Chaos w układach dynamicznych: miary i kryteria chaosu

Transkrypt

Wstęp
Definicja podstawowych pojęć
Chaos w układach dynamicznych
Paweł Bialas
Uniwersytet Śląski w Katowicach, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
27.08.14
Paweł Bialas
Wstęp
Temat tego referatu jest związany z teorią układów dynamicznych która ma wiele zastosowań w różnych dziedzinach nauki. Będą nas interesować dokładniej
zachowania chaotyczne układów.
Paweł Bialas
Wstęp
Temat tego referatu jest związany z teorią układów dynamicznych która ma wiele zastosowań w różnych dziedzinach nauki. Będą nas interesować dokładniej
zachowania chaotyczne układów. Głównym celem tego referatu jest przedstawienie kryteriów które wyróżniają układy chaotyczne od nie-chaotycznych oraz
przedstawienie miar opisujących ”stopień chaotyczności” w sposób ilościowy.
Paweł Bialas
Wstęp
W celu rozjaśnienia tego zagadnienia oraz uściślenia naszych rozważań przedstawię defincje podstawowych pojęć
Definicja
Układem dynamicznym nazywamy trójkę (T , X , f ) gdzie T jest monoidem
(półgrupą z elementem neutralnym), X jest zbiorem f jest funkcją:
f : U ⊂T ×X →X
Ponadto:
I (x) = {t ∈ T ; (t, x) ∈ U}
f (0, x) = x
f (t1 , f (t2 , x)) = f (t1 + t2 , x)
Używamy notacji:
def
fx (t) = f (t, x)
def
f t (x) = f (t, x)
Paweł Bialas
Wstęp
W tym referacie skupię się na układach dynamicznych ciągłych.
Paweł Bialas
Wstęp
Definicja
Układem dynamicznym ciągłym nazywamy układ równań różniczkowych
zwyczajnych:
dxi
= Fi (x, c)
dt
Gdzie x = (x1 , x2 , . . . xn ) ∈ Rn jest punktem w przestrzeni fazowej,
(c1 , c2 , . . . ck ) ∈ Rk są parametrami określającymi układ, w anglojęzycznej
literaturze spotyka się z nazwą control parameters.
Paweł Bialas
Wstęp
Definicja
Układem dynamicznym ciągłym nazywamy układ równań różniczkowych
zwyczajnych:
dxi
= Fi (x, c)
dt
Gdzie x = (x1 , x2 , . . . xn ) ∈ Rn jest punktem w przestrzeni fazowej,
(c1 , c2 , . . . ck ) ∈ Rk są parametrami określającymi układ, w anglojęzycznej
literaturze spotyka się z nazwą control parameters.
Definicja
Układ będzie nazywali Lipchitzowskim jeżeli funkcje F1 (x, c) określające układ
spełniają warunek Lipchitza:
|F (x; c) − F (x ; c)| < L(c) |x − x |
gdzie:
L : Rk → (0; +∞)
Paweł Bialas
Wstęp
Twierdzenie
Jeżeli układ dynamiczny jest Lipchitzowski w otoczeniu punktu x0 , to istnieje
dodatni s że:
1
Istnieje funkcja φ(t) = (φ1 (t), φ2 (t) . . . φn (t)) spełniająca równanie
różniczkowe określające ten układ na przedziale −s ¬ t ¬ s z φ(0) = x0
2
Funkcja ta jest jednoznacznie określona
Paweł Bialas
Wstęp
Twierdzenie
Jeżeli układ dynamiczny jest Lipchitzowski w otoczeniu punktu x0 , to istnieje
dodatni s że:
1
Istnieje funkcja φ(t) = (φ1 (t), φ2 (t) . . . φn (t)) spełniająca równanie
różniczkowe określające ten układ na przedziale −s ¬ t ¬ s z φ(0) = x0
2
Funkcja ta jest jednoznacznie określona
W przypadku w którym układ jest Lipchitzowski na całej przestrzeni fazowej
twierdzenie te można rozszerzyć:
Twierdzenie
Jeżeli układ dynamiczny jest Lipchitzowski, to istnieje jednoznacznie określona
trajektoria dla dowolnego punktu początkowego, trajektorię tą można
rozciągnąć asymptotycznie dla t → +∞
Paweł Bialas
Wstęp
W przypadku ciągłych układów dynamicznych często stosuje się nomenklaturę
pozwalającą na ujednolicenie większości definicji z definicjami odpowiadających
pojęć w układach dyskretnych: jako układ dynamiczny ciągły w tej nomenklaturze
rozumiemy trójkę (T , X , f ), funkcję f nazywamy potokiem fazowym (ang. flow):
f t : x0 → x(x0 , t)
x(t) = f t (x0 ) jest trajektorią. Funkcja f jest potokiem fazowym generowanym
przez pole wektorowe określające układ.
Paweł Bialas
Wstęp
Przedstawię po krótce pojęcia które są związane z ewolucją układu dynamicznego
Definicja
The dodatnią orbitą punktu x względem funkcji f jest:
O + (x) = {f k (x); k > 0}
Jeżeli f ma odwrotną możemy zdefiniować orbitę ujemną:
O − (x) = {f k (x); k 6 0}
Definicja
Punkt przestrzeni fazowej x nazywamy punktem stałym jeżeli ∀t>0 f t (x) = x,
orbita dodatnia dla tego punktu jest singletonem {x}
Paweł Bialas
Wstęp
Definicja
Punkt p nazywamy stabilnym w sensie Lapunowa jeżeli:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀j>0 |x − p| < δ ⇒ |f j (x) − f j (p)| < ε
Paweł Bialas
Wstęp
Ze względu na stabilność punkty stałe możemy podzielić na:
1
ścieki
2
źródła
3
punkty siodłowe
4
centra
Paweł Bialas
Wstęp
Przykład
Przykładem prostego układu dynamicznego który dla pewnych parametrów
wykazuje złożone, chaotyczne zachowania jest oscylator Duffinga:
dx
d 2x
= ax 4 + bx 2 + γ
+ c cos(w · t)
dt 2
dt
Przedstawiając powyższe równanie w równoważnej formie otrzymujemy:
dx
=v
dt
dv
= ax 4 + bx 2 + γv + c cos(w · t)
dt
Paweł Bialas
Wstęp
Pola wektorowego oscylatora Duffinga bez tłumienia i z tłumieniem
Paweł Bialas
Wstęp
Rozwiązania periodyczne (γ = 0)
Paweł Bialas
Wstęp
Przypadek z tłumieniem
Paweł Bialas
Wstęp
Baseny przyciągania:
Paweł Bialas
Wstęp
Zachowanie chaotyczne
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Współczynniki Lapunowa
Entropia
Bibliografia
Przedstawiony w 1961 roku przez Edwarda Lorenza model:
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
dX
= −σX + σY
dt
dY
= rX − Y − XZ
dt
dZ
= −bZ + XY
dt
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
dX
= −σX + σY
dt
dY
= rX − Y − XZ
dt
dZ
= −bZ + XY
dt
Układ ten mimo wydawało by się prostej postaci wykazuje skomplikowane zachowanie. Dla pewnego zbioru parametrów układ przejawia zachowanie chaotyczne.
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
dX
= −σX + σY
dt
dY
= rX − Y − XZ
dt
dZ
= −bZ + XY
dt
Układ ten mimo wydawało by się prostej postaci wykazuje skomplikowane zachowanie. Dla pewnego zbioru parametrów układ przejawia zachowanie chaotyczne.
Najczęściej wspominaną cechą układu Lorenza jest jego wrażliwość na warunki
początkowe, dwie trajektorie oddalone od siebie początkowo o niewielką odległość w przestrzeni fazowej wykazują istotnie różną ewolucję.
Paweł Bialas
Wstęp
Paweł Bialas
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Cechą wspólną układów chaotycznych jest wrażliwość na warunki początkowe,
jednakże cecha ta nie jest oczywiście cechą wystarczającą: można podać wiele
przykładów układów, w tym kilka trywialnych, które mają tą własność a ich dynamika jest prosta, nie-chaotyczna.
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
przykładów układów, w tym kilka trywialnych, które mają tą własność a ich dynamika jest prosta, nie-chaotyczna. W celu uściślenia naszych dalszych rozważań
będziemy musieli postarać się sformułować definicję układu chaotycznego. W literaturze można spotkać się z różnymi definicjami układów chaotycznych, nie ma
natomiast ścisłej definicji która byłaby ogólnie przyjętą, w naszych rozważaniach
będziemy stosować następującą:
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
przykładów układów, w tym kilka trywialnych, które mają tą własność a ich dynamika jest prosta, nie-chaotyczna. W celu uściślenia naszych dalszych rozważań
będziemy musieli postarać się sformułować definicję układu chaotycznego. W literaturze można spotkać się z różnymi definicjami układów chaotycznych, nie ma
natomiast ścisłej definicji która byłaby ogólnie przyjętą, w naszych rozważaniach
będziemy stosować następującą:
Definicja
Układem chaotycznym nazywamy układ dynamiczny który:
1
Jest wrażliwy na warunki początkowe
2
Wykazuje tzw. mieszanie topologiczne
3
Zawiera gęste orbity periodyczne
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Przejdę teraz do istoty tego referatu mianowicie do przedstawieniu kryteriów i
miar pozwalających na określenie czy dany układ wykazuje zachowania chaotyczne czy też nie. Metody te polegają na analizie szeregów czasowych generowanych
przez układ. Takim szeregiem może być np. ciąg jednej ze współrzędnych punktów wchodzących w skład określonej trajektorii.
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Współczynniki Lapunowa są miarą wrażliwości na warunki początkowe układu
dynamicznego. Dostarczają informacji o tym jak zmienia się odległość między
dwoma różnymi trajektoriami w przestrzeni fazowej.
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Definicja
Rozpatrzmy dwie trajektorie w przestrzeni fazowej początkowo odległe o δd0
wykładniaiem maksymalnym Lapunowa nazywamy:
λ = lim
lim
t→+∞ δd0 →0
1 |δd(t)|
ln
t
|δd0 |
gdzie: |δd(t)| jest odległością tych trajektorii w chwili t
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Przykład
Współczynnik Lapunowa w funkcji parametru a dla odwzororowania
logistycznego:
xn+1 = axn (1 − xn )
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Z terminem ”entropia” można spotkać się w różnych dziedzinach matematyki i
nauki w ogólności. Koncepcja ta jako pierwsza pojawiłą się na gruncie termodynamiki i fizyki statystycznej, później idea ta została (w zmienionej formie) użyta
w innych niż te termodynamiczne problemach. Zwykle jako entropia rozumiemy
miarę nieuporządkowania.
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Jako pierwszy termim ”entropia” zaproponował Clausius w 1805 roku w nawiązaniu do wcześniejszej (1824) pracy Carnota którą obecnie znamy pod nazwąDrugiej Zasady Termodynamiki. W tym rozumieniu:
Definicja
Jako zmianę entropii ∆S podczas przejścia układu fizycznego z jednego stanu
do drugiego:
Z
dQ
∆S =
T
gdzie:
dQ jestD infinitezymalnym przyrostem ciepła, T temparaturą (w skali
bezwzględnej) w danym momencie.
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Kolejną definicję entropii podał Ludwig Boltzman.
Definicja
S = k ln W
gdzie W jest liczbą stanów mikroskopowych realizujących dany stan
makroskopowy
Paweł Bialas
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Wstęp
Kolejnym przykładem entropii jest entropia Shannona związana z teorią informacji
Definicja
Rozpatrzmy zbiór prawdopodobieńst {p1 , p2 , . . . , pn } takich, że
= 1n pi = 1
i
. Entropią Shannona dla tak zadanego zbioru prawdopodobnieńst nazywamy:
P
H(p) = −
n
X
pi log2 pi
i=1
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
W układach dynamicznych entropia jest miarą mieszania się stanów które jest
