Analiza dokładności poziomych sieci geodezyjnych

PRACE INSTYTUTU GEODEZJI I KARTOGRAFII
Tom X X I I I , Z eszyt 3(54), 1976
528.33
J E R Z Y G A Z D Z IC K I
Analiza dokładności poziomych sieci geodezyjnych
1. Wstęp
W eźmy pod uw agę poziomą sieć geodezyjną zaw ierającą n punktów (x h
Ух) połączonych bokami, wzdłuż których istnieją fizyczne w arunki dla w y­
konyw ania określonego rodzaju pom iarów.
A naliza dokładności sieci może być dokonyw ana przez obliczanie i po­
rów nyw anie w ariancji funkcji obserwacji. W yróżnić należy funkcje okreś­
lające dokładność (rys. 1):
— położenia pojedynczego pu n k tu I,
—- w zajem nego położenia pary punktów J, K,
— w zajem nego położenia więcej niż dwóch punktów , przy czym n a ogół
w ystarcza rozpatryw anie trzech punktów L, P, C.
Dokładność położenia pojedynczego p u n k tu I ch arakteryzuje się m acie­
rzą w ariancyjno-kow ariancyjną jego w spółrzędnych
V(I) - V( xb у,)
(1)
zależną od przyjętych założeń co do stałości położenia w ybranych punktów
sieci w danym układzie w spółrzędnych. Dla sieci lokalnych założenia te
m ają cechy dowolności ograniczającej znacznie użyteczność m acierzy (1).
Dokładność w zajem nego położenia p ary punktów J, К określano na
ogół w ariancjam i oddzielnie traktowanych,, różnow ym iarow ych wielkości
(azym ut, długość) lub rzadziej — m acierzą w ariancyjno-kow ariancyjną
różnic w spółrzędnych X K — X j , У к ~ ~ У j zależnych od orientacji układu
w spółrzędnych i z tego w zględu niedogodnych. Do oceny dokładności
Je rzy G aździcki
36
wzajem nego położenia trzech punktów stosow ano n a ogół w ariancje kątów.
Proponow ano rów nież analizow ać dokładność stosunków boków [2].
Podobnie ja k w w ypadku pojedynczego punktu, przy ocenie w za­
jem nej dokładności p ary punktów celowe jest operow anie p arą odpowied­
nio dobranych, jednow ym iarow ych funkcji, um ożliw iającą jednoznaczne
określenie dokładności położenia jednego z punktów p ary względem d ru ­
giego. Również przy ocenie w zajem nej dokładności tró jk i punktów stoso­
w anie p ary funkcji jest w pełni uzasadnione, pozw alając n a jednoznaczne
określenie dokładności położenia jednego z punktów tró jk i względem po­
zostałych dwóch.
2. W ybór funkcji dla oceny dokładności w zajem nego położenia
p ary punktów
Celowe jest, aby funkcje
К
/
£ i
V
=
j
<x
k
,
Ук ) ,
(2)
z 2 =
/
2( ^ . 7,
V
j
,
x K, y K),
Rys. 2
stosow ane do oceny dokładności w zajem nego położenia p ary punktów
spełniały następujące w arunki:
— niezm ienności m acierzy w ariancyjno-kow ariancyjnej
V(zi, z,),
(3)
przy translacji i obrocie układu w spółrzędnych x, у oraz zm ianie skali,
— ortogonalności linii o rów naniach pow stających z (2) przez takie
ustalenie z 1 , z2 oraz w spółrzędnych jednego z punktów p ary J, K, aby prze­
cięcie linii określało drugi p u n k t pary.
Znaczenie tych w arunków jest intuicyjnie zrozum iałe. W prow adzenie
pierwszego w aru n k u m a na celu uniezależnienie w yników oceny dokład­
ności od przyjęcia układu w spółrzędnych, a więc od czynnika nie zw iąza­
nego ze stru k tu rą i obserw acjam i sieci. Spełnienie drugiego w aru n k u
w pływ a n a ułatw ienie in terp retacji wyników.
