synteza regulatora ułamkowego rzędu zapewniającego zadany

Pomiary Automatyka Robotyka 2/2010
mgr inĪ. Tomasz Nartowicz
Studium Doktoranckie, Wydziaá Elektryczny, Politechnika Biaáostocka
SYNTEZA REGULATORA UàAMKOWEGO RZĉDU
ZAPEWNIAJĄCEGO ZADANY ZAPAS STABILNOĝCI UKàADU
ZAMKNIĉTEGO Z OBIEKTEM INERCYJNYM PIERWSZEGO RZĉDU
Z CAàKOWANIEM I OPÓħNIENIEM
RozwaĪono problem projektowania regulatora uáamkowego rzĊdu zapewniającego
zadany zapas stabilnoĞci ukáadu regulacji z obiektem inercyjnym pierwszego rzĊdu
z caákowaniem i opóĨnieniem oraz ukáadu regulacji z obiektem niestabilnym.
Zaproponowana metoda projektowania bazuje na zastosowaniu idealnej
transmitancji Bodego jako wzorca dla ukáadu otwartego z regulatorem. Podano
komputerową metodĊ syntezy regulatora uáamkowego rzĊdu. RozwaĪania
zilustrowano przykáadem liczbowym i wynikami badaĔ symulacyjnych.
DESIGN OF FRACTIONAL ORDER CONTROLLER SATISFYING GAIN
AND PHASE MARGIN OF THE CLOSED LOOP SYSTEM WITH TIMEDELAY INERTIAL PLANT WITH INTEGRAL TERM
The paper considers the design problem of fractional order controller satisfying gain
and phase margin of the closed loop system with time-delay inertial plant with
integral term and closed loop system with unstable plant. The proposed method is
based on using Bode's ideal transfer function as a reference transfer function for the
open loop system. Computer method for synthesis of fractional controller is given.
The considerations are illustrated by numerical example and results of computer
simulation.
1. WSTĉP
Ostatnie lata przyniosáy intensywny rozwój teorii analizy i syntezy liniowych ukáadów
uáamkowego rzĊdu, patrz np. monografie [9, 11, 13, 15, 16] i cytowana tam literatura.
Problem badania stabilnoĞci oraz odpornej stabilnoĞci liniowych ukáadów uáamkowych byá
rozpatrywany w pracach [3-7, 18]. Problemowi doboru nastaw regulatorów uáamkowych
rzĊdów są poĞwiĊcone prace [2, 8, 10, 12, 14, 17, 19]. Podano w nich róĪne metody syntezy
regulatorów, m.in. bazujące na klasycznej metodzie Zieglera-Nicholsa, np. [17], jak i inne
metody, np. optymalizacyjne [10]. Do pierwszych prac naukowych, w których zaczĊto
rozpatrywaü regulatory rzĊdu uáamkowego, naleĪą prace Podlubnego [12, 14].
Celem pracy jest rozpatrzenie problemu projektowania regulatora uáamkowego rzĊdu
zapewniającego zadany zapas stabilnoĞci (tj. zapas moduáu i zapas fazy) ukáadu regulacji
z obiektem caákującym rzeczywistym z opóĨnieniem oraz ukáadu regulacji z obiektem
niestabilnym. Zaproponowana metoda projektowania bazuje na zastosowaniu idealnej
transmitancji Bodego (np. [1, 8]) jako wzorca dla ukáadu otwartego z regulatorem. Takie
podejĞcie zastosowano w pracy [1] w przypadku syntezy klasycznego regulatora
(tj. naturalnego rzĊdu), w pracy [2] w przypadku syntezy uáamkowego regulatora dla obiektu
jednoinercyjnego z opóĨnieniem oraz w pracy [8] w przypadku syntezy regulatora z obiektem
inercyjnym pierwszego rzĊdu z caákowaniem i opóĨnieniem. Proponowana metoda jest
rozszerzeniem metody podanej w pracach [2, 8] na klasĊ ukáadów regulacji z obiektami
bĊdącymi czáonami caákującymi rzeczywistymi z opóĨnieniem.
automation 2010
443
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2010
2. SFORMUàOWANIE PROBLEMU
WeĨmy pod uwagĊ ukáad regulacji automatycznej o schemacie blokowym pokazanym na
rys. 1, skáadający siĊ z obiektu o transmitancji operatorowej
k
e sh
s (1 sW )
G ( s)
(1)
i szeregowego regulatora uáamkowego rzĊdu o transmitancji C ( s).
yr(s) +
C(s)
_
G(s)
y(s)
Rys. 1. Rozpatrywany ukáad regulacji automatycznej
Celem pracy jest podanie prostej metody syntezy regulatora uáamkowego rzĊdu,
zapewniającego zadany zapas stabilnoĞci (tj. zapas moduáu Am i zapas fazy Im ) ukáadu
zamkniĊtego.
