obszary flatterowej i dywergencyjnej niestateczności ramy typu γ

obszary flatterowej i dywergencyjnej niestateczności ramy typu γ

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
41, s. 403-410, Gliwice 2011
ISSN 1896-771X
OBSZARY FLATTEROWEJ I DYWERGENCYJNEJ
NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU Γ
PRZY OBCIĄŻENIU UOGÓLNIONYM BECKA
LECH TOMSKI, JANUSZ SZMIDLA
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska
e-mail: [email protected]
Streszczenie. W pracy prezentuje się badania teoretyczne oraz obliczenia
numeryczne dotyczące drgań swobodnych prostokątnej dwu-prętowej ramy przy
obciążeniu uogólnionym Becka. Na podstawie całkowitej energii mechanicznej
wyznacza się równania ruchu i warunki brzegowe rozpatrywanego układu.
Rozwiązanie zagadnienia brzegowego prowadzi do odpowiednich zależności na
zakres zmian wartości obciążenia krytycznego oraz częstości drgań własnych
w funkcji obciążenia zewnętrznego. Wyniki obliczeń numerycznych prezentuje
się przy wybranych parametrach fizycznych i geometrycznych ramy płaskiej.
1. WSTĘP
W literaturze naukowej, dotyczącej stateczności smukłych układów sprężystych, opisane
są obciążenia konserwatywne i niekonserwatywne. Obciążenie Eulera i siłą skierowaną do
bieguna [1] zalicza się do obciążenia konserwatywnego. Przypadkami obciążenia
niekonserwatywnego są: obciążenie uogólnione Becka [2] oraz obciążenie Reuta [3].
Wymienione przypadki obciążeń charakteryzuje określony przebieg krzywych na
płaszczyźnie: obciążenie - częstość drgań własnych. Istnieją układy typu dywergencyjnego
(obciążenie konserwatywne), typu flatterowego (obciążenie niekonserwatywne) oraz
hybrydowego. Układy typu hybrydowego [4] łączą cechy układów typu dywergencyjnego
i flatterowego. Na typ utraty stateczności układów smukłych przy obciążeniu uogólnionym
Becka ma wpływ między innymi współczynnik śledzenia obciążenia, sztywność sprężyn
translacyjnych i rotacyjnych lub wartość masy skupionej.
Układy ramowe klasyfikuje się jako otwarte lub zamknięte [5, 6]. Ramy zamknięte [7, 8]
to takie, na końcach których występują struktury podporowe lub głowice realizujące
obciążenie. W przypadku ram otwartych [9] co najmniej jeden z końców układu jest
swobodny. Biorąc pod uwagę kryteria utraty stateczności oraz rodzaje obciążeń ram płaskich
przeprowadzono obszerne badania teoretyczne i numeryczne odnośnie do ich stateczności. W
zakresie badań zamkniętych ram płaskich wyznaczono wartości obciążenia krytycznego [7, 8,
10 - 14] oraz przebieg zmian częstości drgań własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego [9,
12 - 14] przy przyjętych rozwiązaniach konstrukcyjnych układów. W większości publikacji
naukowych rozważano konstrukcje ram o kształcie kątownika – ramy typu Γ [7 – 11, 13],
ramy trzyprętowe – ramy typu T [12 – 14] lub układy złożone z pewnej liczby ram prostych
(portalowe) [15].
404
L. TOMSKI, J. SZMIDLA
W niniejszej pracy rozwiązano zagadnienie stateczności i drgań własnych dwu-prętowej
zamkniętej ramy płaskiej typu Γ, poddanej obciążeniu uogólnionemu Becka. Na podstawie
zasady Hamiltona, wyznaczono równania ruchu i warunki brzegowe, niezbędne do
rozwiązania zagadnienia brzegowego. Uwzględniając przyjęte parametry geometryczne oraz
fizyczne układu, w tym współczynnika śledzenia obciążenia zewnętrznego ramy płaskiej,
przedstawiono wyniki obliczeń teoretycznych i numerycznych. Podano zakres wartości
obciążenia krytycznego oraz przebieg zmian częstości drgań własnych w funkcji obciążenia
zewnętrznego. Analizowano wpływ współczynnika asymetrii sztywności na zginanie słupa
i rygla ramy oraz współczynnika śledzenia na obszary niestateczności dywergencyjnej
i flatterowej układu.