N ietrudno stw ierdzić, że obydwóm w arunkom odpow iadają n astęp u ją­
ce.funkcje:
A naliza dokładności poziom ych sieci geodezyjnych
37
z, = а ж = «o + a r c t g ------- — ,
(4)
zs
(5)
XK — Xj
= P./K = P o + l n | / ( x K - x j ) 2 + ( y K - y j ) ;:
Pierw sza z tych funkcji jest azym utem J K odniesionym do w ybranego
k ierunku początkowego N (rys. 3), przy czym a 0 oznacza stały (przy danym
położeniu układu współrzędnych) k ąt m iędzy tym kierunkiem i osią x . D ru­
ga funkcja jest logarytm em n atu raln y m długości boku J K z param etrem
skali ß0.
Szczególne cechy podanej pary funkcji u jaw niają się przy porów na­
niu ich różniczek zupełnych. Dla uw ypuklenia podobieństw i różnic m ię­
dzy różniczkam i zapisano je poniżej w symbolice H ausbrandta *) :
dxj
d u jK —
A
jk
dxj
d °jn = -
A
jk
dyj
B
dxK
—A
jk
dxK
dyj
B
dyK
— B
jk
— A
jk
dyK
— B
jk
(6)
jk
(7)
jk
gdzie d x j , d y J} d x K , d y K są różniczkam i w spółrzędnych p u n k tu początko­
wego J oraz końcowego К boku JK, zaś А, В — w spółczynnikam i:
XK — Xj
A
jk
—
B
jk
—
{xK ~ X j ) 2+ {yK - y j ) 2
____________ У
к- y j
_____________
{xK- x j ) 2+ { y K- V j Y
(8)
O)
Należy tu zauważyć, że różniczka dßJK rów na się różniczce długości bo­
ku JK podzielonej przez długość tego boku.
*)
Z a s to s o w a n e
s y m b o le
o z n a c z a ją
ai bi
a 2
bi
j
ci di
С2 d 2
Cn dn
a i
a -: b :
йп bn
ci
b i j
di
C2
di
n
dn Ьп
=
1
Cn dn 2
2
i = 1
n
=
£
i =1
Jerzy G aździcki
38
W ynika stąd, że odchylenie standardow e logarytm u długości rów na się
w zględnem u odchyleniu standardow em u długości. Tak więc nie tylko azy­
m ut, ale rów nież logarytm długości jest funkcją m ającą istotne znaczenie
w analizie dokładności sieci.
3. W ybór funkcji dla oceny dokładności w zajem nego położenia
trzech punktów
Analogicznie jak uprzednio, dla poszukiw anych funkcji w spółrzędnych
trzech punktów
Z! = Fj (xL, y L, Хр, yp,
x c,
y c),
(10)
Z 2 = F 2 (x L, y L, x P, y P, x c, y c),
L
można sform ułow ać dwa w arunki :
— niezm ienności m acierzy w ariancyjno-kow ariancyjnej
V (Z b Z 2)
(11)
przy translacji i obrocie układu w spółrzędnych oraz zm ianie skali,
— ortogonalności linii o rów naniach pow stających z (10) przez takie
ustalenie Z b Z 2 oraz w spółrzędnych dwóch spośród trzech punktów L, P, C,
aby przecięcie linii określało p unkt trzeci.
W arunkom tym odpow iadają funkcje:
Zi = «Lpc =
«
c p
—«
cl
= arctg
- - - - - - - —arctg
Xp
—
Xc
—
%L
'!c
Xc
(12)
Z 2 = PłpC = ßcp—ßcL — ln Y (XP ~ Xc)iJT {yp —Ус)1 +
- 1 n ^ ( x Ł- x c )a + (j/L- y c)2
(13)
Pierw sza z tych funkcji jest kątem wyznaczonym przez pu n k ty L, P, C,
zaś druga — nie m ająca dotychczas nazw y — logarytm em n atu raln y m sto­
sunku długości boków CP i CL. Funkcja ta, zastosowana i szczegółowo roz­
p atryw ana przez W. B aardę [4], w niniejszej pracy będzie nazyw ana k ró t­
A naliza dokładności poziom ych sieci g eodezyjnych
39
ko l o n g i a n e m . Pom iędzy obydw iem a funkcjam i istnieje interesująca
analogia:
Sum a kątów w trójkącie rów na się 180°: а А в с + ° с л в + а всл = 180°,
a sum a longianów w trójkącie rów na się 0: ßABc + ßcAB + ßscA = 0.
