Szufladkowa Zasada Dirichleta

1
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
Podstawowe zagadnienia kombinatoryczne związane z pojęciem
funkcji.
Funkcją określoną na niepustym zbiorze X o wartościach w niepustym zbiorze Y nazywamy
def
podzbiór F iloczynu kartezjańskiego X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } spełniający następujące
warunki:
1) ∀x∈X ∃y∈Y (x, y) ∈ F,
2) ∀x∈X ∀y1 ,y2 ∈Y ((x, y1 ), (x, y2 ) ∈ F =⇒ y1 = y2 )) .
Piszemy F : X → Y . Dla oznaczenia funkcji używamy również małych liter. Jeżeli (x, y) ∈ F ,
to mówimy, że y jest obrazem elementu x. W tradycyjnej notacji zamiast (x, y) ∈ F piszemy
F (x) = y. Jeżeli X i Y są zbiorami skończonymi zawierającymi odpowiednio n i m elementów,
a głównie takimi przypadkami będziemy się zajmować, to mówiąc mniej ściśle funkcję można
zinterpretować jako dwuwierszową macierz
x1
x2
...
xn
F =
.
F (x1 ) F (x2 ) . . . F (xn )
W pierwszym wierszu tej macierzy występuje każdy element zbioru X dokładnie raz. Pod
każdym elementem zbioru X stoi obraz tego elementu przy działaniu funkcji F , zatem w
drugim wierszu występują pewne elementy zbioru Y , przy czym mogą się one powtarzać, jak
również nie wszystkie elementy zbioru Y muszą w drugim wierszu wystąpić.
Przykład. Niech X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i Y = {0, 1, 2, 3, 4} i F : X → Y jest funkcją
określoną wzorem F (x) = b x2 c, tzn. każdej liczbie ze zbioru x jest przyporządkowana część
całkowita ilorazu tej liczby przez 2. Wówczas
F (1) = 0, F (2) = 1, F (3) = 1, F (4) = 2, F (5) = 2, F (6) = 3,
co można zapisać w postaci:
F =
1 2 3 4 5 6
0 1 1 2 2 3
,
Jest rzeczą oczywistą, że jeśli w tej macierzy zmienimy kolejność kolumn, to sens zapisu nie
ulegnie zmianie, zatem każda z poniższych macierzy jest także zapisem funkcji F .
F =
2 1 4 3 6 5
1 0 2 1 3 2
=
6 3 4 5 2 1
3 1 2 2 1 0
=
5 6 1 3 2 4
2 3 0 1 1 2
.
Z oczywistych powodów będziemy jednak funkcję zapisywać ustalając porządek kolumn według
naturalnej kolejności elementów pierwszego wiersza, wynikającej z charakteru rozważanych
elementów.
Jeżeli w drugim wierszu elementy zbioru Y nie powtarzają się, to F nazywamy funkcją
różnowartościową albo injekcją. Dokładniej F jest różnowartościowa, jeśli
∀x1 ,x2 ∈X F (x1 ) = F (x2 ) =⇒ x1 = x2 .
Jeżeli w drugim wierszu występują wszystkie elementy zbioru Y , to F nazywamy funkcją
“na” lub surjekcją. Dokładniej, mówimy, że F : X → Y jest funkcją “na” jeżeli
2
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
∀y∈Y ∃x∈X y = F (x).
Funkcja, która jest jednocześnie różnowartościowa i “na” nazywa się funkcją wzajemnie
jednoznaczną. Wzajemnie jednoznaczna funkcja określona na zbiorze X o wartościach w tym
samym zbiorze X nazywa się permutacją zbioru X.
1. Jeżeli |X| = n i |Y | = m, to liczba funkcji f : X → Y określonych na zbiorze X o wartościach
w zbiorze Y jest równa mn .
