1. ←↑→ 1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1.
1

1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1.1. Wprowadzenie
W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały
opisane bardziej szczegółowo w innych opracowaniach wykładów. My zajmiemy się tymi, które przydatne
będą w zrozumieniu późniejszych przekształceń macierzowych. Ponadto przypomnimy podstawowe
zagadnienia z teorii sprężystości.
1.2. Podstawowe działania na macierzach
Przyjmijmy, że macierz [D] jest macierzą cosinusów kierunkowych
[ D ] =[  i ' j ]
(1.1)
Wówczas macierz transformowana jest równa macierzy odwrotnej (transformacja ortonormalna)
−1
T
[ D ] ≡[ D ]
(1.2)
Wektor to macierz wierszowa. Weźmy pod uwagę wektor o trzech składowych, który zapisujemy
ogólnie jako:
{A}=[ A1 A2 A3 ]1 x3
(1.3)
Transponując wektor otrzymamy macierz (kolumnową) o wymiarach 1x3
[]
A1
[ A]T = A2
A3
(1.4)
3 ×1
Macierz odwrotna do danej to taka, która po przemnożeniu przez daną daje macierz jedynkową
{ A }−1⋅{ A }=[ I ]
(1.5)
Macierz odwrotną obliczamy z zależności:
{ A }−1=
T
1
⋅[ −1i j⋅M ij ]
det { A }
(1.6)
gdzie M ij jest macierzą minorów
Przykład:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
2
Obliczyć macierz odwrotną do danej macierzy A, która jest określona następująco:
{
1 −1 3
A= 3 3 4
2 −1 5
}
Obliczamy wyznacznik macierzy A
det A=1⋅3⋅5−1⋅4⋅23⋅3⋅−1−2⋅3⋅3−−1⋅4⋅1−5⋅3⋅−1=−1
Wyznaczamy macierz minorów
[
19
7 −9
M ij = −2 −1 1
−13 −5 6
Następnie obliczamy wartość wyrażenia
[−1
]
T
i j
⋅M
[
ij
19 2 −13
M ij = −7 −1
5
−9 −1 6
]
]
Dla przykładu obliczymy dwie wartości z macierzy odwrotnej do danej macierzy A
1
⋅19=−19
−1
1
A23= ⋅5=−5
−1
A11=
W analogiczny sposób obliczamy pozostałe wyrazy macierzy odwrotnej. W rezultacie otrzymamy
końcową postać macierzy odwrotnej w postaci:
{
−19 −2 13
{A} = 7
1 −5
9
1 −6
−1
}
Mnożenie macierzy można przedstawić przy pomocy poniższych zapisów:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
3
a) skalarnego (absolutnego)

