b) f(x)

Zastosowanie pochodnej
1. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji
a) f (x) = −x2 + 3x w punkcie (1, 2)
b) f (x) =
√
2x − 3 w punkcie (6, f (6))
1
x3 + 1
c) f (x) = x + w punkcie (1, f (1))
d) f (x) =
w punkcie (1, f (1))
x
x3
√
e) f (x) = x cos(x − 1) w punkcie (1, f (1)).
2. a) Wyznacz punkt, w którym styczna do wykresu funkcji f (x) = 21 x2 jest równoległa do prostej 2x−y+3 = 0.
b) Wyznacz kąt, pod jakim przecinają się krzywe f (x) = 1/x i g(x) = x2 .
c) Wyznacz kąt, pod jakim wykres funkcji f (x) = xex/2 przecina oś OX.
3. Wyznacz przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji:
b) f (x) = 15 x5 − 31 x3 + 2
a) f (x) = −x2 + x + 12
x2 − 3x + 4
x−3
x3
g) f (x) =
1 − x2
x
j) f (x) =
x+1
e) f (x) = x2 e−x
d) f (x) =
m) f (x) = (2x2 − 3)ex
2 +1
x2 + 1
x2 − 1
i) f (x) = ln(x +
l) f (x) =
√
s) f (x) = (x2 + 1)arctg x − 41 πx2 − x
√
x2 + 1)
x2 − 2x − 3
1
n) f (x) = xe− x+2
√
p) f (x) = 3 cos x + sin x
o) f (x) = sin x − cos x
9
9 − x2
f) f (x) = x2 /2 − 4 ln(x − 3)
h) f (x) = x−1/2 ln x
k) f (x) =
c) f (x) = −1 +
r) f (x) = sin2 x + sin x
t) f (x) = (2 − x)e(x−2) .
−2
4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale
a) f (x) = 2x3 + 4x2 − 3
c) f (x) = sin2 x + cos x
√
e) f (x) = 1 − 4x w
w
w
h−1, 2i,
h0, πi,
h−2, 0i,
g) f (x) = cos x + 21 cos(2x)
w
b) f (x) = x2 ln x
d) f (x) = x2 e4/x
w
w
h1, ei,
h1, 4i,
x2 + 2x + 4
w h−1, 1i,
x+2
h) f (x) = x − sin(2x) w h−π/2, π/2i.
f) f (x) =
h0, πi,
5. Wyznacz przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji:
x2 + 3x + 2
x
3
a) f (x) = x + 2x,
b) f (x) =
,
c) f (x) =
,
x+4
1 + x2
1
.
d) f (x) = xe1/x ,
e) f (x) = 3x − cos x,
f) f (x) =
ln x
6. Korzystając z twierdzenia Taylora oblicz przybliżoną wartość
√
a) ln 0.99
b) cos 209o
c) sin 271o
d) 226.
Twierdzenie de l’Hospitala
1. Oblicz granice korzystając z twierdzenia de l’Hospitala.
x
x
sin(2x)
ln x
a) lim x ,
b) lim+
,
c) lim
,
d)
lim
,
x→∞ e
x→∞ x
x→0
x→0 sin x
x3
ln x
x
x ln x
ex − 1
,
f) lim+
,
g) lim
,
h) lim 2
,
e) lim 2
x→0 arctg x
x→1 x − 4x + 3
x→0 x − 3x
x→0 ctg x
√
√
x
x − arctg x
sin x − x cos x
x2 x
,
j) lim
,
k) lim
,
l) lim
,
i) lim+ 2x
x
3
x→∞
x→0
x→0
x→0 e
−1
e
x
x3
ln sin x
ln cos x
tg x − 1
m) lim+
,
n) lim+
,
o) lim
.
x→π/4 sin x − cos x
x→0 ln sin 2x
x→0 ln cos 2x
f
.
1/g
2. Oblicz korzystając z faktu, że f · g =
b) lim+ x2 ln x,
a) lim+ x ln x,
x→0
e) lim x ln
x→−∞
!
1
,
cos
x
x→0
!
x→1
!
lim (2x − π) tg x,
x→π/2−
1
sin x
g) lim+ 2 ln
.
x→0 x
x
f) lim+ ln x ln(x − 1),
1
1
,
−
2
sin x x
d)
x→0
2
1/g − 1/f
.
1/(f g)
3. Oblicz korzystając z faktu, że f − g =
a) lim+
c) lim+ ln x · sin x,
x→0
b) lim+
x→0
!
1 1
1
.
−
x→0 x x
sin x
1
1
,
− x
x e −1
c) lim
4. Oblicz korzystając z faktu, że f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) = exp{g(x) ln f (x)} .
√
a) lim+ x
x→0
d) lim
x→0
x
1
,
ln(1 + x)
x
c) lim xsin x
b) lim+ (x + 1) x ,
x→0
x→0
!
1
2x
,
e) lim ln
x→0
1
x
3√x
,
f) lim
x→+∞
x
2
arctg x
π
.
5. Zbadaj, czy istnieją granice
sin x − tg x
a) lim 3
,
b) lim+ (cos x)x .
x→0 x + tg x
x→0
6. Wyznacz asymptoty funkcji
a) f (x) = 3x(π + 2arctg x),
1
,
b) f (x) = x ln 1 +
x
c) f (x) =
3 arcsin 2x − 2 arcsin 3x
.
x4