Funkcje wielu zmiennych (c.d.)

Transkrypt

Funkcje wielu zmiennych (c.d.)
Pochodne czastkowe.
˛
Pochodna kierunkowa.
Gradient. Różniczka zupełna.
Pochodna odwzorowania.
Małgorzata Wyrwas
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
Funkcje wielu zmiennych (c.d.) – str. 1/54
Automatyka i robotyka, sem. I, rok. akad. 2009/2010
Pochodne czastkowe
˛
Niech f oznacza funkcj˛e n-zmiennych określona˛ w otoczeniu O
punktu P0 (x01 , . . . , x0n ).
Symbolem ∆xi oznaczamy przyrost zmiennej niezależnej xi ,
1 6 n 6 n, różny od zera i taki, żeby
P (x01 , . . . , x0i−1 , x0i + ∆xi , x0i+1 , . . . , x0n ) ∈ O.
f (P ) − f (P0 )
nazywamy
Granic˛e właściwa˛ lim
∆xi →0
∆xi
pochodna˛ czastkow
˛
a˛ rz˛edu pierwszego funkcji f
wzgl˛edem zmiennej xi w punkcie P0 i oznaczamy
∂f
symbolem
(P0 ) .
∂xi
Pochodne czastkowe
˛
funkcji dwóch
zmiennych
Dla funkcji dwóch zmiennych f (x, y) definicje
pochodnych czastkowych
˛
rz˛edu pierwszego
wzgl˛edem zmiennych x i y w punkcie P0 (x0 , y0 ) sa˛
nast˛epujace
˛
∂f
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
def
(P0 ) = lim
∆x→0
∂x
∆x
oraz
∂f
f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
def
(P0 ) = lim
.
∆y→0
∂y
∆y
Interpretacja geometryczna pochodnych czastkowych
˛
dla funkcji dwóch zmiennych
Niech f : R2 → R, z = f (x, y). Załóżmy, że f
ma pochodne rz˛edu pierwszego w punkcie P0 (x0 , y0 ).
∂f
(x0 , y0 ) = tg α
∂x
z
z
∂f
(x0 , y0 ) = tg β
∂y
b
b
α
b
y
b
b
x
b
β
y
x
∂f
(x0 , y0 ) jest miara˛ lokalnej szybkości wzrostu funkcji f wzgl. zmiennej x przy ustalonej wartości y.
∂x
∂f
(x0 , y0 ) jest miara˛ lokalnej szybkości wzrostu funkcji f wzgl. zmiennej y przy ustalonej wartości x.
∂y
UWAGA: Nie ma zwiazku
˛
mi˛edzy ciagłości
˛
a˛ funkcji wielu
zmiennych a istnieniem pochodnych czastkowych.
˛
Funkcja wielu zmiennych może mieć w punkcie obie pochodne
czastkowe
˛
pierwszego rz˛edu i mo
˛ w tym
 że nie być ciagła

