W10 Geometria bifurkacji_1

Geometria bifurkacji
Trajektorie fazowe podlegaj bifurkacjom. Mona odróni lokalne i globalne bifurkacje trajektorii.
Lokalne bifurkacje:
jakociowe zmiany portretu fazowego, które dadz si opisa w pobliu okrelonego punktu przestrzeni
fazowej ukadu.
Przykad: bifurkacja siodo-wze.
0
jest przykadem nagego powstawania rozwizania wraz z towarzyszcym mu
rozwizaniem niestabilnym (siodo).
W przykładzie powyżej bifurkacja zachodzi dla parametru kontrolnego = 0.
Dla > 0 nie ma rozwiązania.
Bifurkacja taka występuje nie tylko w dynamice układów dynamicznych.
Przykład: nage wygicie si pyty (buckling) pod wpywem obcienia wzdu jej
powierzchni jest wanie przykadem takiej bifurkacji.
Przykad: bifurkacja Hopfa dla oscylatora o równaniu: x + ( x 2 - 1) x +
2
x=0
Inne lokalne bifurkacje te s moliwe.
Jak równie moliwe s bifurkacje cykli granicznych:
Bifurkacje lokalne cige i niecige (katastroficzne)
P – stany ciagłe
Q – stany nieciągłe
Std w literaturze rosyjskiej punkt bifurkacji w przestrzeni parametrów bywa nazywany albo bezpiecznym
(bifurkacja ciga) albo te niebezpiecznym.
W przypadku bifurkacji lokalnej niecigej nie mona sdzi o jej wyniku po typie bifurkacji.
Natomiast bifurkacjia ciga okrela dokadnie typ rozwizania jakie si pojawia w jej wyniku.
Globalne bifurkacje trajektorii fazowych
Przykad:
Rozpatrzmy oscylator Dufinga:
m x + c x - a x + b x3 = 0
Dla tumienia c = 0 układ jest zachowawczy i rozwiązanie zależy od warunku początkowego.
Obydwa minima potencjau s osigalne dla niektórych trajektorii:
s oddzielone od trajektorii pozostajcych tylko w jednym minimum poprzez punkt siodowy
(jest to separatrisa).
Dla tumienia c > 0 ale maego, obydwa minima staj si
asymptotycznie przycigajcymi ogniskami (atraktory punktowe).
Siodo co prawda pozostaje nie zmienione
ale teraz dotarcie do danego minimum
zaley od warunku pocztkowego,
przy czym warunki te tworzą zbiory
(baseny atrakcji, baseny przyciągania):
Na rysunku warunki początkowe
o z obszaru zakreskowanego przestrzeni fazowej prowadz do
jednego minimum
o z obszaru niezakreskowane do drugiego.
Jest to przykad bifurkacji globalnej - nie zwizanej z okrelonym
punktem przestrzeni fazowej
Przykad:
Model Lorenza:
x = - x + y
y = R x - y - x z
z = - b z + x y
Dla R < 1
Jedynym rozwiązaniem jest punkt stały
usytuowany w (0,0,0)
Przebieg globalnej bifurkacji dla R = 1
w zalenoci od wartoci parametrów
kontrolnych powstaj jakociowe
zmiany w topologii trajektorii.
Dla R > 1
są dwa stabilne punkty stałe
Jak wida w przypadku ukadu Lorentz dla R = 1
nastpuje globalna bifurkacja
prowadzca do jakociowych zmian rozmaitoci niezmienniczych w calej przestrzeni fazowej.
Wplyw bifurkacji globalnych na jakociowe cechy trajektorii moe by dwojaki:
i) Globalne bifurkacje zmieniaj granice basenów atrakcji:
ii) globalna bifurkacja moe spowodowa tworzenie lub niszczenie atraktora
Przykad: globalno-lokalna bifurkacja intermitencja-drgania synfazowe w ukadzie Van der Pola z
wymuszeniem:
Tworzymy przekrój stroboskopowy
y = ( 1 - x2 ) y - x + A sin ( 1.1 t)
dla siły przechodzącej przez 0.
x = y
Rysunek obok otrzymano dla A = 0.611 i
zawiera kilkaset punktów przekroju.