Dowód. Ze względu na to, że w naszych rozważaniach nie jest ważny charakter elementów
rozważanych zbiorów, a jedynie pewne związki ilościowe, przyjmijmy, że X = {1, 2, 3, . . . n} i
Y = {1, 2, 3, . . . , m}1 . Naszym celem jest zatem wyznaczenie liczby wszystkich dwuwierszowych
macierzy postaci
1
2
3
...
n
F =
.
(1)
F (1) F (2) F (3) . . . F (n)
Wszystkie te macierze różnią się drugim wierszem. Ich liczba jest zatem równa liczbie różnych ciągów n-wyrazowych postaci (F (1), F (2), F (3), . . . , F (n)) które mogą pełnić rolę drugiego wiersza. Kolejne wyrazy F (1), F (2), itd. mogą przyjąć dowolną wartość ze zbioru Y . I
tak, F (1) może przyjąć jedną z m wartości. Niezależnie od wartości F (1), wyraz F (2) może
również przyjąć dowolną wartość ze zbioru Y , a więc także mamy m możliwości dla f (2). To
samo można powiedzieć o kolejnych elementach F (3), F (4) itd., aż do F (n). Mamy zatem
m · · · · · m} = mn
|m · m · m ·{z
n razy
możliwości wyboru drugiego wiersza, co kończy dowód.
Ze względu na właśnie dowiedziony fakt, zbiór wszystkich funkcji określonych na zbiorze X
o wartościach w zbiorze Y oznaczamy symbolem Y X
2. Jeżeli |X| = n i |Y | = m, to liczba funkcji różnowartościowych f : X → Y określonych na
zbiorze X o wartościach w zbiorze Y jest równa
m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1).
(2)
Dowód. Podobnie, jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia, liczba wszystkich funkcji różnowartościowych określonych na zbiorze {1, 2, 3, . . . , n} o wartościach w zbiorze {1, 2, 3, . . . , m}
jest równa liczbie dwuwierszowych macierzy postaci (1), gdzie wszystkie wyrazy stojące w drugim wierszu są różne. Wartość F (1) możemy ustalić na m sposobów. W następstwie, F (2) może
przyjąć dowolną spośród m − 1 pozostałych wartości (oprócz równej F (1)). Dla F (3) mamy już
tylko m − 2 możliwości (wszystkie elementy z Y = {1, 2, 3, . . . , m}, oprócz równych F (1) lub
F (2), itd. Ostatni wyraz w drugim wierszu macierzy może być jednym z tych elementów zbioru
Y , które nie wystąpiły na wszystkich poprzednich miejscach, tzn. jednym spośród m − (n − 1)
elementów. W konsekwencji, liczba wszyskich możliwości do wyboru drugiego wiersza macierzy
(1) jest równa m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1).
1
W dalszej części na ogół będziemy przyjmować również takie założenie
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
3
Zauważmy, że liczba określona wyrażeniem (2) jest różna od zera wtedy i tylko wtedy, gdy
m > n. Jest to akurat zgodne z oczywistą obserwacją, że na to, aby wszystkie wyrazy drugiego
wiersza macierzy (1) mogły być różne, potrzeba i wystarcza, by w zbiorze Y było co najmniej n
elementów. W przypadku granicznym tj., gdy m = n, mamy następujący bezpośredni wniosek
z poprzedniego twierdzenia.
3. Jeżeli |X| = n i |Y | = n, to liczba funkcji wzajemnie jednoznacznych f : X → Y jest równa
n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 1.
W szczególności, liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa n!.
Jest rzeczą oczywistą, że jeżeli F : X → Y jest funkcją różnowartościową, to |X| 6 |Y |, lub
inaczej, nie istnieje funkcja różnowartościowa określona na zbiorze X o wartościach w Y , jeśli Y
ma mniej elementów, niż X. Obserwacja ta nosi nazwę Szufladkowej (lub Pudełkowej) Zasady
Dirichleta (SZD). Ma ona liczne zastosowania w różnego rodzaju zadaniach kombinatorycznych i mimo swej prostoty, jej użycie wymaga często niestandardowych obserwacji i niemałej
pomysłowości. Formalne brzmienie tej zasady w wersji podstawowej jest następujące.