2. MODEL FIZYCZNY, ENERGIA MECHANICZNA UKŁADU
Na rys.1 przedstawiono sposób obciążenia oraz sposób zamocowania rozpatrywanego
układu typu Γ. Rama składa się dwóch prętów o sztywnościach na zginanie (EJ1), (EJ2) oraz
masy przypadającej na jednostkę długości (ρA1), (ρA2). Rygiel ramy o sztywności na zginanie
oraz słup ramy o sztywności na zginanie (EJ1) zamocowane są w sposób sztywny.
Rys. 1. Model fizyczny ramy płaskiej przy obciążeniu uogólnionym Becka
Pręty układu (słup i rygiel) połączono w ten sposób, że kąty ugięcia obu członów ramy są
sobie równe. Rygiel ramy ma dodatkowo możliwość przemieszczenia w kierunku
wzdłużnym. W przypadku rozważanego obciążenia uogólnionego Becka, słup ramy
obciążony jest siłą skupioną P, której kierunek działania przechodzi przez punkt
połączenia słupa i rygla. Kierunek działania obciążenia zewnętrznego opisano
współczynnikiem śledzenia obciążenia η w odniesieniu do kąta ugięcia końca słupa ramy
(η∈〈0,1〉).
Energia kinetyczna T, rozważanej ramy płaskiej, jest sumą energii kinetycznej
poszczególnych jej prętów :
OBSZARY FLATTEROWEJ I DYWERGENCYJNEJ NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU Γ PRZY … 405
2
T = ∑
(ρAi ) l ⎡ ∂Wi (xi , t )⎤ 2 dx
i
i =1
∫⎢
0⎣
2
⎥⎦
∂t
(1)
i
W zapisie energii potencjalnej V uwzględnia się sprężystość zginania poszczególnych prętów
układu oraz kierunek działania obciążenia zewnętrznego:
(EJ i ) l ⎡ ∂ 2Wi (xi , t )⎤
2
V = ∑
∫⎢
⎢
0⎣
2
i =1
2
P l1 ⎡ ∂W1 (x1 , t )⎤
dx1
⎥ dxi − ∫ ⎢
2 0 ⎣ ∂x1 ⎥⎦
⎦⎥
i
∂xi2
2
(2)
Biorąc pod uwagę niepotencjalną składową obciążenia określonego współczynnikiem
śledzenia η (por. rys.1) wyznacza się dodatkowo zależność opisującą pracę sił
niezachowawczych L w rozważanym układzie:
L = − Pη
3.
SFORMUŁOWANIE
BRZEGOWE
∂W1 (x1 , t )
∂x1
x1 = l1
ZAGADNIENIA,
W1 (l1 , t )
(3)
RÓWNANIA
RUCHU,
WARUNKI
Zagadnienie brzegowe formułuje się na podstawie kinetycznego kryterium stateczności.