Położenia punktów nigdy si nie
pokrywaj nawet przy uyciu najwikszej
rozdzielczoci numerycznej.
Tworzy si piercie dryfu - okazuje si on zwizany z ruchem kwaziperiodycznym.
Uwaga: na przekroju każdemu punktowi odpowiada jednokrotny obieg przestrzeni fazowej.
Obraz przedstawia intermitencj:
Punkty przekroju w wikszoci gromadz si wokó punktu bifurkacji ("duch" punktu bifurkacji) odpowiada to drganiom o bardzo zblionych cechach. Natomiast obiegnicie piercienia dryfu odbywa si w
stosunkowo krótkim czasie: wtedy cechy drga szybko si zmieniaj ("burst").
Dla około A = 0.6125 nastpuje bifurkacja siodo-wze i atraktor gwatownie zmienia rozmiary (kurczy się do
punktu).
Rysunek pokazuje przekrój dla A = 0.613: Kolorami oznaczono trajektorie rozpoczynające się w różnych
warunkach początkowych.
 Punkty widoczne s tylko ladami trajektorii stanu nieustalonego.
 Zaznaczono te położenie stabilnego wzła i niestabilnego punktu staego - siodo hiperboliczne.
Wszystkie warunki pocztkowe prowadz teraz do wza - reprezentuje on drgania synfazowe (mode locking)
z czstoci siy wymuszajcej.
Wszystkie trajektorie szybko osiadaj na piercieniu dryfu a nastpnie poruszaj si po nim zgodnie lub
przeciwnie do wskazówek zegara a dotr do stabilnego wza.
Oba rysunki otrzymano za pomocą przykładu Dynamics Solver Examples/ODE/van der Pol(forced).ds
Omówione zjawisko to rodzaj katastrofy intermitencyjnej:
Miara gstoci trajektorii (gsto punktów przekroju) zmienia si w sposób cigy wraz z parametrem
kontrolnym A
to jednak
rozmiary atraktora gwatownie si zmieniaj w punkcie bifurkacji.
Katastrofa polega tu na tym, e
tylko trajektorie przechodzce przez punkt zderzenia wza z siodem
mog by przeduone w przestrzeni parametrów poza punkt bifurkacji.
Katastrofy intermitencyjna moe si zdarzy równie na atraktorze
chaotycznym
- mamy wtedy do czynienia z jednym z kryzysów
(o czym poniej).
Katastrofa intermitencyjna na przekroju Poincaré powyej
ma swój odpowiednik dla potoków w postaci tzw. omega explosion.
Powstaje ona wtedy gdy trajektorie wychodzce z siode
tworz zamknit ptl:
wybuch w tym sensie, że zamiast stałej wartości zmiennej
nagle pojawia się oscylacja.
Uwaga: to nie jest bifurkacja Hopfa cho prowadzi od punktu staego
do cyklu granicznego !
Bifurkacja Hopfa jest bifurkacj cig a nie katastrof.
Katastrofa sinej dali (blue sky catastrophe)
Drugim typem globalnej bifurkacji na paszczynie jest
niecige zniknicie cyklu granicznego z paszczyzny fazowej.
Ze zjawiskiem tym nie wiże si adna lokalna bifurkacja
natomiast pojawia si zderzenie cyklu granicznego z punktem siodowym.
Przykad ukad Van der Pola o postaci:
y = - x + C
x = k y +
Jest to ukad oscylatora ze staym
napdem C.
x ( b - y2 )
Dla C = 0 mamy klasyczne równanie Van der Pola:
pojawia si cykl graniczny ze spiralnym repelerem (niestabilne ognisko) w rodku.
