metody hamiltonowskie w mechanice płynów

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
41, s. 135-142, Gliwice 2011
ISSN 1896-771X
METODY HAMILTONOWSKIE
W MECHANICE PŁYNÓW
ANDRZEJ ICHA
Instytut Matematyki, Akademia Pomorska w Słupsku
e-mail: [email protected]
Streszczenie. Praca dotyczy hamiltonowskiego sformułowania wybranych
zagadnień mechaniki płynów. Krótko przedstawiono podstawowe fakty z zakresu
mechaniki układów o skończonej liczbie stopni swobody w ujęciu
lagranżowskim, hamiltonowskim i symplektycznym. Następnie uogólniono ten
formalizm na przypadek układów ciągłych (cieczy) i w charakterze przykładu,
zaprezentowano hamiltonowskie ujęcie niejednorodnego, stratyfikowanego
termicznie i zasoleniowo przepływu geofizycznego w przybliżeniu „płytkiej
wody".
l. WSTĘP
Z punktu widzenia jakościowej teorii układów dynamicznych ciecze należą do kategorii
nieskończenie wymiarowych dyssypatywnych układów dynamicznych, generowanych przez
układy nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych. Inną kategorię układów
dynamicznych tworzą układy zachowawcze, dla których istnieje dobrze ugruntowany aparat
matematyczny, - w szczególności tzw. formalizm hamiltonowski, którego znaczenie daleko
wybiega poza obszar klasycznej mechaniki teoretycznej [1]. Kluczowym narzędziem
w metodzie Hamiltona okazała się transformacja Legendre'a, dzięki której nadano mechanice
układów o skończonej liczbie stopni swobody przejrzysty, geometryczny charakter.
Pierwsze prace dotyczące hamiltonowskiej struktury przepływów cieczy doskonałej
(idealnej) opisywanej równaniami Eulera, należą do Arnolda (zob. [2]), jednak dopiero w
latach osiemdziesiątych ub. wieku zauważono nowe możliwości matematycznego opisu
przepływów astro- i geofizycznych przy wykorzystaniu stosownie uogólnionego na
przypadek ośrodków ciągłych, formalizmu hamiltonowskiego. Dotyczą one sytuacji
fizycznych, w których wymuszenia zewnętrzne („forcing”) i procesy dyssypacyjne odgrywają
relatywnie niewielką rolę w opisie ruchów cieczy i można je traktować jako ściśliwe lub
nieściśliwe, dwu- lub trójwymiarowe nielepkie przepływy znajdujące się w stanach
zbilansowanych, np. w stanach geostroficznej równowagi. Zagadnieniom tym poświęcono w
ostatnim trzydziestoleciu wiele prac, których reprezentatywny przegląd można znaleźć np. w
monografii [3].
Celem pracy jest krótka prezentacja hamiltonowskiego sformułowania mechaniki cieczy
i wykorzystanie tego formalizmu do opisu niejednorodnego, stratyfikowanego termicznie
i zasoleniowo przepływu geofizycznego w przybliżeniu „płytkiej wody". Przedstawiony
przykład uogólnia rezultat otrzymany w pracy [4]. Inne aspekty rozpatrywanego zagadnienia,
związane z magnetohydrodynamicznymi przepływami cieczy w przybliżeniu „płytkiej wody",
rozważono m.in. w pracy [5].
136
A. ICHA
2. UKŁADY MATERIALNE O SKOŃCZONEJ LICZBIE STOPNI SWOBODY
W mechanice teoretycznej, w celu opisu układu punktów materialnych o skończonej
liczbie stopni swobody, wykorzystuje się dwa rodzaje przestrzeni stanów: newtonowską
i hamiltonowską. Pierwsza z nich składa się z położeń q = (qi) i prędkości q& = (q&i ) , i = 1,...,n
(kropka oznacza różniczkowanie po czasie), a druga (przestrzeń fazowa) powstaje przez
dołączenie do przestrzeni konfiguracyjnej, pędów kanonicznych p = (pi), i = l,...,n.