Bierze się od uwagę zasadę Hamiltona, która w odniesieniu do układów niekonserwatywnch
jest wyrażona wzorem:
t2
δ ∫ (T − V + L )dt = 0
(4)
t1
Geometryczne warunki brzegowe i warunki ciągłości rozpatrywanej ramy płaskiej są
następujące:
∂W2 ( x 2 , t )
∂W1 ( x1 , t )
=
= 0,
W1 (0, t ) = W2 (0, t ) =
(5a÷d)
∂x1
∂x 2
x =0
x =0
1
∂W1 (x1 , t )
∂x1
x1 = l1
2
∂W2 (x2 , t )
=
∂x 2
x2 =l2
(5e)
Podstawiając związki (1), (2), (3) do zasady Hamiltona (4), po uprzednim wykorzystaniu
odpowiednich warunków brzegowych (5a÷e), otrzymano:
- równania ruchu
(EJ 1 ) ∂
W1 (x1 , t )
4
∂x14
(EJ 2 ) ∂
+P
∂ 2W1 (x1 , t )
W2 (x 2 , t )
4
∂x 24
∂x12
+ (ρA2 )
+ (ρA1 )
∂ 2W1 (x1 , t )
∂ 2W2 (x 2 , t )
∂t 2
∂t 2
= 0,
- warunki brzegowe w punkcie połączenia słupa i rygla ramy:
=0
(6a,b)
406
L. TOMSKI, J. SZMIDLA
∂ 3W1 (x1 , t )
x1 = l1
∂x13
∂ 2W1 (x1 , t )
∂x12
P (1 − η ) ∂W1 (x1 , t )
+
(EJ1 )
∂x1
x1 = l1
+μ
∂ 2W2 (x 2 , t )
x1 = l1
−
x2 = l2
∂x22
= 0,
m ∂ 2W1 (x1 , t )
=0
(EJ1 ) ∂t 2
∂ 3W2 ( x2 , t )
∂x 23
x2 =l2
(7a÷c)
= 0,
przy czym współczynnik asymetrii sztywności na zginanie μ pomiędzy ryglem a słupem ramy
płaskiej wyrażono związkiem:
μ=
(EJ 2 )
(EJ1 )
(8)
4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
Biorąc pod uwagę przyjęty model matematyczny, wykonano obliczenia numeryczne
dotyczące stateczności i drgań swobodnych rozważanego układu. Na podstawie równań ruchu
(6a,b) oraz warunków brzegowych (5a÷e), (7a÷c) rozwiązano zagadnienie brzegowe
uwzględniając statyczne i kinetyczne kryterium stateczności układu [16, 17]. Wyprowadzono
równanie przestępne na wartość obciążenia krytycznego przy zmianie współczynnika
śledzenia w zakresie η∈〈0, 0.5〉 oraz równanie przestępne na częstość drgań własnych ω w
pełnym zakresie rozpatrywanego w pracy współczynnika śledzenia η∈〈0, 1〉. Zagadnienie
rozwiązano przy wykorzystaniu algorytmów numerycznych dostępnych w środowisku C++.
Analizowano wpływ współczynnika śledzenia obciążenia η w zakresie η∈〈0,1〉 i
współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ na typ utraty stateczności ramy płaskiej.
Rys. 2. Zmiana krytycznego parametru obciążenia λc w funkcji wartości
współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ.
W obliczeniach uwzględniono stałą sztywność na zginanie (EJ1) słupa ramy oraz stałą,
równą długość l1, l2 elementów składowych układu (ϕ=l2/l1=1) Zmianę wartości
współczynnika μ uzyskano, przyjmując zmienną sztywność na zginanie (EJ2) rygla ramy.
OBSZARY FLATTEROWEJ I DYWERGENCYJNEJ NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU Γ PRZY … 407
Wyznaczone zakresy zmian wartości częstości drgań własnych ω w funkcji obciążenia
zewnętrznego P, wartości obciążenia krytycznego Pkr wyrażono we współrzędnych
bezwymiarowych:
(ρA1 )ω 2l14
P l2
P l12
(9a÷c)
λc = kr 1 , λ =
Ω =
,
(EJ1 )
(EJ1 )
(EJ1 )
Na rys. 2 zaprezentowano zakres zmian obciążenia krytycznego ramy płaskiej w funkcji
zmiany wartości współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ przy wybranych
wartościach współczynnika śledzenia obciążenia η. W zakresie zmiany współczynnika
śledzenia obciążenia η ∈ 〈0, 0.5) rozpatrywany układ traci stateczność na skutek wyboczenia
słupa ramy (D - niestateczność dywergencyjna), niezależnie od sztywności jej rygla (EJ2).
