promień spożywczy

Transkrypt

promień spożywczy

Oddziaływanie wzajemne niewielkich cząstek
naładowanych
październik 2013
Oddziaływanie wzajemne niewielkich cząstek nałado
Werbalia:
Koloidy
(kólla – klej; eídos – postać – gr.)
Koloid – układ dyspersyjny (rozproszony),
składający się z fazy rozpraszającej (ciągłej) albo ośrodka
dyspersyjnego
i fazy rozproszonej (zdyspergowanej).
Rozmiary cząstek fazy rozproszonej od 1 nano- do 1 mikro-metra.
Cząstki fazy rozproszonej są duże w porównaniu z poj. atomami.
W koloidach rządzą w pierwszym rzędzie siły powierzchniowe,
dominujące nad siłami bezwładnościowymi.
Koloidy fazowe – cząstki rozproszone stanowią odrębna fazę
(np. c. stałe w cieczy);
koloidy cząsteczkowe (roztwory zw. wielkocząsteczkowych);
koloidy asocjacyjne (micelarne) – asocjaty cząsteczek
chemicznych
Werbalia, c.d.
Koloidy, c.d
W koloidach z ciekłym ośrodkiem rozpraszającym: koloidy
liofilowe (hydrofilowe– dla wody) – duże powinowactwo pomiędzy
cząsteczkami fazy rozproszonej i rozpraszającej oraz liofobowe
(hydrofobowe) – małe powinowactwo obu faz.
Liofile, zwłaszcza hydrofile podlegają solwatacji (hydratacji),
tworzą się trwałe połączenia pomiędzy cząsteczkami polarnymi
fazy dyspersyjnej (dipole wody!) i jonami bądź polarnymi
cząsteczkami fazy zdyspergowanej.
Prowadzi to do dużej stabilności termodynamicznej (żelatyna w
wodzie).
Aby otrzymać liofoby trzeba się napracować (śmietana, tłuszcze
w wodzie) – a więc termodynamicznie będą nietrwałe.
Czynnikiem stabilizacyjnym mogą być ładunki elektryczne, które
osadzają się (jony elektrolitu) na powierzchniach cząstek.
Cząstki uzyskują jednoimienny ładunek elektryczny, odpychają
się i tworzą struktury o równowadze dynamicznej.
Werbalia, c.d.
Koloidy, c.d
Stabilność koloidu: kompromis pomiędzy siłami przyciągającymi
pomiędzy cząstkami a siłami odpychającymi (Van der Waals)
Dla koloidów liofobowych (hydrofobowych) korzystne są procesy
agregacji —
koagulacja – łączenia się się w zwarte zespoły cząstek. (Jeszcze
łatwiej jeżeli zobojętnić ładunek odpychający, przez dodanie
elektrolitu) lub
flokulacja [łac. flocculus zdrobnienie od floccus – kłak (wełny)] —
proces łączenia się stałych cząstek układu zdyspersowanego w
większe zespoły, zachodzący w ośrodku ciekłym pod wpływem
dodatku związków wielocząsteczkowych, zwanych flokulantami;
łańcuchowe cząsteczki flokulanta są adsorbowane jednocześnie
przez kilka cząsteczek fazy stałej. Prowadzi to do powstawania
„kłaczkowatych” skupisk, o małym stopniu związania,
opadających i dających się stosunkowo łatwo filtrować.
— prowadzące do ewentualnego rozdziału fazy stałej (substancja
rozpuszczona) i ciekłej (rozpuszczalnik).
Werbalia c.d.:
Medium: woda (hydrozole) lub powietrze (aerozole).
Cząstki tworzą zawiesiny koloidalne (koloidy) – ich średnice mieszczą
się w granicach: 10−9 − 10−6 m (od nano- do mikro-metrów).
Będziemy interesować się takimi zjawiskami jak:
powstawanie w koloidach ładunków powierzchniowych,
powstawanie warstw podwójnych w hydrozolach
koagulacja
albo agregacja cząsteczek koloidu.
