procedura doboru łożysk tocznych uwzględniająca

6-2011
TRIBOLOGIA
133
Michał LIBERA*
PROCEDURA DOBORU ŁOŻYSK TOCZNYCH
UWZGLĘDNIAJĄCA ROZRZUT
POWIERZCHNIOWEJ TRWAŁOŚCI
ZMĘCZENIOWEJ
THE PROCEDURE OF BEARING SIZE SELECTION,
TAKING INTO CONSIDERATION THE SCATTER
OF ROLLING CONTACT FATIGUE LIFE
Słowa kluczowe:
łożyska toczne, powierzchniowa trwałość zmęczeniowa
Key words:
roller bearings, rolling contact fatigue life
Streszczenie
W artykule podjęto próbę wykazania, iż w kontekście rozrzutu powierzchniowej trwałości zmęczeniowej niewłaściwy wydaje się proponowany przez wszystkich producentów sposób określania wartości
współczynnika niezawodności a1, obecnego we wzorze na trwałość modyfikowaną łożysk tocznych.
*
Politechnika Poznańska, Instytut Maszyn Roboczych i Pojazdów Samochodowych,
ul. Piotrowo 3, 60-965 Poznań, tel. (61) 665 22 23, e-mail: [email protected].
134
TRIBOLOGIA
6-2011
Zatem zaproponowano zmiany w procedurze obliczeniowej, mające
na celu pełniejsze ujęcie zjawiska rozrzutu powierzchniowej trwałości
zmęczeniowej i w konsekwencji zoptymalizowanie rozmiarów węzłów
tocznych oraz większe wykorzystanie ich potencjału – co winno pociągnąć za sobą lepsze wykorzystanie surowców i nakładów pracy potrzebnych do produkcji elementów łożysk.
WPROWADZENIE
Obecna procedura doboru łożysk do węzłów tocznych maszyn, będąca
efektem wieloletnich prac, doświadczenia producentów, konstruktorów
i naukowców, wykazała się skutecznością w niezliczonych aplikacjach.
Opiera się ona na założeniu, że węzły toczne tracą swą zdatność do dalszej eksploatacji na skutek cyklicznie zmiennych naprężeń, powstających
w warstwie wierzchniej współpracujących elementów, a prowadzących
do zmęczenia powierzchniowego i w efekcie do zużycia przez pitting lub
spalling.
Jednocześnie procedura ta w niewystarczającym stopniu uwzględnia
fundamentalną cechę zjawiska zmęczenia powierzchniowego – mianowicie rozrzut powierzchniowej trwałości zmęczeniowej.
OBECNA PROCEDURA DOBORU ŁOŻYSK TOCZNYCH
Historia obliczania trwałości łożysk rozpoczęła się ponad 60 lat temu,
kiedy Gustaf Lundberg z Instytutu Technologii Chalmers i Arvid Palmgren z firmy produkującej łożyska SKF AB zastosowali teorię prawdopodobieństwa Weibulla [L. 1, 2] dotyczącą zmęczenia materiału do
wyznaczania trwałości łożysk tocznych. Ich fundamentalne prace z lat
1947–1951 [L. 3, 4] dotyczące wewnętrznego rozkładu naprężeń, obciążeń równoważnych i statystycznego rozkładu trwałości łożysk
ukształtowały podstawy norm ANSI/ABMA i ISO opisujących trwałość
łożysk i dały początek katalogom producentów łożysk tocznych.
Pierwsza przyjęta przez ISO w 1962 roku metoda obliczania trwałości łożyska przedstawiona w normie ISO 281 [L. 5] (oraz w normach
ABMA 9 i 11) jest reprezentowana przez równanie nominalnej trwałości:
6-2011
TRIBOLOGIA
C 
L10 =  
P
135
p
(1)
gdzie:
L10
C
P
p
–
–
–
–
trwałość nominalna [mln obr.],
nominalna nośność dynamiczna,
równoważne obciążenie dynamiczne łożyska,
wykładnik równania trwałości (p = 3 dla łożysk kulkowych i p = 10/3 dla łożysk wałeczkowych).
Ponieważ trwałość pojedynczego łożyska może być przewidywana
tylko statystycznie, obliczenia trwałości odnoszą się do całej populacji