1,
dla xy = 0
nie jest ciagła
˛
punkcie, np. funkcja f (x, y) = 
0, dla xy 6= 0
w punkcie (0, 0), ale f ma pochodne czastkowe
˛
w punkcie (0, 0):
∂f
f (∆x, 0) − f (0, 0)
1−1
(0, 0)= lim
= lim
=0
∆x→0
∆x→0 ∆x
∂x
∆x
i
∂f
f (0, ∆y) − f (0, 0)
1−1
(0, 0)= lim
= lim
=0.
∆y→0
∆y→0 ∆y
∂y
∆y
Przykład funkcji ciagłej
˛
nie majacej
˛
pochodnych czastkowych
˛
√
Niech f (x, y) = x2 + y 2 . Funkcja f jest ciagła
˛ w
punkcie (0, 0), gdyż
√ 2
lim
x + y 2 = 0 = f (0, 0) , ale
(x,y)→(0,0)
∂f
(0, 0)= lim
∆x→0
∂x
√
∆x2 + 02 − 0
|∆x|
= lim
− nie istnieje
∆x→0 ∆x
∆x
i
√ 2
∂f
0 + ∆y 2 − 0
|∆y|
(0, 0)= lim
= lim
− nie istnieje.
∆y→0
∆y→0 ∆y
∂y
∆y
Jeżeli funkcja ma pochodne czastkowe
˛
pierwszego
rz˛edu w każdym punkcie zbioru otwartego D ⊂ Rn ,
to funkcje
∂f
∂f
∂f
(x1 , . . . , xn ) ,
(x1 , . . . , xn ) , . . . ,
(x1 , . . . , xn ) ,
∂x1
∂x2
∂xn
gdzie (x1 , . . . , xn ) ∈ D, nazywamy pochodnymi
czastkowymi
˛
pierwszego rz˛edu funkcji f na zbiorze D
i ozn.
∂f
∂f
∂f
,
,...,
∂x1 ∂x2
∂xn
lub
fx′ 1 , fx′ 2 , . . . , fx′ n .
Przykłady
Niech g(x, y, z) =
ex
Niech f (x, y) =
.
ln(x + y)
q
3
arc tg(x + eyz ) .
Pochodna kierunkowa funkcji
n
f :D ⊆R →R
Niech f oznacza funkcj˛e n-zmiennych określona˛ w otoczeniu O
punktu P0 (x01 , . . . , x0n ) ∈ D.
Pochodna˛ kierunkowa˛ funkcji f w punkcie P0
w kierunku wersora ~v = [vx1 , vx2 , . . . , vxn ] określamy wzorem
f (x01 + tvx1 , . . . , x0n + tvxn ) − f (x01 , . . . , x0n )
df
def
(P0 ) = lim
t→0
d~v
t
df
∂f
jest też oznaczana nast˛epujaco
˛
lub f~v′ .
d~v
∂~v
Dla f : D ⊆ R
2
df ∂f
=
,
~
di ∂x
→R
df ∂f
=
.
~
dj ∂y
Dla f : D ⊆ R
3
→R
df ∂f
df ∂f
df ∂f
=
,
=
,
=
.
~
~
~
di ∂x
dj ∂y
dk ∂z
Przykład
2
Niech
f
(x,
y,
z)
=
x
−
2yz,
P
(1,
0,
−1)
i
0
√
√


