Problem: stworzenie opisu rejestrów NLFSR w formie dyskretnej

Problem: stworzenie opisu rejestrów NLFSR w formie dyskretnej

Response of linear system to α-stable Levy input
Janusz Walczak, Seweryn Mazurkiewicz
Silesian University of Technology, Electrical Engineering Department,
Institute of Electrical Engineering and Informatics,
44-100 Gliwice, ul. Akademicka 10, email: [email protected], [email protected]
Abstract
W artykule zaproponowano metodę analizy procesów stochastycznych w
liniowych deterministycznych układach SISO pierwszego rzędu. Wykorzystując pojęcie
α-stabilnych zmiennych losowych wprowadzono pojęcie α-stabilnych procesów
Levy’jego i podano ich właściwości. Rozpatrzono proces transmisji α-stabilnego szumu
białego w układach. Uzyskane wyniki zilustrowano przykładem.
1 Introduction
Proces stochastyczny jest funkcją, która przyporządkowuje każdej chwili czasu
zmienna losową. Jednym ze sposobów definiowania procesu stochastycznego jest podanie
wzoru rekurencyjnego wykorzystującego sumowanie przyrostów [7].
Jeżeli zmienne losowe X tt mają rozkład normalny o wartości przeciętnej równej
zeru, wariancji równej t ( X tt ~ N (0,t) ) oraz Y (0)  0 , to taki proces nazywa się procesem
Wienera. Przykładem procesu Wienera jest ruch Browna. Ruch Browna jest trajektorią ruchu
cząstki w płynie. Przykładową trajektorię procesu Wienera obrazuje rysunek 1.
Fig. 1. Realizacja procesu Wienera (Δt=0.0005; tmax=2).
Proces Wienera jest w każdym punkcje ciągły oraz w każdym punkcie nieróżniczkowalny, a
jego realizacje mają kształt „gęstych” funkcji piłokształtnych [8]. Proces Wienera jest
szczególnym przypadkiem procesu α-stabilnego Levy’ego [7].
Analizie właściwości procesów Levy’ego poświęcone są zarówno monotematyczne
konferencje [1] jak też liczne artykuły w czasopismach technicznych [2], [3], [4], [5], [7], [9],
[10], [11], [12], [13], [14]. Niniejszy artykuł jest kontynuacją pracy [12] poświęconej
generacji α-stabilnych procesów Levy’ego. Procesy Laevy’ego znajdują zastosowania w
badaniach modeli probabilistycznych układów fizycznych [6] a w szczególności teorii
informacji [5], teorii niezawodności [14], przetwarzaniu sygnałów [4], [9], [11], [12],
automatyce [13] i telekomunikacji [3], [10].
Poniżej wprowadzono pojęcie α-stabilnej zmiennej losowej potrzebne do konstrukcji
procesu Levy’ego i rozpatrzono problem transmisji tych procesów w deterministycznych
układach SISO pierwszego rzędu. Podano wzory określające realizacje procesów
występujących w rozpatrywanym układzie i wyznaczono kwantyle tych procesów.
2 α-STABILNE ZMIENNE LOSOWE
Zmienna losowa X ma rozkład α-stabilny, gdy dla dowolnych stałych a, b, c zachodzi
związek:
aY1  bY2  c  D X ,
(1)
gdzie:
Y1 , Y2 – dowolne niezależne zmienne losowe o jednakowym rozkładzie,
 D – oznacza równość rozkładów.
Zmienna losowa o α-stabilnym rozkładzie Levy’ego opisana jest czterema parametrami [2]
[3]:
o
α – indeks stabilności,
o
 – parametr skrośności,
o
 – parametr skali,
o
μ – parametr przesunięcia.
Rozkład α-stabilnej zmiennej losowej oznacza się przez S () . Zmienna losowa X jest
standardową zmienną α-stabilną gdy X ~ S () i co oznacza się przez X ~ S [3]. Gdy
  1 oraz   (0,1) to zmienną X nazywa się totalnie skośną [3]. Gdy   1 oraz   (0,1)
to zmienna losowa X przyjmuje tylko wartości dodatnie, natomiast dla   1 oraz   (0,1)
zmienna losowa X przyjmuje tylko wartości ujemne [3].
W ogólności, dla α-stabilnej zmiennej losowej, nie można wyznaczyć funkcji gęstości
rozkładu prawdopodobieństwa w postaci wzoru analitycznego [4], natomiast można
zdefiniować α-stabilną zmienną losową podając jej funkcję charakterystyczną [6].
