W9 Geometria rekurencji

Dynamika Układów Nieliniowych 2009
Wykład 9
1
Geometria rekurencji
Teoria uk»adów dynamicznych zajmuje si“
deterministycznym zagadnieniem pocztkowym.
Obejmuje zarówno
♦ prawa ewolucji zawarte w odwzorowaniach iterowanych
jak
♦ zagadnienia pocztkowe tak równa½ róóniczkowych zwyczajnych.
PodejÑcie jakoÑciowe teorii uk»adów dynamicznych
- wywodzce si“ od Poincaré –
polega na badaniu struktur w przestrzeni fazowej
rzdzcych zachowaniami rekurencyjnymi trajektorii fazowych w tych zagadnieniach pocztkowych.
N.B. Chociaó w przypadku równa½ róóniczkowych czstkowych przestrze½ fazowa jest niesko½czenie
wielowymiarowa to jak si“ okazuje jakoÑciowa teoria uk»adów dynamicznych Poincaré jest przydatna.
Dzieje si“ tak ze wzgl“du na dysypacj“, która powoduje kurczenie si“ przestrzeni fazowej w trakcie
ewolucji uk»adu. Cz“sto wi“c okazuje si“, óe uk»ad teoretycznie daje si“ opisaƒ w podprzestrzeni fazowej,
która jest niskowymiarowa.
DoÑwiadczalnym potwierdzeniem s»usznoÑci takiego stwierdzenia jest istnienie przep»ywu laminarnego
cieczy. Są prace, które pokazuj jak roÑnie wymiar przestrzeni fazowej gdy ciecz przechodzi do turbulencji.
Potwierdze½ tak teoretycznych jak doÑwiadczalnych adekwatnoÑci niskowymiarowej przestrzeni fazowej
uk»adów dynamicznych o pochodnych czstkowych jest znacznie wi“cej (m.in. w dynamice struktury Ñcian
domenowych, którą zajmowałem się przez kilkanaście lat).
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
Wykład 9
2
Oprócz równa½ róóniczkowych czstkowych:
jeszcze uk»ady równa½ zwyczajnych zawierajce zmienne niezaleóne opóïnione w czasie
jak teó
równania ca»kowo-róóniczkowe zawierajce ca»ki po historii ewolucji uk»adu
teó wymagaj niesko½czenie wielowymiarowej przestrzeni fazowej.
Interesuj nas
cechy ewolucji uk»adów autonomicznych równa½ zwyczajnych pierwszego rz“du:
x&1 = f 1 ( x1 , x2 ,..., xn )
funkcja fi ,i=1,2,...,n moóe byƒ
x& 2 = f ( x1 , x2 ,..., xn )
nieliniowa i nie zawiera zmiennych
.
stochastycznych
(istniej sposoby na wprowadzenie do
.
rozwaóa½ szumu).
.
x& n = f ( x1 , x2 ,..., xn )
Równania nieautonomiczne (dla których prawa strona f jawnie zaleŜy od czasu t)
jak i teó równania zawierajce wyósze pochodne
daj si“ zamieniƒ na uk»ad autonomicznych równa½ zwyczajnych pierwszego rz“du
poprzez odpowiednie podstawienie nowych zmiennych i zwi“kszenie liczby równa½.
Skoro n skalarnych obserwabli opisuje uk»ad w kaódej chwili czasu i okreÑla jego ewolucj“
to geometria przestrzen fazowej zawiera cenn informacj“ o zachowaniu uk»adu.
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
Wykład 9
Przyjrzyjmy si“ sposobom aby tak informacj“ wydobyƒ (np. unaoczniƒ).
Pole wektorowe opisujce ewolucj“ uk»adu dynamicznego:
okreÑla si“ zaczepiajc w kaódym punkcie {xi} w przestrzeni fazowej wektor.
Czubek tego wektora przesuni“ty jest o {fj} okreÑlone w punkcie {xi} i w chwili t.
Przykład: pole wektorowe f(x,y) = (-y,x)
Lokalny kierunek pola zaznaczają strzałki.
Przepływ jest styczny w kaŜdym punkcie do wektorów pola
(linie ciągłe).
Przykład pole wektorowe przepływu powietrza za
samolotem:
Model samolotu znajduje się w tunelu aerodynamicznym.
Pole przepływu widoczne jest dzięki pęcherzykom jakie
tworzą się na skutek wiru w pobliŜu czubków skrzydeł i
stateczników.
3
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
Wykład 9
4
Trajektori“ fazow układu dynamicznego otrzymuje si“ przez zebranie razem infinityzymalnie ma»ych
przesuni“ƒ opisanych przez pole wektorowe (potok, przepływ).
Tj. trajektoria uk»adu jest krzyw styczn w kaódym punkcie do pola wektorowego uk»adu.
Gdy uk»ad równa½ jest autonomiczny:
istnienie pola wektorowego => trajektoria jest sta»a w czasie (portret fazowy stanu uk»adu).
Istotna konsekwencja stacjonarnoÑci pola wektorowego:
óadne dwie trajektorie uk»adu równa½ autonomicznych nie przecinaj si“ w tym samym punkcie
przestrzeni fazowej (w sko½czonym czasie).
Dzieje si“ tak bo:
a) spe»niona jest zasada przyczynoÑci
b) pole wektorowe jest g»adkie
Prosz“ odróóniaƒ t w»asnoу trajektorii od
asymptotycznego dóenia dwóch (lub wi“cej) trajektorii do jednego punktu sta»ego.
Przyk»ad: niemoónoу przecinania si“ trajektorii organizuje przestrze½ fazow
Jedynym rodzajem samoprzecinajcej si“ trajektorii s wszelkie cykle graniczne.
Dziel one przestrze½ fazow na wn“trze cyklu i jego zewn“trze:
z niemoónoÑci przecinania si“ trajektorii wynika, óe kaóda trajektoria, która znajdzie si“ wewntrz cyklu
granicznego znajduje si“ wewntrz w ca»oÑci.
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
Wykład 9
Dynamika geometryczna:
identyfikuje si“ przestrze½ fazow, w której uk»ad dynamiczny jest ca»kowicie scharakteryzowany przez
stacjonarne pole wektorowe; nast“pnie bada si“ topologi“ struktur w przestrzeni fazowej.
Stan uk»adu uwaóa si“ za rekurencyjny
jeÑli wiemy, óe uk»ad wróci dostatecznie blisko pierwotnego stanu (punktu w przestrzeni fazowej).
JeÑli uk»ad powróci arbitralnie blisko stanu pocztkowego choƒby raz
to dowodzi si“ przez indukcj“, óe b“dzie znowu arbitralnie blisko si“ do niego zblióa».
To nie oznacza, óe w stanie pocztkowym pozostanie na zawsze:
moóe si“ do niego zblióyƒ na chwil“ a potem dowolnie d»ugo b»adziƒ z dala od stanu pocztkowego.
Przyk»ad:
zaƒmienia w uk»adzie s»o½ca, ziemi i ksi“óyca.
Zachowanie rekurencyjne uk»adu dynamicznego: wyst“puje wtedy gdy kaódy stan uk»adu jest rekurencyjny
(po wygaÑni“ciu stanów nieustalonych, które nie są rekurencyjne).
5
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
Wykład 9
6
Typy zachowa½ rekurencyjnych:
Podstawowe (basic) zachowanie rekurencyjne to zespó» stanów rekurencyjnych po»czonych jedn trajektori.
Przyk»ad: Czasem w jednej przestrzeni fazowej wyst“puje kilka konkurujcych atraktorów (multistabilność
atraktorów).
Wtedy kaódy z takich atraktorów reprezentuje podstawowe zachowanie rekurencyjne tworzce zbiór
przechodni (transitive) tj taki, do kaódego punktu którego trajektoria moóe si“ zblióyƒ dowolnie blisko.
Zaprzeczeniem zbiorów przycigajcych podstawowych jest jest zbiór rozk»adalny (decomposable)
na dwa (kilka) podstawowych.
Zazwyczaj jest bardzo trudno wykazaƒ ściśle, óe dany zbiór przycigajacy jest podstawowy a nie
rozk»adalny chociaó cechy numeryczne zbioru na to wskazuj.
Hierarchia rekurencji
♦ najprostostszym rodzajem rekurencji jest punkt sta»y:
uk»ad "powraca" do punktu sta»ego stale w nim przebywajc.
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
7
Wykład 9
Istniej dwa rodaje zachowa½ poprzedajcych punkt sta»y:
1.2
1.2
Punkt stały jest stabilnym ogniskiem
Punkt stały jest węzłem
(dren)
0.8
0.8
0.4
0.4
0
0
0
-0.4
4
8
Czas
12
0
-0.4
4
8
12
16
Czas
S to stabilne punkty sta»e.
Niestabilne punkty sta»e teó s stanami rekurencyjnymi:
mog istnieƒ w niesko½czonoу dopóki jakieÑ zaburzenie ich nie zniszczy.
Stabilnoу punktu sta»ego jest osobnym zagadnieniem.
Identyfikacja wszystkich rodzajów zachowa½ rekurencyjnych jest istotnym etapem budowy
jakoÑciowego obrazu dynamiki.
Nawet gdy obserwacja (niezaburzonego) niestabilnego zachowania rekurencyjnego jest ma»o prawdopodobna
to jest on istotnym elementem geometrii przestrzeni fazowej:
jego obecnoу i struktura ma wp»yw na obserwowane trajektorie.
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
Wykład 9
8
♦ ruch periodyczny: uk»ad powraca dowlnie blisko stanu pocztkowego powracajc do niego dok»adnie zawsze po okresie T.
Stabilne zachowanie periodyczne wyglda podobnie jak w przykładzie na rysunku:
A w przestrzeni fazowej oznacza to pojawianie si“ cyklu granicznego.
Niestabliny cykl graniczny teó jest form zachowania rekurencyjnego.