Dopiero od ca. 150 lat chemicy i fizycy zdają sobie sprawę, że w przypadku
mieszaniny dyspersyjnej cieczy lub ciała stałego w innej „fazie” decydującą rolę
odgrywają zjawiska powierzchniowe, zachodzące na granicy pomiędzy fazą
rozproszoną (cząstki), a fazą ciągłą (medium). Klasyfikacja tych zjawisk i pewna
„środowiskowa” nomenklatura są podane w tabeli
Klasyfikacja koloidów
Koloidy i ich miejsce w naukach o środowisku
kontrola zanieczyszczeń
powietrza
kontrola zanieczyszczeń
wody
środowisko (ogólne)
filtry
przemysł spożywczy
farby i kosmetyki
przemysł naftowy
biomedycyna
przetwarzanie surowców
koagulacja aerozoli, odkładanie się zanieczyszczeń w płucach; wypłukiwanie osadzonych substancji zanieczyszczających
koagulacja zanieczyszczeń, separacja przy
pomocy filtrów (zatykanie się filtrów), separacja flotacyjna
koagulacja/depozycja osadów, struktura
gleby
filtry (membrany) ceramiczne, rozdzielanie
faz ciekłych i stałych
produkcja wyrobów mlecznych (lody, masło, ser), filtry i ich zatykanie się
emulsje pigmentów i farb, wyrób kremów
emulsja ropy w wodzie, płuczki wiertnicze
struktura krwi, hemodynamika
flotacja
Klasyfikacja koloidów, werbalia c.d.
Liofile i liofoby
Koloidy liofobowe/liofilne – albo hydrofoby i hydrofile (dla
rozpuszczalnika wodnego). Hydrofile: zwykle duże cząsteczki,
natychmiast przechodzące w dyspersję koloidalną, która
wykazuje podobne cechy jak roztwory.
Hydrofoby: zamiast rozpuszczać się wolą koagulować, zbijać się
w (jeszcze) większe molekuły
— koagulacja lub flokulacja
– aż do ewentualnego rozdziału fazy stałej (substancja
rozpuszczona) i ciekłej (rozpuszczalnik).
Łączy się z tym pojęcie stabilności dyspersji – charakter
hydrozolu warunkowuje kierunek preferowanych przez emulsję
zmian (termodynamika !) i ich szybkości. Hydrofobowy hydrozol
może pozostawać w słoiku na półce przez 10-tki lat bez
widocznych zmian (tempo bliskie zeru). Nawet jeżeli w
zdyspergowanym roztworze istnieją – faworyzowane
termodynamicznie – kierunki zmian (rozdzielanie fazy ciekłej od
stałej), to przy bardzo wolnym tempie tych zmian mówimy o
stabilności kinetycznej.
Flokulacja
Proces łączenia się stałych cząstek układu zdyspersowanego w większe
zespoły, zachodzący w ośrodku ciekłym pod wpływem dodatku
związków wielocząsteczkowych,
zwanych flokulantami;
łańcuchowe cząsteczki flokulanta są adsorbowane jednocześnie przez
kilka cząsteczek fazy stałej.
Prowadzi to do powstawania „kłaczkowatych” skupisk, o małym
stopniu związania, opadających i dających się stosunkowo łatwo
filtrować.
łac. flocculus zdrobnienie od floccus – kłak (wełny).
Elektrolity różne:
Elektrolity obojętne: Elektrolity to roztwory soli – wykazujące
pewne przewodnictwo jonowe. Będziemy mówić o obojętnym
elektrolicie, jeżeli – jako rozpuszczalnik – nie oddziaływuje on na
powierzchnie cząsteczek koloidu inaczej niż elektrycznie (takim
jest np. NaCl) – a w pierwszym rzędzie jego jony nie ulegają
adsorpcji. Ale np. sole aluminium lub żelaza wchodzą w reakcję
hydrolizy z wodą, powstające produkty hydrolizy są naładowane
mogą być adsorbowane na powierzchniach cząsteczek koloidu,
zmieniając ich powierzchniowy potencjał i ładunek.
Elektrolity symetryczne – to elektrolity obojętne, o tej samej
wartościowości dodatnich i ujemnych jonów.