A⋅
B =c
(1.7)
c= Ai⋅B i
(1.8)
b) wskaźnikowego
c) macierzowego
[]
A1

A →[ A]= A2 =[ A1 A2 A3 ]T
A3
[]
[]
B1

B →[ B]= B 2
B3
B1

A⋅
B =[ A] [ B]=[ A1 A2 A3 ]1×3⋅ B 2
B3
T
(1.9)
=[C ]1×1
3 ×1
Pamiętajmy o tym, że mnożenie dwóch macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn
pierwszej z nich jest równa liczbie wierszy drugiej. Możemy to zapisać:
A[ m×n]⋅B[n× p]=C [ m× p]
(1.10)
Łatwo zatem zauważyć, że np. w wyniku mnożenia dwóch macierzy o wymiarach 3x3 otrzymujemy
macierz także o wymiarach 3x3
[ A]3×3 [ B]3×3=[C ]3×3
(1.11)
Wskaźnikowo mnożenie dwóch macierzy zapisujemy
Aij⋅B jk =C ik
(1.12)
Transpozycja iloczynu dwóch macierzy
 A BT =BT AT
(1.12)
1.3. Działanie tensora na wektor
Tensor działa na wektor jako operator
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
T a =b
T ij a j =bi
[T ]3×3 [a ]3×1=[b]3×1
4
(1.13)
co przedstawiają powyższe równania w zapisie odpowiednio absolutnym, wskaźnikowym oraz
wektorowym.
Działanie tensora można przykładowo zaprezentować w następujący sposób:
[a ]3×1 [T ]3×3  niewykonalne
a⋅T =c
a i⋅T ij =c j
[a ]T1×3 [T ]3×3=[b]T1×3
Ai ' =i ' j A j
[ A' ]=[ D][ A]
A j = ji ' Ai '
[ A]=[ D]T [ A' ]
(1.14)
1.4. Transformacja tensora
Korzystając z prawa transformacji tensora wyznaczymy teraz współrzędne tensora w układzie
obróconym. Postać macierzową wektora 
b w układzie pierwotnym możemy przedstawić jako
[b]=[T ][a ]
(1.15)
[b' ]=[T ' ][ a ' ]
(1.16)
natomiast w układzie obróconym
Szukany tensor w układzie obróconym wyznaczamy w następujący sposób - odwołujemy się do (1.1):
[b' ]=[ D][b]
[b]=[ D]T [b' ]
T
'
[a ]=[ D] [a ]
(1.17)
podstawiamy do wzoru (1.16) i otrzymujemy
[ D ]T [b' ]=[T ][ D]T [ a ' ]
[b' ]=[T ][ D][ D]T [ a ' ]
[b' ]=[T ][a ' ]
[T ' ]=[ D][T ][ D]T
(1.18)
1.5. Podstawowe sformułowania metody elementów skończonych
w nawiązaniu do równań mechaniki kontinuum
1.5.1. Podstawowe równania liniowej sprężystości
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
5
W analizie będziemy przyjmować prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich
[x , y , z]
[ 1,2 ,3 ]
lub
Stan naprężenia w nieskończenie małej objętości ciała, które poddano działaniu obciążenia opisujemy
w układzie współrzędnych za pomocą składowych tensora, które po uporządkowaniu w macierz  ij
zapiszemy:
[
 11  12  13
 ij =  21  22  23
 31  32  33
]
(1.19)
Naprężenia, dla których i= j , czyli  11 ,  22 ,  33 przedstawiają naprężenia normalne.
Natomiast naprężenia, dla których i≠ j , czyli  12 ,  21 ,  13 ,  31 ,  23 ,  32 przedstawiają
naprężenia styczne.
Tensor stanu naprężenia jest symetryczny, a więc zachodzą następujące zależności
 12 = 21
 13 = 31
 23 = 32
(1.20)
Wykorzystując fakt, że tensor stanu naprężenia jest symetryczny, możemy ten tensor zapisać w
postaci wektora
T
=[  xx  yy  zz  xy  xz  yz ]
(1.21)
Tutaj, jak poprzednio powtarzające się indeksy oznaczają składowe normalne, natomiast różne
odnoszą się do składowych stycznych.
Stan odkształcenia nawiązujący do opisu tensorowego możemy przedstawić w uporządkowanej
macierzy o składowych ij
[
11 12 13
ij = 21 22 23
31 32 33
]
(1.22)
Posługiwać się będziemy również wektorem odkształcenia  , którego składowe będą równe
T
=[ 11 22 33 12 13 23 ]
(1.23)
Warto zauważyć, że w powyższym zapisie posługujemy się tzw. inżynierskimi definicjami
odkształceń stycznych, związanymi z odpowiednimi składowymi tensora odkształceń. Opisują to
następujące związki
12 =2 12
13 =2 13
23 =2 23
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
(1.24)
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
6
Pracę w zapisach wskaźnikowym i macierzowym opisujemy
 ij ij = T 
(1.25)
Składowe pola przemieszczeń w punkcie opisane są w zapisie odpowiednio wskaźnikowym i
macierzowym:
T
u i =[ u 1 , u 2 , u 3 ]
(1.26)
1.5.1.1. Podstawowe równania w zapisie wskaźnikowym
Przypomnijmy podstawowy układ równań liniowej teorii sprężystości. Typowe zadanie dla ciała
odkształcalnego wymaga znalezienia funkcji naprężeń  lub przemieszczeń u spełniających następujące
równania:
•
trzy równania różniczkowe cząstkowe równowagi (równania Naviera)
 ij , j bi =0
gdzie  ij , j =
•
(1.27)
∂  ij
∂xj
sześć równań różniczkowych cząstkowych geometrycznych (równania Cauchy'ego)
ij =
gdzie u i , j =
•
i , j=1,2 ,3
1
 u u j ,i 
2 i, j
(1.28)
∂ ui
∂xj
sześć równań algebraicznych fizycznych (równania Hooke'a)
 ij =E ijkl kl
(1.29)
Z powyższego zapisu nie wynika bezpośrednio, że liczba równań Hooke'a jest równa sześć. Dopiero
gdy weźmiemy pod uwagę założenia o izotropii układ (3.11) zredukuje się do deklarowanej liczby równań.
Ponadto poszukiwane rozwiązania muszą spełniać dodatkowe zależności:
•
równania nierozdzielności geometrycznej w każdym punkcie obszaru:
ij , kl kl ,ij −ik , jl − jl ,ik =0
•
(1.30)
naprężeniowe i przemieszczeniowe warunki brzegowe:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
7
 ij⋅n j = pi✷
(1.31)
warunek należy spełnić na brzegu S 
u i =u i✴
(1.32)
warunek należy spełnić na brzegu S u
Należy dodać, że brzegi S  i S u są rozłączne i w sumie tworzą cały brzeg, tzn. spełnione są
poniższe warunki:
S  ∩S u =0
(1.33)
S  ∪S u =S
(1.34)
Ze względu na złożoność problemu, określenie funkcji analitycznych spełniających warunki (1.27.) (1.32.) nie jest sprawą łatwą. Ponadto skomplikowane warunki brzegowe mogą dodatkowo utrudnić
rozwiązywanie takiego zadania, albo uczynić zadanie algebraicznie nierozwiązywalnym.
1.5.1.2. Podstawowe równania w zapisie macierzowym
Rozpocznijmy od równań geometrycznych, gdyż posłużą one jako równania wyjściowe do dalszej
analizy. Składowe wektora odkształceń możemy zapisać:
•
odkształcenia liniowe
∂ u1
∂ x1
∂u
22= 2
∂ x2
∂u
33= 3
∂ x3
11=
•
(1.35)
Odkształcenia poprzeczne
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE



12=21=
1 ∂ u1 ∂ u 2

2 ∂ x 2 ∂ x1
13=31=
1 ∂ u1 ∂ u3

2 ∂ x3 ∂ x1
23=32=
1 ∂ u2 ∂ u3

2 ∂ x3 ∂ x 2






12=21=
∂ u1 ∂ u 2

∂ x 2 ∂ x1
13=31=
∂ u1 ∂ u3

∂ x3 ∂ x1
 23=32=
∂ u 2 ∂ u3

∂ x3 ∂ x 2
8



(1.36)
Powyższe równania możemy macierzowo zapisać
•
ogólnie
= Lu
•
szczegółowo
[]
11
22
33
12
13
23
[ 6 ×1]
(1.37)
[ ]
=
∂
∂ x1
0
0
0
∂
∂ x2
0
0
0
∂
∂ x3
∂
∂ x2
∂
∂ x3
∂
∂ x1
0
∂
∂ x3
0
0
∂
∂ x1
∂
∂ x2
[]
u1
⋅ u2
u3
(1.38)
[ 3 ×1]
[ 6 ×3]
Równania równowagi Naviera możemy teraz zapisać w postaci:
•
ogólnie
T
{ L } ⋅b=0
(1.39)
gdzie b jest wektorem sił masowych
•
szczegółowo
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
[
∂
∂ x1
0
0
∂
∂ x2
0
0
0
∂
∂ x3
0
∂
∂ x2
∂
∂ x1
0
∂
∂ x3
0
∂
∂ x1
] {}
 11
 22
∂
⋅  33
∂ x3
 12
∂
 13
∂ x 2 [ 3×6]  23
0
9
{}
b1
 b2
b3
=0
(1.40)
[ 3×1]
[ 6×1]
Równania fizyczne (konstytutywne) określone są następująco:
 11−⋅ 22−⋅ 33
E
 22−⋅ 11−⋅ 33
22=
E
 −⋅ 11−⋅ 22
33= 33
E
11=
 12
G
 13
13=
G

