Algorytm projektowania dolnoprzepustowych cyfrowych filtrów

Algorytm projektowania dolnoprzepustowych cyfrowych filtrów

Algorytm projektowania dolnoprzepustowych cyfrowych filtrów Buttlewortha i
Czebyszewa
Zadanie:
Zaprojektować cyfrowe filtry Buttlewortha i Czebyszewa o następujących parametrach:
Ap = 1,0 dB – maksymalne tłumienie w paśmie częstotliwości (0 … fp),
Ar = 28,0 dB – minimalne tłumienie w paśmie zaporowym,
fp = 2500 Hz – szerokość pasma częstotliwości w którym tłumienie jest mniejsze niż Ap,
fr = 9900 Hz – pasmo zaporowe,
fd = 48000 Hz – częstotliwość próbkowania.
Filtr cyfrowy zostanie zaprojektowany na podstawie filtru analogowego o
odpowiadających mu parametrach. Dlatego należy przeliczyć częstotliwości „cyfrowe” z
przedziału 0 … fd /2 na częstotliwości „analogowe” z przedziału 0 … +∞. W tym celu stosuje
się następujące przekształcenie
ω a = 2 ⋅ f d ⋅ tg
π⋅f
fd
,
(1)
w którym ωa oznacza pulsację „analogową” odpowiadającą częstotliwości „cyfrowej” f.
Podstawiając do wzoru (1) dane otrzymuje się pulsacje ωpa i ωra:
⎛π ⋅ fp
ω pa = 2 ⋅ f d ⋅ tg ⎜⎜
⎝ fd
⎞
π ⋅ 2500 ⎞
rad
⎟ = 2 ⋅ 48000 ⋅ tg ⎛⎜
,
⎟ = 15850
⎟
48000
s
⎠
⎝
⎠
⎛ π ⋅ fr ⎞
π ⋅ 9900 ⎞
rad
⎟⎟ = 2 ⋅ 48000 ⋅ tg ⎛⎜
ω ra = 2 ⋅ f d ⋅ tg ⎜⎜
.
⎟ = 72670
48000
f
s
⎠
⎝
⎝ d ⎠
1. Filtr Buttlewortha
W celu obliczenia rzędu filtra Buttlewortha należy wyznaczyć jego współczynnik
dyskryminacji d oraz selektywność k.
d=
10
0,1⋅ A p
−1
0,1⋅ Ar
−1
10
k=
ω pa
ω ra
(2)
(3)
Po podstawieniu danych do wzorów (2) i (3) otrzymuje się: d = 0,0202736 i k = 0,218104.
Rząd filtra Buttlewortha N oblicza się ze wzoru
N≥
log d
.
log k
Po podstawieniu wartości liczbowych N ≥ 2,56, czyli N =3.
(4)
Transmitancja operatorowa prototypowego dolnoprzepustowego filtra o pulsacji
granicznej równej 1 rad/s jest dana ogólnym wzorem
N
∏ pk
H p (s ) = (− 1)N ⋅
k =1
N
∏ (s − pk )
,
(5)
k =1
w którym pk jest k – tym pierwiastkiem mianownika transmitancji. W przypadku filtra
Buttlewortha pierwiastki te położone są na okręgu o promieniu równym 1 na płaszczyźnie
zmiennej zespolonej i można je obliczyć ze wzoru
pk = e j ⋅φ k ,
N + 2 ⋅ k −1
φk = π ⋅
,
2⋅ N
(6)
(7)
przy czym k = 1, 2, … , N.
W przypadku, gdy N =3 pierwiastki przyjmują następujące wartości:
p1 =
2
j ⋅ ⋅π
e 3
1
3
= − + j⋅
2
2
,
p2 = e
j ⋅π
= −1 ,
p3 =
4
j ⋅ ⋅π
e 3
=−
1
3
− j⋅
2
2
,
więc po podstawieniu do wzoru (5) transmitancja prototypowego filtra Buttlewortha jest
równa
H pB (s ) =
1
3
2
s + 2⋅ s + 2⋅ s +1
.
(8)
Aby wyznaczyć ostateczną transmitancję operatorową filtru Buttlewortha należy obliczyć
jego pulsację graniczną ωpa (przy tłumieniu 3 dB)
ω pa
ω ga =
⎛⎜ 10 0 ,1⋅ A p
⎝
ω ga =
(10
ω ra
0,1⋅ Ar
(9)
1
2
⋅
⎞
−1 N
⎟
⎠
(10)
)
−1
1
2⋅ N
W obu przypadkach po podstawieniu wartości liczbowych otrzymuje się ωga = 19853 rad/s.
Ostateczną transmitancję operatorową filtru analogowego otrzymuje się, zastępując we
wzorze (8) zmienną zespoloną s zmienną s/ωga. Po takim podstawieniu transmitancja
analogowego filtra Buttlewortha jest opisana za pomocą wzoru
H B (s ) =
3
ω ga
2
3
s 3 + 2 ⋅ ω ga ⋅ s 2 + 2 ⋅ ω ga
⋅ s + ω ga
.
Charakterystyki amplitudową i fazową filtru pokazano na rys. 1
(11)
Rys. 1. Charakterystyki amplitudowa i fazowa zaprojektowanego filtru Buttlewortha
2. Filtr Czebyszewa pierwszego rodzaju
Podobnie jak w przypadku filtru Buttlewortha, pierwszym etapem projektowania jest
przeliczenie skali częstotliwości „cyfrowych” na skalę częstotliwości „analogowych” za
pomocą wzoru (1). Wartość tłumienia Ap jest miarą zafalowań ε charakterystyki amplitudowej
filtru w paśmie przenoszenia wyrażoną w decybelach, a więc
ε = 10
0,1⋅ A p
−1 .
(12)
Selektywność k i dyskryminację d filtra Czebyszewa oblicza się za pomocą wzorów (2) i (3)
zaś jego rząd N za pomocą wzoru
⎛1
ln⎜ +
⎜d
N≥ ⎝
⎛1
ln⎜ +
⎜k
⎝
⎞
+1⎟
⎟
d
⎠.
⎞
1
+1⎟
⎟
k2
⎠
1
2
(13)
Po podstawieniu wartości liczbowych do wzoru (13) otrzymuje się N = 2,0613, czyli N =3.
Transmitancja operatorowa prototypowego filtra Czebyszewa jest opisana za pomocą
wzoru (5), ale na płaszczyźnie zmiennej zespolonej pierwiastki pk jej mianownika są położone
na obwodzie elipsy o półosi poziomej a oraz pionowej b, przy czym:
a = sinh (D ) ,
b = cosh (D ) ,
(14)
(15)
D=
( )
sinh −1 ε −1
.
N
(16)
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymuje się : D = 0,476, a = 0,4942, b
=1,1154. Pierwiastki mianownika transmitancji oblicza się ze wzoru
pk = a ⋅ cosφk + j ⋅ b ⋅ sin φk .
(17)
Otrzymuje się: p1 = - 0.2471 - 0.9660j, p2 = - 0.4942, p3 = - 0.2471 + 0.9660j. Po
podstawieniu do wzoru (5) transmitancja operatorowa prototypowego filtra Czebyszewa
przyjmuje postać:
H pC (s ) =
−0,4913
3
s + 0,9883 ⋅ s 2 + 1,2384 ⋅ s + 0,4913
.
(18)
Charakterystyki amplitudową i fazową filtra pokazano na rys. 2.
Rys. 2. Charakterystyki amplitudowa i fazowa prototypowego filtru Czebyszewa 1 typu
Podczas projektowania filtra Czebyszewa 1 rodzaju nie uwzględnia się pulsacji
granicznej przy tłumieniu 3 dB. Filtr przelicza się na pulsację ωpa, a więc we wzorze (18)
zmienną zespoloną s zastępuje się zmienną s/ωpa. Ostatecznie transmitancja operatorowa
analogowego filtra Czebyszewa przyjmuje postać
H pC (s ) =
− 0,4913 ⋅ ω 3pa
s 3 + 0,9883 ⋅ ω pa ⋅ s 2 + 1,2384 ⋅ ω 2pa ⋅ s + 0,4913 ⋅ ω 3pa
,
(19)
a jego charakterystyki częstotliwościowe pokazano na rys. 3.
Rys. 3. Charakterystyki amplitudowa i fazowa analogowego filtru Czebyszewa 1 typu
3. _Projektowanie dolnoprzepustowych filtrów cyfrowych.
Transmitancję dyskretną filtra cyfrowego oblicza się, stosując transformację
bilingową, czyli podstawiając w transmitancji operatorowej filtra analogowego
s = 2 ⋅ fd ⋅
z −1
.
z +1
(20)
Po uporządkowaniu współczynników i podzieleniu licznika i mianownika transmitancji przez
z3 otrzymuje się transmitancje dyskretne cyfrowych filtrów Buttlewortha i Czebyszewa.
H B (z ) =
H C (z ) =
1 + 3 ⋅ z −1 + 3 ⋅ z −2 + z −3
170,5047 − 373,2991 ⋅ z −1 + 285,7684 ⋅ z − 2 − 74,9741 ⋅ z − 3
1 + 3 ⋅ z −1 + 3 ⋅ z −2 + z −3
542,3405 − 1412,3523 ⋅ z −1 + 1270,7522 ⋅ z − 2 − 392,7405 ⋅ z − 3
Ich charakterystyki częstotliwościowe pokazano na rysunkach 4 i 5.
(21)
(22)
Rys. 4. Charakterystyki amplitudowa i fazowa cyfrowego dolnoprzepustowego filtru
Buttlewortha
Rys. 5. Charakterystyki amplitudowa i fazowa cyfrowego dolnoprzepustowego filtru
Czebyszewa
4. Projekt filtru środkowoprzepustowego
Zadanie:
Na podstawie zaprojektowanych poprzednio filtrów obliczyć transmitancje
środkowoprzepustowych filtrów Buttlewortha i Czebyszewa, których pasmo przenoszenia jest
zawarte w przedziale częstotliwości: f1 = 3 kHz i f2 = 6 kHz.
Obliczenie transmitancji dyskretnej filtra środkowoprzepustowego polega na
podstawieniu w transmitancji filtra dolnoprzepustowego w miejsce zmiennej zespolonej z-1
wyrażenia
δ − 1 2 ⋅ δ ⋅ γ −1 −2
−
+
⋅z −z
δ +1 δ +1
,
(23)
2 ⋅ δ ⋅ γ −1 δ − 1
1−
⋅z +
δ +1
δ +1
w którym:
⎛
f ⎞
tg ⎜⎜ π ⋅ 0 ⎟⎟
fd ⎠
⎝
,
(24)
δ=
⎛
f 2 − f1 ⎞
⎟
tg ⎜⎜ π ⋅
f d ⎟⎠
⎝
⎛
f + f2 ⎞
⎟⎟
cos⎜⎜ π ⋅ 1
f
d
⎝
⎠.
γ=
(25)
⎛
f 2 − f1 ⎞
⎟⎟
sin ⎜⎜ π ⋅
f
d
⎝
⎠
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymuje się: δ = 4,7354 i γ = 0,83. Z
podstawienia (23) wynika, że rząd filtra środkowoprzepustowego jest dwukrotnie większy,
niż prototypowego filtru dolnoprzepustowego. Po zastosowaniu podstawienia (23) i
uporządkowaniu współczynników otrzymuje się transmitancje dyskretne poszukiwanych
filtrów pasmowych Buttlewortha i Czebyszewa:
H pB ( z ) =
H pC ( z ) =
0,042398 − 0,127193 ⋅ z −2 + 0,127193 ⋅ z −4 − 0,042398 ⋅ z −3
556 − 2636 ⋅ z −1 + 5901⋅ z −2 − 7393 ⋅ z −3 + 5567 ⋅ z −4 − 2391⋅ z −5 + 466 ⋅ z −6
(26)
0,042398 − 0,127193 ⋅ z −2 + 0,127193 ⋅ z −4 − 0,042398 ⋅ z −3
2110 − 10380 ⋅ z −1 + 23206 ⋅ z −2 − 29590 ⋅ z −3 + 22679 ⋅ z −4 − 9914 ⋅ z −5 + 1969 ⋅ z −6
(27)
Charakterystyki częstotliwościowe obu filtrów przedstawiono na rys. 6 i 7.
Rys. 6. Charakterystyki środkowoprzepustowego filtru Buttlewortha
Rys. 7. Charakterystyki środkowoprzepustowego filtru Czebyszewa