Przy syntezie regulatora wykorzystamy podejĞcie, polegające na takim dobraniu transmitancji
uáamkowego regulatora, aby transmitancja operatorowa ukáadu otwartego rzĊdu uáamkowego
miaáa tzw. idealną postaü Bodego [1, 2, 8]
§Z ·
K (s) ¨ c ¸
© s ¹
E
(2)
gdzie Zc jest pulsacją odciĊcia moduáu, tj. | K ( jZc ) | 1 zaĞ E jest liczbą rzeczywistą.
Szersza analiza ukáadu otwartego o idealnej postaci Bodego (w tym w dziedzinie czasu) jest
podana w pracy [1]. Synteza ukáadu automatycznej regulacji wykorzystująca powyĪsze
podejĞcie zostaáa przedstawiona w pracach [2, 8]. Istotną róĪnicą w obecnej pracy jest
zaáoĪenie uproszczonej transmitancji obiektu na etapie projektowania i wybór takiej postaci
regulatora uáamkowego, aby uzyskaü postaü zbliĪoną do (2).
3. ROZWIĄZANIE PROBLEMU
W celu uzyskania transmitancji operatorowej ukáadu otwartego o postaci (2) (bez
uwzglĊdniania czáonu opóĨniającego) zastosowano uproszczenie:
G ( s)
k
k
e sh | 2 e sh
s (1 sW )
sW
(3)
otrzymując transmitancje regulatora postaci:
C (s)
kc
s2
s
D
k c s 2 D
(4)
gdzie D jest liczbą rzeczywistą.
444
automation 2010
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2010
Transmitancja ukáadu otwartego:
kkc e sh
.
(5)
sD
ZauwaĪmy, Īe uzyskana postaü transmitancji ukáadu otwartego (5) róĪni siĊ od idealnej
transmitancji Bodego (2) czáonem opóĨniającym. Ukáad regulacji, którego transmitancja
ukáadu otwartego ma postaü (2), ma staáy zapas fazy. DziĊki temu jest on niewraĪliwy na
zmiany wartoĞci wzmocnienia w ukáadzie otwartym.
K ( s ) C ( s)G ( s )
W
UwzglĊdniając wzór ( jZ )D | Z |D e jDS / 2 obliczamy moduá i fazĊ transmitancji (5):
| K ( jZ ) |
kkc 1
W Z
D
I (Z ) arg K ( jZ ) hZ D
,
S
2
.
(6)
Przeanalizujmy teraz proces projektowania regulatora uáamkowego rzĊdu o transmitancji (4).
Ze wzglĊdu na zadany zapas moduáu Am i zadany zapas fazy Im , wyznaczmy wartoĞci
wzmocnienia kc regulatora oraz parametru D .
Dla pulsacji odciĊcia moduáu Z g oraz fazy Z p zachodzą nastĊpujące zaleĪnoĞci
| K ( jZ g ) | 1, I (Z p ) arg K ( jZ p )
S .
(7)
UwzglĊdniając wzór (6) moĪemy napisaü:
kkc
D
WZ g
hZ p D
1,
S
2
S .
(8)
Po przeksztaáceniu wzorów (8) otrzymujemy:
Z Dg
kkc
W
(2 D )
, Zp
h
S
2.
(9)
Z drugiego wzoru (9) wynika, Īe aby pulsacja Z p byáa liczbą dodatnią, musi byü speániony
warunek D 2.
Przy zadanym zapasie stabilnoĞci, tj. zapasie moduáu Am i zapasie fazy Im zachodzą
poniĪsze zaleĪnoĞci:
kkc
D
WZ p
1
, Im
Am
S hZ g D
S
2
.
(10)
Po przeksztaáceniu wzorów (10) mamy:
Zp
1/ D
§ Am kkc ·
¨
¸
© W ¹
(2 D )
S
2
h
, Zg
Im
.
(11)
UwzglĊdniając pierwsze wzory (9) i (10) otrzymamy:
Am
automation 2010
Z Dp
Z Dg
.