1
3 5

~v = , − ,
. Wówczas
3
3 3
√ !
√ !
1
3
5
1+ t −2 0−
t −1 +
t −1
3
3
3
df
def
(P0 ) = lim
=
t→0
d~v
t √
√
2
2
1 2 2
1+ t+ t −
3t +
15t2 − 1
√ 2
3
9
3
9
=
1− 3
lim
t→0
t
3
2
Przykład
Niech f (x, y, z) = ex+y+z , P0 (0, 0, 0) i ~v = [1, 1, 1].
Wówczas
df
e
def
(P0 ) = lim
t→0
d~v
√
3t
t
−1
[ 00 ]
= lim
t→0
√
3e
1
√
3t
√
= 3
Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej funkcji
dwóch zmiennych
Niech funkcja f b˛edzie określona na otoczeniu punktu (x0 , y0 ). Ponadto niech γ oznacza kat
˛
nachylenia do płaszczyzny XOY półstycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju
wykresu funkcji f półpłaszczyzna˛ przechodzac
˛ a˛ przez prosta˛
wersora ~v .
(
x = x0 ,
y = y0
oraz równoległa˛ do
df
(x0 , y0 ) = tg γ.
Wtedy
d~v
z
γ
y
(x0 , y0 , 0)b
~v
x
Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji
f w kierunku ~v .
Gradient funkcji
Niech f : D ⊆ Rn → R.
Gradientem funkcji f w punkcie P0 (x01 , x02 , . . . , x0n )
nazywamy wektor określony wzorem
"
#
∂f
∂f
def ∂f
∇f (P0 ) =
(P0 ),
(P0 ), . . . ,
(P0 ) .
∂x1
∂x2
∂xn
Gradient w punkcie P0 jest również oznaczany przez
gradf (P0 )
lub
f ′ (P0 ) ,tak jak pochodna jednej zmiennej.
Przykład: Niech f (x, y) = x3 y 2 + 3x − y i P0 (−2, 1). Wówczas
"
#
∂f ∂f
∇f =
= [3x2 y 2 + 3, 2x3 y − 1] , wi˛ec ∇f (−2, 1)=[15, −17]
,
∂x ∂y
Pochodna kierunkowa a gradient funkcji
Twierdzenie (wzór do obliczania pochodnej
∂f
kierunkowej): Niech pochodne czastkowe
˛
, i = 1, . . . , n
∂xi
b˛eda˛ ciagłe
˛ w punkcie P0 (x01 , . . . , x0n ) oraz niech ~v b˛edzie
dowolnym wersorem. Wtedy
df
(P0 ) = ∇f (P0 ) ◦ ~v .
d~v
Przykład: Niech
"
#
1
1
f (x, y) = x y +3x−y, P0 (−2, 1) i ~v = √ , − √ . Wówczas
2
2
3 2
"
#
32
df
1
1
√
√
√
(−2, 1) = ∇f (−2, 1) ◦ ~v = [15, −17] ◦
,−
=
.
d~v
2
2
2
Pochodna kierunkowa a gradient funkcji
Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie liczona w
kierunku gradientu ma wartość najwi˛eksza˛ spośród
wszystkich pochodnych kierunkowych liczonych w
różnych kierunkach i
df
(P0 ) = k∇f (P0 )k .
d ∇f (P0 )
Interpretacja geometryczna gradientu funkcji dwóch zmiennych
Gradient
funkcji w punkcie wskazuje kierunek
najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.
z
y
(x0 , y0 )b
x
∇f (x0 , y0 )
Interpretacja geometryczna gradientu funkcji dwóch zmiennych
Gradient
funkcji w punkcie jest prostopadły do
poziomicy funkcji przechodzacej
˛ przez ten punkt.
y
y0
b
(x0 , y0 )
∇f (x0 , y0 )
x0
x
Pochodne czastkowe
˛
drugiego rz˛edu
∂f
Niech funkcja f ma pochodne czastkowe
˛
, i = 1, 2, . . . , n, na
∂xi
obszarze D ⊂ Rn oraz niech P0 (x01 , x02 , . . . , x0n ) ∈ D.
Pochodne czastkowe
˛
drugiego rz˛edu funkcji f w punkcie P0
określamy wzorami:
2
∂ f
(P0 ) =
2
∂xi
∂
∂xi
∂f
∂xi
!!
2
∂ f
(P0 ) =
(P0 ) ,
∂xi ∂xj
∂
∂xi
∂f
∂xj
!!
(P0 ) ,
dla i, j = 1, 2, . . . , n.
Powyższe pochodne oznaczamy także odpowiednio przez
fx′′i xi (P0 ) , fx′′j xi (P0 ) lub fxi xi (P0 ) , fxj xi (P0 ) .
Pochodne czastkowe
˛
drugiego rz˛edu
na obszarze
Jeżeli funkcja f ma pochodne czastkowe
˛
drugiego rz˛edu w
każdym punkcie obszaru D ⊂ Rn , to funkcje
∂2f
∂2f
(x1 , . . . , xn ) ,
(x1 , . . . , xn ) , i, j = 1, 2, . . . , n
2
∂xi
∂xi ∂xj
gdzie (x1 , . . . , xn ) ∈ D, nazywamy
pochodnymi czastkowymi
˛
drugiego rz˛edu funkcji f na obszarze D
∂ 2f
∂ 2f
′′
,
lub
i oznaczamy odpowiednio przez
f
xi xi ,
2
∂xi
∂xi ∂xj
fx′′j xi .
Pochodne czastkowe
˛
wyższych rz˛edów
Jeżeli funkcja f ma pochodne czastkowe
˛
rz˛edu k > 2
przynajmniej na otoczeniu punktu
P0 (x01 , x02 , . . . , x0n ) ∈ D ⊂ Rn , to
k+1


