Energia sprężysta

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Energia sprężysta
8. ENERGIA SPRĘŻYSTA
8.1. Podstawowe pojęcia
Każde ciało rzeczywiste pod działaniem sił zewnętrznych doznaje deformacji, na których siły
obciążające wykonują pewną pracę L. Praca ta w przypadku adiabatycznego procesu
termodynamicznego jest niezależna od sposobu jej wykonania i równa się energii
wewnętrznej układu W, tj. funkcji, której przyrost w czasie ∆ t jest równy pracy
dostarczonej układowi w tym czasie:
L =W .
Powyższa równość wynika z I prawa termodynamiki dla procesów adiabatycznych, tzn.
takich przy których nie ma wymiany ciepła z otoczeniem albo, inaczej, takich, że nie zachodzi
dyssypacja energii układu, co jest charakterystyczną cechą układu sprężystego.
Można dowieść, że w przypadku ciała sprężystego i obciążeń statycznych energia
wewnętrzna układu jest równa energii potencjalnej Wp, która równa się pracy sił
wewnętrznych na odkształceniach przez nie wywołanych i nazywana jest energią sprężystą
układu U:
L = W = Wp = U .
Zatem:
energia sprężysta U to praca sił wewnętrznych na odkształceniach przez nie
wywołanych.
Energia ta jest odwracalna, co znaczy, że po usunięciu sił obciążających zużywa się na
odzyskanie początkowej konfiguracji ciała i w nie naprężonym i nie odkształconym stanie
układu jest równa zeru .
Gęstością energii sprężystej Φ lub, inaczej, energią sprężystą właściwą nazywamy ilość
energii sprężystej na jednostkę objętości ciała. Stąd:
U = ∫∫∫ Φ dV ,
(8.1)
V
gdzie: V jest objętością ciała.
Dalej dla prostoty wzorów, łatwości wyprowadzeń i zapisów, wprowadzimy wskaźnikowy
zapis naprężeń i odkształceń. Jego istotę pokazują macierze naprężeń i odkształceń niżej
zapisane w zapisie klasycznym i wskaźnikowym:
układ współrzędnych (X, Y, Z)
układ współrzędnych (X1 , X2 , X3)
 σ 11 σ 12