Dla C
0 pojawia si jeszcze dodatkowy punkt siodowy o wspórzdnych:
x= C
y=
k
2
C
+
2
k
2
C
+b
Jak wida dla C maych punkt ten ley bardzo daleko poza cyklem granicznym.
Rysunek poniej pokazuje portrety fazowe ukadu dla k = 0.7, μ = 10 i b = 0.1 oraz 3 wartoci C.
W momencie zetknicia cyklu granicznego z siodem nieco
powyej C = 0.12 siodo uzyskuje podwójnie asymptotyczn
trajektori (poczenie homokliniczne), któr mona traktowa
jako cykl graniczny o nieskoczenie dugim okresie.
Poczenie to istnieje tylko dla jednej wartoci C.
Powyej niej cykl graniczny znika " w sin dal".
Ten typ bifurkacji globalnej jest nawet bardziej niecigy
ni katastrofa zwizana z intermitencj i drganiami
synfazowymi:
Chocia pole wektorowe zmienia si w sposób cigy z C to
poza jego warto krytyczn adna trajektoria przycigajca
nie przetrwa.
Zderzenie z punktem siodowym jest typowym
mechanizmem nagego zniknicia cyklu granicznego
(zaniku drgań).
Histereza:
Gdy ukad równa dobrać tak aby oprócz cyklu granicznego.istnia jeszcze dodatkowy atraktor
(np. punkt stay).
Przykadowy diagram fazowy takiej sytuacji wygldaby tak:
Repelery (atraktory niestabilne) te mog podlega bifurkacji sinej dali na skutek ich zderzenia z punktem
siodowym.
Bifurkacje atraktorów chaotycznych
Dotychczas poznalimy róne bifurkacje prowadzce do chaosu.
Byy to trzy drogi:
- podwajania okresu
- intermitencji
- Ruelle'a, Takensa i Newhouse'a.
Wiele z omawianych przeze mnie rodzajów bifurkacji zachodzi w trakcie realizacji tych dróg do chaosu.
Widzielimy przykady przej - w miar zmiany parametru kontrolnego - od chaosu do atraktora periodycznego i
spowrotem.
Na przykład:
okna periodyczne odwzorowania logistycznego
Interesuj nas teraz róne bifurkacje zachodzce na atraktorach chaotycznych.
Grebogi, Ott i Yorke wprowadzili pojcie kryzysu atraktora chaotycznego.
Kryzys graniczny (boundary crisis):
Basen atrakcji si zmniejsza w miar zmiany parametru kontrolnego p tak, e
dla p = pc atraktor chaotyczny i orbita niestabilna (siodło hiperboliczne) lece na granicy basenu atrakcji si
stykaj.
Powstaje "wyciek" atraktora na zewntrz szybko prowadzcy do zaniku atraktora.
Czas ycia takiego stanu nieustalonego bkajcego si po atraktorze chaotycznym - stabilnym jeszcze dla p <
pc - jest funkcj warunków pocztkowych.
Prawdopodobiestwo otrzymania okrelonego czasu ycia τ wynosi:
P(
)
-
e<>
gdzie <τ> jest rednim czasem ycia na atraktorze:
~p
< > ( p - p ) d l a p>
c
γ to wykadnik krytyczny kryzysu.
c
Przykad: Dla odwzorowania logistycznego (x,r) = r x (1-x) dla parametru kontrolnego nieco większego od r = 4
nastpuje zderzenie atraktora chaotycznego z niestabilnym punktem staym x = 0.
Dla r > 4 atraktor choatyczny zamieniony zostaje na chaotyczny stan nieustalony:
wokó x = 1/2
wystpuje obszar o szerokoci rzdu (r-4)1/2, dla którego (x,r) > 1.
Trajektoria, która trafi w ten obszar w pierwszej iteracji jest odwzorowywana do x > 1
a nastpnie do x < 0 i ucieka do - .
Mona pokaza, e
-
< > ( r-4 )
1
2
i że taka warto wykadnika krytycznego
jest wasnoci wszystkich odwzorowa jednowymiarowych z kwadratowymi ekstremami.