Rola powierzchni
n cząstek o promieniu r
stosunek ich całkowitej powierzchni do całkowitej objętości
(1)
4nπr2
3
Acałk
= 4
= ,
3
Vcałk
r
nπr
3
— dla coraz drobniejszych koloidów (n ↑, r ↓) ten stosunek dąży do
nieskończoności!
Układem zawierającym cząstki zaczynają rządzić zjawiska
rozgrywające się na powierzchniach cząstek –
np. ładunek powierzchniowy,
adsorpcja (substancji rozpuszczonych, gazów),
napięcie powierzchniowe,
rozpraszanie światła, itp.
Rola powierzchni, c.d.
Powierzchnia graniczna – powierzchnia rozdziału między fazą ciekłą i
gazową
– mamy tutaj do czynienia z napięciem powierzchniowym.
Rysunki
Komentarze
Cząstki płynu przyciągają się (wiązania wodorowe, siły van der Waalsa)
to powoduje, że np. drobiny cieczy rozproszonej w gazie przybierają kształt kulisty (minimalizuje to liczbę cząstek „powierzchniowych”).
Jeżeli chcielibyśmy zwiększyć powierzchnię takiej kulistej kropli o dA (odkształcając ją od
sfery) to potrzebna praca dw
(2)
dw = σdA,
gdzie σ to wartość napięcia powierzchniowego
(ten wzór to de facto definicja napięcia powierzchniowego).
W termodynamice rozważamy funkcję (potencjał) Gibbsa; na
powierzchni, przy założeniu stałego ciśnienia
X pow pow
(3)
dGpow = −S pow dT +
µi
dni
+ σdA,
i
gdzie S to entropia, T – temperatura, a µi i ni to odpowiednio
potencjał chemiczny i ilość (liczba moli) i-tego składnika. Ponieważ w
stanie równowagi układ stara się minimalizować funkcję Gibbsa, to
malenie powierzchni jest termodynamicznie „dobrze widziane”, a to
oznacza, ze rozproszony układ cząstek będzie wykazywał tendencję do
łączenia się cząstek (zmniejsza to powierzchnię!).
Innym sposobem minimalizowania funkcji Gibbsa to zmniejszenie
napięcia powierzchniowego. Związki powierzchniowo czynne gromadzą
się na powierzchni rozdziału, zmniejszając σ – np. detergenty w
emulsji woda-ropa, których biegunowe (polarne) części tkwią w
wodzie, a nie-biegunowe – w ropie (rozważymy to ilościowo w
rozdz. 4).
Ładunki powierzchniowe
Hydrozole
Jonizacja grup powierzchniowych – wiele powierzchni koloidów może
reagować z wodą, a ich ładunek powierzchniowy zależy od pH (wody
jako rozpuszczalnika). Dla niskich wartości pH (dużo wodoru)
ładunki powierzchniowe są dodatnie, dla dużych – ujemne. Dla tzw.
zero-ładunkowej wartości pH ładunek powierzchniowy = 0.
Hydrozole — Jonizacja grup powierzchniowych
Jonizacja powierzchniowa krzemionki i grup aminowych i
karboksylowych.
Hydrozole
Podstawienie izomorficzne w iłach (glinach) niedoskonałości (defekty)
w warstwach tetra- lub oktohedrycznie uporządkowanych jonów
krzemu i glinu powodują podstawienia: za Si (+4) glin (+3) – co
daje w efekcie ładunek ujemny.
Hydrozole — Podstawienia izomorficzne
Podstawienie izomorficzne w gliniastej warstwie.
Hydrozole – inne mechanizmy
Pęknięcia powierzchni krystalicznych – zwykle dają ładunek
dodatni. Zwykle gliny (tetrahedryczny krzem, oktohedryczny
glin)
Wybiórcza adsorpcja może także prowadzić do zmniejszania (a
nawet zmiany znaku) istniejącego ładunku. Taka adsorpcja może
dotyczyć cząstek polimerów anionowych lub kationowych a
także cząstek materii organicznej.
