Analiza funkcjonalna

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Karta opisu przedmiotu
Egzamin
ECTS
Bez specjalności
Seminarium
Dr Grzegorz Biernat
Projekt
Przedmiot dla specjalności:
Laboratorium
I stopnia
Prowadzący:
Ćwiczenia
Studia: Stacjonarne
Rok: Rok II, Semestr IV
Wykład
Kierunek: Matematyka
Analiza funkcjonalna
30
30
-
-
-
TAK
5
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
1. Wiedza z zakresu szeregów (przy szeregach w przestrzeniach unormowanych).
2. Wiedza z zakresu ciągłości funkcji (przy ciągłości funkcjonałów).
3. Wiedza z zakresu przestrzeni liniowej
4. Wiedza z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
CEL PRZEDMIOTU
C1. Zapoznanie studentów z przestrzeniami unormowanymi oraz z operatorami i funkcjonałami liniowymi.
C2. Zapoznanie studentów z przestrzeniami ciągów i przestrzeniami funkcyjnymi.
C3. Zapoznanie studentów z przestrzeniami euklidesowymi i unitarnymi.
C4. Zapoznanie studentów z przestrzeniami Hilberta, bazami ortonormalnymi w tych przestrzeniach oraz szeregami Fouriera.
Treści programowe - Wykład
W 1 – Przestrzenie unormowane. Ciągłość normy i działań liniowych. Przykłady.
W 2 – Przestrzenie Banacha. Przykłady.
W 3 – Szeregi w przestrzeniach unormowanych.
W 4 – Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe. Równoważność norm.
W 5 – Zbiory zwarte w przestrzeniach unormowanych. Lemat Riesza.
W 6– Przestrzenie euklidesowe i unitarne. Nierówność Schwarza. Ciągłość iloczynu skalarnego.
W 7– Przestrzenie Hilberta. Przykłady.
W 8 – Wektory ortogonalne. Twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie o rzucie ortogonalnym.
W 9 – Układy ortonormalne. Szereg Fouriera.
W 10– Nierówność Bessela i tożsamość Parsevala. Układy zupełne i zamknięte.
W 11 – Operatory liniowe ograniczone. Norma operatora.
W12–Przestrzeń operatorów liniowych ograniczonych.
W13 – Twierdzenie Banacha – Steinhausa i wnioski.
W 14 – Operator odwrotny. Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.
W 15 – Spectrum operatora liniowego ograniczonego.
Treści programowe - Ćwiczenia
C 1 – Bezpośrednie sprawdzanie równoważności norm.
C 2 – Dowodzenie nierówności Höldera.
C 3,C 4 – Sprawdzanie, czy dana przestrzeń ciągowa lub funkcyjna jest przestrzenią Banacha.
C 5 – Ośrodkowość wybranych przestrzeni.
C 6– Sprawdzanie, czy dana przestrzeń ciągowa lub funkcyjna jest przestrzenią Hilberta.
C 7 - kolokwium
C 8 – Wyznacznik Grama. Badanie jego własności.
C 9 – Obliczanie odległości punktu od hiperpłaszczyzny.
C 10 – Ortonormalizacja układów wektorów.
C 11– Układy ortonormalne w klasycznych przestrzeniach.
C 12 – Rozwijanie w szereg Fouriera funkcji jednej zmiennej.
C 13 – Zastosowanie tożsamości Parsevala do obliczania sum wybranych szeregów liczbowych.
C 14 – Obliczanie norm wybranych operatorów liniowych ograniczonych. Obliczanie wartości własnych wybranych operatorów liniowych
ograniczonych
C15 – kolokwium
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna. Monografie Matematyczne 49. PWN, Warszawa 1969
J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN, Warszawa 1989
W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej. PWN, Warszawa 1970.