Estymacja – studia dzienne mgr Dorota Węziak 1 - E-SGH

Estymacja – studia dzienne
mgr Dorota Węziak
Estymatory punktowe i estymacja przedziałowa
Zadanie 1. Z przygotowanej do sprzedaży partii skrzynek z jabłkami w pewnej hurtowni wybrano losowo 200
skrzynek jabłek i 146 z nich zakwalifikowano jako I gatunek. Oszacować punktowo frakcję jabłek I gatunku w
całej partii.
Zadanie 2. W badaniach gospodarstw domowych w 2000r. w pewnym mieście w próbie losowej 100
gospodarstw domowych pracowników ustalono, że średnie miesięczne wydatki (na osobę) na usługi wyniosły
172 zł. z odchyleniem standardowym 25zł. Wyznaczyć ocenę punktową średnich wydatków w populacji
gospodarstw domowych pracowników i ocenić jakość estymacji.
Zadanie 3. Należy oszacować nieskuteczność działania preparatu farmaceutycznego β jeśli wiadomo, że
testując ten preparat na 144 losowo wybranych pacjentach odnotowano 12 przypadków jego nieskuteczności.
Określić przeciętny i względny błąd szacunku.
Zadanie 4
a) Czy można przyjąć, że cena, przy której produkt wydaje się konsumentom zbyt tani, aby cena była
gwarantem jego jakości, wynosi 20,0 zł, jeśli wynik ten ustalono jako wartość średnią z 16 – elementowej
próby losowej, w której przeciętne zróżnicowanie ceny uznawanej przez respondentów za zbyt niską
wyniosło 20,0zł ?
b) Ile wynosi średni i względny błąd szacunku średniego poziomu ceny zbyt niskiej, aby była ona dla
konsumenta gwarantem jakości produkt?
Zadanie 5. Pewna agencja badań marketingowych w lipcu 2002 roku przeprowadziła wśród mieszkańców
Warszawy pilotażowe badanie wielkości rocznego spożycia soków owocowych. Do badania wylosowano 144
osoby i na podstawie ich deklaracji otrzymano średnią wielkość rocznego spożycia soków na poziomie 11
litrów, z odchyleniem standardowym 4 litry. Dodatkowo z wieloletnich obserwacji wiadomo, że roczne
spożycie soków owocowych wśród mieszkańców stolicy ma rozkład zbliżony do normalnego.
Czy oszacowanie punktowe nieznanej wielkości średniego rocznego spożycia soków owocowych wśród
warszawiaków otrzymane na podstawie tej próby jest wysokiej jakości?
Estymacja przedziałowa
Zad 1. Z przygotowanej do sprzedaży partii skrzynek z jabłkami w pewnej hurtowni wybrano losowo 200
skrzynek jabłek i 146 z nich zakwalifikowano jako I gatunek. Wyznaczyć przedział ufności dla frakcji jabłek I
gatunku. Przyjąć 1 - α = 0,90. Co się stanie, gdy współczynnik ten zwiększymy do 0,95?
Zad 2. W badaniach gospodarstw domowych w 2000r. w pewnym mieście w próbie losowej 100 gospodarstw
domowych pracowników ustalono, że średnie miesięczne wydatki (na osobę) na usługi wyniosły 172 zł z
odchyleniem standardowym 25zł. Wyznaczyć przedział ufności dla średniej wydatków w populacji
gospodarstw domowych pracowników.
Zad 3. Należy oszacować nieskuteczność działania preparatu farmaceutycznego β jeśli wiadomo, że testując
ten preparat na 144 losowo wybranych pacjentach odnotowano 12 przypadków jego nieskuteczności. Określić
przeciętny i względny błąd szacunku. Wyznaczyć błąd bezwzględny szacunku (tzw. maksymalny), przy którym
ufność oszacowania wynosi co najmniej 95% . O ile należałoby zwiększyć liczebność próby, aby – przy
ustalonym współczynniku ufności (0,95) dwukrotnie zwiększyć precyzję oszacowania?