k

∂ f
∂  ∂ f 

(P0 ) ,
p (P0 ) =
p
s
s
∂xi ∂xj ∂xℓ
∂xi ∂xj ∂xℓ
gdzie s + p = k.
Twierdzenie Schwarza
Niech funkcja f b˛edzie określona na otoczeniu punktu
P0 (x01 , x02 , . . . , x0n ). Ponadto niech
∂2f
∂2f
pochodne czastkowe
˛
,
istnieja˛ na
∂xi ∂xj ∂xj ∂xi
otoczeniu punktu P0
∂2f
∂2f
pochodne czastkowe
˛
,
, b˛eda˛ ciagłe
˛ w
∂xi ∂xj ∂xj ∂xi
punkcie P0 .
∂2f
∂ 2f
(P0 ) =
(P0 ) , i 6= j i i, j = 1, 2, . . . , n
Wtedy
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
UWAGA: Prawdziwe sa˛ analogiczne równości dla pochodnych mieszanych wyższych rz˛edów.
Różniczkowalność funkcji
n-zmiennych
Niech funkcja f b˛edzie określona na otoczeniu
punktu P0 (x01 , x02 , . . . , x0n ) oraz niech istnieja˛
∂f
(P0 ), i = 1, , . . . , n.
pochodne czastkowe
˛
∂xi
Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie P0 wtedy i
tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
lim
f (P ) − f (P0 ) −
(∆x1 ,...,∆xn )→(0,...,0)
q
∂f
(P0 )∆x1
∂x1
− ··· −
(∆x1 )2 + · · · + (∆xn )2
∂f
(P0 )∆xn
∂xn
=0
gdzie P = (x01 + ∆x1 , . . . , x0n + ∆xn ).
Warunek konieczny
różniczkowalności funkcji
Twierdzenie: Jeżeli funkcja jest różniczkowalna
w punkcie, to jest ciagła
˛ w tym punkcie.
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Świadczy o tym przykład funkcji
√ 2
f (x, y) = x + y 2 , która jest ciagła
˛ w punkcie
(0, 0), ale nie jest w tym punkcie różniczkowalna.
Warunek wystarczajacy
˛
różniczkowalności funkcji
Twierdzenie: Niech funkcja f b˛edzie określona na
otoczeniu punktu P0 (x01 , x02 , . . . , x0n ). Ponadto niech
∂f
pochodne czastkowe
˛
, i = 1, . . . , n istnieja˛
∂xi
na otoczeniu punktu P0
∂f
pochodne czastkowe
˛
, i = 1, . . . , n b˛eda˛
∂xi
ciagłe
˛ w punkcie P0 .
Wtedy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie P0 .
Interpretacja geometryczna funkcji dwóch zmiennych
różniczkowalnej w punkcie
Różniczkowalność funkcji f w punkcie (x0 , y0 )
oznacza, że istnieje płaszczyzna styczna (niepionowa)
do wykresu tej funkcji w punkcie (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
z
z = f (x, y)
płaszczyzna styczna
b
(x0 , y0 , z0 )
y
x
Równanie płaszczyzny stycznej do
wykresu funkcji
Niech funkcja f b˛edzie różniczkowalna w punkcie
P0 (x0 , y0 ). Równanie płaszczyzny stycznej do
wykresu funkcji f w punkcie (x0 , y0 , z0 ), gdzie
z0 = f (x0 , y0 ), ma postać:
∂f
∂f
z − z0 =
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ) .
∂x
∂y
Różniczka funkcji n-zmiennych
P0 (x01 , x02 , . . . , x0n ). Ponadto niech funkcja f ma pochodne
czastkowe
˛
pierwszego rz˛edu w punkcie P0 (x01 , x02 , . . . , x0n ).
Różniczka˛ funkcji f w punkcie P0 (x01 , x02 , . . . , x0n )
nazywamy funkcj˛e zmiennych ∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn
określona˛ wzorem:
n
def X
∂f
df (P0 )(∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn ) =
(P0 )∆xi ,
i=1 ∂xi
Różniczk˛e funkcji f oznacza si˛e także przez
df (x01 , x02 , . . . , x0n ) lub krótko df .
Zastosowanie różniczki funkcji n-zmiennych
Niech funkcja f b˛edzie różniczkowalna w punkcie
P0 (x01 , x02 , . . . , x0n ). Wtedy
f (x01 + ∆x1 , . . . , x0n + ∆xn ) ≈ f (P0 ) + df (P0 )(∆x1 , . . . , ∆xn ) ,
przy czym bład
˛ δ(∆x1 ,q∆x2 , . . . , ∆xn ) powyższego przybliżenia
da˛ży szybciej do 0 niż (∆x1 )2 + (∆x2 )2 + · · · + (∆xn )2 , tzn.
lim
δ(∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn )
∆xi →0, i=1,...,n
q
(∆x1 )2 + (∆x2 )2 + · · · + (∆xn )2
= 0.
Przykład
