Cauchy’ego)
Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz x0 ∈ X.
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0, gdy:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε).
Mówimy, że funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X.
Definicja Heinego ciągłości funkcji w punkcie)
Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz x0 ∈ X. Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie x0, kiedy
∀ (xn)n∈N ⊂ X ( limn→∞xn = x0 => limn→∞f(xn) = f(x0) )
Mówimy, że funkcja f jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny.
Ciągłe są wszystkie funkcje elementarne, np. logarytmiczne, wykładnicze, wielomiany,
funkcje potęgowe, trygonometryczne, itd.
6.6. Sformułować i zilustrować graficznie własność Darboux.
Własność Darboux:
Niech : [ , ] → będzie funkcją ciągłą oraz c ∈ R.
(a)
Jeśli f(a) < c < f(b), to istnieje ∈ [ , ] taki, że a < x < b oraz f(x) = c.
(b)
Jeśli f(b) < c < f(a), to istnieje ∈ [ , ] taki, że a < x < b oraz f(x) = c.
6.7. Podać definicję funkcji jednostajnie ciągłej. Jaka jest intuicyjna
charakteryzacja funkcji jednostajnie ciągłej?
Definicja funkcji jednostajnie ciągłej.
Mówimy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła, kiedy
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x1,x2∈X (|x1 − x2| < δ => |f(x1) − f(x2)| < ε).
Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.
Definicja Heinego ciągłości jednostajnej.
Mówimy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła, kiedy
∀ (xn)⊂ X, (x’n)⊂ X (limn→∞(xn –x’n) = 0 => limn→∞ (f(xn) − f(x’n)) = 0).
Z definicji Heinego wynika następująca charakteryzacja funkcji jednostajnie ciągłej: jest to
taka funkcja dla której dla „coraz bliższych sobie argumentów” wartości również są „coraz
bliższe”.
=
Zauważmy, że funkcja
′ =
dla
∈
mamy, że |
|
,
∈
− ′ |=
−
tej własności nie posiada. Np. dla
→ 0, gdy
→ ∞, ale
′ | = "# + $ −
"=2+
Twierdzenie
Każda funkcja ciągła na [ , ] jest jednostajnie ciągła na [ , ].
&
.
=
+ oraz