4. (Szufladkowa Zasada Dirichleta) Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami skończonymi, przy
czym |X| > |Y |. Wówczas dla dowolnej funkcji F określonej na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y istnieją elementy x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 , dla których F (x1 ) = F (x2 ).
Mówiąc potocznie SZD stwierdza, że jeśli pewną liczbę przedmiotów włożymy do szuflad,
a szuflad jest mniej niż przedmiotów, które wkładamy, to w pewnej szufladzie znajdą się co
najmniej dwa przedmioty.
Szufladkową Zasadę Dirichleta możemy sformułować również w wersji nieco silniejszej.
5. Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami skończonymi, przy czym dla pewnej liczby naturalnej
k zachodzi nierówność |X| > k|Y |. Wówczas dla dowolnej funkcji F określonej na zbiorze
X o wartościach w zbiorze Y istnieją różne elementy x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 ∈ X, dla których
F (x1 ) = F (x2 ) = · · · = F (xk ) = F (xk+1 ).
Odwołując się do ’szufladkowej’ interpretacji podstawowej wersji SZD, możemy wyrazić jej
wersję silniejszą następująco. Jeśli w każdej z m = |Y | szuflad upakujemy k przedmiotów, to
łącznie spakujemy k·m = k·|Y | przedmiotów. Jeśli zatem do upakowania mamy n = |X| przedmiotów i n > k · m, to przynajmniej do jednej szuflady trzeba włożyć więcej niż k przedmiotów.
Np. mając 11 szuflad i 100 przedmiotów, które chcemy w tych szufladach schować, musimy
przynajmniej do jednej z nich włożyć co najmniej 10 przedmiotów. Bo przecież, gdyby do
każdej szuflady włożyć nie więcej niż 9 z nich, to łącznie ukrylibyśmy nie więcej niż 9 · 11 = 99,
a więc nie wszystkie przedmioty zostałyby ukryte.
Dużo poważniejszym i trudniejszym uogólnieniem Szufladkowej Zasady Dirichleta jest twierdzenie Ph. Halla, które ze względu na jego ’matrymonialną’ interpretację nazywane jest twierdzeniem Halla o kojarzeniu małżeństw. Taką interpretację przedstawimy później. Najpierw jej
’szufladkowa’ motywacja.
Rozważmy zbiór X składający się z n przedmiotów, które chcemy rozmieścić w szufladach,
tak aby każdy przedmiot znalazł się w innej szufladzie. Zbiór Y złożony z m szuflad, które
4
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
mamy do dyspozycji, nie jest idealny, bo cechy (rozmiary) przedmiotów są różne, rozmiary
szuflad też są różne i w związku z tym dowolny przedmiot daję się włożyć tylko do niektórych
szuflad. Załóżmy, że
A1 jest zbiorem tych szuflad, w których można schować przedmiot x1 ,
A2 jest zbiorem tych szuflad, w których można schować przedmiot x2 ,
itd.
An jest zbiorem tych szuflad, w których można schować przedmiot xn .
Jakie warunki wystarczające i konieczne muszą być spełnione, aby rozmieszczenie tych n
przedmiotów w n szufladach (po jednym przedmiocie w każdej szufladzie) było wykonalne?
Zauważmy, że jeśli nie ma ograniczeń dotyczących rozmieszczeń przedmiotów w szufladach,
tzn. gdy każdy ze zbiorów Ai , (i = 1, . . . , n) pokrywa się ze zbiorem Y wszystkich szuflad,
to takim warunkiem jest by liczba przedmiotów była mniejsza od liczby szuflad. To właśnie
stwierdza SZD. Odpowiedź na powyższe pytanie jest nieco bardziej skomplikowana. Otóż
Rozmieszczenie n przedmiotów w szufladach zgodnie z powyżej ustalonymi zasadami jest wykonalne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego podzbioru {x1 , x2 , . . . , xk } zbioru przedmiotów X
łączna liczba wszystkich szuflad, do których mogą te przedmioty być wkładane, nie jest mniejsza
od liczby przedmiotów.
