3. plany doświadczeń czynnikowych na dwóch po

Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 1 z 21
3. PLANY DOŚWIADCZEŃ CZYNNIKOWYCH NA DWÓCH POZIOMACH
Rozważamy obiekt (rysunek 3.1) opisany charakterystyką
y = f ( x1 , x 2 ,K , x K , e )
(3.1)
gdzie x1, x2, ..., xK oznaczają wejścia obiektu, y oznacza wyjście, e natomiast oznacza nieznane i niemierzalne zakłócenia (błąd losowy). Postać funkcji (3.1) w ogólnym przypadku jest
nieliniowa i bliżej nieznana.
x1
x2
OBIEKT
y
xK
e
Rysunek 3.1. Rozważany obiekt nieliniowy. x1, x2 ,..., xK – czynniki lub zmienne objaśniające,
y – wyjście lub odpowiedź obiektu, e – błąd losowy zakłócający odpowiedź
obiektu.
Zakładamy, że nieznaną nieliniową charakterystykę (3.1) można aproksymować w otoczeniu danego punktu
x 0 = (x10 , x20 ,K , x K0 )
T
(3.2)
za pomocą liniowej funkcji regresji o postaci
ŷ = b0 + b1 x1 + b2 x2 + K + bK x K
(3.3)
gdzie bj, j = 0, 1, ..., K są nieznanymi współczynnikami regresji, które wyznaczamy stosując
klasyczną metodę najmniejszych kwadratów.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
1
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 2 z 21
Naszym celem jest opracowanie planu eksperymentu to znaczy określenie N zestawów K
wartości wejść
x i = (xi ,1 , xi ,2 ,K , xi ,K ) ,
T
i = 1,2 ,K N
(3.4)
Każdy z tych zestawów użyty będzie w jednym z serii N doświadczeń wykonywanych w
trakcie zaplanowanego eksperymentu. W takim ujęciu plan eksperymentu powinien określać
nie tylko warunki wykonywania poszczególnych doświadczeń (zestaw zmiennych wejściowych), ale również ich liczbę.
Jak już wcześniej była mowa, każdy z eksperymentów wykonywany jest w pewnym obszarze badań. Przyjmijmy, że nasz obszar badań jest wielowymiarową kostką. Oznacza to, że
wielkości wejściowe wyrażone w jednostkach naturalnych przyjmują wartości wyznaczone
przez granice obszaru badań
x min
≤ x j ≤ x max
,
j
j
j = 1,2 ,K , K
(3.5)
Plan eksperymentu czynnikowego na dwóch poziomach (ang. factorial experiment) po-
lega na przyjmowaniu przez każde z K wejść obiektu xj, j = 1, 2, ..., K wartości na jednym z
dwóch poziomów: minimalnym x min
i maksymalnym x max
. Jeżeli przez xj0 oznaczymy środek
j
j
przedziału zmian dla poszczególnych zmiennych, to eksperymenty wykonane będą w punktach
x 0j − ∆x j ;
x 0j + ∆x j ;
j = 1,2 ,K ,K
(3.6)
gdzie
∆x j =
x min
+ x max
j
j
2
(3.7)
W pełnym doświadczeniu czynnikowym (ang. full factorial experiment) na dwóch poziomach rozpatruje się takie zestawy wartości wejść, w których każdy czynnik występuje raz
na poziomie górnym i raz na poziomie dolnym. W przypadku dwóch zmiennych obszar badań
jest prostokątem, a doświadczenia wykonujemy w jego wierzchołkach (rysunek 3.2). W przypadku trzech zmiennych obszar badań jest sześcianem i eksperymenty wykonujemy w wierzchołkach tego sześcianu (rysunek 3.3), w przypadku ogólnym będą to wierzchołki wielowymiarowej kostki.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
2
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 3 z 21
Przy opracowywaniu planów czynnikowych wygodnym zabiegiem jest standaryzacja
zmiennych, czyli ich skalowanie. Standaryzację wykonuje się w taki sposób, aby nowe
zmienne przyjmowały wartości z przedziału [-1, 1] wtedy, gdy zmienne oryginalne (wyrażone w jednostkach naturalnych) przyjmują wartości z zadanego obszaru badań (3.5).
Skalowanie lub standaryzacja zmiennych oznacza przesunięcie układu współrzędnych,
wyrażonego w jednostkach naturalnych w taki sposób, aby początek nowego układu współrzędnych przeniesiony został do punktu centralnego planu (początkowego lub bazowego)
x 0 = (x10 , x20 ,K , x K0 ) , w którego otoczeniu wykonuje się eksperyment. Jednocześnie dokonuje
T
się zmiany skali w taki sposób, aby planowane wartości zmian poszczególnych czynników
∆xj, j = 1, 2, ...,K były w nowym układzie współrzędnych jednostkowe. Graficznie standaryzację w przypadku dwóch zmiennych przedstawia rysunek 3.2.
