Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi

Podróże po Imperium Liczb
Część 9
Sześciany, bikwadraty
i wyższe potęgi
Andrzej Nowicki
Wydanie drugie uzupełnione i rozszerzone
Olsztyn, Toruń, 2012
Spis treści
Wstęp
1
1 Sześciany
1.1 Cyfry sześcianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Lustrzane odbicia sześcianów . . . . . . . . . . . .
1.3 Cyfry sześcianów w różnych systemach numeracji
1.4 Sumy cyfr sześcianów . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Końcowe cyfry sześcianów . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Własności sześcianów . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Istnienie lub nieistnienie pewnych sześcianów . . .
1.8 Różnice dwóch sześcianów . . . . . . . . . . . . .
1.9 Odwrotności sześcianów . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Różne fakty i zadania z sześcianami . . . . . . . .
2 Sumy sześcianów
2.1 Sumy dwóch sześcianów liczb całkowitych . . . . .
2.2 Sumy dwóch sześcianów - różne rozkłady . . . . .
2.3 Równanie x3 + y3 = z3 . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Równanie x3 + y3 = zn . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Sumy dwóch sześcianów i kolejne liczby naturalne
2.6 Sumy dwóch sześcianów i liczby wymierne . . . .
2.7 Sumy trzech sześcianów . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Równanie x3 + y3 + z3 = a . . . . . . . . . . . .
2.9 Równanie x3 + y3 + z3 = t3 . . . . . . . . . . . .
2.10 Równanie x3 + y3 + z3 = mxyz . . . . . . . . . .
2.11 Liczby postaci a3 + b3 + c3 - 3abc . . . . . . . .
2.12 Sumy czterech i więcej sześcianów . . . . . . . . .
2.13 Sumy n sześcianów . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14 Sumy sześcianów kolejnych liczb całkowitych . . .
2.15 Sumy sześcianów w różnych systemach numeracji
2.16 Sumy i sześciany . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Krzywe eliptyczne
3.1 Struktura grupowa zbioru E(k) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Podstawowe fakty o krzywych eliptycznych . . . . . . . . . .
3.3 Równoliczność zbiorów związanych z krzywymi eliptycznymi
3.4 Liczba punktów nad ciałami skończonymi . . . . . . . . . . .
3.5 Krzywe eliptyczne postaci y2 = x3 + a . . . . . . . . . . . .
3.6 Krzywe eliptyczne postaci y2 = x3 + ax . . . . . . . . . . . .
3.7 Krzywa y2 = x3 - x + m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Równanie my2 = ax3 + bx2 + cx + d . . . . . . . . . . . . .
3.9 Równanie ay2 + by +c = dx3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Różne fakty i zastosowania krzywych eliptycznych . . . . . .
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
6
7
8
9
12
13
14
15
15
17
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
19
22
22
23
24
25
27
29
31
31
33
35
36
39
39
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
42
44
45
46
52
54
55
56
56
4 Równania diofantyczne trzeciego stopnia
4.1 Równania ax3 + by3 = c . . . . . . . . . . . . .
4.2 Równania trzeciego stopnia dwóch zmiennych .
4.3 Równania ax2 + by2 = cz3 . . . . . . . . . . . .
4.4 Równania ax3 + by3 = cz3 . . . . . . . . . . . .
4.5 Równania trzeciego stopnia trzech zmiennych . .
4.6 Równania trzeciego stopnia czterech zmiennych
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
57
59
60
61
62
64
5 Bikwadraty
5.1 Cyfry bikwadratów . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Sumy dwóch bikwadratów . . . . . . . . . .
5.3 Sumy trzech bikwadratów . . . . . . . . . . .
5.4 Sumy czterech i więcej bikwadratów . . . . .
5.5 Dodatkowe fakty i zadania o bikwadratach .
5.6 Równanie ax4 + by2 = c . . . . . . . . . . .
5.7 Równanie ax4 + by4 = cz2 . . . . . . . . . .
5.8 Równanie ax4 + bx2 y2 + cy4 = dz2 . . . . .
5.9 Różne równania diofantyczne 4-tego stopnia
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
65
66
68
69
71
71
72
74
77
78
6 Piąte i wyższe potęgi
6.1 Piąte potęgi . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Równania diofantyczne 5-tego stopnia
6.3 Szóste potęgi . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Siódme potęgi . . . . . . . . . . . . .
6.5 Ósme potęgi . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Dziewiąte potęgi . . . . . . . . . . . .
6.7 Dziesiąte i wyższe potęgi . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81
81
84
85
87
89
90
90
7 Dowolne potęgi
7.1 Potęgi i postępy arytmetyczne . . . . . . . . . . . . .
7.2 Sumy n-tych potęg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Problem Waringa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Potęgi oraz trójki i czwórki liczb naturalnych . . . . .
7.5 Równanie f(x,y) = m. Twierdzenia Thuego i Mordella
7.6 Równania diofantyczne dowolnych stopni . . . . . . .
7.7 Liczby pełnopotęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Ciągi i zbiory liczb potęgowych . . . . . . . . . . . . .
7.9 Różne fakty i zadania o liczbach potęgowych . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
93
93
95
98
98
100
101
102
104
106
8 Problemy Prouhet-Tarry-Escotta
8.1 Sformułowanie problemu, oznaczenia i
8.2 Równoważne sformułowania . . . . .
8.3 Twierdzenia o PTE-parach . . . . . .
8.4 PTE-pary stopnia 2 . . . . . . . . . .
8.5 PTE-pary stopnia 3 . . . . . . . . . .
8.6 PTE-pary stopnia 4 . . . . . . . . . .
8.7 PTE-pary stopnia 5 . . . . . . . . . .
8.8 PTE-pary stopni większych od 5 . . .
8.9 PTE-pary i rozbicia zbiorów . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109
109
110
111
113
117
119
120
121
122
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
historia
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8.10 Różne zadania stowarzyszone z PTE problemami . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9 Równania wykładnicze
9.1 Równanie xm − y n = 1 . . .
9.2 Równanie ax − by = c . . . .
9.3 Równanie ax + by = cz . . .
9.4 Różne równania wykładnicze
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
125
125
127
128
129
10 Potęgi w pierścieniach Zm
10.1 Liczby γs (n) . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Okresowość funkcji γ . . . . . . . . . . . .
10.3 Elementy postaci xs w ciałach Zp . . . . .
10.4 Elementy postaci xs w pierścieniach Zpn . .
10.5 Sumy elementów postaci xs w pierścieniach
10.6 Wielkie Twierdzenie Fermata w Zn . . . .
10.7 Różne fakty i zadania o potęgach w Zm . .
. .
. .
. .
. .
Zm
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
131
131
132
134
135
136
138
138
11 Sześciany w pierścieniach Zm
11.1 Sześciany w ciałach Zp . . .
11.2 Sześciany w pierścieniach Z2n
11.3 Sześciany w pierścieniach Z3n
11.4 Sześciany w pierścieniach Zpn
11.5 Różności o sześcianach w Zm
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
139
139
140
142
142
144
w pierścieniach Zm
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
147
147
149
150
151
152
153
153
12 Bikwadraty, piąte potęgi,. . .
12.1 Bikwadraty w Zm . . . .
12.2 Piąte potęgi w Zm . . . .
12.3 Szóste potęgi w Zm . . .
12.4 Siódme potęgi w Zm . . .
12.5 Ósme potęgi w Zm . . . .
12.6 Dziewiąte potęgi w Zm .
12.7 Dziesiąte potęgi w Zm . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Spis cytowanej literatury
154
Skorowidz nazwisk
161
Skorowidz
164
iii