łożysk i założonego poziomu niezawodności. Trwałość nominalna L10
wyznacza teoretyczną trwałość, którą osiągnie 90% łożysk.
Rozwój wiedzy o zjawisku zmęczenia powierzchniowego pociągnął
za sobą konieczność nowelizacji normy ISO 281 i wprowadzenia równania trwałości zmodyfikowanej (2), uwzględniającego [L. 6]:
– współczynnik niezawodności (w celu skorygowania trwałości dla zastosowań wymagających niezawodności większej niż 90%),
– współczynnik korekcyjny uwzględniający warunki smarowania i zanieczyszczenie łożyska (ISO 4406),
– granicę wytrzymałości zmęczeniowej materiału (wynikającą z modelu
Ioanidesa i Harrisa [L. 7]).
Lna = a1a ISO L10
(2)
gdzie:
Lna – trwałość nominalna dla niezawodności n% (trwałość modyfikowana),
L10 – trwałość nominalna dla niezawodności 90%,
a1 – współczynnik niezawodności (dla niezawodności 90%,
a1 = 1),
aISO – współczynnik modyfikacji trwałości wg producenta.
Wszyscy producenci podobnymi równaniami wyrażają trwałość modyfikowaną, co przedstawiono w poniższej tabeli.
Parametr a1 u wszystkich producentów jest współczynnikiem niezawodności, a tabela z jego wartościami jest taka sama we wszystkich katalogach (Tab. 2). Pozostałe współczynniki ujmują warunki smarowania,
zanieczyszczenia, właściwości materiałowe itp.
136
TRIBOLOGIA
6-2011
Tabela 1. Równania trwałości modyfikowanej wg różnych producentów łożysk
tocznych
Table 1. Adjusted rating life equations for various manufacturers
Producent
SKF
Complex
Timken
FAG
KOYO
NSK
Równanie trwałości
modyfikowanej
Lna = a1 · a23 · L10
Lna = a1 · a23roz · L10
Lna = a1 · a2 · a3 · a4 · L10
Lna = a1 · a2311 · L10
Lna = a1 · a2 · a3 · L10
Lna = a1 · a23 · L10
Źródło
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
Numer
równania
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Tabela 2. Wartości współczynnik niezawodności a1
Table 2. Values of life adjustment factor a1
Niezawodność φ %
Lna
a1
90
L10a
1
95
L5a
0,62
96
L4a
0,53
97
L3a
0,44
98
L2a
0,33
99
L1a
0,21
W praktyce rzeczywista trwałość eksploatacyjna często znacznie różni się od obliczonej trwałości [L. 6, 14]. Punkty na Rys. 1, ilustrujące
rzeczywiste trwałości łożysk, pozornie są dość bliskie krzywym obliczeniowym – jednak uwzględniając fakt, iż oś rzędnych ma skalę logarytmiczną, trzeba stwierdzić, że rzeczywiste wartości trwałości różnią się od
obliczeniowych nawet kilkudziesięciokrotnie. Różnice te są naturalną
konsekwencją rozrzutu trwałości, zatem warto go ująć w procedurze obliczeniowej.
Rys. 1. Rzeczywiste trwałości łożysk na tle krzywych ilustrujących wartości obliczeniowe (SKF [L. 14])
Fig. 1. Overview of experimental L10 bearing lives from endurance testing [L. 14]
6-2011
TRIBOLOGIA
137
OPIS MATEMATYCZNY ROZRZUTU POWIERZCHNIOWEJ
TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ
W roku 1939 profesor Royal Technical University w Sztokholmie, Walodie Weibull, opublikował postać funkcji zawodności (dystrybuanty),
która jest stosowana do dziś w odniesieniu do elementów maszyn pracujących w warunkach cyklicznie zmiennych obciążeń kontaktowych, których trwałość warunkowana jest zmęczeniem powierzchniowym. Można
ją zapisać [L. 2]:
  t − E B 
F (t ) = 1 − exp − 
 