2
t2min t20 t2max
x2min x20 x2max
8
6
4
2
1
1
1
0
0
-2
-1
-1
0
-1
1
2
-1
-1
0
0
2
4
x1min
x10
6
x1max
a)
-2
t1min
t10
t1max
b)
Rysunek 3.2. Plan eksperymentu czynnikowego na dwóch poziomach typu 2K dla dwóch
zmiennych; a) zmienne wyrażone w jednostkach naturalnych; b) zmienne po standaryzacji.
W przypadku zmiennych wyrażonych w jednostkach naturalnych, punkty planu stanowią
wierzchołki prostokąta definiującego obszar badań, ograniczonego wartościami maksymalną i
minimalną (rysunek 3.2a). Wprowadzając nowe (standaryzowane) zmienne
tj =
x j − x 0j
∆x j
,
j = 1, 2, ..., K
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
(3.8)
3
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 4 z 21
dokonujemy przesunięcia środka układu współrzędnych do punktu centralnego planu (rysunek 3.2b). Równocześnie skala osi została tak zmodyfikowana, aby uzyskać kwadrat o
wierzchołkach w punktach (-1, -1), (-1, 1), (1, 1) i (1, -1).
Z zależności (3.8) wynika następujące wyrażenie pozwalające przejść od zmiennych
standaryzowanych do zmiennych naturalnych (transformacja odwrotna)
x j = x 0j + t j ∆x j ,
j = 1, 2, ..., K
(3.9)
Podstawiając zależność (3.9) do równania regresji (3.3) otrzymamy
ŷ = b0 + ∑ b j x j = b0 + ∑ b j (x 0j + t j ∆x j ) = b0 + ∑ b j x 0j + ∑ b j ∆x j t j
K
K
K
K
j =1
j =1
j =1
j =1
(3.10)
skąd po przekształceniach otrzymujemy równanie regresji liniowej dla zmiennych standaryzowanych
K
ŷ = a 0 + ∑ a j t j
(3.11)
j =1
gdzie nowe współczynniki regresji związane są z starymi (dla modelu o zmiennych wyrażonych w jednostkach naturalnych) zależnościami
K
a 0 = b0 + ∑ b j x 0j
(3.12)
a j = b j ∆x j ,
(3.13)
j =1
j = 1, 2, ..., K
Jak z równania (3.11) wynika transformacja zmiennych nie zmienia liniowego, względem
parametrów, charakteru równania regresji. Powoduje jedynie przekształcenie jego parametrów zgodnie ze wzorami (3.12) i (3.13).
Jak już wspomniano w pełnym doświadczeniu czynnikowym (ang. full factorial experi-
ment) na dwóch poziomach rozpatruje się takie zestawy wartości wejść, w których występują
wszystkie możliwe wektory jakie utworzyć można przypisując każdemu czynnikowi wartości
±1. W ogólnym przypadka dla K czynników liczba takich wektorów wynosi N = 2K. Opracowywany plan eksperymentu podaje, który z czynników występuje w danym doświadczeniu na
poziomie górnym „+1”, a który na poziomie dolnym „-1”. Często dla uproszczenia zapisu
zamiast pisać „+1” i „–1” pisze się jedynie „+” i „–”.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
4
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 5 z 21
W tabeli 3.1 przedstawiono przykładowy zapis planu eksperymentu dla trzech zmiennych
wejściowych, czyli eksperyment typu 23. Zgodnie z przyjętą zasadą, w planie tym, poszczególne zmienne wejściowe przyjmują wartości na dwóch poziomach: górnym „+1” i dolnym
”–1”. W interpretacji geometrycznej tego planu, poszczególne punkty doświadczalne stanowią wierzchołki jednostkowego sześcianu (rysunek 3.3).
Tabela 3.1. Przykład pełnego eksperymentu czynnikowego typu 23.
Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
t1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
t2
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
t3
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
t3
t1
t2
Rysunek 3.3. Plan całkowitego eksperymentu czynnikowego na dwóch poziomach dla 3
zmiennych.
Plany eksperymentów czynnikowych buduje się w sposób sekwencyjny składając w odpowiedni sposób plany o stopniu niższym. I tak plan dla dwóch czynników czyli typu 22
otrzymujemy składając dwa plany typu 21, raz przyjmując czynnik drugi na poziomie górnym
„+1”, a raz przyjmując drugi czynnik na poziomie dolnym „–1”. Analogicznie plan typu 23
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
5
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 6 z 21
otrzymujemy z dwóch planów typu 22 przyjmując trzeci czynnik raz na poziomie górnym
„+1” a raz na poziomie dolnym „–1”. Kolejne wyższe plany otrzymujemy analogicznie. Ten
sposób postępowania ilustruje plan zawarty w tabeli 3.1, gdzie kolejne wyższe plany odkreślono kolorową linią. Linia czerwona ogranicza plan typu 21, linia niebieska plan typy 22 i
linia zielona plan 23.
Bardziej sformalizowanym sposobem postępowania przy budowie planów czynnikowych
jest zastosowanie iloczynu Kroneckera dla macierzy. Ten sposób postępowania opisany został
przez Rafajłowicza [5].