Aerozole
Aerozole „łapią” ładunek powierzchniowy inaczej niż hydrozole.
W procesach ładowania dyfuzyjnego (bezpośredniego)
cząstka aerozolu uzyskuje ładunek od sąsiednich jonów gazu, które
podlegają dyfuzji, lub/i wykonują ruchy Browna.
Z ładowaniem polowym
mamy do czynienia gdy cząstki aerozoli przechwytują ładunek od
naładowanych jonów gazu, poruszających się pod wpływem
zewnętrznych pól elektrycznych.
Takie naładowane jony gazu mogą powstać w wyniku
naturalnych (np. promieniowanie UV)
lub procesów antropogenicznych (wyładowania koronowe w filtrze).
Możemy mieć też ładowanie statyczne, kiedy cząstki aerozolu
wylatują z ciekłego rozpuszczalnika, na którego powierzchni jest jakiś
ładunek powierzchniowy, a także w wyniku zderzeń szybkich cząstek
aerozoli z powierzchniami (naładowanymi).
Tu ładunek jest przekazywany cząsteczce aerozolu od naładowanej
powierzchni (ciała stałego).
Rozmiary i kształty cząstek; polidyspersyjność
Rozmiary i kształt cząstek koloidów to zapierająca dech w piersiach
rozmaitość – na przykład kształty:
od perfekcyjnych sfer,
poprzez włókna
do fraktali.
Podobnie ma się sprawa z wymiarami –
obecność różnych charakterystycznych wymiarów cząsteczek w tym
samym koloidzie nazywamy polidyspersyjnością.
Istotnym problemem może być określenie charakterystycznego
wymiaru cząstki
Posługujemy się pojęciem średnicy aerodynamicznej –
średnica sferycznej cząstki, dla której „odpowiedź” używanego
detektora koloidów
(np. filtru – tu: prędkość osadzania się cząstek na nim)
jest taka sama jak dla realnych, niesferycznych cząstek.
Problemy kształtu i rozmiarów stają się jeszcze „delikatniejsze” w
przypadkach agregatów. W dodatku: czy objętość agregatu to
objętość samych cząstek,
czy wliczyć w nią (znajdującą się w jego porach) wodę –
uwięzioną lub nieuwięzioną?
Warstwa podwójna i jej rola w stabilności roztworu
koloidalnego
ujemnie naładowana cząstka koloidu,
otoczona przez chmurę jonów (obu znaków) rozpuszczalnika
(obojętnego elektrolitu).
koloidalnego
Rysunki
Komentarze
Dodatnie jony kontra-jony, są przyciągane
przez powierzchnię cząstki; ujemne – ko-jony
są odpychane.
Ze wzrostem odległości od cząstki koncentracje
ko- i kontra-jonów stają się takie same
(w obszarze gdzie wpływ cząstki staje się zaniedbywalny obowiązuje zasada elektroobojętności roztworu).
Nadwyżka kontra-jonów (powierzchnia pod krzywą koncentracji)
równa jest (ze znakiem przeciwnym) sumie „nadwyżki” (ujemnej)
ko-jonów (też odpowiednia powierzchnia pod krzywą koncentracji) i
powierzchniowego ładunku cząstki.
koloidalnego
Rozkład koncentracji
Rozkład koncentracji kontra-jonów w funkcji odległości od cząstki
przypomina rozkład ciśnienia w funkcji wysokości z nad poziomem
morza:
(4)
p(z) = p0 exp −
gma z
,
RT
gdzie ma to masa molowa gazu.
Model Debeye’a-Hueckela warstwy podwójnej
Potencjał elektrostatyczny
Potencjał elektrostatyczny Ψ z przestrzennym rozkładem ładunku ρ
wiąże równanie Poissona:
(5)
4Ψ = −
ρ
.
0
0 to stała elektryczna; – względna stała dielektryczna medium. W zasadzie powinniśmy
rozwiązywać to równanie we współrzędnych sferycznych, ale jeżeli grubość warstwy kontra-jonów jest
niewielka w porównaniu w promieniem cząstki koloidu to – w sporym uproszczeniu – problem jest
jednowymiarowy:
(6)
d2 Ψ
ρ
=− .