Przykłady
1. ([2]) Udowodnić, że w dowolnym zbiorze dziesięciu dwucyfrowych liczb naturalnych istnieją
dwa rozłączne podzbiory takie, że sumy liczb obu pozbiorów są równe.
Niech zatem Z będzie dowolnym, acz ustalonym zbiorem dziesięciu liczb dwucyfrowych i niech
X = 2Z będzie zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru Z. Na zbiorze X definiujemy funkcję f ,
w następujący sposób: dla A ∈ X niech
X
a, f (∅) = 0.
f (A) =
a∈A
Innymi słowy, każdemu podzbiorowi zbioru Z funkcja f przyporządkowuje sumę liczb tego
podzbioru. Na przykład, jeśli A = {1, 2, 31, 42, 90}, to f (A) = 1 + 2 + 31 + 42 + 90 = 166.
Zauważmy teraz, że liczba elementów zbioru X jest równa 210 = 1024, natomiast zbiór wartości
funkcji f ma nie więcej niż 945 elementów, bo 945 jest sumą dziesięciu największych liczb
dwucyfrowych: 90 + 91 + . . . + 98 + 99 = 945. Na mocy SZD istnieją dwa podzbiory A i B
P
zbioru Z takie, że f (A) = f (B). Zbiory A i B nie muszą być rozłączne, ale jeśli f (A) =
a=
a∈A
P
b = f (B), to dla
b∈B
A1 = A − (A ∩ B)
B1 = B − (A ∩ B)
również mamy f (A1 ) = f (B1 ), a zbiory A1 i B1 są rozłączne.
2. Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną. Spośród liczb 1, 2, . . . , 2n wybrano n + 1 liczb.
Udowodnić, że wśród wybranych liczb istnieje taka, która jest dzielnikiem co najmniej jednej
z pozostałych n liczb.
Każdą liczbę naturalną a można w sposób jednoznaczy zapisać w postaci
a = m2k ,
gdzie m jest liczbą nieparzystą, natomiast k – nieujemną liczbą całkowitą. Na nasz użytek liczbę
m nazwijmy częścią nieparzystą liczby a. Niech teraz X będzie ustalonym n + 1-elementowym
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
5
podzbiorem zbioru {1, 2, 3, . . . , 2n − 1, 2n}. Na zbiorze X określamy funkcję f , która każdej
liczbie tego zbioru przyporządkowuje jej część nieparzystą. Innymi słowy f (a) = f (m2k ) = m.
Zbiór wartości funkcji f mieści się w zbiorze n-elementowym {1, 3, . . . , 2n − 1}. Ponieważ zbiór
X ma n + 1 elementów, więc znowu na podstawie SZD istnieją dwie liczby a i b (a < b), dla
których f (a) = m = f (b). To oznacza, że a = m2k , b = m2l dla pewnych liczb całkowitych k i
l, k < l. Ponieważ liczba ab = 2l−k jest całkowita, więc a jest dzielnikiem b.
3. Niech m i n będą liczbami naturalnymi. Udowodnić, że w dowolnym ciągu różnych liczb
naturalnych mającym mn + 1 wyrazów istnieje podciąg rosnący długości m + 1 lub podciąg
malejący długości n + 1.
Niech a1 , a2 , a3 , . . . , amn , amn+1 będzie owym ciągiem. Niech X będzie zbiorem wyrazów tego
ciągu. Na tym zbiorze definiujemy funkcję f przyjmując, że f (ai ) jest długością najdłuższego
rosnącego podciągu ciągu {ak }16k6mn+1 , którego pierwszym wyrazem jest ai . Jeśli dla pewnego
i, f (ai ) > n+1, to z określenia funkcji f , istnieje rosnący podciąg długości nie mniejszj niż n+1.