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład α-stabilny [3]:
­ S2 () to zmienna losowa X ma rozkład normalny N ( , 2 2 ) ,
­ S1 ( ) to zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego Cauchy( ,  ) ,
­ S1/2 () to zmienna losowa X ma rozkład Levy’ego Levy( ,  ) .
3 α-stable Levy motion process
Let
be α-stable Levy motion process. The process starts at zero and
has increments
, following the α-stable distribution
.
α-stable Levy process is define:
L, (0)  0 ,
(2)
t
t
L (t  t )  L (t )  L ,
(3)
t  0 ,
(4)
where:
Lt t – random variable with α-stable Levy distribution (   0 ,  depend on t ).
Proces α-stabilny Levy’ego jest w każdym punkcie t 0, ) ciągły za wyjątkiem
przeliczalnej liczby nieciągłości (skoki) pierwszego rodzaju. Ponadto w każdym punkcie
proces ten jest nieróżniczkowalny.
Realizations of
are shown in Fig. 2-3 for
and several
values of α and β.
Fig. 2. Realization of Levy process for α = 1.5 and β = −1.
Fig. 3. Realization of Levy process for α = 0.8 and β = 0.
It is common in random vibration to interpret the Gaussian white noise as the formal
derivative of Brownian motion process
. Because
has also
independent increments, on can, by analogy, define a formal derivative:
(5)
of the α-stable Levy motion process. Process
is called α-stable white noise.
Realizations of
several values of α and β.
are shown in Fig. 6 and 8 for
and
4 Formalization and solution of the problem
Considered system, that is shown on the Fig. 4, is described by stochastic differential
equation, with deterministic initial condition. Let
be the state of dynamic
system and
be a α-stable white noise.
Fig. 4. SISO Random System.
The state of the dynamic system satisfies the stochastic differential equation:
(6)
(7)
It has the solution [6]:
(8)
Realizations of the
can be generated from finite difference approximation:
(9)
where:
(10)
Należy stwierdzić, że obecnie metoda generacji realizacji (9) wydaje się być jedyną
skuteczną metodą w symulacjach komputerowych. Szybkość jej zbieżności nie jest jednak
dostatecznie dokładnie zbadana [7].
5 Example
Considered system is shown on the Fig. 5.
Fig. 5. RC Filter Circuit.
This system is supplied by the voltage source that has been α-stable white noise process. The
parameters
and
are deterministic.
The state of the RC filter satisfies the stochastic differential equation:
(11)
(12)
Realizations of
values of α and β.
and Y
Fig. 6. Realization of
are shown in Fig. 6-9 for
and several
α-stable white noise process for α = 1.5 and β = −1.
Fig. 7. Realization of
Fig. 8. Realization of
process for α = 1.5 and β = −1.
α-stable white noise process for α = 0.8 and β = 0.
Fig. 9. Realization of
process for α = 0.8 and β = 0.
6 Quantile function
The moment of order of the α-stable Levy process is bounded for
. For
the moment of order tends to infinity. Hence the moments functions are not appropriate
tools to describes the α-stable Levy processes. The convenient tool to describes the α-stable
Levy processes is a quantile function [7]. The quantile function is kind of the distribution.
Dla ustalonego
oraz danego procesu stochastycznego
linią p-kwantylową nazywa się deterministyczną funkcję
określoną na odcinku
następującą zależnością [7]:
(13)
The analytical determination of the quantile function for α-stable Levy process is probably
impossible because the probability density function is not given in the analytical form.
In this article has been used estimation of the quantile function by application the Monte
Carlo method.
On the Fig. 10 - 15 are shown the estimations of quantiles functions of α-stable Levy
process, α-stable white noise process and output of RC filter process (see example). Assumed
that the parameter
is equal to
. To estimate quantiles functions has been
used 20000 samples of processes.
Fig. 10. Estimation of
quantiles functions for α = 0.8 and β = 0.
Fig. 11. Estimation of
Fig. 12. Estimation of
Fig. 13. Estimation of
quantiles functions for α = 0.8 and β = 0.
quantiles functions for α = 0.8 and β = 0.
quantiles functions for α = 1.2 and β = −1.
Fig. 14. Estimation of
Fig. 15. Estimation of
quantiles functions for α = 1.2 and β = −1.
quantiles functions for α = 1.2 and β = −1.