2
dx
0
(x – kierunek prostopadły do powierzchni cząstki).
Model Debeye’a-Hueckela warstwy podwójnej
Potencjał elektrostatyczny, c.d.
Aby zaatakować (6) potrzebny nam jest dodatkowy związek między Ψ
i ρ. Daje go rozkład Boltzmanna:
!
(7)
ni = ni0 exp −
zi eΨ
,
kT
gdzie ni to liczba jonów typu i w jednostce objętości, a ni0 to liczba
jonów typu i w jednostce objętości, w nieskończenie wielkiej
odległości od cząstki koloidu, zi – wartościowość tych jonów. W
dodatku mamy oczywiste
X
(8)
ρ=
zi eni .
i
Z tych trzech równań dostajemy
(9)
d2 Ψ
1 X
zi eΨ
=
−
zi eni0 exp −
2
dx
0 i
kT
!
Rozwijamy funkcję wykładniczą po prawej stronie w szereg
zachowujemy tylko dwa pierwsze wyrazy (pod warunkiem, że
|zi eΨ| kT )
!
1 X
zi2 e2 ni0 Ψ
d2 Ψ
(10)
dx2
=−
0
zi eni0 −
i
kT
.
Pierwsza suma jest jednak równa zeru (elektryczna obojętność
roztworu!);
(11)
e2 Ψ X 2
d2 Ψ
=
zi ni0 ,
dx2
0 kT i
z warunkami: Ψ = Ψ0 dla x = 0, oraz dΨ/dx → 0 dla x → ∞.
Prosty rachunek daje
(12)
Ψ = Ψ0 exp(−κx),
2
κ =
(13)
e2
P
i zi
2
0 kT
ni0
,
1/κ nazywa się grubością warstwy podwójnej.
Ograniczanie się do dwóch wyrazów w rozwinięciu eksponenty to tzw.
przybliżenie Debeye’a-Hueckela. Rachunki „kompletne” są nieco
bardziej skomplikowane. Ich wynik
!
!
zeΨ
zeΨ0
−1
exp
−1
2kT
2kT
!
!
=
exp(−κx),
zeΨ
zeΨ0
exp
+1
exp
+1
2kT
2kT
exp
(14)
albo w skrócie
(15)
γ = γ0 exp(−κx).
Te nieco skomplikowane wyrażenia warto „zobaczyć” nieco prościej.
ex − 1
ex/2 − e−x/2
sinh x/2
=
=
= tgh x/2.
x
x/2
−x/2
e +1
cosh x/2
e
+e
Określenie potencjału pozwala także obliczyć gęstość
powierzchniową ładunku, σe :
dΨ (16)
σe = 0 En = − 0
dx x=0
(En – składowa pola elektrycznego, normalna do powierzchni), po
podstawieniu z (ref3.12)
(17)
σe = 0 κΨ0 .
Przekrywające się warstwy podwójne; odpychanie
międzycząsteczkowe
Dwie przekrywające się warstwy podwójne.
Przekrywające się warstwy podwójne
Rysunki
Komentarze
Dwie warstwy odpychają się z siłą Fodp zależną od odległości l między nimi:
(18)
Fodp ≈ 64n0 kT γ02 exp(−κl).
Element energii oddziaływania Φodp
(19)
dΦodp = −Fodp dl
całkujemy względem l od ∞ (Φ(∞) = 0)
(20)
Φodp (l) =
64n0 kT γ02
exp(−κl).
κ
Siły van der Waalsa; teoria DLVO
Siły van der Waalsa to siły natury elektrycznej, działające między
momentami dipolowymi (trwale istniejącymi lub wyindukowanymi)
cząsteczek.
Działają one także pomiędzy cząstkami koloidów, ich przyczynek
(ujemny – siły sa przyciągające!) do całkowitej energii oddziaływania
(21)
ΦW aals = −
A 1
.
12π l2
l – odległość; A – tzw. stała Hamakera:
A=
ρNA π
ma
2
β.
