Ćwiczenia 1 — (dyskretne) układy dynamiczne

Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013
8 października 2012
Ćwiczenia 1 — (dyskretne) układy dynamiczne
Będziemy dziś badali ciągi zadane wzorem:
an+1 = T (an )
dla różnych funkcji T (x).
Spróbujemy się przekonać, że przydają się one do modelowania różnych zjawisk.
I Model „liniowy” T (x) = x + r, an+1 = an + r
1. Ruch jednostajny Kangur porusza się z prędkością 4 m/s. Zamodeluj ruch kangura.
2. Stała prędkość (a) Pokazać, że różnica an+k − an nie zależy od n.
(b) Wniosek: przez ustalony okres czasu, niezależnie od warunków początkowych,
modelowana wartość zmienia się o stały składnik.
3. Własność średniej Pokaż (nie korzystając z następującego zadania), że dowolne
element ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich.
4. Wszystko o modelu liniowym Pokaż, że ciąg an jest ciągiem arytmetycznym.
II Model „wykładniczy” T (x) = qx, an+1 = qan
0. Rozgrzewka Pokaż, że ciąg an jest ciągiem geometrycznym. (przypomnijmy, że z
definicji ciąg jest geometryczny, jeśli iloraz kolejnych wyrazów jest stały)
1. Model Malthusa Na początku 2010 roku w Polsce mieszkało około 38 mln osób.
Współczynnik przyrostu naturalnego w Polsce w tamtym roku wynosił 0,9 %(czyli
0,09%). Zakładając, że ten współczynnik jest stały1 , podaj wzór rekurencyjny na
ciąg opisujący ludności Polski od roku 2010 (możesz przyjąć, że ai to liczba ludności
w roku 2010+i). Ile — według tego modelu — było mieszkańców Polski na początku
2011 roku? Ile na początku bieżącego? A ile będzie nas na początku 2008 roku?
W ostatnich latach współczynnik przyrostu naturalnego osiągnął najniższy poziom
w 2003 r. — był ujemny i wynosił ok. −0,4 %. Gdyby się utrzymywał, co to
oznacza dla populacji? Ile w tej sytuacji wynosiłby parametr q w naszym modelu?
Jak — znając q — możemy powiedzieć, czy przyrost był dodatni, czy ujemny?
2*. Lokaty Na pewną lokatę wpłaciliśmy 1000 zł. Po dwóch latach wyciągnęliśmy z
powrotem 1102 złotych i 50 groszy. Jakie było roczne oprocentowanie lokaty2 ?
Skonstruuj model opisujący nasz stan konta, gdybyśmy nigdy nie zdecydowali się
na zerwanie lokaty. Podaj (zwarty) wzór na stan konta po n latach.
1
2
oczywiście nie jest, już w 2011 roku ten współczynnik spadł o ponad połowę do 0,4 %
zakładamy roczną kapitalizację odsetek
3. Przykłady Naszkicuj wykres ciągu an i diagram Verhulsta (patrz przykładowy rysunek poniżej) dla warunku początkowego a0 = 1 i dla następujących parametrów
q:
a) q = 1
b) q = 2
c) q = 1/2
Jaka jest granica ciągu an w poszczególnych przypadkach?
3’. Punkty stałe Punktem stałym przekształcenia T nazywamy takie x0 , że T (x0 ) = x0 .
(nazwa bierze się stąd, że jeśli weźmiemy punkt stały T jako warunek początkowy
a0 , to ciąg an jest stały)
Jakie są punkty stałe w każdym przypadków z poprzedniego zadania?
Punkt stały x0 nazywamy przyciągającym, jeśli dla każdego a0 odpowiednio bliskiego x0 ciąg an zbiega do x0 .
Punkt stały x0 nazywamy odpychającym, jeśli dla każdego a0 różnego od x0 w pewnym momencie ciąg an oddala się na pewną (niezależną od a0 ) odległość od x0 .
Określ, które z wyznaczonych przez Ciebie punktów stałych są przyciągające, które
są odpychające, a które nie są ani takie ani takie.
4. Stały czynnik wzrostu (a) Pokazać, że iloraz an+k /an nie zależy od n.
(b) Wniosek: przez ustalony okres czasu, niezależnie od warunków początkowych,
modelowana wartość zmienia się o stały czynnik.
(przykład: jeśli modelujemy liczbę atomów w czasie i dla pewnego k mamy
q k = 21 to liczbę k nazywamy okresem połowicznego rozpadu; wyjaśnij tę nazwę!)
5. Własność średniej Udowodnij (nie wykorzystując tego, że ciąg jest geometryczny),
że dowolny wyraz w tym ciągu jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.
III Model Verhulsta (logistyczny) T (x) = qx(1 − x), an+1 = qan (1 − an )
0**. Rozsądne parametry (a) Pokaż, że dla parametru q ∈ [0, 4] oraz x ∈ [0, 1] zachodzi T (x) ∈ [0, 1].
(b) Wniosek dla modelu: dla tych q modelowana wartość jest zawsze między 0 a 1.
2
1. Punkty stałe Znajdź punkty stałe przekształcenia T dla q ∈ [1, 4].
2. Przyciąganie (a) Pokaż, że dla q ∈ [0, 1] zachodzi f (x) < x dla każdego x ∈ (0, 1].
(b) Naszkicuj diagram Verhulsta dla takich q.
(c) Wywnioskuj, że dla tych q punkt 0 jest punktem stałym przyciągającym.
3. Odpychanie (b) Podaj (dwa) punkty stałe dla q = 2. Udowodnij, że f (x) > x dla x
pomiędzy tymi punktami stałymi.
(b) Naszkicuj diagram Verhulsta dla tego q.
(c) Wywnioskuj, że dla tego q punkt 0 jest punktem stałym odpychającym.
4***. Równoważność modeli (a) Niech T 0 (y) = qy − ky 2 . Pokaż, że dla podstawienia
(funkcji) y(x) = kq x zachodzi równość: T 0 (y(x)) = y(T (x)).
(b) Wniosek dla modelu: modele generowane przez T i T 0 są równoważne.
IV Inne układy dynamiczne
1***. Sztandarowe zadanie z układów dynamicznych Wypiszmy pierwsze cyfry kolejnych liczb postaci 2n : 1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,...
(Łatwiejsze) Pokazać, że w tym ciągu występują wszystkie cyfry (np. 7 i 9).
(Trudne) Udowodnić, że cyfra 7 występuje (asymptotycznie) częściej niż 8.3
(podpowiedź: pierwsza cyfra liczby k zależy tylko od części ułamkowej log10 k)
2***. Punkty stałe inaczej Pokaż, że każdy punkt stały T (x) jest punktem stałym
T 2 (x) = T (T (x)), T 3 (x) = T (T 2 (x)) i — analogicznie zdefiniowanego — T n (x).
Podaj (kontr)przykład, że punkt stały T 2 (x) nie musi być punktem stałym T (x).
3(???). Problem otwarty Niech a0 będzie liczbą naturalną, a kolejne liczby generujemy w następujący sposób. Jeśli poprzednia liczba n jest parzysta, to jako następną
bierzemy jej połowę n/2. Jeśli n jest nieparzysta, bierzemy liczbę 3n + 1. Używając
języka układów dynamicznych: funkcję T definiujemy w następujący sposób:
(
n/2
jeśli 2 | n
T (n) =
3n + 1 jeśli 2 - n
Łatwo widać, że zaczynając od 1 otrzymamy ciąg okresowy: 1,4,2,1,4,2,... Czy
zaczynając od dowolnej liczby po pewnym czasie dojdziemy do 1?
Nikt nie zna odpowiedzi na to pytanie.4 Ma ono różne nazwy: hipoteza Collatza,
hipoteza Ulama5 , problem Kakutaniego, hipoteza Thwaitesa, problem z Syrakuz
lub, po prostu, hipoteza 3n + 1.
3
prawdopobieństwo wystąpienia poszczególnych cyfr opisuje tak zwany rozkład Benforda
wielki matematyk węgierskiego pochodzenia, Paul Erdös (1913–1996), powiedział kiedyś, że współczesna matematyka nie jest gotowa na rozwiązanie tego problemu
5
Stanisław Ulam (1909–1984) — polski matematyk, twórca metody Monte Carlo, brał udział projekcie
Manhattan, mającym na celu konstrukcję bomby termojądrowej
4
3