Oddziaływania w przestrzeni newtonowskiej scharakteryzowane są przez funkcję Lagrang’a
L = L(q, q& , t ) a dynamika układu jest określona przez zasadę stacjonarnego działania
Hamiltona, zgodnie z którą ekstremalne własności funkcjonału
(1)
zwanego działaniem, charakteryzują rzeczywisty ruch układu w przedziale czasu [t1,t2].
Zasada Hamiltona prowadzi do układu równań Eulera-Lagrange'a problemu wariacyjnego (l)
[6]
(2)
Przejście od newtonowskiej do hamiltonowskiej przestrzeni stanów opisuje przekształcenie
Legendre'a (qi , q&i ) → (qi , pi ) , gdzie pędy uogólnione pi wyrażają się jako pi = ∂L / ∂q&i .
Wprowadzając funkcję Hamiltona układu (hamiltonian) H = H (q, p, t) zgodnie z zależnością
(3)
(umowa sumacyjna) i korzystając z równań (2), uzyskuje się równania Hamiltona
(4)
opisujące strukturę dynamiczną układu w przestrzeni fazowej [7].
Wyrażając działanie ( l ) w zmiennych (q, p) otrzymuje się
(5)
co sugeruje następujące uogólnienie powyższego wyrażenia
(6)
gdzie am(z) są pewnymi funkcjami z, m = l,…, 2n oraz δzm (t0 ) = δz (t1 ) = 0 .
METODY HAMILTONOWSKIEW MECHANICE PŁYNÓW
137
Wariacja działania (6) względem δzm prowadzi do równań
(7)
gdzie
Zakłada się, że K jest tensorem nieosobliwym. Przyjmując, że z = (qi, pi) oraz
gdzie I jest macierzą jednostkową o wymiarze n H n, otrzymuje się działanie w postaci (5).
Ponieważ tensor K jest nieosobliwy, istnieje tensor odwrotny J = (K)-1 i równania (7) tworzą
uogólniony układ hamiltonowski postaci
(8)
Niech F = F(z), G = G(z) będą dowolnymi funkcjami. Uogólniony nawias Poissona
zdefiniowano jako
(9)
Układy poissonowskie opisywane są równaniami ewolucyjnymi postaci
(10)
gdzie H jest hamiltonianem.
Układ (10) jest układem hamiltonowskim wtedy i tylko wtedy, gdy nawias Poissona (9)
posiada następujące własności
(11)
Zależności (11) implikują następujące własności tensora J (zwanego operatorem
symplektycznym)
(12)
Jeżeli zi = (qi, pi) to równanie (10) przechodzi w układ równań Hamiltona (4), a nawias
Poissona (9) przyjmuje klasyczną, kanoniczną postać [6]; (zob. szerzej [8]). Istotną kwestią,
jest to, że operator symplektyczny J o własnościach (12) nie musi być odwracalny.
Singularność operatora J warunkuje istnienie nietrywialnych całek ruchu C, zwanych
niezmiennikami Casimira [8], tzn. wielkości spełniających równania
(13)
138
A. ICHA
Pozwala to zastosować powyższy formalizm do analizy niekanonicznych układów
dynamicznych i w szczególności do opisu układów ciągłych typu cieczy. Niezmienniki
Casimira wykorzystywane są również przy analizie problemu stabilności przepływów cieczy
(zob. np. [9]).
3. FORMALIZM HAMILTONOWSKI DLA CIECZY
W opisie ruchów cieczy wykorzystuje się zmienne materialne (α, t) (opis Lagrange'a) oraz
zmienne przestrzenne (x, t) (opis Eulera) (dla uproszczenia notacji, nie wytłuszczono
wielkości wektorowych). Jeżeli w chwili początkowej elementy płynu wypełniają
konfigurację początkową Ω 0 to w chwili czasu t zajmują obszar Ω t (konfigurację bieżącą).
Odwzorowanie Ω 0 a Ωt jest określone deformacją x = φ(α, t) ≡ x(α, t), o której założono, że
jest ciągła i wzajemnie jednoznaczna [l0]. Energia kinetyczna cieczy jest równa
a energia potencjalna V dla cieczy doskonałej jest sumą energii wewnętrznej (zależnej od
objętości właściwej i entropii właściwej cieczy) oraz energii zewnętrznej (np. grawitacyjnej).