(ρ – gęstość cząstek; ma ich masa molowa; β – złożony parametr,
wynikający z teorii sił VdW.)
Siły van der Waalsa;
Teoria DLVO (Dierżagin, Landau, Vervey, Overbeek)
całkowita energia oddziaływania
(22)
Φcałk = Φodp + ΦW aals
64n0 kT γ02
A 1
=
exp(−κl) −
κ
12π l2
Teoria DLVO
Całkowita energia oddziaływania między dwoma
warstwami – dyskusja
Rysunki
Komentarze
1/κ to grubość warstwy
Dla małych κ mamy charakterystyczną
barierę potencjału, utrudniającą
ewentualną agregację (koagulację i
flokulację)
Pokonanie bariery jest możliwe, jeżeli
cząstki posiadają dostateczną energię
kinetyczną.
Dla dużych κ energia oddziaływania jest
ujemna (przyciąganie!) dla dowolnej
odległości – to prowadzi do
destabilizacji dyspersji.
Całkowita energia oddziaływania między dwoma
warstwami, c.d.
Destabilizacja dyspersji
Na przykład od wieków było wiadomo,
że rzeki u ujścia do morza ulegają zamulaniu
(intensywna sedymentacja).
To można tłumaczyć pojawianiem się jonów NaCl (morska woda),
których elektryczne oddziaływanie
redukuje grubość warstw podwójnych w zawiesinie sedymentów
(zwiększa κ)
faworyzuje flokulację, a także sedymentację.
Tzw. prawo Schulza-Hardy’ego mówi, że
zdolność określonej soli do promowania procesów koagulacji zależy od
wartościowości kontra-jonów.
Zderzenia cząstek; szybka koagulacja
Jakie są – mogą być – skale czasowe ewentualnych procesów
koagulacyjnych?
Rozważamy monodyspersję – zbiór identycznych cząstek pierwotnych.
W wyniku zderzeń (im ich więcej tym bardziej dyspersja jest
niestabilna) powstają pierwsze agregaty,
które z kolei „kontaktują się” z cząstkami pierwotnymi
oraz z innymi agregatami.
Jeżeli dyspersja jest bardzo niestabilna, to mówimy o szybkiej
koagulacji,
którą rządzą proste prawa dynamiki molekularnej.
szybkość zderzeń Nij pomiędzy cząstkami typu i i j
(ich liczba w jednostce objętości na jednostkę czasu)
jest proporcjonalna do ich
(1) koncentracji (liczb na jednostkę objętości) ni i nj ,
(2) funkcji częstości zderzeń β(ri , rj ) (ri,j – promienie cząstek)
(23)
Nij = β(ri , rj )ni nj .
Równanie dynamiczne
Konstruujemy go dla cząstek typu k (kryterium klasyfikacji: objętość)
(24)
∞
∞
X
dnk
1 X
=
β(ri , rj )ni nj − nk
β(ri , rk )ni .
dt
2 Vi +Vj =Vk
i=1
(szybkość zmian = szybkość produkcji – szybkość znikania).
Kryterium objętości – bo to obejmuje zarówno przypadek zderzeń
cząstek stałych, jak i cząstek cieczy.
Zderzenia prowadzące do koagulacji cząstek stałych
Zderzenia prowadzące do koagulacji cząstek cieczy.
Z rysunków wynika, że w przypadku zderzeń cząstek stałych trudno
mówić o promieniu powstałej cząstki.
Tzw. model kroplowy (rosnącej kropli) wprowadza pojęcie promienia
równoważnego (promień sfery o wypadkowej objętości).
Jeżeli wszystkie objętości wyrazić jak całkowite wielokrotności pewnej
objętości elementarnej możemy (formalnie) uprościć nieco (24) –
1
2
X
Vi +Vj =Vk
β(ri , rj )ni nj →
1 X
β(ri , rj )ni nj .