Prawdopodobieństwo, że realizacja sygnału znajdzie się pomiędzy dwoma funkacjami
kwantylowymi jest równe 0.1 ponieważ parameter p (por. wzór (13) ) zmienia się z krokiem
0.1. Z symulacji wynika, że funkcje kwantylowe podlegają tej samej transformacji przez
układ co transformacja sygnału (see Fig. 4 and 16).
Fig. 16. Transformation of quantile function.
Asymptotycznie funkcje kwantylowe α-stabilnego szumu białego (see Fig. 11 and Fig. 14)
dążą do funkcj Heaviside’a. Natomiast odpowiedź układu RC na skok dąży do funkcji
przedstawionych na rysunkach 12 i 15. Wynika to stąd, że dystrybuanta również podlega
takiej transformacji (a funkcja kwatylowa jest rodzajem dystrybuanty).
7 Summary
Analiza układu dynamicznego, przy wymuszeniu będącym α-stabilnym szumem białym,
metodą momentów jest niemożliwa, ponieważ momenty tego procesu w ogólnym przypadku
nie istnieją (for
). Możliwa jest analiza układu (see chapter 5) dotycząca realizacji
procesów w nim występujących. Pojedyńcze relizacje nie dają jednak zbyt dokładnej
informacji o charakterze układu. Analiza za pomocą stosunkowo nowego narzędzia [7] jakimi
jest funkcja kwantylowa, pozwala na uzyskanie charakterystyk układu mających dobrą
interpretację fizyczną. W zależności od doboru parametru p, otrzymuje się przedziały (p-tube)
w których prawdopodobieństwo, że realizacja procesu jest w nich zawarta, jest z góry zadane.
Uzyskanie efektywnych wyników można otrzymać estymucjąc funkcje kwantylwe za pomocą
stosunkowo prostych algorytmów (see chapter 6). Ponadto funkcja kwantylowa podlega takiej
samej transformacji przez układ jak realizacje sygnału wejściowego.
8 Literature
[1].
[2].
[3].
[4].
[5].
[6].
[7].
[8].
[9].
[10].
[11].
[12].
[13].
[14].
5-th International Conference on Levy Processes. Theory and Applications. August 13
– 17, Copenhagen, 2007.
Chambers J. M., Mallows C. L., Stuck B.W.: A Method for Simulating Stable Random
Variables, Journal of American Statistical Association, June 1976, Vol. 71, No. 354,
pp. 340-344.
Corvaja R., Pupolin S. :Phase Noise Effects in QAM Systems, 8-th Int. Symp. an
Personal, Indoor and Mobile Radio Communication, Sept. 1 – 4, Helsinki, Finland.
Dimakis A. G., Maragos P.: Modelling Resonances with Phase-Modulated SelfSimilar Processes, IEEE Int. Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing,
2004, pp. 877 – 880.
Duncan T. E.: Mutual Information for Stochastic Signals and Levy Processes. IEEE
Trans. on Information Theory, Vol. 56, No 1, 2010, pp. 18 – 24.
Grigoriu M.: Applied Non-Gaussian Processes, Prentice Hall, Inc., New Jersey, 1995.
Janicki A., Izodorczyk A.: Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym,
WNT 2001.
Janicki A., Weron A.: Simulation and Chaotic Behavior of α–Stable Stochastic
Processes, MARCEL DEKKER 1994.
Kogon S. M., Manolakis D. G.: Signal Modelling with Self-Similar α-stable processes.
IEEE Trans. on Signal Processing Vol. 44, No 4, 1996, pp. 1006-1010.
Pacheco R. A., Hatzinakos D.: BER analysis of self-heterodyne OFDM transmission
scheme. Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering, May 2 – 5,
Ontario, Canada.
Patel A., Kosko B.: Levy Noise Benefits in Neural Signal Detection, IEEE Int.
Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing ICASSP’07, April 15 – 20,
Honolulu, Hawai’i, USA, 2007, pp. III 1413 – III 1416.
Walczak J., Mazurkiewicz S.: Programowy generator procesów stochastycznych αstabilnych Levy’ego. Journal of Electrical Engineering 69, Poznań 2012, pp. 169-174.
Yin X. Lin Z.: Controlability Driven by Levy Processes In Hilbert Space. Int.
Conference on Inelligent Computation Technology and Automation ICICTA’2010,
May 11 – 15, Changsha, China.
Yoonjung Y., Klutke G.: Lifetime-characteristics and inspection-schemes for Levy
degradation processes. IEEE Trans. on Reliability, Vol. 49, No. 4, 2000, pp. 377 –
382.