Zatem gęstość lagrangianu dla cieczy wyraża się jako
a funkcja Lagrange'a ma postać
Stąd działanie dla cieczy
i zasada Hamiltona stanowi, że
(14)
Na podstawie (14) otrzymano równania Eulera-Lagrange'a dla cieczy
Wprowadzając funkcjonalne przekształcenie Legendre'a uzyskuje się hamiltonian
gdzie
jest pędem uogólnionym elementu płynu. Wykorzystując stacjonarność
funkcjonału działania
otrzymano równania Hamiltona dla cieczy w postaci [11]
METODY HAMILTONOWSKIEW MECHANICE PŁYNÓW
139
(15)
Porównując zależności (4) i (15) zauważa się, że formalna różnica w opisie
matematycznym sprowadza się do zastąpienia pochodnych cząstkowych pochodnymi
wariacyjnymi (funkcjonalnymi). Zatem w opisie symplektycznym, dla ośrodka ciągłego
(nieskończenie wymiarowego układu dynamicznego), w miejsce (9) - (10), otrzymano
równania
(16)
(17)
gdzie
(18)
i nawias Poissona {A, A} posiada własności (11).
Rzeczywiście jest
Przyjmując
uzyskuje się
i korzystając z własności różniczkowania funkcjonalnego,
gdzie δ jest dystrybucją delta Diraca a δij tensorem Kroneckera. Jest zatem
W szczególności, dla kanonicznego nawiasu Poissona postaci
równania Hamiltona (15) przyjmują równoważną postać [12]
140
A. ICHA
4. PRZEPŁYW CIECZY W WARSTWIE NIEJEDNORODNEJ
W celu ilustracji przedstawionego formalizmu rozważano w charakterze przykładu
horyzontalny niejednorodny przepływ, w którym występują gradienty temperatury i zasolenia
(domieszki pasywnej). Jeżeli Θ i S oznaczają średnie wartości tych parametrów, to w
przybliżeniu Boussinesq'a pojawiają się w równaniach dynamicznych wyrazy związane z siłą
wyporu gΔ Θ Θ i − gΔ S S , które oznaczono jako θ i s. Równania przepływu w takiej
warstwie w przybliżeniu „płytkiej wody" mają postać [13]
(19)
gdzie h = h(x,y) jest grubością warstwy, u = (u, ν) polem prędkości cieczy, Ω , prędkością
kątową Ziemi.
Nietrudno zauważyć, że układ równań (19) generuje niekanoniczny układ hamiltonowski
typu (16)
(20)
gdzie w zapisie macierzowym ( T oznacza operację transpozycji)
a operator symplektyczny wyraża się jako
(21)
oraz wprowadzono następujące oznaczenia: θ x = ∂θ ∂x , θ y = ∂θ ∂y , s x = ∂s ∂x , s y = ∂s ∂y ;
q = h-1(2|Ω | + +kALHu) jest wirowością potencjalną przepływu (w przepływie płaskim
przyspieszenie Coriolisa ma tylko jedną składową, skierowaną prostopadle do płaszczyzny
ruchu (x, y), k jest wektorem jednostkowym).
Hamiltonian dla układu (19) przyjmuje postać
(22)
METODY HAMILTONOWSKIEW MECHANICE PŁYNÓW
141
Wyliczając stosowne pochodne funkcjonalne, otrzymuje się na podstawie (22)
Uwzględniając powyższe wyrażenia w zależnościach (20) - (21) otrzymano układ równań (19).