W zory na różniczki zupełne obydwóch funkcji, tj. kąta i longiana,
w ynikają bezpośrednio z wzorów (6), (7):
d a L PC
—
d ß LPC
dxL
d j jL
jA c l
B cl
dxP
~ A cp
~ B cp
dxL
1A C l
dyP d x c
dyL
dxP
dyp
B cl
— A cp
— B cp
dyc
A cp — A cl
B cp — B cl
dxc
dyc
A c p ~~ A c l
B c p — B Cl
(14)
(15)
gdzie d x L, d y L, d x P, d y P, d x c , d y c są różniczkam i w spółrzędnych, zaś А , В
w spółczynnikam i (8), (9).
Wzór (15) został w yprow adzony i zastosowany przez autora w jego pracy
doktorskiej [6].
4. M acierze w ariancyjno-kow ariancyjne par funkcji
Znając
tów J, К
m acierz
w ariancyjno-kow ariancyjną
w spółrzędnych
punk­
(16)
V (J , К) = V (xj, y Jt x K, y K)
oraz m acierz pochodnych cząstkow ych funkcji aJK, ßJK
G' -
B jk
—A jK
— A jk
~~ B jk
■B,jK
A jk
AjK
B jk
(17)
można łatw o obliczyć m acierz w ariancyjno-kow ariancyjną azym utu i log ary tm u długości boku:
V (ctjK, ß ,K) = G' V (J, K) G.
(18)
Na podstaw ie m acierzy w ariancyjno-kow ariancyjnej w spółrzędnych
punktów L, P, С
(19)
V (L, P, С) = V ( x L, y L, Хр, у Pj x c , y c )
oraz m acierzy pochodnych cząstkow ych fu n k cji aLPC, ßLPC
H' =
B cl
•Acl
— A cl
~ B Cl
~~ B Cp
A cp
A cp
B cp —B c l
A q l ~ A cp
B cp
A cl — Acp
B cl
_
(20 )
B cp
m ożna analogicznie obliczyć m acierz w arian cy jn o -k o w arian cy jn ą k ą ta
i longiana:
V (aLPC, ßLPC) = H ' V (L, P, С) H.
(21)
40
Jerzy Gdidzicki
5. Ocena dokładności w zajem nego położenia paj-y punktów
W ykorzystując elem enty m acierzy w ariancyjno-kow ariancyjnej (18)
oblicza się:
a) odchylenie standardow e azym utu boku J K
m*(J, К ) = V V ^
jk ) ,
<22)
b)
w zględne odchylenie standardow e długości boku J K (odchylenie
standardow e długości boku podzielone przez długość boku) rów ne odchy­
leniu standardow em u logarytm u długości boku
m fi(J, K) = I V (ß.JK) ,
(23)
с) pierw iastek kw adratow y z sum y w ariancji V («/к), V (ß.;K)
m (J, K) = I V iaJK) + V (ßjffj,
(24)
nazw any średnim błędem w zględnym boku JK,
d)
elem enty elipsy błędów dw uw ym iarow ej zmiennej losowej, któ­
rej pierw sza składow a jest błędem azym utu, a druga błędem logarytm u
długości (błędem w zględnym długości) boku.
Przykład. D ana jest m acierz w ariancyjno-kow ariancyjna:
12,457 -2 ,8 9 1
-2 ,8 9 1 - 9,938
Ю-i2
stosując w zory (22)—(24) otrzym uje się:
m a (J, K) = 3,53 • 1 0 -s
m ß (J, K) = 3,15 • 10-«
m (J, K) = 4,73 • 10-6
E lem enty elipsy błędów oblicza się w edług wzorów analogicznych do
stosow anych dla elips błędów w spółrzędnych x, у punktów , otrzym ując:
a) k ą t Ф , jak i tw orzy półoś A z osią błędu azym utu
Ф = 163®
b) półosie elipsy standardow ej (błędu średniego)
A = 3,79 • IO“ 6
В = 2,84 • I O “ 6
R ysunek 5 przedstaw ia elipsę w ykreśloną przy założeniu, że oś błędu
względnego długości przebiega wzdłuż boku J K oraz, że oś błędu azy­
m u tu jest prostopadła do tego boku. P ow stały układ £ц , sß jest praw oskrętny.