(12)
445
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2010
Podstawiając drugie z wzorów (9) i (11) do (12), otrzymamy:
D
S ·
§
¸
¨ (2 D )
2 ¸ .
¨
¨ (2 D ) S I ¸
¨
m¸
2
¹
©
Am
(13)
OtrzymaliĞmy nieliniowe równanie (13) wiąĪące ze sobą zapasy moduáu i fazy ( Am i Im )
z uáamkowym rzĊdem D regulatora (4). WartoĞü parametru D , która nie moĪe byü wiĊksza
niĪ 2, moĪemy obliczyü rozwiązując nieliniowe równanie (13).
WartoĞü wzmocnienia kc regulatora wyznaczamy z pierwszych wzorów (8) lub (10)
kc
WZDg
WZDp
k
kAm
(14)
na podstawie znajomoĞci wzmocnienia k obiektu i obliczonej pulsacji odciĊcia moduáu lub
pulsacji odciĊcia fazy (drugie z wzorów (9) i (11)).
Godnym zauwaĪenia jest fakt, Īe do wyznaczenia wartoĞci parametru D potrzebna jest
znajomoĞü tylko zadanego zapasu stabilnoĞci, tj. zapasu moduáu Am i zapasu fazy Im .
Wzmocnienie kc regulatora wymaga natomiast znajomoĞci dodatkowo pulsacji odciĊcia
moduáu Z g (lub pulsacji odciĊcia fazy Z p ) i wzmocnienia k obiektu oraz staáej czasowej W.
Z powyĪszych rozwaĪaĔ wynika metoda postĊpowania przy projektowaniu regulatora
uáamkowego rzĊdu opisanego transmitancją operatorową (4) przy zadanym zapasie moduáu
Am i zapasie fazy Im .
Metoda postĊpowania:
1) Mając zadany zapas stabilnoĞci (tj. Am i Im ) rozwiązujemy nieliniowe równanie (13)
i wyznaczamy liczbĊ rzeczywistą D .
2) Obliczamy pulsacjĊ odciĊcia fazy z drugiego wzoru (9) lub obliczamy pulsacjĊ odciĊcia
moduáu z drugiego wzoru (11). Wyznaczamy wzmocnienie kc regulatora ze wzoru (14),
3) Wyznaczamy transmitancjĊ operatorową projektowanego regulatora zgodnie z wzorem (4).
3.1. Przykáad
WeĨmy pod uwagĊ ukáad regulacji automatycznej o schemacie pokazanym na rys. 1, przy
czym obiekt regulacji jest opisany transmitancją operatorową
G ( s)
0.55
e 10 s .
s (1 62s )
(15)
NaleĪy wyznaczyü parametry transmitancji regulatora (4) tak, aby ukáad zamkniĊty miaá
zapas moduáu Am 4 (ok. 12 dB) i zapas fazy Im 55D . W rozpatrywanym przypadku
mamy: k 0,55; W 62; h 10.
446
automation 2010
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2010
PostĊpując zgodnie z podaną metodą postĊpowania otrzymujemy:
1) Po rozwiązaniu równania (13) otrzymujemy D 1,13385
2) Obliczamy pulsacjĊ odciĊcia moduáu z drugiego wzoru (11) otrzymując Z g
Ze wzoru (14) mamy kc
0,0401 .
2,9358
3) Transmitancja operatorowa projektowanego regulatora, zgodnie z (4), jest postaci:
C ( s)
2,9358s 0,8661.
(16)
Na rys. 2 pokazano charakterystyki skokowe ukáadu regulacji automatycznej z regulatorem
C(s) opisanym (16) oraz regulatorem zaprojektowanym w pracy [8] o postaci
1 62s
C1 ( s )
(przy syntezie którego zakáadano równoĞü W T ).