  A  
(9)
gdzie:
F(t) – dystrybuanta rozkładu Weibull’a (określająca prawdopodobieństwo zmęczeniowego zniszczenia elementu do
czasu t),
A – parametr skali,
B – parametr kształtu,
E – parametr progowy (dla rozkładu dwuparametrowego
E = 0).
Znając parametry A, B i E dla badanych elementów, można obliczyć
trwałości umowne:
1

B
1
 +E
Li = A ln

 1 − F ( Li ) 
(10)
gdzie:
Li – trwałość umowna (np. L10, L50, L90),
A – wartość dystrybuanty dla trwałości Li (F(L10) = 0,1,
a F(L90) = 0,9).
Przyjmując, iż powierzchniowa trwałość zmęczeniowa jest opisywana dwuparametrowym rozkładem Weibulla (co jest niestety powszechnym uproszczeniem) oraz iż miarą rozrzutu trwałości łożysk tocznych
jest [L. 15]:
R=
L90
L10
(11)
138
TRIBOLOGIA
6-2011
wyrażenie na rozrzut trwałości ma postać:
1

B
1

A ln
1 − F (L90 ) 

R=
1

B
1

A ln
 1 − F (L10 ) 
(12)
A więc w przybliżeniu:
R ≈ B 21,93
(13)
Zatem rozrzut trwałości w rozkładzie Weibulla jest ujęty parametrem B.
MODYFIKACJA WSPÓŁCZYNNIKA NIEZAWODNOŚCI
W CELU UWZGLĘDNIENIA ROZRZUTU TRWAŁOŚCI
ZMĘCZENIOWEJ
Jak wynika z wzoru (2), współczynnik niezawodności a1 ma zasadnicze
znaczenie dla trwałości modyfikowanej Lna. Z analizy zależności między
rozkładem Weibulla, modelami trwałości zmęczeniowej i równaniami
trwałości wynika, że podawane w katalogach łożysk tocznych wartości
współczynnika a1 są prawdziwe tylko przy założeniu, że (ujmujący rozrzut trwałości) parametr kształtu B rozkładu Weibulla dla dobieranych
łożysk będzie wynosił 1,5.
Założenie to często nie jest spełnione, bo np. w modelu Lunberga
i Palmgrena [L. 3] zakłada się, że parametr B ma wartość 9/8 dla styku
liniowego oraz 10/9 dla styku punktowego (a więc odpowiednio: 1,125
i 1,111).
Najmniejsza, odnotowana w przeanalizowanych zbiorach wyników
badań trwałości ponad dwóch tysięcy łożysk tocznych i ich elementów
wartość parametru B wyniosła 0,425 – natomiast największa 6,443,
a średnia dla wszystkich zbiorów 1,654. Wartości wskaźnika niezawodności a1 dla tych przykładowych wartości parametru B, obliczone przy
założeniu rozkładu Weibulla, zawarto w Tab. 3.
6-2011
Tabela 3.
Table 3.
TRIBOLOGIA
139
Wartości współczynnika niezawodności a1 dla różnych wartości parametru B
Values of life adjustment factor a1 for various values of shape parameter B
Najmniejsza odnotowana
wartość
Styk punktowy wg modelu
Lunberga i Palmgrena
Styk liniowy wg modelu
Lunberga i Palmgrena
Wartości a1 prezentowane
w katalogach ŁT
Średnia wartość dla analizowanych wyników
Największa odnotowana
wartość
90
L10M
Niezawodność φ [%]
95
96
97
98
L5M L4M L3M L2M
99
L1M
B = 0,425
1,00
0,18
0,11
0,05
0,02
0,00
B = 1,111
1,00
0,52
0,43
0,33
0,23
0,12
B = 1,125
1,00
0,53
0,43
0,33
0,23
0,12
B = 1,500
1,00
0,62
0,53
0,44
0,33
0,21
B = 1,654
1,00
0,65
0,56
0,47
0,37
0,24
B = 6,443
1,00
0,89
0,86
0,82
0,77
0,69
Tak więc warto rozbudować tabelę podawaną w katalogach (Tab. 2)
o wartości współczynnika niezawodności a1 dla różnych wartości parametru B – a więc dla łożysk o różnym rozrzucie trwałości. Ponadto pożądane byłoby uzupełnienie informacji dotyczących łożysk o określonych
typowymiarach, także o wartość parametru B. Przedsięwzięcie nie wydaje
