docModelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Ła ´ncuchy kinematyczne
download 
Reklamacja Transkrypt
Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Ła ´ncuchy kinematyczne
Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Łańcuchy kinematyczne Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 [email protected] 1 / 31 Łańcuchy kinematyczne Wprowadzenie Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna ˛ jest pod adresem Kinematyka prosta Kinematyka odwortna http://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm 2 / 31 Wprowadzenie • Kinematyka Kinematyka prosta Kinematyka odwortna Wprowadzenie 3 / 31 Kinematyka Wprowadzenie • Kinematyka Kinematyka prosta Kinematyka odwortna • Ruch jednego obiektu wzgledem ˛ drugiego, hierarchia ruchu ◦ układ planetarny, manipulatory, postacie ludzkie • Kinematyka: ◦ prosta ◦ odwrotna 4 / 31 Wprowadzenie Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne • Pary kinematyczne • Struktury Kinematyka odwortna Kinematyka prosta 5 / 31 Modelowanie hierarchiczne Wprowadzenie Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne • Pary kinematyczne • Struktury • Wieloczłonowe ła˛ńcuchy ◦ człony połaczone ˛ końcami ◦ efektory końcowe ◦ postać artykulowana, artykulacja Kinematyka odwortna • Robotyka 6 / 31 Pary kinematyczne o jednym stopniu swobody Wprowadzenie Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne • przegub • para przesuwana • Pary kinematyczne • Struktury Kinematyka odwortna 7 / 31 Pary kinematyczne o dwóch stopniach swobody Wprowadzenie • Sprowadza sie˛ do par o jednym stopniu swobody Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne • Pary kinematyczne • Struktury Kinematyka odwortna Planar joint Ball-and-socket joint T2 T1 θ3 θ1 θ2 zero-length linkage 8 / 31 Struktury danych Wprowadzenie • Drzewo Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne root node root arc root • Pary kinematyczne • Struktury Kinematyka odwortna link Articulated figure Abstract hierarchical representation joint Tree structure 9 / 31 Krawedź ˛ i wierzszchołek Wprowadzenie Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne • Pary kinematyczne • Struktury Kinematyka odwortna • Dwa przekształcenia ◦ przekształcenie do położenia „zerowego” wzgledem ˛ elementu ◦ rodzicielskiego przekształcenia artykulacji — wzgledem ˛ położenia „zerowego” Arci Nodei contains • a transformation to be applied to object data to position it so its point of rotation is at the origin (optional) • object data Nodei Arci contains • constant transformation of Linki to its neutral position relative to Linki–1 • variable transformation responsible for articulating Linki 10 / 31 Przykład Wprowadzenie • Trzy człony Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne • Pary kinematyczne • Struktury T0 Kinematyka odwortna Original definition of root object (Link 0) Root object (Link 0) transformed (translated and scaled) by T0 to some known location in global space T1 Link 1 transformed by T1 to its position relative to untransformed Link 0 Original definition of Link 1 T1.1 Original definition of Link 1.1 Link 1.1 transformed by T1.1 to its position relative to untransformed Link 1 11 / 31 Przekształcenia członów Wprowadzenie Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne • Pary kinematyczne • Struktury Kinematyka odwortna • V0′ = T0 V0 • V1′ = T0 T1 V1 ′ =T T T V • V1.1 0 1 1.1 1.1 T0 (global position and orientation) data for Link 0 (the root) T1 (transformation of Link 1 relative to Link 0) data for Link 1 T1.1 (transformation of Link 1.1 relative to Link 1) data for Link 1.1 12 / 31 Hierarchia obrotów Wprowadzenie Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne • Pary kinematyczne • Struktury • V0′ = T0 V0 • V1′ = T0 T1 R1 (θ1 )V1 ′ = T T R (θ )T R (θ )V • V1.1 0 1 1 1 1.1 1.1 1.1 1.1 Kinematyka odwortna Link 