ZADANIA 1-2

- METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA -
ZADANIA 1-2
ZAD.1. Rzucamy monetą tak długo, aż wypadnie dwa razy na tę samą stronę. Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych i jakie jest prawdopodobieństwo, że potrzebna będzie
parzysta ilość rzutów?
ZAD.2. Trzy osoby grają w szachy. Pierwszą partię rozgrywają gracze A i B, następnie
zwycięzca gra z graczem C itd. Gra toczy się do chwili, gdy któryś z graczy wygra dwie partie
pod rząd, zostając zwycięzcom turnieju. Znaleźć prawdopodobieństwo wygrania dla poszczególnych graczy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden z graczy nie wygra?
ZAD.3. Na tarczy zakreślone są 4 koncentryczne koła o promieniach
0 < r1 < r2 < r3 < r4 i Ak odpowiada trafieniu w koło o promieniu rk . Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeń i podać ich interpretację:
a) B = A1 ∪ A2 ;
b)
C = A3 \ A1 .
ZAD.4. W ciągu czasu T mogą nadejść do odbiornika 2 sygnały. Prawdopodobieństwo
nadejścia sygnału w dowolnej chwili z przedziału 〈 0, T 〉 jest stałe. Odbiornik zostaje uszkodzony, jeśli różnica w czasie pomiędzy dwoma sygnałami jest mniejsza od τ ( 0 < τ < T ). Obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzenia odbiornika w czasie T.
ZAD.5. Losowo wybieramy dwie liczby x i y takie, że każda z nich jest nieujemna i nie
większa od jedynki.. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że x + y ≤ 1 i xy ≥ 0, 09 .
ZAD.6. Zorganizowano następującą grę: gracz wyciąga z talii dwie karty (bez zwracania). Jeśli są to dwa asy – wygrywa 20zł, jeśli dwie figury − wygrywa 10 zł, w każdym pozostałym przypadku płaci 2 zł. Niech X oznacza wypłatę dla gracza. Znaleźć rozkład i dystrybu1
antę zmiennej X (wykresy). Wyznaczyć rozkłady zmiennych Y = 2 X − 30 i Z = 100
Y2 − 4.
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję wypłaty dla gracza. Korzystając z odpowiednich
własności wyznaczyć EY i D 2Y , gdzie Y = −2 X + 3 .
ZAD.7. Obsługa działa artyleryjskiego ma 3 pociski. Prawdopodobieństwo trafienia do
celu jednym pociskiem (przy jednym wystrzale) w danych warunkach wynosi 0,7. Strzelanie
kończy się z chwilą trafienia celu albo wyczerpania pocisków. Niech X oznacza liczbę oddanych strzałów. Wyznaczyć:
a) rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i jego wykres;
b) prawdopodobieństwo P ( X ≤ 2) .
ZAD.8 Z pewnego przystanku autobusy odjeżdżają co 10 minut. Zakładając, że rozkład czasu przybycia pasażera na przystanek jest jednostajny, wyznaczyć:
a) funkcję gęstości i dystrybuantę czasu oczekiwania na pociąg (wykresy);
b) prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 4 minuty;
c) prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał od 3 do 7 minut;
d) wartość oczekiwaną i wariancję czasu przybycia na przystanek autobusowy.
OPRACOWAŁA JOANNA BANAŚ
- METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA -
ZAD.9. Dana jest funkcja
 12 ( x + 2) dla x ∈ 〈 −2, a〉

f ( x) =  16 (2 − x) dla x ∈ (a, 2〉 .
 0
dla x ∉ 〈 −2, 2〉
Wyznaczyć:
a) stałą a tak, aby f była funkcją gęstości pewnej zmiennej losowej X (wykres);
b) dystrybuantę zmiennej losowej X i jej wykres;
c) wartość oczekiwaną zmiennej losowej X;
d) rozkład i dystrybuantę zmiennej Y = g ( X ) , gdzie
dla x < 1
 5
g ( x) = 10 dla x ∈ 〈1, 2) .
dla x ≥ 2
15
ZAD.10. Dana jest funkcja
 0
f ( x) = 
− x2
Cxe
dla
dla
x<0
.
x≥0
Wyznaczyć:
a) stałą C tak, aby f była funkcją gęstości pewnej zmiennej losowej X;
b) prawdopodobieństwo P( X ≤ 1) .
ZAD.11. Gęstość zmiennej losowej w rozkładzie Cauchy’ego dana jest wzorem
f ( x) =
1
dla x ∈ » .
π(1 + x 2 )
Wyznaczyć E (Y ) , gdzie Y = arc tgX .
ZAD.12. Gęstość zmiennej losowej X dana jest wzorem
{
2
f ( x) = 3x
0
Wyznaczyć E (Y ) , gdzie Y = ln X .
x ∈ (0,1〉 .
x ∉ (0,1〉
ZAD.13. Urządzenie składa się między innymi z 750 lamp. Prawdopodobieństwo awarii każdej lampy w ciągu jednej doby pracy urządzenia jest jednakowe i wynosi p = 0, 004 .
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu jednej doby pracy ulegną awarii:
a) dokładnie 4 lampy;
b) co najmniej 4 lampy.
ZAD.14. Wytrzymałość stalowych lin pochodzących z produkcji masowej jest zmienną losową o rozkładzie N (1000 cmkg ;50 cmkg ) . Obliczyć, jaki procent lin ma wytrzymałość:
2
2
a) mniejszą od 900 cmkg ;
2
b) od 974 do 1018
kg
cm 2
.
ZAD.15. Pewien przyrząd pomiarowy robi błąd systematyczny 1 m w stronę zawyżenia pomiaru i błąd losowy o rozkładzie N (0; 0, 5) .
a) Obliczyć wartość przeciętną błędu pomiaru.
b) Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że błąd, z jakim mierzone są badane przedmioty, przekracza 0,1 m.
OPRACOWAŁA JOANNA BANAŚ