s 0,134
Charakterystyki skokowe
1.4
1.2
odpowiedz y
1
0.8
0.6
0.4
Regulator C1(s)
0.2
Regulator C(s)
0
0
100
200
300
czas [s]
400
500
600
Rys. 2. Charakterystyki skokowe ukáadu zamkniĊtego z obiektem (15)
i regulatorem C(s) oraz C1(s)
Ukáad regulacji z obiektem (15) i regulatorem (16), w porównaniu z regulatorem C1(s),
charakteryzuje siĊ o ok. 100 s krótszym czasem regulacji, zaĞ charakterystyka skokowa nie
ma przeregulowania. Regulator wyznaczony zostaá dla wartoĞci k 0,55 oraz W 62 , są to
wartoĞci nominalne. Na rys. 3 przedstawiono przebiegi charakterystyk skokowych dla
wyznaczonego regulatora, obiektu nominalnego oraz kilku wartoĞci wzmocnienia obiektu k
oraz staáych czasowych W. Wyznaczona nominalna charakterystyka skokowa nie ma
przeregulowania, zaĞ czas regulacji wynosi ok. 50 s. WiĊksze wartoĞci wzmocnienia ukáadu
otwartego powodują wzrost przeregulowania, dla k =1,1 nawet do ok. 30 %. Nie
obserwujemy natomiast przeregulowania dla wartoĞci wspóáczynnika wzmocnienia ukáadu
otwartego mniejszych od wartoĞci nominalnej (badano zmianĊ wartoĞci wzmocnienia do
k 0,3 ), przy czym wydáuĪa siĊ czas regulacji. Wzrost staáej czasowej W obiektu do 300 s
powodowaá wzrost przeregulowania do ok. 21 % i wydáuĪenie czasu regulacji do 420 s. Przy
W 18 zarejestrowano przeregulowanie ok. 30 % i czas regulacji ok. 200 s.
automation 2010
447
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2010
Charakterystyki skokowe
1.4
1.2
1.2
1
1
odpowiedz y
odpowiedz y
Charakterystyki skokowe
1.4
0.8
0.6
0.4
0.6
0.4
k=0.55
k=0.3
k=1.1
0.2
0
0.8
0
100
200
300
czas [s]
400
500
tal=62
tal=18
tal=300
0.2
600
0
0
100
200
300
czas [s]
400
500
600
Rys. 3. Charakterystyki skokowe UAR z obiektem (15) dla wyznaczonego regulatora (16)
oraz róĪnych wartoĞci wzmocnienia obiektu k oraz staáych czasowych W
Przeanalizujmy teraz zaprojektowany ukáad regulacji w dziedzinie czĊstotliwoĞci.
Wyznaczając transmitancjĊ operatorową oraz transmitancjĊ widmową ukáadu otwartego
otrzymamy odpowiednio:
K ( s)
kkc s 2D sh
e
s 1 sW 1,6147
e 10 s ,
s 1 62 s (17)
1,6147
e j10Z | K ( jZ ) | e j arg K ( jZ ) ,
jZ 1 62 jZ (18)
C ( s )G ( s )
K ( jZ )
0 ,134
0 ,134
gdzie:
| K ( jZ ) |
S
1,6147
Z
0 ,134
1 (62Z )
0,134
S
2
2
,
arg K ( jZ )
arctg 62Z p 10Z p ,
0,134
S
2
arctg 62Z 10Z .
1,6147
Z
0 ,134
g
1 (62Z g ) 2
1.
(19)
(20)
Dla obliczonych pulsacji odciĊcia moduáu i fazy, wyznaczonych na podstawie równaĔ (20)
odpowiednio otrzymamy:
Zp
Am
1 / | K ( jZ p ) |
0,1469 , Z g
Z p 0.134 1 (62Z p ) 2
1.6147
0,0372 .
4.3884, Im
(20a)
S arg K ( jZ g ) 80,0651D.
(21)
WartoĞci zapasu moduáu i fazy obliczone dla obiektu nominalnego (15) są wiĊksze niĪ
zakáadane, pomimo uproszczenia zastosowanego podczas syntezy regulatora. Otrzymano
wartoĞci Am 4,3884 oraz Im 80.0651D.
Na rys. 4 przedstawiono charakterystyki czĊstotliwoĞciowe ukáadu otwartego z wyznaczonym
regulatorem, obiektem nominalnym (1) – Obiekt 1 – oraz obiektem uproszczonym (3) –
Obiekt 2, dla którego przeprowadzono syntezĊ regulatora. Pomimo zastosowanego
448
automation 2010
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2010
uproszczenia wartoĞci zapasu fazy i moduáu są wiĊksze od zaáoĪonych. Na rys. 5
przedstawiono charakterystyki czĊstotliwoĞciowe ukáadu otwartego z obiektem nominalnym
dla kilku wartoĞci wzmocnienia k obiektu. Wzrost wzmocnienia k spowodowaá spadek
wartoĞci zapasu moduáu i fazy , natomiast zmniejszenie wzmocnienia k obiektu wzrost zapasu
moduáu i fazy.