5. UWAGI KOŃCOWE
Zasada Hamiltona jest najważniejsza zasada całkową mechaniki. Jest również jedną z
najważniejszych zasad wykorzystywanych w innych obszarach fizyki teoretycznej. Można
przypomnieć fascynację R. Feynmana zasadą najmniejszego (stacjonarnego) działania, która
doprowadziła go do sformułowania nierelatywistycznej mechaniki kwantowej w języku całek
po trajektoriach (całek funkcyjnych - nagroda Nobla w 1965 r.) [14]. Często traktowana
formalnie, odzwierciedla prawdopodobnie bardzo głębokie, fundamentalne prawa tkwiące u
podstaw fizyki w ogóle. Zasada ta wpływała również na teoriopoznawcze ujęcie podstaw
filozofii przyrody. m.in. u W. Leibniza i M. Plancka [151. Teleologiczne aspekty teorii
poznania w kontekście zasad wariacyjnych są żywe do dnia dzisiejszego - zob. np. krytyczną
dyskusję tych zagadnień w pracy [16]. Hamiltonowskie podejście do opisu dynamiki cieczy
nie zyskało jeszcze szerszej akceptacji w środowisku mechaników płynów. Pomimo
spektakularnych sukcesów w geofizycznej i astrofizycznej dynamice płynów (zob. np. [17]),
podejście to wymaga swoistej „reklamy" w obszarze badań związanym z techniczną
mechaniką płynów, np. w problemach hydrologicznych (przepływy w rzekach, kanałach itp.).
LITERATURA
1. Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G.: New lagrangian and hamiltonian methods
in fieid theory. Singapore: World Scientific Publishing Co., 1997.
2. Arnold W.I.: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. Warszawa: PWN, 1981.
3. Salmon R.: Lectures on geophysical fluid dynamics. New York-0xford: Oxford University
Press, 1998.
4. Ripa P.: Hamiltonian GFD and stability. [W:] Salmon R., Ewing-Deremer B. (Eds).
Geometrical methods in fluid dynamics. Woods Hole: Woods Hole Oceanographic
Institution, MA, 1994, p. 332-336.
5. Dellar P.J.: Common hamiltonian structure of the shallow water equations with horizontal
temperature gradients and magnetic fields. "Phys. Fluids" 2003, 15, p. 292-297,
6. Ingarden R.S., Jamiołkowski A.: Mechanika klasyczna. Warszawa-Poznań: PWN. 1980.
7. Zorski H. (red.).: Podstawy mechaniki. Warszawa: PWN, 1985.
8. Bokhove O.: Balanced models in geophysical fluid dynamics: hamiltonian formulation,
constraints and formal stability. [W:] Norbury J., Roulstone I. (Eds). Large-scale
atmosphere-ocean dynamics: vol. II: Geometric methods and models. Cambridge,
Cambridge University Press, 2002, p. 1-63.
9. Icha A.: On the stability of one-layer geostrophic fronts. Zesz, Nauk. Kat. Mech. Stos.
Pol. Śl. 2003, 20, s. 165-170.
10. Rymarz Cz.: Mechanika ośrodków ciągłych. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN, 1993.
11. Shepherd TG.; Symmetries. conservation laws, and hamiltonian structure in geophysical
fluid dynamics. "Advances in Geophysics" 1990. 32, p. 287-338.
142
A. ICHA
12. Morrison P.J.: Hamiltonian description of the ideal fluid. "Reviews of Modern Physics"
1998, 70, No. 2, p. 467-521.
13. %@:P4>(,D =. +, AbF8@&F84 C. %.: G,@D4" <,:8@6 &@*Z. ?8,">@:@(4R,F84,
BD@$:,<Z 4 R4F:,>>Z, <,H@*Z. 9,>4>(D"*: '4*D@<,H,@42*"H, 1977.
14. Gleick J.: Geniusz. Życie i nauka Richarda Feynmana. Poznań: Zysk i S-ka Wyd.. 1999.
15. Planck M.: Nowe drogi poznania fizycznego a filozofia. Warszawa: Wyd. Inst. Filoz. i
Socjol. PAN, 2003.
16. Domaciuk D.; Zasady wariacyjne a ich teleologiczna interpretacja. „Zagadnienia
filozoficzne w nauce" 2008, 42, s. 52-67.
17. Wirosoetisno D.: Lagrangian and hamiltonian methods in geophysical fluid dynamics,
2006 (http://www.ims.nus.edu.sg/Programs/geophysical/files/DWirosoetisno.pdf).
HAMILTONIAN METHODS
IN FLUID MECHANICS
Summary. The paper deals with hamiltonian formulation of selected problems of
fluid mechanics. Some basie facts from finite dimensional mechanical systems in
lagrangian, hamiltonian and symplectic approaches arę reviewed, Next, the transition
from discrete to continuous is described and the hamiltonian form of thermally and
saltly stratified flow in „shallow water" approximation, is presented.