Algebra zdarzeń 1. Statek ma 1 urządzenie do sterowania, cztery

Algebra zdarzeń
1. Statek ma 1 urządzenie do sterowania, cztery kotły i 2 turbiny. Zdarzenie A oznacza sprawność urządzenia do sterowania, Bk -sprawność k-tego kotła (k=1,2,3,4), a Cj sprawność j-tej turbiny. Zdarzenie D oznacza, że statek jest zdatny do użytku, gdy
sprawne są urządzenie do sterowania, co najmniej jeden kocioł i co najmniej jedna turbina. Wyrazić D i przeciwne do D przez zdarzenia A, Bk , Cj .
Prawdopodobieństwo klasyczne
1. Na loterii jest 100 losów, z których 7 wygrywa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród
3 kupionych losów
a) dokładnie jeden wygrywa,
b) dokładnie dwa wygrywają?
2. Rzucamy 10 razy monetą. Obliczyć p-stwo, że choć raz dostaniemy orła.
3. Z cyfr 1,2,3,4,5 wyciągamy kolejno dwie. Obliczyć p-stwo, że
a) za pierwszym razem wyciągnięto cyfrę nieparzystą,
b) za drugim razem wyciągnięto cyfrę nieparzystą,
c) za pierwszym i drugim razem wyciągnięto cyfrę nieparzystą.
4. Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Oblicz p-stwo, że
a) suma oczek jest równa 8,
b) iloczyn oczek jest równy 8,
c) suma oczek jest większa niż ich iloczyn.
5. W skrzynce znajduje się 50 żarówek, w tym 3 wadliwe. Ze skrzynki wyjęto 7 żarówek.
Oblicz p-stwo zdarzenia, że:
a) wszystkie wyjęte żarówki będą dobre,
b) pomiędzy wyjętymi żarówkami będzie dokładnie jedna wadliwa.
6. Z talii 52 kart wyciągamy 5 kart. Oblicz p-stwo, że wyciągniemy dokładnie 3 karty czarne
(piki lub trefle).
7. Rzucamy 10 symetrycznymi kostkami do gry. Znaleźć p-stwo tego, że:
a) na przynajmniej 1 kostce wypadła 4;
b) ani razu nie wypadła liczba nieparzysta.
8. W grupie znajduje się n osób urodzonych w tym samym roku mającym 365 dni. Znaleźć
p-stwo tego, że żadne 2 osoby nie mają tej samej daty urodzenia (n ≤ 365).
9. W windzie ośmiopiętrowego domu jedzie 5 pasażerów. Oblicz p-stwo, że
a) wszyscy wysiądą na różnych piętrach,
b) wszyscy wyciądą na piętrach o numerach parzystych,
c) 3 pierwszych pasażerów wysiądzie na piętrach o numerach parzystch, a 2 pozostałych
na piętrach o numerach nieparzystych .
10. Z cyfr 1,2,. . . ,9 losujemy kolejno bez zwracania 3 cyfry. Obliczyć p-stwo, że otrzymana
liczba jest większa niż 666.
11. Zbiór liczb {1, 2, . . . , 4N } podzielono losowo na 2 równoliczne podzbiory. Oblicz p-stwo
tego, że:
a) w każdym podzbiorze znajdzie się ta sama ilość liczb parzystych i nieparzystych;
b) wszystkie liczby podzielne przez N znajdą się w jednym podzbiorze;
c) liczby podzielne przez N zostały przydzielone w równych ilościach do obydwu podzbiorów.
Prawdopodobieństwo geometryczne
1. Wybieramy losowo punkt z odcinka [a, b]. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrany punkt
znajduje się w odległości mniejszej niż (b − a)/4 od końców odcinka.
2. W dwóch losowych momentach tx , ty w przedziale czasu [0, T ] pojawiają się niezależnie od
siebie zdarzenia A i B. Oblicz prawdopodobieństwo, że zdarzenie A pojawi się wcześniej
niż B.
3. Z przedziału (0, 1) wybrano losowo dwa punkty x, y. Wyznaczyć prawdopodobieństwo
zdarzenia, że xy ≥ 2.
4. Niech Ω = {(x, y) : 0 < x < 9, 0 < y < 9}, A = B = {(x, y) : 1 < x < 4, 0 < y < 9},
C = {(x, y) : 3 < x < 6, 0 < y < 9}. Wykaż, że
a) P (A ∩ B ∩ C) 6= P (A)P (B)P (C),
b) P (A ∩ B) 6= P (A)P (B),
c) P (A ∩ C) = P (A)P (C).
5. Losowo wybrano 2 dodatnie liczby x i y takie, że każda z nich jest nie większa od jedynki.
Znaleźć p-stwo, że x + y < 1 i xy > 0.09.