Załóżmy zatem, że dla dowolnego i, f (ai ) 6 n. Innymi słowy, zakładamy, że zbiór wartości
funkcji f ma nie więcej niż n elementów. Mamy zatem nierówność |X| = mn + 1 > m|f (X)|.
Wobec tego, na mocy silniejszej wersji SZD istnieją i1 < i2 < · · · < im+1 , takie że
f (ai1 ) = f (ai2 ) = · · · f (aim+1 ).
(3)
Wystarczy teraz udowodnić, że ai1 > ai2 > · · · > aim+1 . Przypuśćmy, że jest inaczej, tzn.
istnieje j takie, że w powyższym podciągu wyrazy aij i aij+1 spełniają warunek aij < aij+1 .
Wtedy jednak długość najdłuższego ciągu rosnącego zaczynającego się od aij jest większa
niż długość najdłuższego ciągu rosnącego zaczynającego się od aij+1 (wystarczy ten drugi
uzupełnić dołączając doń na początku aij ). To przeczy jednak równości (3).
Zadania
1. Udowodnić, że w zbiorze n + 1 liczb całkowitych istnieją dwie, których różnica jest podzielna przez n.
2. Danych jest dwanaście liczb dwucyfrowych. Wykazać, że można z nich wybrać dwie,
których różnica jest liczbą zapisaną przy pomocy dwóch cyfr identycznych.
3. Udowodnić, że w danym ciągu n wyrazowym a1 , a2 , . . . , an o wyrazach całkowitych istnieje
pewna liczba jego kolejnych wyrazów, których suma jest podzielna przez n.
4. Udowodnić, że jeśli żadna z liczb a, a + d, . . . , a + (n − 1)d nie dzieli się przez n (a, d –
liczby naturalne), to liczby d i n nie są wzglednie
pierwsze.
,
5. Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Udowodnić, że wśród liczb a, 2a, . . . , (n − 1)a
istnieje taka, której odległość od pewnej liczby całkowitej nie przekracza n1 .
6. Spośród liczb 1, 2, . . . , 2n wybrano n + 1 liczb. Udowodnić, że wśród wybranych liczb
istnieją dwie, które są względnie pierwsze.
7. Niech n będzie liczbą naturalną. Dany jest zbiór złożony z k liczb naturalnych nie większych niż n i k > n+1
. Udowodnić, że suma pewnych dwóch liczb tego zbioru (nie ko2
niecznie różnych) jest równa trzeciej.
6
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
8. W sali znajduje się k osób (k ≥ 2). Udowodnić, że co najmniej dwie z tych osób mają
wśród obecnych tę samą liczbę znajomych.
9. Dowieść, że każdy wielościan wypukły ma co najmniej dwie ściany o tej samej liczbie
boków.
10. Udowodnić, że jeśli w trójkącie równobocznym o boku długości 4 jednostek umieścimy 17
punktów, to odległość dwóch spośród nich nie przekracza 1 jednostki.
11. W sześcianie S, którego krawędź ma długość 7 wybrano 342 punkty. Czy można znaleźć
taki sześcian o boku 1 zawarty w sześcianie S, który nie zawiera żadnego z tych 342
punktów?
12. Udowodnić, że wśród dowolnie wybranych dwudziestu jeden punktów leżących w kwadracie o boku 1 istnieją 3, które leżą w pewnym kole o promieniu 71 .
13. Udowodnić, że wśród sześciu punktów umieszczonych w prostokącie o wymiarach 3 × 4
√
zawsze można znaleźć dwa, których odległość nie przekracza 5.
14. Danych jest dziesięć odcinków, których długości są większe od 1 cm i mniejsze od 55 cm.
Udowodnić, że wśród nich istnieją trzy odcinki, z których można zbudować trójkąt.
15. Udowodnić, że w dowolnym 2n-kącie istnieje przekątna, która nie jest równoległa do
żadnej krawędzi.
