Mechanika II Lista zadań 4

Mechanika II Lista zadań 4
Drgania punktu materialnego
4.1
4.2
Znaleźć równanie ruchu układu ciężarów D i E o masach mD i mE,
odnosząc ich ruch do osi Ox. Początek układu przyjąć w położeniu
spoczynku układu ciężarów D i E (przy statycznym ugięciu
sprężyn). Pręt łączący ciężary uważać za nieważki i
nieodkształcalny.
Ciężar D (mD=2kg) jest zamocowany do belki AB podwieszonej na
dwóch jednakowych, równoległych sprężynach o sztywności
c=300N/m każda. Punkt zamocowania ciężaru D znajduje się w
jednakowych odległościach od osi sprężyn. W pewnej chwili do
ciężaru D zostaje podwieszony ciężar E (mE=1kg). Opór ruchu
układu dwóch ciężarów jest proporcjonalny do prędkości R=12v (w
N), przy czym v jest prędkością wyrażoną w m/s. Masę belki AB i
masę części tłumika przymocowanego do belki pominąć
Znaleźć równanie ruchu ciężaru D o masie mD odnosząc jego ruch
do osi Ox. Początek układu przyjąć w położeniu spoczynku ciężaru
D (przy statycznym ugięciu sprężyn). Pręt łączący ciężary uważać
za nieważki i nieodkształcalny.
W chwili, kiedy pręt łączący ciężary D (mD=1 kg) i E (mE=2 kg)
przetniemy, punkt B (górny koniec kolejno łączonych sprężyn)
zaczyna wykonywać ruch według prawa =0,015sin18t (w m). Oś 
jest skierowana pionowo w dół. Współczynniki sztywności sprężyn:
c1=1200N/m, c2=3600N/m
Uwaga: Położenie początkowe punktu na osi x odpowiada
średniemu położeniu punktu B (=0)
4.3
Znaleźć równanie ruchu układu ciężarów D i E o masach mD i mE,
odnosząc ich ruch do osi Ox. Początek układu przyjąć w położeniu
spoczynku układu ciężarów D i E (przy statycznym ugięciu
sprężyn). Pręt łączący ciężary uważać za nieważki i
nieodkształcalny.
Do ciężaru D (mD=1,6 kg) wiszącego na sprężynie o sztywności
c=400N/m podwieszono ciężar E (mE=2,4 kg). Punkt B (górny
koniec sprężyny) zaczyna wykonywać ruch według prawa
=0,02sin5t (w m) (oś skierowana jest pionowo w dół). Uwaga:
Położenie początkowe punktu na osi x odpowiada średniemu
położeniu punktu B (=0)
4.4
Znaleźć równanie ruchu ciężaru D o masie m po gładkiej
płaszczyźnie tworzącej z poziomem kąt . Zakłada się, że od chwili
styku ciężaru ze sprężyną lub podczas dalszego ruchu ciężar nie
oddziela się od sprężyny. Ruch ciężaru odnieść do osi x, przyjmując
za punkt początkowy położenie ciężaru w stanie spoczynku (przy
statycznym ugięciu sprężyny).
Ciężar D (m=1,2 kg) wykonuje ruch bez prędkości początkowej po
płaszczyźnie nachylonej do poziomu pod kątem =30o i z
odległości s=0,2m uderza o nieodkształconą sprężynę o sztywności
c=480 N/m. W tej samej chwili (t=0) punkt B (dolny koniec
sprężyny), zaczyna wykonywać w kierunku pochylenia płaszczyzny
ruch według prawa =0,03sin12t (w m). Oś  jest skierowana w
kierunku pochylenia płaszczyzny. Położenie początkowe punktu na
osi x odpowiada średniemu położeniu punktu B (=0)
4.5
4.6
Znaleźć równanie ruchu ciężaru D o masie m po gładkiej
płaszczyźnie tworzącej z poziomem kąt . Zakłada się, że od chwili
styku ciężaru ze sprężyną lub podczas dalszego ruchu ciężar nie
oddziela się od sprężyn. Ruch ciężaru odnieść do osi x, przyjmując
za punkt początkowy położenie ciężaru w stanie spoczynku (przy
statycznym ugięciu sprężyn).
Ciężar D (m=1 kg) jest przymocowany do środka belki AB, której
końce są połączone z dwoma jednakowymi równoległymi
sprężynami, nie posiadając prędkości początkowej sprężyny są
nieodkształcone. Współczynniki sztywności sprężyn c=150 N/m.
Opór ruchu ciężaru jest proporcjonalny do prędkości R=8v (w N),
przy czym v – prędkość (w m/s), =60o. Masę belki AB i
przymocowanej do niej części tłumika pominąć.
Pomijając masę płyty i uważając ją za doskonale sztywną znaleźć
równanie ruchu ciężaru D o masie m z chwilą zetknięcia się go z
płytą zakładając, że podczas dalszego ruchu ciężar nie oddziela się
od płyty. Ruch ciężaru odnieść od osi x, przyjmując za punkt
początkowy położenie spoczynku (przy statycznym ugięciu
sprężyn).
Płyta leży na dwóch równoległych sprężynach o sztywnościach c1=
60000N/m i c2=40000N/m. Ciężar D (m=50 kg) spada bez
prędkości początkowej z wysokości h=0,1m w punkcie F
znajdującym się w odległościach a i b od osi sprężyn; a:b=c2:c1.
4.7
Na nieważkim pręcie OB, zawieszonym obrotowo w punkcie O,
pomocowano w punkcie A ciężar D o masie mD=3 kg. W punkcie A
przymocowano układ sprężyn o stałych C1=C2=800N/m,
C3=4800N/m. W punkcie B pręta przymocowano sprężynę oraz
tłumik wiskotyczny generujący siłę oporu R=24v [N], przy czym v
– prędkość (w m/s). W położeniu równowagi statycznej sprężyny są
nieodkształcone. W pewnej chwili masę D wychylono z położenia
równowagi o 0,02 m w lewo i puszczono bez prędkości
początkowej.
Znaleźć równania ruchu ciała D. Uwzględnić tzw. zakres małych
drgań.
4.8
Na nieważkim pręcie OB, zawieszonym obrotowo w punkcie O,
pomocowano w punkcie B ciężar D o masie mD=1.4 kg. W punkcie
A przymocowano układ sprężyn o stałych C1=C2=900N/m,
C3=1800N/m. W położeniu równowagi statycznej sprężyny są
nieodkształcone. W pewnej chwili masę D wychylono z położenia
równowagi o 0,03 m w lewo i puszczono bez prędkości
początkowej. Jednocześnie na punkt D zaczęła działać siła
P=6sin(8t) [N]. Znaleźć równania ruchu ciała D. Uwzględnić tzw.
zakres małych drgań.