Tσ =  σ 21 σ 22
σ
 31 σ 32
 σ x τ xy τ xz 


Tσ = τ yx σ y τ yz  ,
 τ zx τ zy σ z 


 εx

Tε =  12 γ yx
1
 2 γ zx
1
γ
2 xy
εy
1
γ
2 zy
1
γ
2 xz
1
γ
2 yz
εz


,


 ε 11 ε 12

Tε =  ε 21 ε 22
ε
 31 ε 32
67
σ 13 

σ 23  ,
σ 33 
ε 13 

ε 23  .
ε 33 
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Energia sprężysta
Obliczmy ile wynosi Φ dla ciała o objętości V znajdującego się w równowadze pod
działaniem pewnego układu sił zewnętrznych. W wyniku obciążenia w każdym punkcie tego
ciała powstają stany naprężenia i odkształcenia charakteryzowane poprzez macierze Tσ i
Tε .
Wyznaczmy wpierw dowolnie mały przyrost gęstości energii sprężystej na dowolnie małych
przyrostach odkształceń:
dΦ = σ 11 dε 11 + σ 12 dε 12 + ... +σ 33 dε 33 = σ ij dε ij .
(8.2)
W równaniu (8.2) zastosowana została umowa sumacyjna Einsteina, która mówi, że:
jeżeli w wyrażeniu wskaźnikowym będącym jednomianem wskaźniki powtarzają się, to
należy dokonać sumowania po powtarzających się wskaźnikach do odpowiedniej
wymiarowości obiektu. I tak np.:
ai bi = a1b1 +a 2 b2 +a3b3 ;
ε ii = ε 11 + ε 22 + ε 33 ,
i = 1, 2, 3.
Równanie (8.2) można, wykorzystując pojęcie iloczynu skalarnego (poprawniej mówiąc
iloczynu diadycznego ze zwężeniem) tensorów, zapisać w bardzo prostej formie:
dΦ = Tσ dTε
(8.3)
Iloczyn skalarny tensorów otrzymujemy dodając do siebie iloczyny jednoimiennych
elementów.
Pozwala to zapisać gęstość energii sprężystej Φ w postaci:
Tε
Φ = ∫ Tσ dTε
(8.4)
0
15.2. Energia sprężysta ciała Hooke’a
Dla ciała liniowo sprężystego związek fizyczny możemy zapisać w formie:
Tσ = D Tε
(8.5)
gdzie: D – macierz (tensor) współczynników materiałowych.
Po podstawieniu (8.5) do (8.4) i wykonaniu całkowania otrzymujemy:
Tε
Φ = ∫ D Tε dTε =
0
1
1
D Tε2 = Tσ Tε
2
2
(8.6)
Wzór (8.6) zapiszemy w innej postaci po dokonaniu rozkładu macierzy (tensorów) naprężeń i
odkształceń na sumę odpowiednich aksjatorów i dewiatorów.
Tσ = Aσ + Dσ
i Tε = Aε + Dε
(8.7)
Przypomnimy, że związki fizyczne między aksjatorami i dewiatorami naprężeń i odkształceń
(wyprowadziliśmy je formułując III postać prawa Hooke’a) można zapisać w formie zwykle
nazywanej prawem zmiany objętości i prawem zmiany postaci:
Aσ = 3K Aε oraz
Dσ = 2GDε
(8.8)
68
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Energia sprężysta
gdzie: 3K =
E
E
oraz 2G =
to stałe materiałowe.
1 − 2ν
1 +ν
Korzystając ze wzorów (8.7) otrzymujemy:
Φ=
1
( Aσ + Dσ ) ( Aε + Dε ) = 1 Aσ Aε + 1 Dσ Dε
2
2
2
(8.9)
gdyż z bardzo łatwej analizy rachunkowej wynika, że :
Aσ Dε = 0 oraz
Dσ Aε = 0 .
Możemy zatem powiedzieć, że gęstość energii sprężystej stanowi sumę
Φ = ΦV + Φ f ,
(8.10)
gdzie:
1
Aσ Aε - gęstość energii sprężystej związanej ze zmianą objętości,
2
ΦV =
(8.11)
1
Dσ Dε - gęstość energii sprężystej związanej ze zmianą postaci.
2
I analogicznie, energia sprężysta układu stanowi sumę:
Φf =
(8.12)
U = UV + U f ,
(8.13)
gdzie:
U V = ∫ ΦV dV ,
(8.14)
V
jest energią odkształcenia objętościowego i przedstawia pracę sił zewnętrznych zużytą na
zmianę jego objętości, a
U f = ∫ Φ f dV ,
(8.15)
V
jest energią odkształcenia postaciowego i przedstawia pracę sił zewnętrznych zużytą na
zmianę postaci układu.
Wzory na odpowiednie gęstości energii sprężystej, wyrażone przez elementy macierzy
naprężeń mają postać:
Φν =
1 − 2ν
σ x +σ y +σ z
6E
Φf =
1 +ν
σ x −σ y
6E
Φ=
(
[(
)2
(8.16)
) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6 (τ xy2 + τ yz2 + τ zx2 ) ]
[
(
(8.17)
)]
1
2
2
2
σ x2 + σ y2 + σ z2 − 2ν σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x + 2 (1 + ν ) τ xy
+ τ yz
+ τ zx
.
2E
(
)
(8.18)
Łatwo można stwierdzić, że pochodne gęstości energii sprężystej po elementach macierzy
naprężeń równają się odpowiednim elementom macierzy odkształceń.
Wyznaczymy przykładowo:
69
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Energia sprężysta
∂Φ
1
1
=
2σ x − 2ν σ y − σ z = σ x − ν σ y − σ z = ε x ,
∂ σ x 2E
E
[
(
)]
[
)]
(
τ xy
2 (1 + ν )
∂Φ
1
=
4(1 + ν )τ xy =
τ xy =
= γ xy .
∂ τ x 2E
E
G
Jest rzeczą oczywistą, że korzystając ze związków fizycznych Hooke’a, możemy wyrazić
gęstości energii sprężystej tylko poprzez elementy macierzy odkształceń. Wówczas pochodne
Φ po elementach macierzy odkształceń są równe odpowiednim elementom macierzy
naprężeń.
[
]
70