Wykorzystujac
˛ różniczk˛e obliczymy wartość
√
przybliżona˛ wyrażenia 2,1 · 8,05 .
√
Definiujemy funkcj˛e f (x, y) = xy .
Przyjmujemy x0 = 2 ∧ y0 = 8 ⇒ ∆x = 0,1 i ∆y = 0,05.
v
s
1 y
1u
∂f
∂f
ux
Ponieważ
=
i
= t ,wi˛ec
∂x
2 x
∂y
2 y
√
2, 1 · 8, 05 ≈
√
1
2 · 8 + 1 · 0,1 + · 0,05 = 4,1125 .
4
Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania bł˛edów pomiarów
Niech wielkości fizyczne x1 , x2 , . . . , xn , y b˛eda˛
zwiazane
˛
zależnościa˛ y = f (x1 , x2 , . . . , xn ). Ponadto
niech ∆xi , i = 1, 2, . . . , n oznaczaja˛ odpowiednio
bł˛edy bezwzgl˛edne pomiaru wielkości x1 , x2 , . . . , xn .
Wtedy bład
˛ bezwzgl˛edny ∆y obliczeń wielkości y
wyraża si˛e wzorem przybliżonym
∆y ≈
n
X ∂f ∆
∂x xi
i
i=1
.
Przykład
Przy pomocy menzurki można zmierzyć obj˛etość ciała z dokładnościa˛ ∆V = 0,1 cm3 , a przy
pomocy wagi spr˛eżynowej można ustalić jego mas˛e z dokładnościa˛ 1 g. Obj˛etość ciała zmierzona
tym sposobem wynosi V = 25 cm3 , a masa M = 200 g. Z jaka˛ w przybliżeniu dokładnościa˛
można obliczyć g˛estość ρ tego ciała?
M
∂ρ
∂ρ
1
M
Ponieważ ρ(M, V ) =
, wi˛ec
=
i
=− 2 ,
V
∂M
V
∂V
V
wi˛ec
∂ρ ∂ρ 1
200 ∆ρ ≈ ∆M + ∆V =
· 1 + − 2 · 0,1 = 0,072 .
∂M
∂V
25
25
Różniczka zupełna
P0 (x01 , x02 , . . . , x0n ). Ponadto niech funkcja f ma pochodne
czastkowe
˛
pierwszego rz˛edu w punkcie P0 (x01 , x02 , . . . , x0n ).
Przyrosty ∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn nazywamy
różniczkami zmiennych niezależnych x1 , x2 , . . . , xn ,
odpowiednio i oznaczamy symbolami dx1 , dx2 , . . . , dxn .
Różniczka˛ zupełna˛ funkcji f w punkcie P0 (x01 , x02 , . . . , x0n )
nazywamy wyrażenie:
def
df (P0 ) =
n
X
∂f
i=1
∂xi
(P0 )dxi .
Różniczkowanie funkcji złożonych
Twierdzenie: Niech
∂f
funkcja f ma ciagłe
˛ pochodne czastkowe
˛
,
∂xi
i = 1, . . . , n, na obszarze D ⊆ Rn ,
funkcje x
= x1 (t), x2 = x2 (t),. . . , xn = xn (t), b˛eda˛
różniczkowalne na przedziale (a, b) ⊆ R oraz
(x1 (t), . . . , xn (t)) ∈ D dla każdego t ∈ (a, b).
1
Wtedy funkcja złożona F (t) = f (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) jest
różniczkowalna na przedziale (a, b) oraz
n
dF X
∂f dxi
=
.
dt i=1 ∂xi dt
Przykład
Niech F (t) = f (x(t), y(t)), gdzie f (x, y) = xy 2 − y,
x = e−t i y = e2t . Wówczas
dF
(t)= − y 2 (t)e−t + (2x(t)y(t) − 1)2e2t = −e3t + 2(2et − 1)e2t .
dt
Dla t0 = 0 mamy x(0) = 1 i y(0) = 1, wi˛ec
dF
(0)=1 .
dt
Różniczkowanie funkcji złożonych
Twierdzenie: Niech
∂f
funkcja f ma ciagłe
˛
,
∂xi
i = 1, . . . , n, na obszarze D ⊆ Rn ,
funkcje x
= x1 (t1 , . . . , tm ), . . . , xn = x2 (t1 , . . . , tm ), maja˛
∂xi
, i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , m na
pochodne czastkowe
˛
∂tk
obszarze U ⊆ Rm .
1
Wtedy F (t1 , . . . , tm ) = f (x1 (t1 , . . . , tm ), . . . , xn (t1 , . . . , tm ))
ma na obszarze U nast˛epujace
˛
I-ego rz˛edu:
n
∂F X
∂f ∂xi
=
,
∂tk i=1 ∂xi ∂tk
k = 1, . . . , m.
Przykład
Niech F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)), gdzie
f (x, y) = x2 − xy + y 2 , x = u + v i y = u − v.
Wówczas
∂F
(1, 1)= (2x(u, v) − y(u, v)) + (−x(u, v) + 2y(u, v))
=
(1,1)
∂u
(4 − 0) + (−2 + 0) = 2,
∂F
(1, 1)= (2x(u, v) − y(u, v)) + (−x(u, v) + 2y(u, v))·(−1) =
(1,1)
∂v
(4 − 0) + (−2 + 0) · (−1) = 6.
Różniczkowalność odwzorowania
n
m
f :R →R
Niech D ⊆ Rn b˛edzie otwartym niepustym podzbiorem, P0 ∈ D oraz f = (f1 , . . . , fm ) : D → Rm .
Odwzorowanie f nazywamy różniczkowalnym w punkcie P0 ,
gdy istnieje macierz

