3 DFX

Matematyka / Laboratorium/ Lista 7
1. Sporządzić wykres poszczególnych warstwic oraz (oddzielnie) trójwymiarowy wykres dla:
1
a) f ( x, y ) = x 2 + y 2 ; b) f ( x, y ) = x 2 − y ; c) f ( x, y ) =
; d) f ( x, y ) = x + y .
( x − 3) 2 + y 2
2. Obliczyć pochodne cząstkowe oraz pochodną (gradient) następujących funkcji:
2
1
a) f ( x, y ) = e2 xy −5 ; b) f ( x, y ) =
; c) f ( x, y, z ) = COS 2 ( xy ) − z 5 x .
3
2
x + y +3
3. Obliczyć f ('−2,3) (1,−3) dla f(x, y) = x2y3.
4. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu (i zapisać je w postaci macierzowej) dla:
2
y2
a) f ( x , y ) = e x y ;
b) f ( x , y , z ) = 2 x y 3 −
; c) f ( x, y, z ) = ln(2 x − y 2 z ) .
z
5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
a) f ( x, y ) = x 3 + y 3 − 6 xy ;
b) f ( x, y ) = x 2 + y 2 + xy − 6 y − 4 x + 2 ;
c) f ( x, y ) = xy 2 (6 − x − y ) 3 ;
d) f ( x, y ) = x 2 + y 3 − 6 xy − 48 y ;
e) f ( x, y, z ) = x 2 − 2 y 2 + z 2 + xyz ;
f) f ( x, y ) = 3 x 2 − x 3 y 2 + y 2 − 3 x ;
h) f ( x, y ) = ( 2 x 2 + y 2 ) e − x
g) f ( x, y ) = 2 x 6 + ( y − 1)8 .
i) f ( x , y , z ) = x +
y2 z2 2
+
+ ;
4x y z
j) f ( x, y ) = 4 xy +
2
− y2
1 1
+ ;
x y
l) f ( x, y ) = xe x y .
k) f ( x, y ) = xy ln( x 2 + y 2 ) ;
2
6. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji przy podanych warunkach:
a) f ( x, y, z ) = xyz ,
przy warunku x + y + z = 1 ;
1
b) f ( x , y ) =
,
przy warunku x 2 + y 2 = 9 ;
1 + x2
c) f ( x, y ) = xy 2 ,
przy warunku x + y = 1 ;
przy warunku e x+ y = xy + 1 .
d) f ( x , y ) = x + y ,
7. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji:
a) f ( x, y ) = x 2 − y 2 w kole x 2 + y 2 ≤ 4 ;
b) f ( x, y ) = xy 2 (4 − x − y ) w trójkącie o wierzchołkach (0,0), (0,6) (6,0).
8*. Obliczyć 10 pierwszych wyrazów szeregu Taylora dla funkcji:
2
2
a) f ( x , y ) = e x + y
w punkcie (0,0);
b) f ( x, y ) = ln( x + y ) w punkcie (0,1);
9. Obliczyć:
3
5
5
4
3
2
dy
a) ∫ dy ∫ (6 x y + 1)dx ; b) ∫ dx ∫ (6 x y + 1)dy ; c) ∫ dx ∫
;
( x + y) 2
1
2
2
1
3
1
2
2
2
3
d) ∫ dx ∫ xydy .
0
x
Wskazówki do zadań.
Wskazówki te naleŜy traktować jako przykłady rozwiązań. NiezaleŜnie od tych wskazówek warto zapoznać się z
dokumentacją (poprzez np. help mesh) dla kaŜdego nowego polecenia.
Ad. 1. Aby narysować wykres funkcji dwóch zmiennych trzeba obliczyć wartości tej funkcji dla tzw. siatki punktów.
x=-5:0.01:4.5; y=-6:0.01:5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
/* [A,B]=meshgrid(a,b), – jeśli a jest wektorem n elementowym, b wektorem m elementowym,
to Ai B będą macierzami o m wierszach i n kolumnach takimi, Ŝe A(i,j)=a(j) oraz B(i,j)=b(i).
Z=X.^2+Y.^2;
mesh(x,y,Z) lub mesh(X,Y,Z)
contour(X,Y,Z)
[C,h] = contour(X,Y,Z,[1,4,9,16]); clabel(C,h);
meshc(X,Y,Z); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
f=@(x,y) x.^2+y.^2;
ezmesh(f,[-5,4.5,-6,5])
/* sposób alternatywny
Ad. 4.
syms x y z
f=exp(x^2 *y);
dfx=diff(f,x)
/* pochodna cząstkowa f po zmiennej x
df=jacobian(f,[x,y]) /* gradient f
d2f=jacobian(df,[x,y])
Ad. 5.
syms x y
f=(2*x^2+y^2)*exp(-x^2-y^2);
df=jacobian(f,[x,y])
df=simplify(df)
/*”prostszy” (wizualnie) sposób zapisu
[xi,yi]=solve('-(2*x*(2*x^2 + y^2 - 2))/exp(x^2 + y^2)=0','-(2*y*(2*x^2 +
y^2 - 1))/exp(x^2 + y^2)=0')
/*niestety, trzeba w tym miejscu skorzystać z funkcji kopiuj/wklej
– w poleceniu solve nie powinno być odwołań do innych funkcji
/* dostajemy 5 punktów krytycznych. Dla pozostałych punktów postępujemy analogicznie.
p1=[xi(1),yi(1)]
d2f=jacobian(df,[x,y])
d2fp1=subs(d2f,[x,y],p1)
w1=d2fp1(1,1)
w2=det(d2fp1) /* oba minory są dodatnie: w tym punkcie jest minimum tej funkcji.
ezmesh(f,[-3,3,-3,3]);
ezcontour(f);
Ad. 9. Do numerycznego obliczania całek podwójnych słuŜy funkcja dblquad
dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax) - oblicza całkę podwójną z fun(x,y) na prostokącie xmin
<= x <= xmax, ymin <= y <= max (z dokładnością rzędu 1.0e-6).
MoŜna teŜ liczyć symbolicznie:
clear all
syms x y
f=6*x^2*y+1;
calka_x=int(f,x,2,5)
calka=int(calka_x,y,1,3)