docWybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym
download 
Reklamacja Transkrypt
Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym
. . Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym dr Hanna Furmańczyk 15 kwietnia 2015 . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Grafy są wszędzie . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Grafy są wszędzie . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Grafy są wszędzie . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Grafy są wszędzie . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Grafy są wszędzie . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Problem mostów królewieckich . Euler 1736 r., Królewiec . Zadanie, tak jak rozumiem, jest dobrze znane i brzmi następująco: w Królewcu, w Prusach, znajduje się wyspa zwana Kneiphof otoczona dwoma ramionami rzeki Pregoła. Odnogi rzeki przecina siedem mostów. Należy rozstrzygnąć, czy jest możliwe przespacerować się w taki sposób, aby przejść tylko raz po każdym moście. . . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Problem mostów królewieckich . Euler 1736 r., Królewiec . Zadanie, tak jak rozumiem, jest dobrze znane i brzmi następująco: w Królewcu, w Prusach, znajduje się wyspa zwana Kneiphof otoczona dwoma ramionami rzeki Pregoła. Odnogi rzeki przecina siedem mostów. Należy rozstrzygnąć, czy jest możliwe przespacerować się w taki sposób, aby przejść tylko raz po każdym moście. . . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Problem mostów królewieckich Leonhard Euler (1707-1783) . . .. .. dr Hanna Furmańczyk .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Grafy eulerowskie . Grafy eulerowskie . Niech dany bdzie spjny graf (multigraf) G = (V , E ). Mówimy, że G jest eulerowski, jeżeli istnieje łańcuch zamknięty zawierający każdą krawędź multigrafu; taki łańcuch nazywamy cyklem Eulera. . . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Grafy eulerowskie . Grafy eulerowskie . Niech dany bdzie spjny graf (multigraf) G = (V , E ). Mówimy, że G jest eulerowski, jeżeli istnieje łańcuch zamknięty zawierający każdą krawędź multigrafu; taki łańcuch nazywamy cyklem Eulera. . . Twierdzenie . Spójny multigraf G = (V , E ) jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wierzchołek jest parzystego stopnia. . . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Algorytm Fleury’ego () znajdowania cyklu Eulera (o ile taki cykl istnieje) . Niech G = (V , E ) będzie spójnym multigrafem o wszystkich wierzchołkach parzystego stopnia. 1. Zaczynamy od dowolnego wierzchołka v ∈ V . 2. Powtarzamy, aż przejdziemy wszystkie krawędzie: . Jeżeli z bieżącego wierzchołka x odchodzi tylko jedna krawędź, to przechodzimy wzdłuż tej krawędzi do następnego wierzchołka i usuwamy tę krawędź wraz z wierzchołkiem x. 2. W przeciwnym wypadku, jeżeli z x odchodzi więcej krawędzi, to wybieramy tę krawędź, której usunięcie nie rozspójnia nam grafu, i przechodzimy wzdłuż tej krawędzi do następnego wierzchołka, a następnie usuwamy tę krawędź z grafu. 1 . . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Problem chińskiego listonosza . Dana jest sieć ulic oraz poczta. Aby listonosz dostarczył korespondencję musi przejść wzdłuż każdej ulicy co najmniej raz i powrócił do punktu wyjścia. Formułując problem w języku grafów, pytamy o najkrótszą zamkniętą marszrutę w grafie G utworzonym na podstawie sieci ulic, w którym wagi krawędzi odpowiadają długościom ulic. . . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Problem chińskiego listonosza . Dana jest sieć ulic oraz poczta. Aby listonosz dostarczył korespondencję musi przejść wzdłuż każdej ulicy co najmniej raz i powrócił do punktu wyjścia. Formułując problem w języku grafów, pytamy o najkrótszą zamkniętą marszrutę w grafie G utworzonym na podstawie sieci ulic, w którym wagi krawędzi odpowiadają długościom ulic. . . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Problem chińskiego listonosza . Rozwiązanie . Znany jest efektywny algorytm rozwiązujący ten problem. Rozważamy trzy przypadki - slajdy CPP. . . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym . Problem najkrótszych dróg Skrypt z Matematyki dyskretnej str. 142–144. . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym Problem minimalnego drzewa spinającego - alg. Kruskala . 1956 Skrypt z Matematyki dyskretnej str. 141. . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym Bibliografia: 1. C. Alsina, Plany metra i sieci neuronowe. Teoria grafw. (seria Świat jest matematyczny) RBA 2012. 2. R. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, Wyd. PWN 2012. . J. Wojciechowski, K. Pieńkosz, Grafy i sieci, Wyd. PWN 2013. 3 . .. .. dr Hanna Furmańczyk . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . . . .. .. .. Wybrane zagadnienia teorii grafów w ujęciu algorytmicznym