Inny wygodny sposób zapisywania i budowy planów eksperymentów czynnikowych polega na ich zapisie kodowym. Poszczególnym doświadczeniom (wierszom) w planie eksperymentu przyporządkowujemy oznaczenia literowe. Kolejne litery a, b, c, ... oznaczają, że na
górnym poziomie znajdują się odpowiednio zmienne t1, t2, t3 itd. Iloczyny (pary liter) oznaczają, że w danym wierszu na górnych poziomach znajdują się jednocześnie odpowiednie
zmienne. I tak iloczyn ab oznacza, że w danym wierszu na górnym poziomie znajdują się
jednocześnie zmienne t1 i t2; iloczyn ac wskazuje na zmienne t1 i t3 jako na zmienne znajdujące się równocześnie na poziomie górnym, iloczyn bc na zmienne t2 i t3 itd.. Wyższe iloczyny
(dłuższe ciągi liter) oznaczają, że w danym wierszu macierzy eksperymentu znajduje się odpowiednio więcej zmiennych na poziomie górnym. Na przykład zapis abc oznacza, że na poziomie górnym znajdują się równocześnie trzy zmienne t1, t2 i t3, a zapis abcd oznacza, że w
danym wierszu na poziomie górnym znajdują się jednocześnie 4 zmienne t1, t2, t3 i t4. Jeżeli
żadna zmienna w danym wierszu nie przyjmuje wartości na górnym poziomie, to wiersz ten
oznaczać będziemy przez (1) (tabela 3.2).
Tabela 3.2. Plan pełnego eksperymentu czynnikowego typu 23. Sposób kodowania.
Nr
x0
x1
x2
x3
x1 xt2
x1 x3
x2 x3
x1x2x3
Kod
1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
(1)
2
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
a
3
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
b
4
+1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
-1
ab
5
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
c
6
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
ac
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
6
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 7 z 21
7
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
bc
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
abc
Podany w tabeli 3.2 plan eksperymentu czynnikowego przedstawić można w zapisie kodowym jako
(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc
(3.14)
Taki sposób kodowania planów pozwala na tworzenie nowych planów mając do dyspozycji plan dla liczby zmiennych o stopień niższych. I tak plan typu 22 w zapisie kodowym ma
postać
(1), a, b, ab
(3.15)
Plan 23 (3.14) powstaje z planu 22 (3.15) przez dodanie trzeciej zmiennej t3 (kodu c) i jego dwukrotne powtórzenie dla tej zmiennej, raz na poziomie górnym, a raz na poziomie dolnym. Analogicznie z planu 23 uzyskać można plan 24 (3.16)
(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, bcd, abcd
(3.16)
W powyższy sposób tworzyć można dowolne plany eksperymentów czynnikowych dla
dowolnej liczby zmiennych (czynników) K.
Podstawowe pytanie jakie nasuwa się w przypadku planów typu 2K dotyczy ich stosowalności. Jeżeli ograniczymy się do modeli wielomianowych, to pełny eksperyment czynnikowy typu 2K pozwala na estymację wszystkich parametrów w modelach, które zawierają
wyraz wolny, człony liniowe względem xi, i = 1, 2, ..., K oraz człony typu xi xj dla i ≠ j, xi xj xk
dla i ≠ j≠ k i tak dalej analogicznie aż do rzędu K włącznie. Człony tej ostatniej postaci nazywane są interakcjami czynników, gdyż są najprostszym sposobem modelowania łącznego
oddziaływania kilku wejść. Model taki uwzględniający wszystkie interakcje określa się mianem modeli liniowych z pełnym zestawem interakcji. Plan pełnego eksperymentu czynnikowego z interakcjami przedstawiono w tabeli 3.2. Przewiduje on wykonanie N = 23 = 8 doświadczeń. Zależność (3.14) natomiast pokazuje równanie regresji jakie na podstawie tego
planu można wyznaczyć. Mamy w nim 8 nieznanych parametrów, które należy wyznaczyć.
y = a0 + a1 x1 + a 2 x 2 + a3 x3 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + a 23 x 2 x3 + a123 x1 x 2 x3
(3.14)
Problemy z planami eksperymentów czynnikowych na dwóch poziomach zaczynają się w
momencie, gdy na ich podstawie próbować będziemy wyznaczyć równania regresji w postaci
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
7
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 8 z 21
wielomianów stopnia drugiego. W tabeli 3.3. pokazano plan eksperymentu dla dwóch czynników, czyli typu 22, na podstawie którego chcielibyśmy wyznaczyć równanie postaci
2
y = a 0 + a1 x1 + a 2 x 2 + a12 x1 x 2 + a11 x1 + a 22 x 2
2
(3.15)
Jak można zauważyć kolumna odpowiadająca wyrazowi wolnemu zawiera same liczby
„+1”. Dokładnie takie same wartości przyjmują kolumny odpowiadające członom kwadratowym x12 i x22. Kolumny te są więc liniowo zależne, co oznacza, że macierz informacyjna będzie macierzą osobliwą. Można więc stwierdzić, że w modelu liniowym z interakcjami,
wpływ członów kwadratowych w równaniu regresji jest nierozróżnialny od wyrazu wolnego.