Przy wartościach współczynnika η ∈ (0.5, 1〉 oraz wartościach współczynnika asymetrii
sztywności na zginanie μ ∈ (0, μgr) utrata stateczności ramy płaskiej następuje w wyniku
rosnących amplitud drgań oscylacyjnych (F- niestateczność flatterowa). Przy μ =μgr ma
miejsce „przeskok” z niestateczności flatterowej na dywergencyjną (F – D), co charakteryzuje
układy hybrydowe. W pozostałym zakresie współczynnika μ (μ >μgr) ma miejsce
niestateczność dywergencyjna. Sztywność na zginanie rygla ramy (EJ2) nie ma wpływu na
wartość obciążenia krytycznego ramy płaskiej przy współczynniku śledzenia η = 0.5.
Rys. 3. Zmiana krytycznego parametru obciążenia λc w funkcji wartości
współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ ∈ (0, 0.5〉.
Dodatkowo wykazano (rys.2, rys.3), że współczynnik asymetrii sztywności na zginanie μ ma
wpływ na charakter flatterowej utraty stateczności układu. O wartości i charakterze zmian
obciążenia krytycznego decyduje przebieg zmian częstotliwości drgań własnych w funkcji
obciążenia zewnętrznego co przedstawiono na rys. 4a-c, 5a-c W przypadku niestateczności
dywergencyjnej (D) przejście ze stanu statecznego w niestateczny zachodzi gdy krzywa
podstawowej częstości drgań własnych (Ω 1) przecina oś rzędnych w punkcie Ω 1 = 0,
odpowiadającemu obciążeniu wyboczeniowemu (rys.4a, rys.5c). W zakresie niestateczności
flatterowej (F) utrata stateczności układu występuje gdy Ω i=Ω i+1 (i=1, 2). Przy
rozpatrywanym w pracy zakresie zmian współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ w
zakresie μ ∈ (0, μ’gr) zjawisko niestateczności flatterowej (F) zachodzi pomiędzy drugą (Ω 2) i
trzecią
408
L. TOMSKI, J. SZMIDLA
Rys. 4a-c. Krzywe na płaszczyźnie: parametr obciążenia λc- parametr częstości drgań
własnych Ω przy μ = 0.116.
Rys. 5a-c. Krzywe na płaszczyźnie: parametr obciążenia λc- parametr częstości drgań
własnych Ω przy η = 1.
(Ω 3 ) częstością drgań własnych (F(Ω 2-Ω 3)), co przedstawiono na rys.4c, rys.5a. Przy
współczynniku μ ∈ (μ’gr, μgr) zjawisko flatteru ma miejsce natomiast przy warunku Ω 1 = Ω 2
OBSZARY FLATTEROWEJ I DYWERGENCYJNEJ NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU Γ PRZY … 409
(F(Ω 1-Ω 2)) – (rys.4a, rys.5b). Charakter zmian flatterowej siły krytycznej Pkr przedstawiono
na rys.2, rys.3 – linie: (8a÷11a.), (7b÷11b).
Na podstawie przeprowadzonych symulacji numerycznych wyznaczono również przebiegi
zmian częstości drgań własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego, które charakteryzują
układ typu hybrydowego (rys.4a – linia (5), rys. 5c- linia (1)). Przykładowy przebieg zmian
wartości własnych, przy którym zjawisko niestateczności flatterowej występuje jednocześnie
przy pierwszej i drugiej (F(Ω 1-Ω 2)) oraz drugiej i trzeciej (F(Ω 2-Ω 3)) częstości drgań
własnych zaprezentowano na rys. 4b.
Rys. 6. Obszar dywergencyjnej i flatterowej utraty stateczności w funkcji
współczynnika śledzenia η oraz współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ.
Przeprowadzone badania teoretyczne i numeryczne umożliwiły wyznaczenie obszarów
dywergencyjnej (D) i flatterowej (F) niestateczności ramy płaskiej poddanej obciążeniu
uogólnionemu Becka (rys. 6) przy przyjętym zakresie zmian wartości współczynnika
śledzenia obciążenia η oraz asymetrii sztywności na zginanie pomiędzy ryglem a słupem
układu. Wykazano, że przy odpowiednim doborze współczynnika asymetrii sztywności na
zginanie rozpatrywana rama płaska jest układem typu dywergencyjnego, w całym zakresie
przyjętych w obliczeniach wartości współczynnika śledzenia obciążenia η ∈ 〈0, 1〉.