A naliza dokładności poziom ych sieci g eodezyjnych
41
6. Ocena dokładności w zajem nego położenia trzech punktów
Na podstaw ie m acierzy w arianeyjno-kow ariancyjnej (21) oblicza się:
a) odchylenie standardow e kąta a LPC
m a(L,P, C) = P/IFK p c ) ,
(25)
b) odchylenie standardow e longiana ßLPC
m ß (L, P, С) = ] / vTßbPc),
<26)
c) pierw iastek kw adratow y z sum y w arian cji V (aLPC), У (ßLPC)
m (L, P, С) = \/{V(aLPCj + V ([3L P c )
j
(27)
nazw any średnim błędem w zględnym tró jk i punktów L, P, C,
d) elem enty elipsy błędów dw uw ym iarow ej zm iennej losowej, której
jedn a składow a jest błędem kąta, a druga błędem longiana.
Podane powyżej wielkości określają dokładność w zajem nego poło­
żenia trzech punktów bez uw zględnienia skali i orientacji. P rz y założeniu,
dla celów in te rp re ta c ji, stałości (bezbłędności) azy m u tu i długości bo­
ku CL wielkości te określają dokładność boku CP. M ożna wówczas p rz y j­
mować, że:
a) odchylenie standardow e kąta aLPC rów na się odchyleniu sta n d a r­
dow em u azym utu a CP
m a(L, P, С) = m„(C, P),
(28)
b) odchylenie standardow e longiana ß^pc rów na się w zględnem u od­
chyleniu standardow em u długości boku CP
mv ( L, P ,C ) = mv(C,P),
(29)
c) średni błąd w zględny tró jk i punktów L, P, С rów na się średniem u
błędowi w zględnem u boku CP
m (L, P, C) =■ m (С, P),
(30)
Jerzy G ażdzicki
42
d)
elem enty elipsy błędów kąta i longiana L, P, С ró w n ają się ele­
m entom elipsy błędów azym utu i logarytm u długości boku CP.
Przykład. D ana jest m acierz w ariancyjno-kow ariancyjna
У
(a LPC>
P lP c )
77,053
14,961
14,961
108,454
■
10'
stosując w zory (25)— (27) o trzym uje się:
m a(L, P, C) — 8 ,7 8 -10~6
m p(L, P, C) = 10,41 • 10~6
m (L, P, C) = 13,62 • IO"6
E lem enty elipsy błędów wynoszą:
Ф = 124®
A
10,70 • IO"6
В =
,43 • IO"6
Elipsa została przedstaw iona graficznie (rys. 6) w ten sposób, że jej
środek zn ajduje się na dw usiecznej kąta L, P, C, oś błędów longiana
przebiega wzdłuż dw usiecznej, a oś błędów kąta jest prostopadła do dw u­
siecznej.
E lipsy błędów kątów i longianów pokazują w sposób poglądow y do­
kładność w zajem nego położenia punktów sieci, bez uw zględnienia błędów
orien tacji i skali. W praw idłow o zaprojektow anej sieci trian g u lacy jn ej
lub trila tera c y jn e j elipsy pow inny być zbliżone do kół oraz pow inny być
w przybliżeniu tej sam ej wielkości. Ogólnie m ówiąc m ożna stw ierdzić,
że poszczególne rodzaje elips służą:
a) elipsy błędów w spółrzędnych — analizie dokładności położenia
punktów sieci,
b) elipsy błędów azym utów i logarytm ów długości — analizie dokład­
ności orien tacji i skali sieci,
A naliza dokładności poziom ych sieci geodezyjnych
43
c) elipsy błędów kątów i longianów — analizie dokładności kształtu
sieci.
7. Elipsy błędów punktów przy założeniach stałości punktów isąsiednich
Mnożąc półosie elipsy błędów azym utu i logarytm u długości boku
J K przez długość tego boku otrzym uje się półosie elipsy błędów, zna­
nej w litera tu rz e pod nazw ą relative standard ellips, a obliczanej na
podstaw ie m acierzy w ariancyjno-kow ariancyjnej przyrostów w spółrzęd­
nych XK —Xj, у к Vj - Elipsa ta może być in terp reto w an a jako elipsa błę­
dów p u n k tu К przy założeniu stałości p u n k tu J.