Tabela 3.3. Macierz wejść dla modelu będącego wielomianem kwadratowym postaci
2
y = a 0 + a1 x1 + a 2 x 2 + a12 x1 x 2 + a11 x1 + a 22 x 2
2
Nr
x0
x1
x2
x1 x2
x12
x22
1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
2
+1
-1
+1
-1
+1
+1
3
+1
+1
-1
-1
+1
+1
4
+1
-1
-1
+1
+1
+1
Reasumując, planów czynnikowych na dwóch poziomach nie można stosować do estymacji parametrów w modelach będących wielomianami stopnia drugiego, w których występują co najmniej dwa składniki typu xi2, lub jeden taki składnik i wyraz wolny. W takich przypadkach macierz wejść będzie macierzą osobliwą, co pokazuje tabela 3.2. Jeżeli chcemy identyfikować takie człony, to musimy zastosować inne plany na przykład plan czynnikowy na
trzech poziomach.
Plan całkowitego eksperymentu czynnikowego na dwóch poziomach typu 2K spełnia następujące trzy warunki:
(i)
Jest symetryczny względem środka eksperymentu. Wszystkie doświadczenia
umieszczone są symetrycznie względem punktu centralnego (rysunek 3.2 i 3.3).
Wynika stąd następująca równość
K
∑x
i =1
ij
= 0,
j = 1, 2, ..., K
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
(3.16)
8
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
(ii)
Strona 9 z 21
Jest ortogonalny. Wszystkie iloczyny skalarne wektorów kolumnowych macierzy
eksperymentu X dla i ≠ j mają wartość zero
K
∑x
s =1
sj
∑x
i =1
i, j = 0, 1, 2, ..., K, i ≠ j
(3.17)
Sumy kwadratów wszystkich kolumn macierzy X wynoszą N.
(iii)
K
x si = 0 ,
2
ij
=N,
j = 1, 2, ..., K
(3.18)
Najistotniejszym warunkiem jest warunek (ii) czyli ortogonalność wektorów kolumnowych. Dzięki niemu macierz kowariancyjna (XTX)-1 jest macierzą diagonalną.
W eksperymencie czynnikowym na dwóch poziomach dla K czynników (zmiennych)
wykonać należy N = 2K różnych doświadczeń. Oznacza to, że w przypadku 3 zmiennych wykonujemy 23 = 8 doświadczeń na podstawie, których wyznaczyć możemy 8 współczynników
regresji modelu liniowego z interakcjami. W przypadku 10 zmiennych należałoby wykonać
210 = 1024 doświadczenia. Przy dalszym wzroście liczby zmiennych liczba doświadczeń w
eksperymencie rośnie wykładniczo i dla 30 zmiennych plan eksperymentu zawierałby 230 = 1
073 741 824 doświadczenia. Jeśliby wykonywać jedno doświadczenie na sekundę, to wykonanie takiego eksperymentu zajęłoby około 34 lat. Oznacza to, że wykonanie eksperymentu
czynnikowego całkowitego dla dużej liczby zmiennych (dużych K) jest praktycznie niemożliwe. W badaniach eksperymentalnych przyjmuje się, że liczbą graniczną jest 10 zmiennych.
Rozwiązaniem problemu jest zastosowanie tak zwanych eksperymentów ułamkowych (fractional factorial experiments) zawierających jedynie pewną liczbę doświadczeń z planu eksperymentu całkowitego. Eksperymenty takie zaproponowane zostały w 1945 roku przez D.J.
Finney’a.
Plany eksperymentów ułamkowych tworzy się tak, aby wszystkie trzy warunki (3.16),
(3.17) oraz (3.18) były w spełnione. Spełnienie warunku ortogonalności (3.17) wymaga, aby
plan eksperymentu całkowitego podzielić na 2, 4, 8 itd. części, czyli utworzyć tak zwane plany połówkowe, ćwiartkowe, ósemkowe itd.
Czynnikowe plany ułamkowe na dwóch poziomach często oznaczamy jako plany typu
2K-M, gdzie K to liczba zmiennych (czynników), a M to ułamkowość planu. W tej konwencji
zapisu M = 1 oznacza plany połówkowe, M = 2 oznacza plany ćwiartkowe, M = 3 – plany
ósemkowe i tak dalej.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
9
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 10 z 21
Podział planu całkowitego na plany ułamkowe nie jest jednoznaczny i dokonać go można
na różne sposoby. Jeden z nich to wykorzystanie kodów przypisywanych poszczególnym doświadczeniom.
Przyjmijmy, że mamy plan eksperymentu całkowitego dla K = 3 zmiennych wejściowych
t1, t2 i t3, zawierający 8 doświadczeń (tabela 3.2). Eksperyment ten pozwala na wyznaczenie
niezależnie nie więcej niż 8 współczynników funkcji regresji
ŷ = a0 + a1t1 + a 2 t 2 + a3t3 + a12 t1t 2 + a13t1t3 + a 23t 2 t3 + a123t1t 2 t3
(3.19)
Plan ten dzielimy na dwa plany połówkowe (po cztery doświadczenia w każdym) w ten
sposób, że pierwszy z nich zawierać będzie wiersze o kodach zawierających nieparzystą liczbę liter
a, b, c, abc
(3.20)
drugi natomiast parzystą
(1), ab, ac, bc
(3.21)
W tym zapisie wiersz nie zawierający zmiennych na górnym poziomie traktować będziemy za parzysty. Macierz eksperymentu dla pierwszego planu połówkowego przedstawia
tabela 3.4.