Zad 4. Roczne wydatki na promocję i reklamę firm pewnej branży mają rozkład normalny. Ile wynosił
współczynnik ufności przy przedziałowej estymacji średniej wysokości tych wydatków dla wszystkich firm
branży, jeśli na podstawie wyników 10-elementowej próby przedsiębiorstw uzyskano przedział o długości
18,096 tys. złotych, a odchylenie standardowe wydatków w badanej próbie firm wyniosło 12,6 tys. złotych?
1
Estymacja – studia dzienne
mgr Dorota Węziak
Czy przedziały ufności dla średniej w populacji normalnej, konstruowane przy tym samym współczynniku
ufności, ale w oparciu o różne, ale jednakowo liczne próby mają jednakowe czy też różne długości
przedziałów.
Zad 5. W pewnym eksperymencie chemicznym bada się czas całkowitego zakończenia reakcji. Na podstawie
obserwacji z próby losowej otrzymano średni czas reakcji 46 sek z odchyleniem standardowym 13 sek.
A) Oszacować z ufnością 99% średni czas reakcji przyjmując, ze próba liczyła 10 obserwacji.
B) Oszacować z ufnością 99% średni czas reakcji przyjmując, ze próba liczyła 144 obserwacje.
Zad 6. Jak liczna powinna być próba by oszacować odsetek pracowników, awansujących trzykrotnie w karierze
zawodowej z maksymalnym błędem 2%, jeśli badanie pilotażowe wskazuje, iż spodziewana wielkość kształtuje
się w granicach 15%?
Zad 7. Jak liczna powinna być próba by oszacować odsetek pracowników awansujących trzykrotnie w karierze
zawodowej z maksymalnym błędem 2%?
Zad 8. Na podstawie losowej próby 600 nabywców kawy otrzymano następujący przedział ufności dla frakcji
konsumentów lojalnych wobec marki: <0,35; 0,45>. Dokonać estymacji punktowej oraz określić średni błąd
szacunku frakcji konsumentów lojalnych, jeśli zbudowany przedział zawiera nieznaną frakcję konsumentów
lojalnych z prawdopodobieństwem 0,95.
Zad 9. Na podstawie losowej próby 400 konsumentów odwiedzających pewien sklep AGD otrzymano
następujący przedział ufności dla średnich wydatków: <460; 500> zł, oszacowany z ufnością 0,98. Jak liczna
powinna być próba, aby całkowita rozpiętość przedziału nie przekroczyła 30zł?
Zad 10. Aby zbadać wagę dzieci II klasy szkoły podstawowej w jednej ze szkół warszawskich wylosowano
próbę 25 elementową. Średnia waga w tej próbie wyniosła 33 kg z odchyleniem standardowym 6 kg.
a) Zakładając, że rozkład wagi dzieci jest zgodny z rozkładem normalnym, oszacować przedziałowo średni
poziom wagi dzieci.
b) Ile wynosi estymator punktowy średniej wagi dziecka, jego średni błąd szacunku i czy jest
satysfakcjonujący?
Zad 11. Rozkład wieku studentów jest rozkładem normalnym o parametrach m i sigma=1. Wylosowano 200
studentów pierwszego roku, dla których wiek przeciętny wyniósł 20. Ilu studentów należałoby dolosować do
próby, aby przy poziomie istotności 0,95 uzyskać dwukrotnie większą dokładność (precyzję) szacowania
przedziałowego przeciętnego wieku studentów niż dla grupy liczącej 200 osób?
Zad 12. Roczne wydatki na promocję firm z pewnej branży mają rozkład normalny.
a) Ile wynosił współczynnik ufności przy przedziałowej estymacji średniej wysokości tych wydatków dla
wszystkich firm branży, jeśli na podstawie wyników 9-elementowej próby przedsiębiorstw uzyskano przedział
o długości 1500 zł, a odchylenie standardowe (nieobciążone) wydatków w badanej próbie firm wyniosło 995
zł?
b) Jak liczna powinna być próba, aby z prawdopodobieństwem 0,95 oszacować odsetek firm tej branży
reklamujących się w TV z maksymalnym błędem (tj. połowa długości przedziału ufności) 0,02? Badanie
pilotażowe wskazuje, iż takich firm powinno być około 20 %.
2