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
Wykład 9
9
♦ kwaziperiodycznoу jest podstawowym typem rekurencji:
w tym przypadku ruch periodyczny jest modulowany w jakiÑ sposób przez inny ruch - teó periodyczny ale o innym okresie.
JeÑli jeden z ruchów periodycznych ma cz“stoу równ ca»kowitej wielokrotnoÑci cz“stoÑci drugiego to
wynikowy ruch jest po prostu periodyczny.
JeÑli stosunek cz“stoÑci da si“ wyraziƒ jako liczba wymierna to mamy do czynienia z drganiami synfazowymi.
Ruch kwaziperiodyczny jest wtedy gdy stosunek cz“stoÑci nie jest liczb wymiern:
Mamy wtedy rekurencj“, w której stany nie powtarzaj si“ ÑciÑle i potrzebne jest poj“cie rekurencji aby
odróóniƒ tak ewolucj“ czasow uk»adu od stanu nieustalonego oraz od stanu chaotycznego.
W przestrzeni fazowej pojawia się ruch po torusie:
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
Wykład 9
10
Charakterystyczn cech dla ruchu kwaziperiodycznego jest widmo mocy z ostrymi maksimami dla cz“stoÑci
podstawowych ich harmonicznych oraz odpowiednich kombinacji.
Przykład: kwaziperiodyczność w reakcji chemicznej trawienia elektrochemicznego miedzi w kwaśnym
roztworze chlorków (J.Phys.Chem. 97, 7, 2731,1989).
Wi“kszoу cech ruchu kwaziperiodycznego omówiono przy odwzorowaniu okr“gu oraz omawiajc drog“ do
chaosu Ruelle'a, Takensa i Newhouse'a.
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
Wykład 9
♦ ruch chaotyczny (ruch na dziwnym atraktorze):
11
negatywne okreÑlenie jest to taki stan, który nie jest ani równowag ani ruchem periodycznym ani teó
kwaziperiodycznym
okreÑlenie pozytywne ruch rekurencyjny prostego uk»adu dynamicznego
(albo niskowymiarowe zachowanie z»oóonego uk»adu),
posiadajcy zarówno cechy przypadkowe jak i teó pewien porzdek.
Cecha charakterystyczna:
eksponencjalne oddalanie si“ trajektorii rozpoczynajcych si“ w bliskich sobie warunkach pocztkowych
przy czym trajektorie te pozostaj w ograniczonym obszarze przestrzeni fazowej.
Prowadzi to do nieprzewidywalnoÑci trajektorii w granicy t → ∞.
Dla stanów chaotycznych poj“cie rekurencji stanów jest niezb“dne
dla odróónienia atraktora dziwnego od stanu nieustalonego, który go poprzedza.
Pojawia si“ przy tym szereg trudnych problemów matematycznych:
np. jak stwierdziƒ czy otrzymany zbiór jest przechodni (transitive) ?
albo
jak stwierdziƒ, óe wszystkie ssiednie trajektorie rozbiegaj si“ eksponencjalnie ?
Pomocna ale nie zawsze moóliwa do realizacji jest analiza rozmaitoÑci róóniczkowalnych.
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
Wykład 9
Dynamiczna stabilnoу trajektorii
Jedn z przyczyn, dla których usi»uje si“ dociec czy obserwowany ruch jest jednym cigiem stanów
po»czonych jedn trajektori (zbiór przechodni) jest
potrzeba sformu»owania kryteriów stabilnoÑci dynamicznej dla stanów chaotycznych.
W przypadku: punktu sta»ego, cyklu granicznego czy nawet ruchu na n-torusie (n ≤ 4)
moóna zbadaƒ zlinearyzowane równania ruchu i okreÑliƒ stabilnoу pos»ugujc si“ własnościami wartoÑci
w»asnych.
Ale jak mamy stwierdziƒ czy ruch chaotyczny (trajektoria nieprzewidywalna dla t → ∞ !) powraca do
poprzedniego stanu po ustaniu zaburzenia - co jest podstawowym kryterium stabilnoÑci dynamicznej ?
Obecnie nie ma dobrej odpowiedzi na to pytanie.
Niewtpliwie obserwuje si“ jakoÑciowe objawy stabilnoÑci atraktorów:
Przyk»ad: atraktor Lorenza
x& = - σ x + σ y
y& = R x - y - x z
z& = - b z + x y
gdzie R, σ i b s sta»ymi parametrami.
Model ten powsta» jako model konwekcji atmosferze ziemskiej i s»uóy» do pomocy w zrozumieniu zjawisk
klimatycznych.
12
Dynamika Układów Nieliniowych 2009
13
Wykład 9
R = 25
R = 27
σ = 10; b = 2.66667
R = 30
S to jednak raczej objawy stabilnoÑci strukturalnej a nie
stabilnoÑci dynamicznej.
Przyk»ad W obszarze chaotycznym odwzorowania logistycznego (dla r > r∞) nie ma stabilnoÑci strukturalnej
bo
okna periodyczne s g“ste:
zmiana r → r + ε
moóe spowodowaƒ stan periodyczny.