Tabela 3.4. Plan eksperymentu połówkowego typu 23-1. Wiersze nieparzyste.
Nr
t0
t1
t2
t3
t1 t2
t1 t3
t2 t3
t1 t2 t3
Kod
2
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
a
3
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
b
5
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
c
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
abc
Przyglądając się poszczególnym kolumnom tego planu zauważyć można, że kolumny t1
oraz t2t3, t2 oraz t1t3, t3 oraz t1t2 jak również t0 i kolumna t1t2t3 są identyczne (liniowo zależne).
Oznacza to, że na podstawie przedstawionego w tabeli 3.4 planu eksperymentu połówkowego
zawierającego 4 doświadczenia wyznaczyć możemy jedynie cztery parametry funkcji regresji
o czterech współczynnikach
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
10
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 11 z 21
′
′
′
′
ŷ = a 0 + a1 t1 + a 2 t 2 + a 3 t 3
(3.22)
Przy czym, jeśli prawdziwe współczynniki regresji α12, α13, α23, α123, są niezerowe, to
obliczone przez nas oszacowania będą łączną oceną następujących wyrażeń
′
E ⎛⎜ a 0 ⎞⎟ = α 0 + α 123
⎝ ⎠
′
E ⎛⎜ a1 ⎞⎟ = α 1 + α 23
⎝ ⎠
′
E ⎛⎜ a 2 ⎞⎟ = α 2 + α 13
⎝ ⎠
′
E ⎛⎜ a 3 ⎞⎟ = α 3 + α 12
⎝ ⎠
(3.23)
Oznacza to, że na podstawie planu połówkowego przedstawionego w tabeli 3.4 nie można rozdzielić wpływy tych czynników.
Tabela 3.5. Plan eksperymentu połówkowego typu 23-1. Wiersze parzyste.
Nr
t0
t1
t2
t3
t1 t2
t1 t3
t2 t3
t1 t2 t3
Kod
1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
(1)
4
+1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
-1
ab
6
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
ac
7
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
bc
Na podstawie drugiego planu połówkowego eksperymentu (3.21) utworzonego z wierszy
planu całkowitego o kodach parzystych (tabela 3.5), możemy identyfikować funkcję regresji o
postaci
″
″
″
″
ŷ = a 0 + a1 t1 + a 2 t 2 + a 3 t 3
(3.24)
Również w tym przypadku, jeśli prawdziwe współczynniki α12, α13, α23, α123, są niezerowe, to obliczone przez nas współczynniki regresji będą łączną oceną następujących wyrażeń
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
11
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 12 z 21
″
E ⎛⎜ a 0 ⎞⎟ = α 0 − α 123
⎝
⎠
″
E ⎛⎜ a1 ⎞⎟ = α 1 − α 23
⎝
⎠
″
E ⎛⎜ a 2 ⎞⎟ = α 2 − α 13
⎝
⎠
″
E ⎛⎜ a 3 ⎞⎟ = α 3 − α 12
⎝
⎠
(3.25)
Tak jak poprzednio wynika to z liniowej zależności odpowiednich kolumn planu eksperymentu.
Plan połówkowy (3.20) najlepiej charakteryzuje równość
t 1 t 2 t 3 = +1
(3.26)
natomiast plan (3.21) równość
t 1 t 2 t 3 = −1
(3.27)
Wyrażenie takie zwane jest równością charakterystyczną planu lub kontrastem określającym. Można tworzyć plany połówkowe które będą określone innymi równościami charakte-
rystycznymi. Na przykład plan zdefiniowany kontrastem określającym
t 1 t 2 = −1
(3.28)
będzie zawierał wiersze opisane kodami
a, b, ac, bc
(3.29)
i miał postać podaną w tabeli 3.6.
Tabela 3.6. Plan połówkowego eksperymentu typu 23-1 określonego kontrastem (3.28).
Nr
t0
t1
t2
t3
t1 t2
t1 t3
t2 t3
t1 t2 t3
Kod
2
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
a
3
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
b
6
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
ac
7
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
bc
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
12
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 13 z 21
Analizując poszczególne kolumny w tabeli 3.6 można dojść do wniosku, że ze względu
na liniową zależność odpowiednich kolumn, na podstawie tego planu zidentyfikować możemy funkcję regresji postaci
ŷ = a 0′′′ + a1′′′t1 + a 2′′′t 2 + a 3′′′t 3
(3.30)
Przy czym, jeśli prawdziwe współczynniki α2, α12, α23, α123, są niezerowe, to obliczone
przez nas współczynniki regresji będą łączną oceną następujących wyrażeń
E (a0′′′) = α 0 − α12
E (a1′′′) = α1 − α 2
E (a 2′′ ) = α 3 − α123
E (a3′′′) = α13 − α 23
(3.31)
jak stąd wynika, stosując plan połówkowy (3.29) nie można rozdzielić wpływu członów
liniowych α1 i α2. Można więc uznać, że plan ten ma mniejszą wartość praktyczną, aniżeli
wcześniejsze plany.