jednym z cech wyróżniających układ chaotyczny. Jest ona pewnym analogonem
wcześniej przedstawionych pojęć. Pierwszym krokiem który musimy wykonać w
celu zastosowania tej miary na danym układzie dynamicznym jest dyskretyzacja
- podzielenia na skończoną ilość komórek przestrzeń fazową (lub jej części).
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
W układach dynamicznych entropia jest miarą mieszania się stanów które jest
jednym z cech wyróżniających układ chaotyczny. Jest ona pewnym analogonem
wcześniej przedstawionych pojęć. Pierwszym krokiem który musimy wykonać w
celu zastosowania tej miary na danym układzie dynamicznym jest dyskretyzacja
- podzielenia na skończoną ilość komórek przestrzeń fazową (lub jej części).
Następnym krokiem jest rozważenie ewolucji zbioru punktów znajdujących się
początkowo w jednej z komórek. Po n krokach czasowych zliczamy ilość punktów
w każdej z komórek. Dla odpodniej dużej próby początkowych punktów w ten
sposób uzyskamy prawdopodobieństwa na to,że punkt z komórki początkowej
ewoluje w czasie n do danej komórki.
Paweł Bialas
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Wstęp
Definicja
Jako entropię dynamiczną rozumiemy:
Sn = −k
X
pi ln pi
i
gdzie:
pi jest prawdopodobieństem na znalezienie się punktu w r-tej komórce po
czasie n. Sumowanie odbywa się po wszystkich komórkach
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Przejdźmy teraz do zdefiniowania entropii Kołmogorowa-Sinsaya. Jej idea opiera
się na tym, że w rozpatrywanych przez nas zagadnieniach istotniejsze od wartości
entropii jest to jak ona zmienia się w miarę ewolucji układu w czasie. Pewną miarą
tej zmiany po czasie n daje nam:
Kn =
1
(Sn+1 − Sn )
τ
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Przejdźmy teraz do zdefiniowania entropii Kołmogorowa-Sinsaya. Jej idea opiera
się na tym, że w rozpatrywanych przez nas zagadnieniach istotniejsze od wartości
entropii jest to jak ona zmienia się w miarę ewolucji układu w czasie. Pewną miarą
tej zmiany po czasie n daje nam:
Kn =
1
(Sn+1 − Sn )
τ
Po uśrednieniu tak zdefiniowanej miary otrzymujemy:
K = lim
N→∞
N−1
1 X
1
(Sn+1 − Sn ) = lim
(SN − S0 )
N→∞ Nτ
Nτ
n=0
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Ostatnim krokiem jest dokonanie dwóch kolejnych przejść granicznych:
Definicja
Entropią Kołmogorowa-Sinsaya nazywamy:
lim lim lim
τ →0 L→0 N→∞
Paweł Bialas
1
(SN − S0 )
Nτ
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Robert Gilmore, Marc Lefranc The Topology of Chaos Wiley-VCH
Verlag GmbH 2011.
Tomasz Downarowicz Entropy in Dynamical Systems Cambrigde
University Press 2011.
Robert C. Hilborn Chaos and Nonlinear Systems Oxford University Press.
Robinson C. Dynamical System Stability, Symbolic Dynamics and Chaos
CRC Press 1994.
Wiggins Stephen Introduction to aplied nonlinear dynamical system and
chaos. Springer-Verlag New York 1990.
Paweł Bialas
Wstęp
Pojęcie chaosu
Entropia
Bibliografia
Dziękuję za uwagę
Paweł Bialas

Chaos w układach dynamicznych: miary i kryteria chaosu

Transkrypt

Podobne dokumenty

W matematyce chaos oznacza, że rozwiązania układu szybko

04/2009 - str.32 Kącik matematyczny. Chaos odkrywany na nowo

jakimowicz znsr.indd

Front - Day For Life 2017 pl

NAUKA O PRZEWIDYWANIU

recenzja książki Michał Tempczyk Teoria

pc : gra pg warhammer mark of chaos złota edycja (pc)