2
i+j=k
Funkcja częstości zderzeń
Zderzenia cząstek następują w wyniku:
sił (ścinania) tarcia lepkiego, pomiędzy warstwami w
przepływach laminarnych;
mieszania turbulentnego (b. istotnego dla cząstek o średnicy
> 1µm);
ruchów Browna (b. istotnych dla cząstek o średnicy < 1µm)
tzw. sedymentacji różnicowej, kiedy stosunkowo duże cząstki
osadzają się (opadają) z różnymi prędkościami i zderzają ze sobą.
Sfera zderzeń wokół cząstki typu i.
Sfera zderzeń – objętość
kontrolna – dla cząstki i zderzającej się z cząstkami j to sfera o
promieniu ri + rj . Każda cząstka j przechodząca przez jej
powierzchnię musi doznać kontaktu z cząstką i.
Trójwymiarowa sfera zderzeń w dwuwymiarowym polu prędkości.
Rysunki
Komentarze
I
−
nj u · ndA =
Σc
∂
∂t
Z
nj dV
Vc
(n – wektor normalny do pow. kontrolnej.)
dopływ przez ćwiartki WN i ES sfery
h
(n · u) = sin φ (ri + rj ) cos φ
du
.
dx
i
dA = 2(ri + rj ) sin φ(ri + rj )dφ.
Strumień masy dopływającej do Vc będzie więc równy (czynnik 2 bo
obie ćwiartki – WN i ES – dają identyczne przyczynki)
2 × 2nj
du
(ri + rj )3
dx
Z
0
π/2
sin2 φ cos φ dφ =
4
du
(ri + rj )3 nj .
3
dx
Pozostaje już tylko pomnożyć powyższy wynik przez koncentracje
cząstek ni
(25)
4
du
Nij = (ri + rj )3 nj ni
3
dx
i porównać otrzymane równanie z
Nij = β(ri , rj )ni nj .
Dla koagulacji wynikającej z sił ścinania pomiędzy warstwami cieczy
(26)
du
4
β(ri , rj )lam = (ri + rj )3 .
3
dx
Funkcja częstości zderzeń – rachunki
Rysunki
Komentarze
Element powierzchni „atakowany” przez strumień cząstek, mały „płatek” zakreskowanego
pierścienia – ma wymiary: „pionowy” (ri +
rj )dφ i „poziomy” (ri + rj ) sin φdθ, gdzie θ
to kąt mierzony w płaszczyźnie małego koła,
pomiędzy promieniem tego koła a kierunkiem
nadbiegających cząstek
i zmieniający się od −π/2 do π/2.
Element powierzchni dA uwzględnia już całkowanie względem kąta θ, po przemnożeniu przez
cos θ – bo znowu „liczy się” rzut tego elementu
na kierunek prostopadły do kierunku atakujących cząstek.
Funkcja częstości zderzeń dla różnych mechanizmów
agregacji
siły ścinania
β(ri , rj )lam =
4
du
(ri + rj )3 .
3
dx
mieszanie turbulentne
β(ri , rj )turb = 1, 294(ri + rj )3
1/2
ν
,
to średnia strata energii na jedn.masy , ν = µ/ρ.
ruchy Browna
2kT
1
1
β(ri , rj )Brown =
(ri + rj )
+
,
3µ
ri
rj
dla sedymentacji różnicowej (ćwiczenia)
β(ri , rj )sed = π(ri + rj )2 |vi − vj | ,
gdzie vi i vj to (zróżnicowane) prędkości cząstek klas i i j.
Funkcja częstości zderzeń dla różnych mechanizmów
agregacji
Funkcje częstości zderzeń cząstki o promieniu 1µm, zderzającej się z
innymi cząstkami o średnicy α w powietrzu.
udział wymienionych czterech procesów zależy od rozmiarów cząstek.
Funkcja częstości zderzeń dla ruchów Browna
dla identycznych cząstek (ri = rj ) mamy
β(ri , rj )Brown =
2kT
(ri + rj )
3µ
1
1
+
ri
rj
=
8kT
3µ
równanie dynamiczne przyjmuje postać
∞
X
4kT X
8kT
dnk
=
ni nj −
nk
ni .
dt
3µ
3µ
i=1
i+j=k
To dość grube przybliżenie.