Ogólnie rzecz biorąc jeżeli mamy K = 3 zmienne i chcemy wyznaczyć funkcję regresji o
4 współczynnikach, to wygenerować można 8 różnych planów połówkowych o 4 doświadczeniach. W tym celu przyjąć można jeden z wariantów kontrastów określających
t 1 t 2 = +1
t 1 t 3 = +1
t 2 t 3 = +1
t 1 t 2 t 3 = +1
t 1 t 2 = −1
(3.32)
t 1 t 3 = −1
t 2 t 3 = −1
t 1 t 2 t 3 = −1
Rozpatrzmy teraz przypadek 4 zmiennych wejściowych t1, t2, t3, t4. Plan eksperymentu
całkowitego zawiera 24 = 16 doświadczeń i pozwala wyznaczyć funkcję regresji zawierającą
16 współczynników
ŷ = a 0 + a1t1 + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 +
+ a12 t1 t 2 + a13 t1 t 3 + a14 t1t 4 + a 23 t 2 t 3 + a 24 t 2 t 4 + a 34 t 3 t 4 +
(3.33)
+ a123 t1 t 2 t 3 + a124 t1 t 2 t 4 + a134 t1 t 3 t 4 + a 234 t 2 t 3 t 4 + a1234 t1t 2 t 3 t 4
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
13
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 14 z 21
Jeżeli chcemy wykonać eksperyment połówkowy, na który składa się 8 doświadczeń, to
możemy postąpić tak jak poprzednio na dwa sposoby: (i) albo wyodrębnić z planu doświadczenia o parzystej i nieparzystej liczbie liter w zapisie kodowym, albo (ii) zdefiniować kontrast określający.
W ten sposób z planu całkowitego
(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, bcd, abcd
(3.34)
wyodrębniając wiersze o nieparzystej liczbie liter, uzyskamy w zapisie kodowym plan
a, b, c, abc, d, abd, acd, bcd
(3.35)
zawierający 8 doświadczeń. Drugi plan połówkowy zawierać będzie pozostałe (o kodach parzystych) wiersze naszego planu całkowitego
(1), ab, ac, bc, ad, bd, cd, abcd
(3.36)
Plan połówkowy (3.35) umożliwia identyfikację funkcji regresji o 8 współczynnikach
′
′
′
′
′
′
′
′
ŷ = a 0 + a1 t1 + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + a12 t1t 2 + a13 t1 t 3 + a14 t1t 4
(3.37)
Jeżeli prawdziwe współczynniki regresji a23, a24, a34, a123, a124, a134, a234, a1234, są niezerowe, to obliczone przez nas współczynniki regresji będą łączną oceną następujących wyrażeń
E (a 0′′′) = α 0 − α 1234
E (a1′′′) = α 1 − α 234
E (a 2′′′) = α 2 − α 134
E (a3′′ ) = α 3 − α 124
E (a 4′′′) = α 4 − α 123
′′′ ) = α 12 − α 34
E (a12
′′′ ) = α 13 − α 24
E (a13
(3.38)
′′′ ) = α 14 − α 23
E (a14
Nie można rozdzielić wpływu tych czynników, bowiem odpowiednie wektory kolumnowe są liniowo zależne.
Ten plan połówkowy określa równość charakterystyczna
t1t 2 t 3 t 4 = −1
(3.39)
Można utworzyć inne plany połówkowe charakteryzowane innymi kontrastami określającymi.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
14
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 15 z 21
Aby utworzyć plan ćwiartkowy, stanowiący ¼ planu całkowitego, należy przyjąć dwie
równości charakterystyczne, na przykład
t1t 2 t 3 t 4 = +1
(3.40)
t1t 3 t 4 = −1
Plan taki uwzględniający kontrasty określające (3.40) w zapisie kodowym przyjmie postać
(1), ac, ad, cd
(3.41)
Natomiast w tabeli 3.7 przedstawiono jego pełny zapis. Plan ten pozwala na identyfikację
funkcji regresji postaci
′
′
′
′
yˆ = a 0 + a1 t1 + a3 t 3 + a 4 t 4
(3.42)
przy czym obliczone współczynniki regresji będą łączną oceną następujących wyrażeń
E (a0′′′) = α 0 − α 2 − α134 + α1234
E (a1′′′) = α1 − α12 − α 34 + α 234
(3.43)
E (a3′′) = α 3 − α14 − α 23 + α124
E (a 4′′′) = α 4 − α13 − α 24 + α123
co wynika z porównania odpowiednich kolumn w tabeli 3.7.
Tabela 3.7. Plan ułamkowy typu 24-2. Kontrasty określające (3.40).
