Metody Optymalizacji kolokwium zaliczeniowe – zestaw A zad. 1

Metody Optymalizacji
kolokwium zaliczeniowe – zestaw A
zad. 1 Udowodnić, że jeżeli zadanie prymalne jest nieograniczone, to zadanie dualne jest sprzeczne.
zad. 2 Dany jest zbiór prac J = {1, ..., n}, które mają być wykonywane na jednej
maszynie. Zakłada się, że przestoje maszyny są nie dozwolone, czyli w przypadku, gdy maszyna zostaje zwolniona natychmiast przydziela się jej kolejną
pracę. Dla każdej pracy i ∈ J zadane są: czas trwania pi , pożądany termin
zakończenia di oraz waga wi . Każdy harmonogram π jest pewnym uszeregowaniem prac należących do zbioru J na maszynie. Przez Ci (π), i ∈ J, oznacza
się czas zakończenia pracy i w harmonogramie π. Zdefiniujmy:
1 jeżeli Ci (π) > di ,
Ui (π) =
0 jeżeli Ci (π) ¬ di .
Celem jest wyznaczenie harmonogramu (uszeregowania prac) π dla którego:
X
wi Ui (π) → min .
i∈J
Podać model dla powyższego problemu.
zad. 3 Dany jest problem, w którym należy podjąć decyzję gdzie zbudować hurtownie mając dany zbiór L potencjalnych miejsc, tak aby zaspokoić zapotrzebowanie odbiorców w punktach ze zbioru O jak najmniejszym kosztem. W
skład kosztów
koszty budowy hurtowni Bi w miejscu i oraz koszty
P wchodzą
P
transportu i∈L j∈O cij yij , gdzie wartość zmiennej yij jest ilością transportowanego towaru z hurtowni i do odbiorcy w punkcie j, cij jest jednostkowym
kosztem transportu. Model dla problemu jest następujący
X
XX
min
Bi yi +
cij yij
i∈L
i∈L j∈O
Przy ograniczenia
P
P
j∈O yij ¬
j∈O dj yi
P
i∈L yij ­ dj
0 ¬ yij ¬ dj
yi = 0 lub 1
dla
dla
dla
dla
i∈L
j∈O
i ∈ L, j ∈ O
i∈L
gdzie dj jest zapotrzebowaniem odbiorcy w punkcie j, a yi jest zmienną równą
1 jeżeli hurtownia jest budowana w miejscu i.
• Zastosować relaksacje Lagrange’a. Podać postać funkcji celu i ograniczeń
w problemie Lagrange’a.
• Zaproponować efektywny sposób wyznaczania rozwiązania dla problemu
Lagrange’a.
• Co możemy powiedzieć o relacji między optymalną wartością funkcji celu
problemu mnożników Lagrange’a będącego wynikiem zastosowanej relaksacji Lagrange’a do powyższego problemu a wartością funkcji celu problemu liniowego programowania będącego relaksacją powyższego problemu?
• Jaka jest relacja między wartości funkcji celu problemu mnożników Lagrange’a i problemu liniowego programowania a optymalną wartością powyższego problemu?
Powodzenia
Metody Optymalizacji
kolokwium zaliczeniowe – zestaw B
zad. 1 Załóżmy, że x jest rozwiązaniem dopuszczalnym zadania prymalnego, a π
jest rozwiązaniem dopuszczalnym zadania dualnego i niech cT x = bT π. Pokazać, że x jest rozwiązaniem optymalnym zadania prymalnego, a π jest rozwiązaniem optymalnym zadania dualnego.
zad. 2 Dany jest zbiór prac J = {1, ..., n}, które mają być wykonywane na jednej maszynie. Zakłada się, że przestoje maszyny są nie dozwolone, czyli w
przypadku, gdy maszyna zostaje zwolniona natychmiast przydziela się jej kolejną pracę. Dla każdej pracy i ∈ J zadane są: czas trwania pi i pożądany
termin zakończenia di . Każdy harmonogram π jest pewnym uszeregowaniem
prac należących do zbioru J na maszynie. Przez Ci (π), i ∈ J, oznacza się czas
zakończenia pracy i w harmonogramie π. Zdefiniujmy Li (π) = Ci (π) − di .
Celem jest wyznaczenie harmonogramu (uszeregowania prac) π dla którego:
max{Li (π) | i ∈ J} → min .
Podać model dla powyższego problemu.
zad. 3 Rozważmy problem, w którym należy podjąć decyzję gdzie zbudować magazyny mając dany zbiór L potencjalnych miejsc, tak aby zaspokoić zapotrzebowanie odbiorców w punktach ze zbioru O jak najmniejszym kosztem. W
skład kosztów
koszty budowy magazynu fi w miejscu i oraz koszty
P wchodzą
P
transportu i∈L j∈O cij xij , gdzie wartość zmiennej xij jest ilością transportowanego towaru z magazynu i do odbiorcy w punkcie j, cij jest jednostkowym
kosztem transportu. Model dla problemu jest następujący
XX
X
min
cij xij +
fi xi
i∈L j∈O
Przy ograniczenia
P
xij ­ dj
P
xi
x
¬
d
ij
j
j∈O
j∈O
dj ­ xij ­ 0
xi = 0 lub 1
Pi∈L
i∈L
dla j ∈ O
dla i ∈ L
dla i ∈ L, j ∈ O
dla i ∈ L
gdzie dj jest zapotrzebowaniem odbiorcy w punkcie j. Natomiast xi jest
zmienną równą 1 jeżeli magazyn jest budowany w miejscu i.
• Zastosować relaksacje Lagrange’a. Podać postać funkcji celu i ograniczeń
w problemie Lagrange’a.
• Zaproponować efektywny sposób wyznaczania rozwiązania dla problemu
Lagrange’a.
• Co możemy powiedzieć o relacji między optymalną wartością funkcji celu
problemu mnożników Lagrange’a będącego wynikiem zastosowanej relaksacji Lagrange’a do powyższego problemu a wartością funkcji celu problemu liniowego programowania będącego relaksacją powyższego problemu?
• Jaka jest relacja między wartości funkcji celu problemu mnożników Lagrange’a i problemu liniowego programowania a optymalną wartością powyższego problemu?
Powodzenia