F x

PRZYBLIĩONE METODY
ROZWIĄZYWANIA
RÓWNAē
Metody kolejnych przybliĪeĔ
Metody kolejnych przybliĪeĔ
Twierdzenie . (Bolzano – Cauchy’ego)
JeĪeli funkcja F(x) jest ciągáa w przedziale domkniĊtym
[a,b] i F(a)⋅F(b) < 0, to miĊdzy punktami a i b znajduje siĊ
co najmniej jeden pierwiastek równania F(x) = 0.
Twierdzenie 2.
JeĪeli w przedziale [a, b] speánione są zaáoĪenia twierdzenia .
i dodatkowo sgn F ′(x) = const dla x∈[a,b], to przedziaá ten
jest przedziaáem izolacji pierwiastka równania F(x) = 0.
3
Metody kolejnych przybliĪeĔ
Przebieg funkcji miĊdzy punktami a i b
4
Metody kolejnych przybliĪeĔ
Przykáad
Sprawdziü czy podany przedziaá jest przedziaáem izolacji
jednego pierwiastka równania F(x) = 0.
F ( x) = x3 − 3x 2 − 2 x + 5
[a, b] = [1,2]
5
Metody kolejnych przybliĪeĔ
F (a) = F (1) = 13 − 3 ⋅12 − 2 ⋅1 + 5
=1
F (b) = F (2) = 23 − 3 ⋅ 22 − 2 ⋅ 2 + 5
= −3
PoniewaĪ:
F (1) ⋅ F (2) < 0
to wiadomo, Īe pomiĊdzy punktami a i b znajduje siĊ co
najmniej jeden pierwiastek równania F(x) = 0.
6
Metody kolejnych przybliĪeĔ
d F ( x)
= 3x 2 − 6 x − 2
dx
2
F ′( a ) = F ′(1) = 3 ⋅1 − 6 ⋅1 − 2 = −5
F ′( x) =
2
F ′(b) = F ′(2) = 3 ⋅ 2 − 6 ⋅ 2 − 2 = −2
PoniewaĪ:
sgn F ′( x) = const
dla
x ∈ [ a, b]
czyli funkcja ma staáy znak w przedziale [a,b],
to przedziaá [a, b] jest przedziaáem izolacji jednego pierwiastka
równania F(x) = 0.
7
Metoda bisekcji
Metoda bisekcji
Niech [a,b] bĊdzie przedziaáem izolacji pierwiastka równania
F(x) = 0.
Jako pierwsze dwa wyrazy ciągu przybliĪeĔ przyjmuje siĊ:
x1 = a
x2 = b
Kolejne przybliĪenia wynikają ze wzoru:
xi −1 + xk
xi =
, k ∈ [1,(i − 2)], i > 2
2
9
Metoda bisekcji
k dobierane jest tak, aby:
xi − xi −1 ≈ xi − xk
F ( xi −1 ) F ( xi ) < 0
10
Metoda bisekcji
11
Metoda bisekcji
PoniewaĪ kolejne przybliĪenia znajdują siĊ kaĪdorazowo w
przedziaáach izolacji, oraz
xi +1 − xi < xi − xi −1
Metoda jest zbieĪna
12
Metoda bisekcji
Zaleta metody: prostota
Wada metody: wolna zbieĪnoĞü procesu iteracyjnego
13
Metoda bisekcji
Algorytm
x1 = a
x2 = b
­i = 1, 2,..., m
°
x +x
°x = 1 2
2
°
° y = F ( x)
®
° y1 = F ( x1 )
°
° jeĪeli y ⋅ y1 > 0 to x1 = x
°w przeciwnym wypadku x = x
2
¯
14
Metoda bisekcji
Przykáad
Dla funkcji i przedziaáu izolacji z poprzedniego przykáadu
obliczyü metodą bisekcji pierwiastek równania F(x) = 0 z
dokáadnoĞcią ε.