Nr
t0
t1
t2
t3
t4
1
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
(1)
2
+
+
-
+
-
-
+
-
-
+
-
-
+
-
+
+
ac
3
+
+
-
-
+
-
-
+
+
-
-
+
-
-
+
+
ad
4
+
-
-
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
-
-
+
cd
t1t2 t1t3 t1t4 t2t3 t2t4 t3t4 t1t2t3 t1t2t4 t1t3t4 t2t3t4 t1t2t3t4 Kod
Przedstawione tu przykłady planów ułamkowych pokazują, że różne plany ułamkowe
charakteryzują się różną zdolnością rozdzielczą wpływów poszczególnych czynników. Należy również zwrócić uwagę na to, że wraz ze wzrostem ułamkowości planu jego zdolność rozdzielcza maleje i zależy ona od przyjętych równości charakterystycznych. Należy również
pamiętać, że liczba równości charakterystycznych zależy od ułamkowości planu. I tak plany
połówkowe (1/2) wymagają jednej równości charakterystycznej, plany ćwiartkowe (1/2)2
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
15
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 16 z 21
wymagają dwie równości charakterystyczne, ósemkowe (1/2)3 trzech równości charakterystycznych i tak dalej.
Podstawową właściwością planów czynnikowych na dwóch poziomach jest ich ortogonalność. Oznacza ona, że macierz informacyjna XTX jest macierzą diagonalną, której elementy diagonali głównej przyjmują wartości N. Wynika stąd, że wariancje wszystkich współczynników regresji są jednakowe i wynoszą
var(a j ) =
1 2
σ ,
N
j = 1, 2, ..., K
(3.44)
Jak z powyższej zależności wynika wariancje współczynników regresji są N razy
mniejsze aniżeli wariancje błędów pomiarów σ2. Wynika to z faktu, że w przeprowadzanym
eksperymencie czynnikowym jednocześnie zmieniamy wszystkie zmienne. W efekcie współczynniki wyznacza się na podstawie wszystkich N doświadczeń.
W tradycyjnie przeprowadzonym eksperymencie w kolejnych doświadczeniach zmieniać będziemy wartość tylko jednej zmiennej wejściowej, pozostałe zaś zmienne będą pozostawać na tym samym poziomie. W takim przypadku współczynniki regresji oceniane będą
tylko na podstawie małej części z N doświadczeń. Dlatego też wariancje poszczególnych
współczynników będą znacznie większe. Tak więc plany ortogonalne dzięki niezależności
ocen poszczególnych współczynników regresji charakteryzują się estymatorami o najmniejszej wariancji.
Szacując wariancję funkcji regresji ŷ 0 w punkcie t0, uwzględniając niezależność poszczególnych współczynników regresji otrzymujemy
( )
var yˆ 0 =
[1 + (t ) + (t ) + K + (t ) ]
N
σ2
0 2
1
0 2
2
0 2
K
(3.45)
W przypadku planów czynnikowych dwupoziomowych zachodzi równość
( ) + (t )
1 + t10
2
0 2
2
( )
+ K + t K0
2
= 1+ K
(3.46)
a więc otrzymujemy
( )
var yˆ 0 =
σ2
[1 + K ]
N
2
(3.47)
Oznacza to, że wariancja oszacowania wartości funkcji regresji w zadanym punkcie nie
zależy od jego położenia. Inaczej mówiąc otrzymana na podstawie planu czynnikowego dwuMariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
16
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 17 z 21
poziomowego funkcja regresji jest jednakowo dokładna dla wszystkich punktów jednakowo
odległych od punktu zerowego w przestrzeni zmiennych t, a informacja o funkcji y jest jednakowo rozłożona na pewnej kuli. Planowanie o kulistym rozkładzie informacji określane jest
mianem planowania rotatabilnego.
Jednoczesna zmiana wszystkich zmiennych wejściowych jest podstawową zaletą planów czynnikowych w porównaniu do planów tradycyjnych, w których dokonuje się kolejnych zmian poszczególnych zmiennych wejściowych.
Problem 3.1.
W reakcji otrzymywania tionouretanów jako substraty wykorzystuje się między innymi
kwas chlorooctowy oraz ksantogenian izobutylowosodowy. Wydajność tej reakcji zależy od
czasu i temperatury reakcji oraz stosunku molowego kwasu chlorooctowego do ksantogenianu izobutylowosodowego. Wcześniejsze badania pozwalają określić przedziały zmian dla
poszczególnych czynników wpływających na wydajność procesu (tabela 3.8).
Tabela 3.8. Przedziały zmian dla poszczególnych czynników wpływających na wydajność
otrzymywania tionouretanów.
Temperatura, K
x3
1800
Stosunek molowy
MClCH2COONa/MiBuXNa
x2
1.2
Poziom podstawowy
1200
1.1
288
Poziom dolny
600
1.0
278
Przedział zmian
600
0.1
10
Zmienna
Czas reakcji, s
x1
Poziom górny
298
Wprowadźmy nowe standaryzowane zmienne
x1 − 1200
600
x − 1. 1
t2 = 2
0. 1
x − 288
t3 = 3
10
t1 =
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
(3.48)
17
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 18 z 21
W tabeli 3.9 przedstawiono plan eksperymentu typu 23 oraz wydajności reakcji otrzymywania tionouretany w poszczególnych doświadczeniach.
Tabela 3.9. Plan eksperymentu typu 23 oraz uzyskane w poszczególnych doświadczeniach
wydajności reakcji otrzymywania tionouretanu.