1.1 θ1.1 Link 1 θ1 T0 13 / 31 Druga kończyna Wprowadzenie Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne Link 1.1 θ1.1 • Pary kinematyczne • Struktury Link 1 θ1 Kinematyka odwortna θ2 θ2.1 T0 14 / 31 Drzewo Wprowadzenie T0 Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne data for Link 0 (the root) • Pary kinematyczne • Struktury Kinematyka odwortna R2(θ2) T2 data for Link 2 T2.1 R2.1(θ2.1) data for Link 2.1 T1 R1(θ1) data for Link 1 T1.1 R1.1(θ1.1) data for Link 1.1 15 / 31 Kinematyka prosta Wprowadzenie Kinematyka prosta • Modelowanie hierarchiczne • Pary kinematyczne • Struktury • Od korzenia do efektorów • Wykorzystanie stosu • Animacji poprzez działania na parametrach przekształceń par kinematycznych (katach ˛ obrotów) Kinematyka odwortna 16 / 31 Wprowadzenie Kinematyka prosta Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ numeryczne Kinematyka odwortna 17 / 31 Kinematyka odwrotna Wprowadzenie Kinematyka prosta Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ numeryczne • • • • • Łańcuch przesztywniony Łańcuch niedosztywniony Przestrzeń osiagalna ˛ Metoda analityczna Metoda iteracyjna 18 / 31 Prosty przykład Wprowadzenie Kinematyka prosta numeryczne L2 θ2 – • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ L1 L1 Kinematyka odwortna θ1 L2 L1 L1 +L L2 2 19 / 31 Rozwiazanie ˛ analityczne Wprowadzenie L2 Kinematyka prosta L1 Kinematyka odwortna 180 – θ2 • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ (X, Y ) 2 θ1 numeryczne (0, 0) X +Y θT 2 Y X • Dwa rozwiazania ˛ 20 / 31 Jakobian Wprowadzenie Kinematyka prosta Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ numeryczne • y = f (x), gdzie ◦ y ∈ Rm , x ∈ Rn ∂y1 1 ∂x ∂y 2 ∂x1 ∂y = J= ∂x ∂ym ∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x2 ... ... .......... ∂ym ... ∂x2 ∂y1 ∂xn ∂y2 ∂xn ∂ym ∂xn 21 / 31 Predko ˛ ść katowa ˛ i liniowa Wprowadzenie • W łańcuchu kinematycznym za zmienne wybiera sie˛ parametry Kinematyka prosta par kinematycznych • Za funkcje˛ — współrzedne ˛ efektora Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ Ẏ = J(θ)θ̇ numeryczne • Poszukiwane jest rozwiazanie ˛ przybliżone Zi × (E – Ji ) ωi ωi Zi Ji E Zi Zi Ji E – Ji E 22 / 31 Prosty przykład Wprowadzenie • Trzy płaskie przeguby Kinematyka prosta G Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ numeryczne L1 P1 θ2 L3 θ1 (0, 0) L2 E θ3 P2 23 / 31 Predko ˛ ści Wprowadzenie G Kinematyka prosta Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ L1 P1 θ2 numeryczne L3 θ1 (0, 0) L2 E θ3 P2 • V =C −E • V = J Θ̇ 24 / 31 Obracanie Jakobianu Wprowadzenie Kinematyka prosta Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ • V = J Θ̇ • Θ̇ = J −1 V • Nie zawsze możliwe G numeryczne L1 P1 θ2 L3 θ1 (0, 0) L2 E θ3 P2 25 / 31 Pseudoodwrotność Wprowadzenie Kinematyka prosta Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ • J † = J T (JJ T )−1 • Θ̇ = J † V • Macierz wierszowo regularna numeryczne 26 / 31 Regularyzacja Wprowadzenie Kinematyka prosta • Θ̇ = J T (JJ T + λ2 I)−1 V Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ numeryczne 27 / 31 Zwiekszanie ˛ stopnia kontroli Wprowadzenie Kinematyka prosta Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ numeryczne • Θ̇ 7→ Θ̇ + (J † J − I)z • z — parametr sterujacy ˛ ◦ zi = αi (θi − θci )2 • αi — parametr sztywności przegubu ◦ 0,1, 0,5, 0,1 oraz 0,1, 0,1, 0,5 28 / 31 Przesuwanie punktu docelowego Wprowadzenie Kinematyka prosta Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ numeryczne 29 / 31 Użycie J T Wprowadzenie Kinematyka prosta Kinematyka odwortna • Θ̇ = αJ T V • α — parametr sterujacy ˛ • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ numeryczne 30 / 31 Cykliczne modyfikowanie współrzednych ˛ Wprowadzenie • Kolejno przetworzane przeguby Kinematyka prosta Kinematyka odwortna • Analitycznie • Jakobian • Rozwiazanie ˛ numeryczne 31 / 31