a11
 ..
 .
...
..
.
...
am1

a11
 .
taka że f (P ) − f (P0 ) =  ..
am1
gdzie k∆xk =
p
...
..
.
...

a1n
.. 
. ,
amn
 

a1n
∆x1
..   .. 
.  ·  .  + k∆xk · ε(P0 , ∆x) ,
amn
∆xn
(∆x1 )2 + · · · + (∆xn )2 ,
P = (x01 + ∆x1 , . . . , x0n + ∆xn ), P0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ D i lim ε(x0 , ∆x) = 0..
∆x→0
Pochodna odwzorowania
n
m
f :R →R

a11
 .
Macierz A =  ..
am1

...
..
.
a1n
. 
.  , taka˛ że
.
...
lim
kf (P ) − f (P0 ) − A · ∆xk
k∆xk
∆x→0
=0 ,
amn


∆x1
p
 . 
gdzie k∆xk =
(∆x1 )2 + · · · + (∆xn )2 , ∆x =  .. ,
P = (x01 + ∆x1 , . . . , x0n
∆xn
+ ∆xn ), P0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ D,
nazywamy macierza˛ Jacobiego (pochodna˛ ) odwzorowania f w punkcie P0 i oznaczamy
Df (x0 ) albo
∂(f1 , . . . , fm )
D(f1 , . . . , fm )
lub
.
∂(x1 , . . . , xn )
D(x1 , . . . , xn )