Wykadnik γ dla wicej niż 1-wymiarowych atraktorów na ogó jest wikszy ni 1/2.
Na paszczynie (tym wanie zajmowali si Grebogi, Ott i Yorke w 1982 i 1983 roku) mamy dwa typy
kryzysu granicznego:
-heterokliniczny
oraz
-homokliniczny
Kryzysy takie wystpuj jako jedyne dla wszystkich dwuwymiarowych odwzorowa,
które s cile dysypatywne
(Jakobian < 1 wszdzie).
S one powszechne
m.in. wystpuj w przypadku:
o wahada z napdem i tumieniem,
o oscylatora Dufinga
o odwzorowania Hénona.
Intermitencja wywoana kryzysem
Dwa pozostae typy kryzysu prowadz do intermitencji chaos-chaos.
Kryzys wewntrzny (interior crisis)
Dla pewnej wartoci p = pc atraktor ukadu nagle si powiksza.
Dla p = pc + ε, ε mae, trajektoria spdza wikszo czasu wewntrz atraktora stabilnego dla p < pc.
Jednake co pewien czas (nieregularnie !) wypada na zewntrz i bka si po atraktorze powikszonym
przez bifurkacj w p = pc.
Podobnie jak w przypadku kryzysu granicznego
Czas ycia na atraktorze wewntrznym wydaje si przypadkowy i daje si opisa przez eksponencjalnie
malejcy rozkad statystyczny.
Ponadto czas ten take i w tym przypadku jest rozbieny gdy p pc od góry.
Mechanizm powstawania tego typu kryzysu jest podobny do mechanizmu kryzysu garnicznego (zachodz
odpowiednie zderzenia)
ale atraktory, z którymi trajektoria ukadu zderza si le cakowicie wewntrz basenu atrakcji.
Kryzys scalenia (merging crisis)
Pojawia si gdy dwa (lub wicej) atraktorów zderza si jednoczenie z ich wspóln granic basenu atrakcji dla
pewnej wartoci parametru kontrolnego.
Trajektoria porusza si najpierw po jednym atraktorze aby nastpnie spdzi pewien czas na drugim i
powraca do pierwszego. Ponownie czas przebywania na jednym z atraktorów ma te same wasnoci co w
pozostaych typach kryzysu.
Przykad: kryzys wewnętrzny dla odwzorowania logistycznego
Widoczne s: a) okno o okresie 3, które koczy si
kaskad podwajania.
Widzielimy, e okno to zaczyna si w r = r*3
intermitencj Pomeau-Manneville'a typu I:
chaos
cig iteracji prawie regularnych
chaos
....
W punkcie r = rc3 nastpuje kryzys wewntrzny:
pozostaa z bifurkacji tangencjalnej powodujcej
intermitencj Pomeau-Manneville'a niestabilna
trajektoria o okresie 3 zderza si z (podwojon
wielokrotnie do chaosu) trajektori stabiln o
okresie 3.
Poszerza to atraktor chaotyczny ale trajektoria
spdza wiksz cz czasu na zwielokrotnionej
trajektorii o okresie 3.
Wida to po gstoci punktów (zaczernieniu obrazka) na atraktorze. Jest to wic intermitencja chaos1
chaos2
Podobne zachowanie pojawia si we wszystkich innych oknach periodycznych odwzorowania logistycznego.
M.in. jest widoczne w powikszeniu b) okna periodycznego o okresie 3 powyej.
Przykad: ukad dowiadczalny z tam magnetoelastyczn
Ukad pobudzano sygnaem pola magnetycznego o postaci:
H(t) = Hdc + Hacsin(2πft)
Kryzys
wewntrzny
obserwowano
na
przekroju
stroboskopowym
mierzonym z czstoci pobudzenia we wspórzdnych
opónionych Takensa
w funkcji czstoci pola magnetycznego: