Geodezja Wzory Własności logarytmów Dla liczb a, b, c, d > 0, a = 1

Geodezja Wzory Własności logarytmów Dla liczb a, b, c, d > 0, a = 1

Geodezja
Wzory
Własności logarytmów
Dla liczb a, b, c, d > 0, a 6= 1, d 6= 1, k ∈ R zachodzą równości:
• loga 1 = 0
• ln e = 1
• aloga b = b
• loga a = 1
• k loga b = loga (bk )
• loga b =
• loga b + loga c = loga (bc)
logd b
logd a
• loga b − loga c = loga
b
c
Własności potęgowania
Dla liczb a > 0, x, y ∈ R zachodzą równości:
• a−1 =
• a0 = 1
1
a
• ax ay = ax+y
•
ax
ay
= ax−y
Liczby zespolone
Niech z = |z|(cos θ + i sin θ), gdzie θ ∈ [0, 2π). Wtedy
z n = |z|n cos(nθ) + i sin(nθ) ,
nq √
θ + 2kπ
θ + 2kπ n
z = n |z| cos
+ i sin
:
n
n
o
k = 0, 1, . . . , n − 1 .
Asymptoty
Niech f : D → R oraz niech x0 ∈ D0 .
• Jeśli lim f (x) = ±∞ (odp. lim f (x) = ±∞), to prosta x = x0 jest asymptotą pionową prawostronną
x→x−
0
x→x+
0
(odp. lewostronną) funkcji f .
• Jeśli lim (f (x) − (ax + b)) = 0, to prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną w +∞ (−∞) funkcji f .
x→±∞
f (x)
,
x→±∞ x
Wtedy a = lim
b = lim
x→±∞
f (x) − ax .
Wzory trygonometryczne
α
0
π
6
sin α
0
cos α
1
1
2
√
3
2
√
3
3
tg α
0
√
−
ctg α
3
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
√
3
2
1
2
√
1
π
2
Dla x ∈ R oraz k ∈ Z zachodzą równości:
1
• sin2 x + cos2 x = 1
0
• sin(2x) = 2 sin x cos x
3
• cos(2x) =
3
3
0
• sin(x + 2kπ) = sin x
cos2 x
• tg(x+kπ) = tg x, x 6=
2
−
√
1
• cos(x + 2kπ) = cos x
− sin x
• ctg(x + kπ) = ctg x, x 6= kπ
Pochodne funkcji
• (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
• (ctg x)0 = − sin12 x
• (a · f )0 (x) = af 0 (x), gdzie a ∈ R
• (arcsin x)0 =
• (f · g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
•
f 0
g (x)
• (g ◦
=
f )0 (x)
f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x)
(g(x))2
=
g 0 (f (x))
•
c0
•
(xa )0
=
nxn−1 ,
•
(sin x)0
= cos x
•
(cos x)0
= − sin x
·
f 0 (x)
= 0, gdzie c ∈ R
• (tg x)0 =
1
cos2 x
dla a ∈ R
√ 1
1−x2
1
• (arccos x)0 = − √1−x
2
• (arc tg x)0 =
1
1+x2
1
• (arc ctg x)0 = − 1+x
2
• (ex )0 = ex
• (ax )0 = ax ln a, dla a > 0
• (ln x)0 =
1
x
• (loga x)0 =
π
2 +kπ
1
x ln a ,
dla a > 0, a 6= 1
Całki nieoznaczone
•
R
(f (x) + g(x)) dx =
R
•
R
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x) g(x) dx
•
R
af (x) dx = a f (x) dx, gdzie a ∈ R
R x
e dx = ex + C
R
• ax dx = ln1a ax + C dla a 6= 1, a > 0
R
R
•
f (x) dx + g(x) dx
R
•
R
1
a+1
a+1 x
sin x dx = − cos x + C
•
R
cos x dx = sin x + C
•
R
xa dx =
•
R
dx = x + C
•
R
1
cos2 x
dx = tg x + C
•
R
x dx = 12 x2 + C
•
R
1
sin2 x
dx = − ctg x + C
•
•
R
1
1+x2
dx = arctan x + C
•
R 1
1
x2 dx = − x + C
R 1
√
•
R
√ 1
1−x2
dx = arcsin x + C
•
R√
x dx = 23 x 2 + C
•
R
√ 1
x2 +k
dx = ln |x +
•
R 1
x dx = ln |x| + C,
•
R
dx
(1+x2 )n
√
x
+ C dla a 6= −1
dx = 2 x + C
3
1
2n−2
=
·
√
x2 + k| + C
x
(1+x2 )n−1
+
2n−3
2n−2
·
R
dx
(1+x2 )n−1
Całka oznaczona
• Jeśli krzywa ϕ : [a, b] → K ⊂ R2 , ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ), jest klasy C (1) w przedziale [a, b], to krzywa ta jest
prostowalna, a
d(ϕ) =
Zb q
0
0
ϕ12 (t) + ϕ22 (t) dt.
a
• Jeśli krzywa jest dana przez funkcję f : [a, b] → R, czyli wtedy, gdy ϕ(t) = (t, f (t)), to
d(ϕ) =
Zb q
1 + (f 0 (t))2 dt.
a
• Dana jest krzywa gładka ϕ : [a, b] → K ⊂ R2 , ϕ = (x, y) taka, że funkcja t 7→ y(t) jest nieujemna
(y(t) > 0 dla t ∈ [a, b]), a funkcja t 7→ x(t) jest silnie rosnąca (silnie malejąca). Jeśli obrócimy tę
krzywą wokół osi OX, to wyznaczy ona pewną bryłę obrotową, której objętość wyraża się wzorem
Zb
V =π
y 2 (t)|x0 (t)| dt,
a
zaś pole powierzchni tej bryły określa wzór
Zb
S = 2π
q
y(t) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt.
a
• Jeśli krzywa dana jest przez funkcję f : [a, b] → R, czyli wtedy, gdy ϕ : [a, b] → R2 , ϕ(x) = (x, f (x)),
to
Zb
V =π
2
(f (x)) dx,
Zb
S = 2π
q
f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx.
a
a
Funkcja uwikłana
Niech dana będzie funkcja F : D → R klasy C (1) , gdzie D ⊂ R2 jest zbiorem otwartym. Niech również dany
będzie punkt (a, b) ∈ D taki, że F (a, b) = 0. Jeśli ∂F
∂y (a, b) 6= 0, to istnieje otoczenie U ⊂ D punktu (a, b),
istnieje otoczenie V punktu a oraz istnieje funkcja f : V → R klasy C (1) taka, że
(x, y) ∈ U oraz F (x, y) = 0 ⇐⇒ x ∈ V oraz y = f (x).
Ponadto
∂F
∂x
f 0 (a) = − ∂F
∂y
(a, b)
(a, b)
.