∆x1
∆x1
 . 
 . 
df (P0 , ∆x) = A ·  ..  = Df (P0 ) ·  ..  : różniczka odwzorowania f w P0 dla przyrostu ∆x.
∆xn
∆xn
Różniczkowalność odwzorowania
n
m
f :R →R
Twierdzenie: Odwzorowanie f różniczkowalne w
punkcie P0 ma tylko jedna˛ macierz Jacobiego.
Twierdzenie: Odwzorowanie f różniczkowalne w
punkcie P0 jest ciagle
˛ w tym punkcie.
Pochodna odwzorowania
n
m
f :R →R
Twierdzenie: Niech D ⊆ Rn b˛edzie otwartym niepustym
podzbiorem, P0 ∈ D oraz f = (f1 , . . . , fm ) : D → Rm b˛edzie
różniczkowalne w P0 .
Wtedy funkcje fi : D → R, i = 1, . . . , m maja˛ pochodne
∂fi
(P0 ), i = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n oraz macierz
czastkowe
˛
∂xk

∂f1
 ∂x1 (P0 )

A=


..
.
...
...
∂fm
(P0 )
∂x1
...

∂f1
(P0 ) 
∂xn
..
.
∂fm
(P0 )
∂xn

,


jest macierza˛ Jacobiego (pochodna)
˛ odwzorowania f w punkcie P0 .
Pochodna odwzorowania f : Rn → Rm
Jeżeli m = n, to
detDf =
∂f1
 ∂x1
 .
det  ..

∂fn
∂x1

...
...
...
∂f1
∂xn 
.. 
. 

∂fn
∂xn

=
∂f1
∂x1
.
..
∂fn
∂x
1
...
...
...
∂f1 ∂xn .. . ∂fn ∂xn nazywamy jakobianem odwzorowania f i ozn. J .
Pochodna funkcji złożonej
Niech f : Rn → Rm oraz g : Rp → Rn . Wówczas
F = (f ◦ g) : Rp → Rm
i
DF = D(f ◦ g) = Df · Dg .
Przykład
Niech
t2
f (x, y) = x ln y i g(t1 , t2 , t3 ) = t1 + , t1 + t2 + t3 .
t3


1
t2
− 2 
1
x2

Wówczas Df = 2x ln y y , Dg =  t3
t3 
1 1 1
oraz
!
2
DF = D(f ◦g) = Df ·Dg = 2x ln y
x2
y
1
t2
− 2 
1

· t 3
t3  = ....
1 1 1


Przykład
Wykazać, że funkcja u = sin x + F (sin y − sin x) spełnia równanie różniczkowe czastkowe
˛
∂u
∂u
cos x +
cos y = cos x · cos y .
∂y
∂x
Niech g(x, y) = (sin x, sin y − sin x) i f (a, b) = a + F (b). Wówczas
h
u(x, y) = (f ◦ g)(x, y). Ponieważ Df = 1
dF
db
i
, Dg =
"
cos x
0
− cos x
cos y
h
dF
Du = D(f ◦ g) = Df · Dg = cos x −
cos x
db
Zatem
L=
∂u
∂y
cos x +
cos x cos y −
∂u
∂x
cos y = Du ·
"
cos y
cos x
#
#
oraz
i
dF
cos y .
db
=
dF
dF
cos x cos y +
cos y cos x = cos x cos y = P.
db
db
Przykład