Rys. 4. Charakterystyki czĊstotliwoĞciowe ukáadu otwartego z wyznaczonym regulatorem
(16) i obiektem nominalnym (15) – Obiekt 1 – oraz uproszczonym (3) – Obiekt 2
Rys. 5. Charakterystyki czĊstotliwoĞciowe ukáadu otwartego z wyznaczonym regulatorem
(16) oraz obiektem (15) dla róĪnych wartoĞci wzmocnienia obiektu k
4. OBIEKTY NIESTABILNE
Zaproponowaną metodĊ przeanalizujmy jeszcze raz, tym razem dla ukáadu automatycznej
regulacji, przedstawionego na rys. 1, z obiektem opisanym transmitancją operatorową:
G ( s)
k
e sh
s (1 sW )
(22)
i szeregowego regulatora C(s).
automation 2010
449
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2010
Ponownie, w celu uzyskania transmitancji operatorowej ukáadu otwartego o postaci (2)
stosujemy uproszczenie:
G ( s)
k
k
e sh | 2 e sh
s(1 sW )
sW
(23)
otrzymując transmitancje regulatora postaci:
C ( s)
kc
s2
s
D
kc s 2 D
(24)
gdzie D jest liczbą rzeczywistą.
Istotną róĪnicą w stosunku do transmitancji (4) jest ujemna wartoĞü wzmocnienia regulatora,
wartoĞü ta wpáynie na zmianĊ sprzĊĪenia zwrotnego na dodatnie ukáadu automatycznej
regulacji przedstawionego na rys. 1.
Otrzymujemy transmitancje ukáadu otwartego
K ( s ) C ( s )G ( s )
kkc e sh
W
sD
.
(25)
identyczną z (5), co gwarantuje nam identyczny sposób postĊpowania. Dla obiektu (22)
obowiązują zatem równania (5)-(14), oraz podana metoda postĊpowania.
4.1. Przykáad
WeĨmy pod uwagĊ ukáad regulacji automatycznej o schemacie pokazanym na rys. 1, przy
czym obiekt regulacji jest opisany transmitancją operatorową
G ( s)
0,55
e 10 s .
s (1 62 s )
(26)
NaleĪy wyznaczyü parametry transmitancji regulatora (24) tak, aby ukáad zamkniĊty miaá
zapas moduáu Am 4 (ok. 12 dB) i zapas fazy Im 55D .
W rozpatrywanym przypadku mamy: k
0,55; W
62; h 10.
PostĊpując zgodnie z podaną metodą postĊpowania otrzymamy transmitancje regulatora
o postaci:
C (s)
2,9358s 0,8661.
(27)
Na rys. 6 pokazano charakterystyki skokowe zaprojektowanego ukáadu regulacji
automatycznej z wyznaczonym regulatorem (27) dla kilku wartoĞci wspóáczynnika
wzmocnieni k obiektu oraz kilku wartoĞciach staáej czasowej W obiektu. Regulator
wyznaczono dla k 0,55 oraz W 62 , są to wartoĞci nominalne. Wyznaczona nominalna
charakterystyka skokowa ma przeregulowanie 100 % oraz czas regulacji ok. 300 s. WiĊksze
wartoĞci wzmocnienia k obiektu nie powodują duĪego wzrostu przeregulowania, natomiast
powodują skrócenie czasu regulacji, dla k = 1,1 nawet do ok. 200 s. Zmniejszenie wartoĞci
wzmocnienia (do k = 0,4) spowodowaáo znaczny wzrost przeregulowania i czasu regulacji.
450
automation 2010
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2010
Wzrost staáej czasowej W obiektu do 200 s spowodowaá zmniejszenie przeregulowania do ok.
85 % i blisko trzykrotne wydáuĪenie czasu regulacji. Przy W = 30 obserwujemy znaczny
wzrost przeregulowania i dwukrotne wydáuĪenie czasu regulacji.
Charakterystyki skokowe
Charakterystyki skokowe
2.5
3
2.5
2
1.5
odpowiedz y
odpowiedz y
2
1
1.5
1
0.5
k=0.55
k=0.4
k=1.1
0.5
0
0
100
200
300
400
500
600
czas [s]
700
800
900
tal=62
tal=30
tal=200
0
1000
-0.5
0
100
200
300
400
500
600
czas [s]
700
800
900
1000
Rys. 6. Charakterystyki skokowe ukáadu zamkniĊtego
dla róĪnych wartoĞci wzmocnienia k obiektu
W dziedzinie czĊstotliwoĞci zaprojektowany ukáad, ze wzglĊdu na identyczne postacie
transmitancji ukáadu otwartego (5) i (25), ma taki sam zapas stabilnoĞci, zgodny z (21).