[a, b] = [1,2]
F ( x) = x3 − 3x 2 − 2 x + 5
x1 = a = 1 x2 = b = 2
ε = 0.1
F ( xi ) < ε
15
Metoda bisekcji
. iteracja
x1 = 1 x2 = 2
x1 + x2
1+ 2
x=
=
= 1.5
2
2
y = F ( x) = F (1.5) = −1.375
F ( x) > ε
y1 = F ( x1 ) = F (1)
y ⋅ y1 = −1.375
=1
<0
x2 = x = 1.5
16
Metoda bisekcji
2. iteracja
x1 = 1 x2 = 1.5
x1 + x2 1 + 1.5
x=
=
= 1.25
2
2
y = F ( x) = F (1.25) = −0.234
F ( x) > ε
y1 = F ( x1 ) = F (1)
y ⋅ y1 = −0.234
=1
<0
x2 = x = 1.25
17
Metoda bisekcji
3. iteracja
x1 = 1 x2 = 1.25
x1 + x2 1 + 1.25
x=
=
= 1.125
2
2
y = F ( x) = F (1.125) = 0.376
F ( x) > ε
y1 = F ( x1 ) = F (1)
y ⋅ y1 = 0.376
=1
>0
x1 = x = 1.125
18
Metoda bisekcji
4. iteracja
x1 = 1.125 x2 = 1.25
x1 + x2
x=
2
1.125 + 1.25
=
= 1.1875
2
y = F ( x) = F (1.1875)
= 0.069
F ( x) < ε
Pierwiastek:
x = 1.1875
19
Metoda ciĊciw
Metoda ciĊciw
Rozwiązanie równania F(x) = 0 jest przybliĪone ciągiem miejsc
zerowych
ciĊciw
poprowadzonych
miĊdzy
punktami
stanowiącymi koĔce kolejnych przedziaáów izolacji.
21
Metoda ciĊciw
22
Metoda ciĊciw
Równanie ciĊciw, moĪna zapisaü w postaci:
y − F ( xi −1 )
x − xi −1
=
F ( xk ) − F ( xi −1 ) xk − xi −1
xk – drugi kraniec przedziaáu izolacji [xi−1,xk]
Czyli pierwszą ciĊciwĊ prowadzimy miedzy punktami:
( a, F (a )) (b, F (b))
23
Metoda ciĊciw
Dla y = 0:
xk − xi −1
xi = xi −1 − F ( xi −1 )
F ( xk ) − F ( xi −1 )
∗
24
Metoda ciĊciw
ZaáoĪenie:
W przedziale [a,b], lub w kolejnym przedziale izolacji znak
drugiej pochodnej funkcji F(x) nie zmienia siĊ.
∗
Wyrazy ciągu
dają przybliĪenie pierwiastka
z niedomiarem lub nadmiarem.
25
Metoda ciĊciw
PrzybliĪenie z niedomiarem:
F ′( x) > 0 F ′′( x) > 0
lub
F ′( x) < 0 F ′′( x) < 0
wtedy:
xi < xi +1 < xi + 2 < ... < x*
26
Metoda ciĊciw
PrzybliĪenie z nadmiarem:
F ′( x) > 0 F ′′( x) < 0
lub
F ′( x) < 0 F ′′( x) > 0
wtedy:
xi > xi +1 > xi + 2 > ... > x*
Przy czym dwie sąsiednie wartoĞci ciągu przybliĪeĔ związane
są wzorem
∗
27
F ′( x) > 0
F ′′( x) > 0
Metoda ciĊciw
F ′( x) < 0
F ′′( x) < 0
Oszacowanie pierwiastka z niedomiarem
28
F ′( x) > 0
F ′′( x) < 0
Metoda ciĊciw
F ′( x) < 0
F ′′( x) > 0
Oszacowanie pierwiastka z nadmiarem
29
Metoda ciĊciw
Ciąg {xi} jest monotoniczny i ograniczony, posiada wiĊc granicĊ:
lim xi = g
i →∞
czyli:
xk − g
lim{xi } = g − F ( g )
i →∞
F ( xk ) − F ( g )
=g
stąd wynika:
F (g) = 0
g = x*
co dowodzi zbieĪnoĞci metody.
30
Metoda ciĊciw
xk – punkt staáy pĊku ciĊciw
Lewy lub prawy kraniec przedziaáu [a,b], czyli xk = a lub xk = b.
x ∈ [ a, b],
F ′( x) ⋅ F ′′( x) > 0
xk = b
x ∈ [ a, b],
F ′( x) ⋅ F ′′( x) < 0
xk = a
31
Metoda ciĊciw
Przykáad
Dla funkcji i przedziaáu izolacji z poprzedniego przykáadu
obliczyü metodą ciĊciw pierwiastek równania F(x) = 0 z
dokáadnoĞcią ε.