a cos t
Niech f : h0, 2π) → R i f (t) = 
 . Wtedy
2


x = a cos t

y = b sin t
b sin t


−a sin t0 
, t ∈ h0, 2π) ⇒ Df (t0 ) = 

b cos t0
y
R2
R
t
x
Przykład

1+t

Niech f : R → R3 i f (t) = 2 + 2t . Wtedy


x = 1 + t
y = 2 + 2t

z = −t

−t


1
, t ∈ R ⇒ Df (t0 ) =  2




−1
z
R3
b
R
b
t
x
b
y
Przykład

a cos t

Niech f : R → R3 i f (t) =  a sin t  . Wtedy

bt


x = a cos t
y = a sin t

z = bt


−a sin t0
, t ∈ R ⇒ Df (t0 ) =  a cos t0


b


z
R3
b
R
b
t
b
x
y
Przykład


x0 + u1 t1 + v1 t2 


2
3

Niech f : R → R i f (t1 , t2 ) =  y0 + u2 t1 + v2 t2 
 . Wtedy


z0 + u3 t1 + v3 t2



x = x0 + u1 t1 + v1 t2



y = y0 + u2 t1 + v2 t2




z = z + u t + v t
0
3 1
3 2
2
, (t1 , t2 ) ∈ R

u1

⇒ Df (t1 , t2 ) = 
u2


v1 

v2 


u3 v3
Przykład
2
2
Niech f : D
→
R
,
D
=
h0,
+∞)
×
h0,
2π)
⊂
R
i


̺ cos ϕ
f (̺, ϕ) = 
 . Wtedy
̺ sin ϕ


x = ̺ cos ϕ

y = ̺ sin ϕ
2
, (̺, ϕ) ∈ D ⊂ R
cos ϕ
J = sin ϕ

cos ϕ
⇒ Df (̺, ϕ) = 
−̺ sin ϕ
=̺
̺ cos ϕ sin ϕ

−̺ sin ϕ
̺ cos ϕ

Przykład
2
2
Niech f : D
→
R
,
D
=
h0,
1i
×
h0,
2π)
⊂
R
i


a̺ cos ϕ
f (̺, ϕ) = 
 . Wtedy
b̺ sin ϕ


x = a̺ cos ϕ

y = b̺ sin ϕ
, (̺, ϕ) ∈ D ⊂ R2 ⇒
a cos ϕ −a̺ sin ϕ
a cos ϕ −a̺ sin ϕ
Df (̺, ϕ) = 
= ab̺
∧J = b sin ϕ b̺ cos ϕ
b̺ cos ϕ b sin ϕ


Przykład
Niech f : D → R3 , D = h0, +∞) × h0, 2π) × R ⊂ R3 i


̺ cos ϕ



f (̺, ϕ, t) =  ̺ sin ϕ 
 . Wtedy


t



x = ̺ cos ϕ



, (̺, ϕ) ∈ D ⊂ R3 ⇒
y = ̺ sin ϕ



z = t

cos ϕ −̺ sin ϕ

Df (̺, ϕ, t) = 
 sin ϕ ̺ cos ϕ

0
0
cos ϕ
0


0∧J = sin ϕ

0
1

−̺ sin ϕ
̺ cos ϕ
0
0
0 = ̺
1
Przykład
π π
3
Niech f : D → R , D = h0, +∞) × h0, 2π) × − ,
2 2


̺ cos ϕ cos ψ 
⊂ R3 i



f (̺, ϕ, ψ) =  ̺ sin ϕ cos ψ 
 . Wtedy


̺ sin ψ



x = ̺ cos ϕ cos ψ



, (̺, ϕ) ∈ D ⊂ R3 ⇒
y = ̺ sin ϕ cos ψ



z = ̺ sin ψ

cos ϕ cos ψ
Df (̺, ϕ, ψ) =  sin ϕ cos ψ

sin ψ
−̺ sin ϕ cos ψ
̺ cos ϕ cos ψ
0
−̺ cos ϕ sin ψ

2
−̺ sin ϕ sin ψ  ∧ J = ̺ cos ψ
̺ cos ψ

Podsumowanie
Pochodne czastkowe.
˛
Pochodna kierunkowa.
Gradient.
Różniczka.
Pochodna odwzorowania.
Dzi˛ekuj˛e za uwag˛e
,

Funkcje wielu zmiennych (c.d.)

Transkrypt

Podobne dokumenty

Cennik - auros.com.pl

Prawo samorządu terytorialnego – wybrane zagadnienia Prawo

Wyniki kolokwium

KWESTURA UKSW Dział Rozliczeń Studiów

KWESTURA UKSW Dział Rozliczeń Studiów

Automatyka i Robotyka

POMIARY – AUTOMATYKA – ROBOTYKA

Mechanika Semestr: zima/wiosna 2013 Praca kontrolna 2

Pobierz plik

Absolwent WEIT zwycięzcą konkursu Siemensa na najlepszą pracę