23= 23
G
12 =
(1.41)
gdzie E to moduł odkształcalności podłużnej (moduł Younga), G jest modułem odkształcalności
postaciowej (moduł Kirchoffa) wyliczany z zależności: G=
E
, zaś  jest współczynnikiem
2⋅1
Poissona.
W postaci równania macierzowego powyższe zależności konstytutywne można zapisać:
•
ogólnie
=C⋅
•
(1.42)
szczegółowo
{} [
]{ }
1 − −
0
0
0
11
− 1 −
0
0
0
22
1
0
0
0
33 = ⋅ − − 1
⋅
E
0
0
0
1
0
0
12
0
0
0
0
1
0
13
0
0
0
0
0
1
 23
 11
 22
 33
 12
 13
 23
(1.43)
Zależność (3.42) jest jednoznaczna, a macierz konstytutywna C jest nieosobliwa (tzn. det {C }≠0 ). Wynika
z tego, że istnieje odwzorowanie odwrotne w postaci:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
•
10
ogólnej
=D⋅
•
szczegółowej
{}
[
 11
 22
E
 33 =
⋅
 12 1⋅1−2⋅
 13
 23
1−



1−



1−
(1.44)
0
0
0
1−2⋅
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1−2⋅
2
0
0
0
0
0
0
0
0
{] }
11
22
0
⋅ 33
12
0
13
1−2⋅  23
2
(1.45)
1.5.2. Podstawy MES wynikające z równania pracy wirtualnej
Zakładamy trójwymiarowy element skończony
współrzędnych [x,y,z]. Wektor przemieszczeń opiszemy
zdefiniowany
w
kartezjańskim
u=[u v w ]T
układzie
(1.46)
gdzie przemieszczenia u, v, w oznaczają przemieszczenia odpowiednio po kierunkach osi x, y i z. Siły
masowe zapiszemy następująco:
b=[b x b y b z ]T
(1.47)
Poszczególne składowe oznaczają siły przypadające na jednostkę objętości, powierzchni lub długości.
Przez d oznaczamy wektor przemieszczeń węzłowych elementu. Wymiar tego wektora jest analogiczny do
liczby węzłów elementu przemnożonej przez liczbę przyjętych stopni swobody węzła. Przyjmując
oznaczenie liczby stopni swobody przez n otrzymujemy
d =[ d i ] ; i=1,2 ,... , n
(1.48)
Jeśli przyjmiemy, że przemieszczenia węzła mają opisywać składowe przesunięć po kierunkach osi x,
y, z otrzymamy
d i =[ d xi d yi d zi ]
(1.49)
Warto zaznaczyć, że inne typy przemieszczeń, takie jak obroty czy krzywizny mogą być także
traktowane jako składowe wektora przemieszczeń.
W podobny sposób przyjmujemy siły węzłowe p jako składowe sił we wszystkich węzłach elementu
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
p=[ pi ] ; i=1,2 ,... , n
11
(1.50)
Jeśli przemieszczenia dotyczą przesunięć po kierunkach osi x, y, z
pi =[ p xi p yi p zi ]
(1.51)
Teraz zakładamy pole przemieszczeń w elemencie jako funkcję przemieszczeń węzłów w postaci
u[3 ×1]= N [3 ×n] d [n×3]
(1.52)
Macierz N nazywamy macierzą funkcji próbnych i określa wpływ danej składowej wektora
przemieszczeń d na przemieszczenie dowolnego punktu elementu o współrzędnych x, y, z.
Zależność u możemy zapisać
=L u
(1.53)
=L N d
(1.54)
B= L N
(1.55)
Po podstawieniu zależności (1.52)
Przyjmując podstawienie
gdzie B opisuje odkształcenia w każdym punkcie elementu spowodowane jednostkowym
przemieszczeniem kolejnych stopni swobody węzłów. Stąd otrzymujemy
=B d
(1.56)
Z prawa fizycznego otrzymujemy zależność
= D 
=D B d
(1.57)
Wprowadzając powyższe zależności otrzymamy zapis
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1
1
 D T d = ∫ T DT  d =
∫
2
2

1
1
= ∫  B d e T DB d = d Te ∫ B T DBd  d e
2
2 
12
u=∫  T  d =
(1.58)
Układ zapisujemy jako:
∫ BT DBd  d e=P
(1.59)
∫ BT DBd =k e
(1.60)
k e⋅d e =P
(1.61)

Wprowadzając podstawienie:

Otrzymujemy równanie postaci:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater