rozkład gamma

Przykłady rozkładów zmiennych losowych.
Rozkłady dyskretne
Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy ⇔
P ( X = x 0 ) = 1 ∧ P ( X ≠ x0 ) = 0 .
Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy ⇔
∃ 0 < p < 1 : P( X = x1 ) = p, P( X = x2 ) = 1 − p .
Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego) ⇔
n
n−k
∃ n ∈ N , 0 < p < 1: P ( X = k ) =   p k (1 − p )
dla k ∈ {0,..., n}.
k 
Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny ⇔
k −1
∃ 0 < p < 1: P( X = k ) = p(1 − p )
dla k = 1,2,3,...
Zmienna losowa X ma rozkład hipergeometryczny ⇔
 n  M − n 
 

k  m − k 

∃ n, m, M ∈ N (M ≥ m ) : P ( X = k ) =
dla k ∈ {0,..., m}
M 
 
m
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona ⇔
∃ λ > 0: P ( X = k ) =
λ
k
k!
e −λ
dla k = 0,1,2,...
Rozkłady ciągłe.
Zmienna losowa X ma rozkład prostokątny (jednostajny) ⇔
 1
dla x ∈ a; b ,

∃ a, b ∈ R : a < b ∧ f ( x ) =  b − a
0
dla x < a ∧ x > b.
Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego ⇔
∀x∈R
f (x ) =
1
1
.
π 1+ x2
⋅
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy ⇔
dla x ≤ 0,
0
∃ λ > 0 : f ( x ) =  −λx
dla x > 0.
λe
Zmienna losowa X ma rozkład normalny (Gaussa) ⇔
 (x − m)2 
1

⋅ exp −
2

2
σ
σ 2π


∃m ∈ R, σ > 0:
f (x) =
Zmienna losowa
χ 2 ma rozkład o gęstości danej wzorem
1
1
− x
n −1

1
2
2
e
x
 1
 n 1
k n ( x ) =  2 2 Γ n 
2 

0
dla x > 0,
dla x ≤ 0.
Zmienna losowa X ma rozkład gamma ⇔
x
−

a
b
x
e

∃ a, b > 0 : f ( x ) = 0 Γ(a + 1)b a+1 dla x > 0,

0
dla x ≤ 0.
Uwaga.
∞
1
Γ( x ) := ∫ e −t t x −1 dt , dla x > 0 ⇒ Γ( x + 1) = xΓ( x ), Γ  = π .
2
0