zadania do samodzielnego rozwiązania

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna
8. Mocne prawo wielkich liczb – zadania do samodzielnego
rozwiązania
Zad. 8.1 Niech X1 , X2 , ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym E(2). Oblicz granicę prawie wszędzie ciągu
Pn
2
i=1 Xi
Pn
i=1 Xi
Yn =
.
Zad. 8.2 Niech X1 , X2 , ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie jednostajnym na odcinku (− π2 , π2 ]. Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciągu
Pn
(Xi + 1)2
.
i=1 cos(Xi )
Yn = Pi=1
n
Zad. 8.3 Niech X1 , X2 , ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych na odcinku (1, 3). Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciągu
Yn = (
2n
Y
(−1)k+1
Xk
1
)n .
k=1
Zad. 8.4 Zmienne X1 , X2 , ... są niezależne i mają rozkład wykładniczy z gęstością
f (x) = 2e−2x I(0,∞) (x). Zbadaj zbieżność P -p.w. ciągu
Pn
max(X2i , X2i−1 )
.
k=1 (X2i + X2i−1 )
k=1
Yn = P
n
Zad. 8.5 Niech X1 , X2 , ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych z parametrem 1. Zbadaj zbieżność ciągu
Pn
e−Xk
.
k=1 Xk
Yn = Pk=1
n
Zad. 8.6 Znajdź granicę prawie wszędzie ciągu
n
1X
(−1)i+1 Xi ,
Yn =
n i=1
gdzie {Xi }i∈N są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach dwumianowych
B(10, 14 ).
Zad. 8.7 X1 , X2 , X3 , . . . jestciągiem
niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jedπ π
nostajnym na odcinku − 4 , 4 . Zbadaj zbieżność P -prawie wszędzie ciągu
Yn =
n
n
X
1 X
·
tg
X
·
Xk2 .
k
n2 k=1
k=1
Zad. 8.8 X1 , X2 , X3 , . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym z parametrem p = 12 . Zbadaj zbieżność P -prawie wszędzie ciągu
n
π
1X
cos
Xk .
n k=1
2
Yn =
Zad. 8.9 X1 , X2 , X3 , . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym z parametrem p. Zbadaj zbieżność P -prawie wszędzie ciągu
Yn =
n
1X
e−Xk .
n k=1
Zad. 8.10 Niech X1 , X2 , ... oraz Y1 , Y2 , ... są dwoma ciągami niezależnych zmiennych losowych o rozkładach odpowiednio E(2) i dyskretnym zadanym następująco:
P (Yi = −1) = 1/2, P (Yi = 0) = 1/3, P (Yi = 1) = 1/6.
Dodatkowo dla każdego i zmienne Xi , Yi są niezależne. Wyznacz granicę P -prawie
wszędzie i według prawdopodobieństwa ciągu
Pn
Zn = Pn
i=1
Xi Yi
.
+ Yi2 )
2
i=1 (Xi
Zad. 8.11 Oblicz granicę
Z 1q
1 Z1
lim √
.
.
.
x21 + . . . + x2n dx1 . . . dxn .
n→∞
n 0
0
Zad. 8.12 Oblicz granicę
lim
n→∞
Z π
1 Zπ
.
.
.
(sin x1 + sin x2 + . . . + sin xn ) dx1 . . . dxn .
nπ n 0
0