A nalogicznie w ym nażając półosie elipsy błędów kąta aLPC i longiana
ßbpc przez długość boku CP otrzym uje się półosie elipsy błędów, która
może być traktow ana jako elipsa błędów przyrostów w spółrzędnych
xp —x c, Ур ~~Ус< przy założeniu stałości przyrostów x L — x c , Уь~Ус, lub
też jako elipsa błędów p u n k tu P, przy założeniu stałości punktów L, C.
8. Ogólna ocena dokładności sieci
Po w ykonaniu obliczeń odchyleń standardow ych azym utów i logarytmów długości dla reprezentatyw nego zbioru p przypadkow o dobranych
boków celowe jest scharakteryzow anie dokładności całej sieci:
a) średnim błędem orientacji sieci
м
. - у ш
з
,
o d
b) średnim błędem skali sieci
/:
M p
=
у
[Vp (j, к)]
(32)
P
с) średnim błędem w zględnym boku sieci
M = j / M j + Mjj.
(33)
N iejednokrotnie in teresu jąca jest ocena dokładności w zajem nego po­
łożenia sąsiednich punktów sieci bez uw zględniania błędów orien tacji
i skali, które, na przykład, nie m ają w pływ u na w yniki naw iązania k ą ­
towej sieci niższego rzędu do sieci danej. Ogólna ocena dokładności sieci
pod tym w zględem może być dokonana przez obliczenie na podstaw ie r e ­
prezentatyw nego zbioru odchyleń standardow ych q kątów i q longianów:
Jerzy G aździcki
44
a) średniego błędu kąta sieci
„ _ I / Ш Ь Р .С ) 1
r
(34)
q
b) średniego błędu longiana sieci
(3 5 ,
c) średniego błędu względnego trójki sąsiednich punktów sieci
m'
= j/ W
Mnożąc dalej średnie błędy
sieci otrzym uje się:
M
i
+ №
ff l'
przez przeciętną długość
(36)
D
boku
a) średni błąd pu n k tu sieci przy założeniu stałości jednego p u n k tu
sąsiedniego
M x = M • D,
(37)
b) średni błąd pu n k tu sieci przy założeniu stałości dwóch punktów
sąsiednich
M q — M' • D.
(38)
W zory (33), (36) oraz podane wcześniej (24), (27) p rzedstaw iają błędy
średnie, odpow iadające znanem u z lite ra tu ry tzw. błędow i średniem u
punktu, rów nem u pierw iastkow i z sum y w ariancji współrzędnych.
9. Sieci ortogonalne
Dla zilustrow ania analogii między w ybranym i funkcjam i, w prow adzo­
ne zostanie pojęcie sieci ortogonalnych.
K oncepcja ta, nie m ająca bezpośredniego zastosow ania w prak ty ce
geodezyjnej, um ożliw ia pokazanie istotnych związków istniejących m ię­
dzy azym utem i logarytm em długości oraz m iędzy kątem i longianem ,
stanow iąc dodatkow e uzasadnienie przyjęcia tych funkcji do celów analizy
dokładności sieci.
S i e c i a m i o r t o g o n a l n y m i S i S' nazyw a się sieci, spełnia­
jące następujące w arunki:
a) każdem u punktow i I sieci S odpow iada jeden p u n k t Г sieci S' i od­
w rotnie, tj. każdem u punktow i I' sieci S' odpow iada jeden p u n k t I sieci S,
b)m iędzy w spółrzędnym i x, у p a ry punktów J, К sieci S' i współ-
A naliza dokładności poziom ych sieci geodezyjnych
45
rzędnym i x , y' p a ry odpow iednich punktów J', K' sieci S' zachodzą za­
leżności
x k
~
x
'j =
y'K ~ y ' j
- ( У к - y j) ,
(39)
X K ~ X J>
=
z których w ynika ortogonalność w ektorów J K i J 'K ',
c)
m acierz w ariancyjno-kow ariancyjna w spółrzędnych sieci S rów na
się m acierzy w ariancyjno-kow ariancyjnej w spółrzędnych sieci S'
x p, yp) = V(x[, y\, x 2, y v
V ( x t, y v x 2, y v
(40)
x p’ , y p’ ).