16. Niech S będzie zbiorem 25 punktów, takim, że w każdym 3-elementowym podzbiorze
istnieją dwa punkty, których odległość nie przekracza 1. Udowodnić, że istnieje 13elementowy podzbiór zbioru S, który można przykryć kołem o promieniu 1.
17. Każde dwa wierzchołki sześciokąta foremnego połączono odcinkami jednego z dwóch kolorów, zielonym lub czerwonym. Wykazać, że został narysowany co najmniej jeden trójkąt
o wierzchołkach w wierzchołkach sześciokąta i bokach tego samego koloru.
18. Wykazać, że na szachownicy 4 × 2 nie można ustawić 5 skoczków tak, aby żaden nie stał
na polu bicia innego.
19. W turnieju szachowym uczestniczy 66 zawodników. Każdy z każdym rozgrywa jedną
z partię. Rozgrywki odbywają się w czterech miastach. Udowodnić, że pewna trójka
zawodników rozegra wszystkie partie między sobą w jednym mieście.
20. Udowodnić, że z dowolnych trzech liczb całkowitych można wybrać dwie, że ich suma
dzieli się przez 2.
21. Udowodnić, że wśród dowolnych 52 liczb naturalnych istnieją dwie, których suma lub
różnica dzieli się przez 100. Czy twierdzenie to jest prawdziwe dla 51 liczb naturalnych?
22. Dany jest zbiór złożony z dziesięciu liczb naturalnych mniejszych od 107. Udowodnić, że
w tym zbiorze istnieją dwa niepuste podzbiory takie, że sumy liczb obu podzbiorów są
równe.
23. Niech X będzie 20-elementowym podzbiorem zbioru {1, 2, . . . , 70}. Udowodnić, że w zbiorze X znajdziemy cztery pary różnych liczb (x, y), których różnica jest taka sama.
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
7
24. Niech A będzie 10-elementowym podzbiorem zbioru {1, 2, . . . , 50}. Udowodnić, że A
zawiera dwa różne 4-elementowe podzbiory, mające równe sumy elementów.
25. Czy można znaleźć taką potęgę liczby 3, która kończyłaby się cyframi 0001 (w zapisie
dziesiętnym) ?
26. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje liczba podzielna przez n zapisana
w układzie dziesiętnym z pomocą tylko zer i jedynek.
27. Niech n będzie liczbą naturalną niepodzielną ani przez 2, ani przez 5. Udowodnić, że
istnieje liczba naturalna podzielna przez n, której zapis w układzie dziesiętnym wymaga
użycia wyłącznie cyfry 1 (3, 7, 9).
28. Niech a będzie liczbą naturalną niepodzielną ani przez 2, ani przez 5. Udowodnić, że dla
dowolnej liczby naturalnej n stnieje potęga naturalna liczby a, której zapis w układzie
dziesiętnym kończy się ciągiem cyfr 000
. . . 01} .
| {z
n
29. Wykazać, że istnieje liczba postaci 19931993 . . . 199300 . . . 0 podzielna przez 1994.
30. Niech n będzie liczbą naturalną. Dany jest zbiór złożony z k liczb naturalnych nie większych od n i k > n+1
. Udowodnić, że suma pewnych dwóch liczb tego zbioru jest równa
2
trzeciej.
31. Niech k bedzie liczbą naturalną i n = 2k−1 . Udowodnić, że spośród 2n−1 liczb naturalnych
można wybrac n liczb, takich że ich suma jest podzielna przez n.
32. Dane są liczby całkowite a1 , a2 , . . . , a11 . Udowodnić, że istnieje taki niezerowy ciąg
P
(x1 , x2 , . . . , x11 ) o wyrazach ze zbioru {−1, 0, 1} taki, że liczba xi ai jest podzielna przez
1989.
33. W pokoju, znajduje się (m − 1)n + 1 osób. Udowodnić, że można wśród nich znaleźć albo
m wzajemnie nie znających się osób, albo osobę znaną n osobom.