F ( x) = x3 − 3x 2 − 2 x + 5
[a, b] = [1,2]
ε = 0.1
F ′( x) = 3 x 2 − 6 x − 2
F ′′( x) = 6 x − 6
32
Metoda ciĊciw
OkreĞlenie punktu pĊku ciĊciw xk:
a+b
z=
2
1+ 2
=
= 1.5
2
F ′( z ) = F ′(1.5)
= −4.25
F ′′( z ) = F ′′(1.5)
=6
F ′( z ) ⋅ F ′′( z ) < 0
xk = a = 1
F ( xk ) = 1
x1 = b = 2
F ( x1 ) = −3
33
Metoda ciĊciw
. iteracja
xk − x1
x2 = x1 − F ( x1 )
F ( xk ) − F ( x1 )
F ( x2 ) = F (1.25)
= 1.25
= −0.234
F ( x) > ε
34
Metoda ciĊciw
2. iteracja
xk − x2
x3 = x2 − F ( x2 )
F ( xk ) − F ( x2 )
F ( x3 ) = F (1.202)
= 1.202
= −0.0017576
F ( x) < ε
Pierwiastek:
x = 1.202
35
Metoda stycznych
(Newtona)
Metoda stycznych
Rozwiązanie równania F(x) = 0 w przedziale [a,b] jest
przybliĪone ciągiem miejsc zerowych stycznych do
funkcji F(x).
37
Metoda stycznych
38
Metoda stycznych
Równanie stycznej w punkcie xi−1:
y − F ( xi −1 ) = F ′( xi −1 )( x − xi −1 )
Dla y = 0:
F ( xi −1 )
,
xi = xi −1 −
F ′( xi −1 )
i >1
39
Metoda stycznych
Wybór pierwszego przybliĪenia x1 = a lub x1 = b:
F ′( x) ⋅ F ′′( x) > 0
x1 = b
F ′( x) ⋅ F ′′( x) < 0
x1 = a
JeĪeli druga pochodna w przedziale izolacji nie ma staáego
znaku, to proces iteracyjny moĪe byü rozbieĪny
40
F ′( x) > 0
F ′′( x) < 0
Metoda stycznych
F ′( x) < 0
F ′′( x) > 0
Wybór pierwszego przybliĪenia w metodzie stycznych
41
F ′( x) > 0
F ′′( x) > 0
Metoda stycznych
F ′( x) < 0
F ′′( x) < 0
Wybór pierwszego przybliĪenia w metodzie stycznych c. d.
42
Metoda stycznych
Przykáad
Dla funkcji i przedziaáu izolacji z poprzedniego przykáadu
obliczyü metodą stycznych pierwiastek równania F(x) = 0
z dokáadnoĞcią ε.
F ( x) = x3 − 3x 2 − 2 x + 5
[a, b] = [1,2]
ε = 0.1
F ′( x) = 3 x 2 − 6 x − 2
F ′′( x) = 6 x − 6
43
Metoda stycznych
a+b
z=
2
1+ 2
=
= 1.5
2
F ′( z ) ⋅ F ′′( z ) < 0
x1 = a = 1
F ( x1 ) = 1
F ′( x1 ) = −5
44
Metoda stycznych
. iteracja
F ( x1 )
x2 = x1 −
F ′( x1 )
= 1.2
F ( x2 ) = 0.008
F ( x) < ε
MoĪna przerwaü obliczenia!
F ′( x2 ) = −4.88
45
Metoda stycznych
2. iteracja
F ( x2 )
x3 = x2 −
F ′( x2 )
= 1.202
F ( x3 ) = −0.00176
F ( x) < ε
46
Metoda stycznych
- inny wariant
Metoda stycznych – inny wariant
48
Metoda stycznych – inny wariant
F ( xi −1 )
, x1 = a lub x1 = b, i > 1
xi = xi −1 −
F ′( x1 )
49
Metoda stycznych – inny wariant
Przykáad
Dla funkcji i przedziaáu izolacji z poprzedniego przykáadu
obliczyü metodą stycznych pierwiastek równania F(x) = 0
z dokáadnoĞcią ε.
F ( x) = x3 − 3x 2 − 2 x + 5
[a, b] = [1,2]
ε = 0.1
F ′( x) = 3 x 2 − 6 x − 2
F ′′( x) = 6 x − 6
50
Metoda stycznych – inny wariant
a+b
z=
2
1+ 2
=
= 1.5
2
F ′( z ) ⋅ F ′′( z ) < 0
x1 = a = 1
F ( x1 ) = 1
F ′( x1 ) = −5
51
Metoda stycznych – inny wariant
. iteracja
F ( x1 )
x2 = x1 −
F ′( x1 )
F ( x) < ε
= 1.2
F ( x2 ) = 0.008
MoĪna przerwaü obliczenia!
2. iteracja
F ( x2 )
x3 = x2 −
F ′( x1 )
= 1.202
F ( x3 ) = 0.0001935
52