X
Ir
\
/\
T
—
S'
Rys. 7
Pisząc w zory (6), (7) na różniczki zupełne azy m u tu i lo g ary tm u dłu­
gości dla boku J ' K ' sieci S' oraz przekształcając je przy uw zględnieniu
zależności (39) o trzy m u je się:
a) dla azym utu
dxj
da-jK
A
d y j’
jk
dXj
A
jk
B
jk
dxK
dyK
~ A JK
~ в ж
d Vj
dxK
’
B JK
A
jk
dx'j
1
- B
jk
dVj
dxK
A
B
jk
jk
dyK 1
~
A jK
i
dyK
- B
jk
(41)
2
b) dla logarytm u długości boku
jk
B
jk
dxK
~ A ja
d x 'j
а У'к
B jK 2
d x 'j
d y 'j
dxK
dVK
A jk
B jk
—A jk
~~B JK
Я
A
dy'j
1
ta
dXj
= -
d v'j
d x'K
d-Ук
A
B jk
~~ A j K
jk
(42)
Ja k widać, pochodne cząstkowe funkcji a JK rów nają się pochodnym
cząstkow ym fu n k cji ßJK z przeciw nym znakiem , pochodne zaś cząstkow e
fun kcji ß'jK rów n ają się pochodnym cząstkow ym fu n k cji aJK. W ynika
stąd, że:
46
Jerzy G aździcki
a) odchylenie standardow e azym utu boku J'K' w sieci S' rów na się
w zględnem u odchyleniu standardow em u długości odpowiedniego bo­
ku J K w sieci S
ma(J',K ') = mp (J,K),
(43)
b) względne odchylenie standardow e długości boku J 'K ' w sieci S'
rów na się odchyleniu standardow em u azym utu odpowiedniego boku JK
w sieci S
mp (J', K') = ma(J, K ) .
(44)
A nalogicznie m ożna w ykazać, że:
c) odchylenie standardow e kąta L', P ' , С' w sieci S' rów na się odchy­
leniu standardow em u longiana LPC w sieci S
m x(L', P', C ) — mp'(L, P, C),
(45)
A naliza dokładności poziom ych sieci geodezyjnych
47
d)
odchylenie standardow e longiana L', P', С' w sieci S' rów na się
odchyleniu standardow em u kąta L, P, С w sieci S
mp{L', P', C’) = m a(L, P, C),
(46)
10. Przykłady obliczeń
P rzykłady obliczeń w ykonano dla sieci trian g u lacy jn ej, w k tórej za­
projektow ano pom iar 42 kątów w 14 tró jk ą ta c h z odchyleniem s ta n d a r­
dow ym 3CC oraz pom iar długości boku 7— 12 z odchyleniem sta n d a rd o ­
w ym 3 cm.
Dwa spośród dw unastu punktów sieci, a m ianow icie p u n k ty 1, 6 p rzy ­
jęto jako stałe. P rzeciętna długość boku w sieci D w ynosi ok. 8100 m.
48
Jerzy G aździcki
ELI PSY BLEDÖW KĄT0W I LONGIANÖW
Rys. 10
Na rysunku 8 przedstaw iono elipsy błędów punktów sieci przy poda­
nych wyżej założeniach.
R ysunek 9 zaw iera elipsy błędów aJK, ßJK, a rysunek 10 — elipsy aLPC,
Pl p c -
Sposób graficznego przedstaw ienia elips pokazany został u dołu każ­
dego z rysunków . N arysow ane elipsy um ożliw iają szybkie porów nyw a­
nie dokładności w yznaczenia poszczególnych elem entów sieci oraz w y­
stępujących m iędzy nim i korelacji. R ysunek 10 w ykazuje na przykład
znaczne zróżnicow anie błędów longianów , w ynikające z różnic w dłu­
gościach boków i w ielkościach kątów poszczególnych trójkątów . Błędy
kątów , m ierzonych z tą sam ą dokładnością, są w przybliżeniu jednakow e.