Praca wykonana w ramach Badań Statutowych BS – 1-101/302/99/P oraz grantu nr
N N501 117236 finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego.
LITERATURA
1. Leipholz H. H. E.: On conservative elastic systems of the first and second kind.
“Ingenieur-Archiv” 1974, 43, p. 255-271.
2. Beck M.: Die Kniclast des einseitig eingespannten tangential gedruckten Stabes. ZAMP
4, 1953, 225-228, S. 476-477.
3. Nemat-Nasser S., Herrmann G.: Adjoint Systems in Nonconservative Problems of Elastic
Stability, AIAA Journal 4(12), 1966, s.2221-2222.
4. Sundararajan C.: Influence of an elastic end support on the vibration and stability of
Beck’s column. “Int. J. Mech. Sci.” 1976, 18, p. 239−241.
5. Heppler G.R., Oguamanam D.C.D., Hansen J.S.: Vibration of a two-member open frame.
“Journal of Sound and Vibration” 2003, 263(2), p. 299–317.
410
L. TOMSKI, J. SZMIDLA
6. Oguamanam D.C.D., Heppler G.R., Hansen J.S.: Vibration of arbitrarily oriented two
member open frames with tip mass. “Journal of Sound and Vibration” 1998, 209, 4, p.
651 – 669.
7. Godley M. H. R., Chilver A. H.: Elastic buckling of overbraced frames. “Journal
Mechanical Engineering Science” 1970, 12, 4, p. 238 – 247.
8. Kounadis A. N., Giri J., Simitses G. J.: Divergence buckling of a simple frame subject to
a follower force. “Journal Appl. Mech. Trans. of the ASME” 1978, 45, p. 426 – 428.
9. Bang H.: Analytical solution for dynamic analysis of a flexible L-shaped structure.
“Journal of Guidance, Control and Dynamics” 1996, 19(1), p. 248 –250.
10. Kounadis A. N., Ioannidis G. I.: The primary bending effect and the buckling boundaryvalue problem in elastic framed structures. “Engineering Structures” 1997, 19, 6, p. 432 438.
11. Rallis N. S., Kounadis A. N.: Nonlinear sway – bucking of geometrically imperfect
rectangular frames. “Ing. Arch.”1985, 55, p. 90 – 97.
12. Szmidla J.: Vibrations and stability of T – type frame loaded by longitudinal force in
relation to its bolt. “Thin Walled Structures” 2007, 45, 10 -11, p. 931 – 935.
13. Szmidla J.: Stateczność i drgania ramy typu Γ obciążonej siłą skierowaną do bieguna. W:
Stability of Structures. XIIth Symposium, Zakopane 2009, s.395 – 402
14. Przybylski J., Tomski L. :Postbuckling behaviour of T – frame with reinfoced vertical
bar. In: Stability of Steel Structures, ed. by M.Ivanyi, Vol.1. Akademiai Kiado, Publishing
House of Hungarian Academy of Science, Budapest, 1995, p. 173 – 180.
15. Simitses G. J.,. Hodges D. H.: Fundamentals of structural stability. Chapter 4: buckling of
frames. Butterworth – Heinemann, Elsevier Inc., 2006, p. 103-144.
16. Wesołowski Z.: Zagadnienia dynamiczne nieliniowej teorii sprężystej. Warszawa: PWN,
1974.
17. Ziegler H.: Principles of structural stability. Waltham, 1968.
THE REGIONS OF FLUTTER AND DIVERGENCE INSTABILITY OF A Γ TYPE
PLANAR FRAME SUBJECTED TO BECK’S GENERALISED LOAD
Summary. The theoretical research and numerical calculations concerning free
vibration of rectangular two-rod frame at generalized Beck’s load are presented in
the paper. On the basis of total mechanical energy equations of motion and
boundary conditions of analyzed system are determined. The solution of boundary
value problem leads to determine of appropriate relationships to range of changes
of critical load values and free vibration frequencies in function of external load.
Results of numerical calculations carried out at the chosen of physical and
geometrical parameters of flat frame.