34. Udowodnić, że wśród dziewięciu osób można znaleźć trzy, które się wzajemnie znają lub
cztery, które wzajemnie się nie znają.
35. Niech a, b, c, d będą liczbami całkowitymi. Udowodnić, że iloczyn różnic (a − b)(a − c)(a −
d)(b − c)(b − d)(c − d) dzieli sie przez 12.
36. Niech (xn ) będzie takim ciągiem liczb naturalnych, że x1 oraz xn < xn+1 ≤ 2n dla
n = 1, 2, 3, . . . . Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej k istnieją liczby r i s, że
xr − xs = k.
37. W układzie współrzędnych zaznaczono 5 punktów kratowych. Udowodnić, że wśród
wszystkich odcinków o końcach w zaznaczonych punktach istnieje taki, którego środek
jest punktem kratowym.
38. Niech P1 , P2 , . . . , P9 będą punktami kratowymi przestrzeni 3 wymiarowej, przy czym
żadne trzy nie są współliniowe. Udowodnić, że istnieje punkt kratowy, który należy
do wnętrza pewnego odcinka Pi Pj .
8
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
39. Członkowie pewnego stowarzyszenia międzynarodowego pochodzą z 6 różnych krajów.
Lista członków zawiera 1978 nazwisk ponumerowanych liczbami 1, 2, . . . , 1978. Dowieść, że
pewien członek ma na liście numer równy sumie numerów dwóch członków pochodzących
z tego co on kraju lub równy podwojonemu numerowi członka również z tego kraju.
(Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna w 1978 roku)
40. Liczby od 1 do 101 zapisano w dowolnym porządku. Udowodnić, że można z tego ciągu
wykreślić 90 liczb w taki sposób, że pozostałe 11 liczb będzie tworzyć ciąg monotoniczny.
41. Grupa 41 studentów zaliczyła sesję składającą się z 3 egzaminów. Możliwe oceny: 5, 4,
3. Udowodnić, że co najmniej pięcioro studentów zaliczyło sesję z jednakowymi ocenami.
42. Udowodnić, że dla dowolnego podziału zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} na dwa podzbiory
przynajmniej w jednym z nich istnieją liczby x, y i z takie, że x + y = 2z.
43. Niech a, b, c będą różnymi liczbami naturalnymi. Udowodnić, że wsród liczb a, b, c, a +
b, b + c, a + b + c można znaleźć liczbę podzielną przez 3.
44. Niech A będzie 25-elementowym podzbiorem zbioru {1, 2, . . . , 150}. Udowodnić, że istnieją dwa różne dwuelementowe podzbiory zbioru A mające te same sumy.
Bibliografia
[1] Martin Aigner, Gunter M. Ziegler, Dowody z Księgi, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004.
[2] Victor Bryant, Aspekty kombinatoryki, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa
1997.
[3] Tadeusz Gerstenkorn, Tadeusz Śródka, Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa,
PWN, Warszawa 1974.
[4] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Matematyka konkretna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.
[5] Ralph P. Grimaldi, Discrete and combinatorial mathematics - An applied introduction,
Addison-Wesley Publishing Company.
[6] Leon Jeśmianowicz, Jerzy Łoś, Zbiór zadań z algebry, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa 1976.
[7] Donald E. Knuth, Sztuka programowania, t. 1-3, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003.
[8] Bohdan Korzan, Elementy teorii grafów i sieci, metody i zastosowania, WNT, Warszawa
1978.
[9] Witold Lipski, Kombinatoryka dla programistów, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1982.
[10] Witold Lipski, Wiktor Marek, Analiza kombinatoryczna, PWN, Warszawa 1986.
[11] Kenneth A. Ross, Charles R.B. Wright, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 2001.
[12] K. A. Rybnikow (red.), Analiza kombinatoryczna w zadaniach, PWN, Warszawa 1988.
[13] Robin J. Wilson, Wstęp do teorii grafów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.
9