A naliza dokładności poziom ych sieci g eodezyjnych
49
Stosując w zory (31)—(38) obliczono kolejno błędy średnie, c h a ra k te ­
ryzujące w sposób ogólny dokładność całej sieci:
a) średni błąd orien tacji sieci
Ma = j / - —
= 4,49 • 10-6
b) średni błąd skali sieci
Mp = J ,/ [Vß (| ^
= 4,99 • IO“ «
c) średni błąd w zględny boku sieci
M = i/ Щ + Щ = 6,71 • io-«
d) średni błąd kąta sieci
Г =
К “ = 1F/
4
= 3-20 • 10~e
e) średni błąd longiana sieci
3 ,7 5 .1 0 -
f) średni błąd w zględny tró jk i sąsiednich punktów, sieci
M ' = i /(M ;)2+ (IW' )2 = 4,93 • IO“ 6
g) średni błąd p u n k tu sieci przy założeniu stałości jednego p u n k tu
sąsiedniego
= M • D — 0,054 m
h) średni błąd p u n k tu sieci przy założeniu stałości dwóch punktów
sąsiednich
M 2 = M' ■D = 0,040 m
B łędy te obliczono uw zględniając w szystkie boki (z w y jątkiem boku
m iędzy p unktam i stałym i 1,6) oraz w szystkie k ą ty sieci.
LITERATURA
[1] Alberda J. E.: Planning and optimisation of networks: some general considera­
tions. Symposium on Com putational Methods in Geometric Geodesy, Oxford,
September, 1973.
4 P r a c e I n s t y t u t u — T o m X X III
50
[2] A ngus-L eppan P. V.: A djustm ent of trilatération using length ratios. Survey
Review, No 166, October 1972.
[3] A shkenazi V., Cross P. A.: Strength of long lines in terrestrial geodetic control
networks. XVI General Assembly of the IAG, Grenoble, 1975.
[4] Baarda W.: Statistical concepts in geodesy. Delft, 1966.
[5] Baarda W.: Report on activities in S.S.G. No 4. 14: Statistical methods as applied
to specifications of networks. XVI General Assembly of the IAG, Grenoble, 1975.
[6] Gaédzicki J.: Niektóre zastosowania pojęcia eliminacji w obliczeniach geodezyj­
nych. Zeszyty Naukowe Politechniki Warszawskiej. Geodezja nr 7, 1962.
[7] G aidzicki J.: Obliczanie elementów elips błędów. Prace Instytutu Geodezji i K ar­
tografii. Warszawa, Tom XVIII, zeszyt 1, 1971.
[8] Grafarend E.: Optimisation of geodetic networks. Bolletino di Geodesia e Scienze
Affini N. 4, 1974.
[9] H ausbrandt S.: Rachunek wyrównawczy i obliczenia geodezyjne. PPWK. W ar­
szawa, 1970.
Recenzował: doc. dr inż. Bogdan N ey
R ęk o p ii złożono w Redakcji w m a ju 1976 r.
ЕЖИ ГАЗЬДЗИЦКИ
А Н АЛИЗ ТОЧНОСТИ ГО РИ ЗО Н ТА Л ЬН Ы Х
ГЕОДЕЗИЧЕСКИ Х СЕТЕЙ
Резюме
При анализах точности горизонтальных геодезических сетей целесообразно
применять пары функций, определяющих взаимное положение двух пунктов
и взаимное положение трех пунктов. Используя соответственно подобранные
пары функций, в статье поданы формулы, дающие возможность оценки точно­
сти ориентировки сети, масштаба сети и её формы. Для предоставления возмож­
ности графического изображения результатов введено новые виды эллипсов
ошибок. Аналогии и зависимости, существующие между выбранными функциями,
представляются с помощью применения понятия ортогональных сетей, дефини­
ция которых находится в статье.
J E R Z Y G A Ż D Z IC K I
STRENGTH ANALYSIS OF GEODETIC CONTROL NETWORKS
Summary
In strength analysis of horizontal geodetic networks it is appropriate to use
pairs or functions which involve the relative position of two points and relative
position of three points. Using properly chosen pairs of functions form ulae are given
which cllow the computation of presision criteria for the orientation and scale of the
network as well as its shape. To illustrate the presentation of results, new types of
error ellipses are introduced. Analogies and correlations existing among the adopted
functions are introduced by using the concept of orthogonal networks which are de­
fined in the paper.