Zaproponowana metoda syntezy regulatora zapewnia stabilnoĞü ukáadów regulacji
z obiektami niestabilnymi. Metoda syntezy regulatora polegająca na zakáadaniu równoĞci
W T zastosowana w [2] i [8] daje zadowalające rezultaty jedynie w przypadku obiektów
stabilnych.
LITERATURA
1. Barbosa R. S., Machado J. A., Ferreira I. M.: Tuning of PID controllers based on Bode's
ideal transfer function. Nonliner Dynamics, 2004, vol. 38, pp. 305-321.
2. Boudjehem B., Boudjehem D., Tebbikh H.: Simple analytical design method for
fractional-order controller. Proc. 3-rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and
its Applications, Ankara, Turkey, 2008 (CD-ROM).
3. Busáowicz M.: Frequency domain method for stability analysis of linear continuous-time
fractional systems. W: Malinowski K., Rutkowski L.: Recent Advances in Control and
Automation, Academic Publishing House EXIT, Warszawa 2008, pp. 83-92.
4. Busáowicz M.: StabilnoĞü liniowych ciągáych ukáadów uáamkowych rzĊdu wspóámiernego.
Pomiary Automatyka Robotyka, 2 (2008), str. 475-484 ( CD-ROM).
5. Busáowicz M.: Robust stability of convex combination of two fractional degree
characteristic polynomials. Acta Mechanica et Automatica, 2008, vol. 2, No. 2, pp. 5-10.
6. Busáowicz M.: Stability analysis of linear continuous-time fractional systems of
commensurate order. Journal of Automation, Mobile Robots and Intelligent Systems, vol.
3, 2009. pp 15-21.
automation 2010
451
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2010
7. Busáowicz M., Kalinowski T.: Odporna stabilnoĞü liniowego ciągáego ukáadu
uáamkowego rzĊdu wspóámiernego o funkcji charakterystycznej zaleĪnej liniowo od
jednego niepewnego parametru. Pomiary Automatyka Robotyka, 2 (2008), str. 465-474.
8. Busáowicz M., Nartowicz T.: Projektowanie regulatora uáamkowego rzĊdu dla okreĞlonej
klasy obiektów z opóĨnieniem. Pomiary Automatyka Robotyka, 2/2009, s. 398-405.
9. Das. S.: Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls. Springer,
Berlin 2008.
10. Monje C. A., Calderon A. J., Vinagre B. M., Chen Y., Feliu V.: On fractional PI
controllers: some tuning rules for robustness to plant uncertainties. Nonliner Dynamics,
2004, vol. 38, pp. 369-381.
11. Ostalczyk P.: Zarys rachunku róĪniczkowo-caákowego uáamkowych rzĊdów. Teoria
i zastosowania w automatyce. Wydawnictwo Politechniki àódzkiej, àódĨ 2008.
12. Podlubny I.: Fractional order systems and fractional order controllers. The Academy of
Sciences Institute of Experimental Physics, Kosice, Slovak Republic, 1994.
13. Podlubny I.: Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego 1999.
14. Podlubny I.: Fractional-order systems and PID-controllers. IEEE Trans. Autom. Control,
1999, vol. 44, No. 1, pp. 208-214.
15. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J.: Theory and Applications of Fractional
Differential Equations. Elsevier, Amsterdam 2006.
16. Sabatier J., Agrawal O. P., Machado J. A. T. (Eds): Advances in Fractional Calculus,
Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Springer,
London 2007.
17. Valerio D., da Costa J. S.: Tuning of fractional PID controllers with Ziegler-Nichols type
rules. Signal Processing, 2006, vol. 86, pp. 2771-2784.
18. Vinagre B. M., Monje C. A., Calderon A. J.: Fractional order systems and fractional
order control actions. Lecture 3 of IEEE CDC’02 TW#2: Fractional Calculus
Applications in Automatic Control and Robotics, 2002, Las Vegas.
19. Zhao Ch., Xue D., Chen Y.-Q.: A fractional order PID tuning algorithm for a class of
fractional order plant. Proc. IEEE Intern. Conf. on Mechatronics & Automation, Niagara
Falls 2005, Canada, pp. 216-221.
452
automation 2010