Nr
t0
t1
t2
t3
t1 t2
t1 t3
t2 t3
t1 t2 t3 Wyd., %
1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
8.0
2
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
16.4
3
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
12.7
4
+1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
-1
22.5
5
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
43.0
6
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
56.7
7
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
52.2
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
67.4
W zapisie macierzowym eksperyment ten przedstawimy jako
⎡+ 1
⎢+ 1
⎢
⎢+ 1
⎢
+1
T=⎢
⎢+ 1
⎢
⎢+ 1
⎢+ 1
⎢
⎣+ 1
−1
+1
−1
+1
−1
+1
−1
+1
−1
−1
+1
+1
−1
−1
+1
+1
−1
−1
−1
−1
+1
+1
+1
+1
+1
−1
−1
+1
+1
−1
−1
+1
+1
−1
+1
−1
−1
+1
−1
+1
+1
+1
−1
−1
−1
−1
+1
+1
− 1⎤
+ 1⎥
⎥
+ 1⎥
⎥
− 1⎥
+ 1⎥
⎥
− 1⎥
− 1⎥
⎥
+ 1⎦
(3.49)
Obliczamy
⎡8
⎢0
TT T = ⎢
⎢M
⎢
⎣0
0
8
M
0
L
L
O
L
0⎤
0⎥
⎥ = 8I
M⎥
⎥
8⎦
(3.50)
oraz
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
18
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
(T T )
T
−1
⎡1
⎢8
⎢
= ⎢0
⎢
⎢M
⎢0
⎣⎢
Strona 19 z 21
⎤
0 L 0⎥
⎥
1
L 0⎥ = 1 I
8
⎥ 8
M O M⎥
1
0 L ⎥
8 ⎦⎥
(3.51)
gdzie I jest macierzą jednostkową.
A więc macierz informacyjna TTT jest macierzą diagonalną (3.50). Wszystkie elementy
diagonali głównej są identyczne i ich wartości wynoszą N = 8. Równie proste wyrażenie uzyskuje się dla macierzy kowariancyjnej (3.51) W przypadku ogólnym dla N = 2K doświadczeń
otrzymujemy
T T T = NI
(3.52)
oraz
(T T)
T
−1
=
1
I
N
(3.53)
stąd, współczynniki regresji
k = (T T T ) T T y =
−1
1 T
T y
N
(3.54)
Problem 3.2.
Zagadnienie dotyczy ważenia trzech przedmiotów [3]. Za pierwszym razem dokonujemy
tarowania wagi, a następnie w trzech pomiarach umieszczamy na wadze kolejno trzy przedmioty, jeden po drugim. Plan takiego tradycyjnego eksperymentu przedstawiono w tabeli
3.10.
Tabela 3.10. Plan tradycyjnego eksperymentu ważenia trzech przedmiotów.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
N
t1
t2
t3
y
1
-
-
-
y1
2
+
-
-
y2
3
-
+
-
y3
19
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 20 z 21
4
-
-
+
y4
Ciężary poszczególnych przedmiotów określamy jako różnice odpowiednich wyników
ważenia
k1 = y 2 − y1
k 2 = y 3 − y1
(3.55)
k 3 = y 4 − y1
Przyjmując, że pomiary y1, y2, y3, y4 wykonywane są z tym samym błędem, o wariancji
σ2, oraz przyjmując niezależność poszczególnych pomiarów otrzymujemy, że wariancje obliczonych ciężarów są dwukrotnie większe
var(k1 ) = var(k 2 ) = var(k 3 ) = 2σ 2
(3.56)
Tabela 3.11. Plan czynnikowego eksperymentu ważenia trzech przedmiotów.
N
t1
t2
t3
y
1
-
-
-
y1
2
+
+
-
y2
3
+
-
+
y3
4
-
+
+
y4
W przypadku analizy czynnikowej obiektu o 3 zmiennych wejściowych przeprowadzić
można 8 różnych doświadczeń. Przyjmijmy plan połówkowy zawierający parzyste liczby
przedmiotów (tabela 3.11).
Za pierwszym razem podobnie jak poprzednio tarujemy wagę. Następnie w kolejnych
pomiarach kładziemy na wadze po dwa przedmioty równocześnie. Ciężary poszczególnych
przedmiotów obliczamy
1
(− y1 + y 2 + y3 − y 4 )
2
1
k 2 = (− y1 + y 2 − y1 + y 4 )
2
1
k 3 = (− y1 − y 2 + y 3 + y 4 )
2
k1 =
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
(3.57)
20
Metody Planowania Eksperymentu
Rozdział 3
Plany Czynnikowe Dwupoziomowe
Strona 21 z 21
Wyrażenia w nawiasach mają wariancję 4σ2. Biorąc jednakże pod uwagę niezależność
współczynników, z wzoru (3.44) otrzymamy, że wariancje wag poszczególnych przedmiotów
wynoszą
var(k1 ) = var(k 2 ) = var(k 3 ) = σ 2
(3.58)
czyli są dwukrotnie mniejsze, aniżeli przy tradycyjnym planie eksperymentu.
Mariusz B. Bogacki
Zakład Inżynierii Procesowej
Politechnika Poznańska
21