Cząstki „identyczne” przestają nimi być po pierwszym akcie
koagulacji.
Należy to chyba rozumieć nieco inaczej – wzór na β(ri , rj )Brown
daje wyniki dość podobne, nawet dla promieni różniących się o
czynnik 2 lub 3.
A więc posługujemy się pewną „globalną” funkcją częstości zderzeń,
która abstrahuje od różnic w wartościach promieni zderzających się
cząstek – A.L.
Funkcja częstości zderzeń dla ruchów Browna, c.d.
∞
X
4kT X
8kT
dnk
=
ni nj −
nk
ni .
dt
3µ
3µ
i=1
i+j=k
Sumujemy po k
(27)
∞
X
∞ X
∞
∞
X
dnk
4kT X
8kT X
=
ni nj −
nk
ni .
3µ k=1 i+j=k
3µ k=1 i=1
k=1 dt
Dwie ostatnie sumy to całkowita liczba cząstek N∞ ;
podwójna suma w pierwszym członie to N∞ 2 .
4kT 2
dN∞
=−
N
dt
3µ ∞
(28)
z rozwiązaniem
(29)
N∞ =
N∞ (t = 0)
.
1 + [4kT N∞ (t = 0)/3µ]t
Funkcja częstości zderzeń dla ruchów Browna, c.d.
Malenie koncentracji pierwotnej w dyspersji, w wyniku ruchów
Browna. τ – czas połowicznego zaniku.
Koagulacja powolna
Powyższe wyprowadzenia ignorowały jakiekolwiek przeszkody w
procesach koagulacji (np. bariera potencjału).
W praktyce zawsze – mniejsze czy większe – takie przeszkody
występują.
Jeżeli do rozważań włączyć energię interakcji Φcałk to można – dla
ruchów Browna i dla cząstek o tym samym promieniu R – wyliczyć
tzw. funkcję stabilności dyspersji W :
!
Z
∞
(30)
W = 2R
exp
2R
Φcałk
kT
dr
.
r2
1/W to stosunek liczby rzeczywistych, zakończonych sukcesem
(koagulacją) zderzeń, do liczby zderzeń wynikających z
prezentowanego powyżej modelu szybkiej koagulacji.
1/W to efektywność zderzeń
Koagulacja powolna
Innym mechanizmem przeszkadzającym w ewentualnej koagulacji jest
tzw. opóźnienie hydrodynamiczne.
Dwie bliskie siebie cząstki muszą – przed całkowitym zespoleniem –
„wycisnąć” spomiędzy siebie znajdujący się tam płyn, a to wymaga
pokonania oporów lepkich, zwłaszcza w hydrozolach.
Uwzględnienie tych wszystkich efektów „przeszkadzających”
wymagałoby wprowadzenia tzw. funkcji wydajności zderzeń,
albo funkcji alfa. Równanie dynamiczne można zapisać w postaci
1
dnk
=
dt
2
∞
X
Vi +Vj =Vk
α(ri , rj )ni nj β(ri , rj )ni nj − nk
∞
X
α(ri , rk )β(ri , rk )ni ,
i=1
gdzie α(ri , rj ) to prawdopodobieństwo „sukcesu” w zderzeniu dwóch
cząstek klasy i i j.
Funkcja α obejmuje wpływy bariery potencjału i opóźnienia
hydrodynamicznego.
W przypadku gdy to ostatnie może być zaniedbane funkcja α to po
prostu 1/W .

promień spożywczy

Transkrypt

Podobne dokumenty

Klasy jakości powietrza według normy ISO 8573.1 Obowiązująca

Jednostki akceleratorów cząstek

Zadanie 1 Prędkości 10 cząstek są równe (w m/s) odpowiednio: 0, 1

Badanie struktury Wszechświata - Indico

Ciśnienie i opór ośrodka materialnego

symetrie w fizyce czastek

Strategie zwiększania funkcjonalności cząstek wykorzystywanych w

1 Rok 2010 Zadanie 1. (0 – 1) Na żarówkach do latarek znajdują się