się bardzo kłopotliwe, ponieważ producent zna wartość B dla każdego
typowymiaru łożyska, choćby z wieloletnich badań kontrolnych trwałości
i konieczności wyznaczenia tego parametru w procesie szacowania nośności dynamicznej danego łożyska, która jest zawarta w katalogach.
PODSUMOWANIE
Podawane w katalogach wartości współczynnika niezawodności a1 są
prawdziwe tylko przy założeniu, że parametr kształtu B rozkładu Weibulla dla dobieranych łożysk będzie wynosił 1,5. Uwzględniając związek
parametru B z rozrzutem trwałości, oznacza to nieprawdziwe założenie,
iż ów rozrzut jest stały dla wszystkich rodzajów łożysk, produkowanych
przez różnych producentów.
140
TRIBOLOGIA
6-2011
W związku z powyższym, zachowując zasadnicze równanie trwałości
modyfikowanej łożysk, warto podjąć badania zmierzające do identyfikacji determinant rozrzutu powierzchniowej trwałości zmęczeniowej
i wykorzystać zdobytą wiedzę w procedurze doboru łożysk tocznych.
W perspektywie celowe wydają się także badania nad inną pomijaną
w procedurze doboru łożysk tocznych cechą zmęczenia powierzchniowego – mianowicie nad istnieniem pewnej minimalnej liczby cykli pracy,
przed którą nie nastąpi inicjacja pęknięcia zmęczeniowego (wielkość tę
nazwać można początkowym okresem bezawaryjnej pracy).
LITERATURA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Weibull W.: A statistical theory of the strength of materials.
Ingeniörsvetenskapsakademiens, Handlingar Nr 151, Generalstabens
Litografiska Anstalts Förlag, Stockholm 1939.
Weibull W.: A statistical distribution function of wide applicability, Journal of Applied Mechanics, 1951, no 18.
Lundberg G. and Palmgren A.: Dynamic Capacity of Rolling Bearings,
Acra Polytech, Mechanical Engineering Series, Vol. 1, No. 3, 7,
R.S.A.E.E., Stockholm, Sweden (1947).
Palmgren A.: Łożyska toczne, PWT, Warszawa 1951.
Polski Komitet Normalizacyjny „Łożyska toczne. Nośność dynamiczna
i trwałość PN-ISO 281”, Wydawnictwa Normalizacyjne 1998.
Snyder D.R.: Obliczenia trwałości łożysk tocznych. SKF Industrial
Division, SKF USA Inc. www.skfusa.com.
Ioannides E., Harris T.A.: A new fatigue life model for rolling bearings.
ASME Journ. Tribol., Vol. 107, 1985, s. 367–378.
SKF Katalog główny, 1991.
Katalog CX, Delta Marketing Sp. Z o.o. 2005.
Katalog firmy Timken „Zastosowanie łożysk w samochodach”, Warszawa
1990.
FAG Łożyska toczne, FAG OEM und Handel AG, 1997.
KOYO Hanbuch der Walzlagertechnik, Hamburg 1987.
NSK Kugellager Rollenlager, 1991.
SKF: The SKF formula for rolling bearing life. Evolution 1/2001.
Waligóra W.: Miara rozrzutu trwałości zmęczeniowej łożysk tocznych.
Problemy Eksploatacji, nr 4/1997 s. 573–583.
Recenzent:
Stanisław ADAMCZAK
6-2011
TRIBOLOGIA
141
Summary
This paper shows that the adjusted rating life equations, which are
using in bearing size selection, do not take into consideration the
scatter of rolling contact fatigue life. It is stated that the scatter of
bearing life is included in shape parameter of Weibull distribution.
Consequently, a choice of the values of life adjustment factor a1, in
the adjusted rating life equation, should depended on shape
parameter B.