seria 1

I
Zad. 1. Dane są wektory:
r
r r
r
r r r
r
r
r
r
r r r
r
r
a) a = 6i + 2 j + 0k
b = 1i + 3 j + 0k
b) a = 2i + 1 j + 1k ,
b = 1i + 1 j + 2k
Wyznaczyć:
r r r r r r
1) c = a + b , d = a − b
r r
2) długości wektorów a , b
r r
3) iloczyn skalarny a ⋅ b
r
r
4) dowolną funkcję trygonometryczną kąta zawartego między wektorami a oraz b
r r r
r
r r
5) iloczyny wektorowe h1 = a × b oraz h2 = b × a
Odp. do punktu b)
r
r r r
r
r
r r
r
r r
r
5
3) a ⋅ b = 5 ; 4) cos α = ;
1) c = 3i + 2 j + 3k d = 1i + 0 j − 1k ; 2) a = b = 6 ;
6
r
r
r
r r
r
r r
5) h1 = 1i − 3 j + k , h2 = −1i + 3 j − k
Zad. 2. W chwili początkowej samochód znajdował się w odległości d=4km na wschód od ruin zamku.
Samochód przebył drogę S1=1km jadąc na wschód, następnie S2=5km jadąc na północ i w końcu S3=4km
jadąc w kierunku odchylonym o kąt α = 30 0 od wschodu ku południu.
1) Znaleźć w kartezjańskim dwuwymiarowym układzie współrzędnych o początku w miejscu położenia
ruin zamku i osi Ox zwróconej w kierunku wschodnim, zaś osi Oy zwróconej w kierunku północnym
a) wypadkowe przemieszczenie samochodu licząc od punktu startu
r
b) wektor (promień) wodzący rk określający położenie samochodu po przebyciu całej drogi.
2) Określić całkowitą drogę pokonaną przez samochód.
Zad. 3. Po obu brzegach rzeki o szerokości d znajdują się naprzeciwko siebie dwie przystanie. Wartość
prędkości prądu rzeki wynosi Vr . W jakim kierunku winna płynąć łódź przewoźnika, aby przepłynąć
rzekę wzdłuż linii prostej łączącej obie przystanie? Określić szybkość (wartość prędkości), z jaką będzie
się wówczas poruszać łódź w poprzek rzeki oraz czas po którym przepłynie przez rzekę. Wartość
prędkość łodzi względem wody wynosi Vl . Odp. (częściowa) V = Vl 2 − Vr2 t =
d
Vl − Vr2
2
Zad. 4. Samochód jadący z szybkością (prędkością o wartości) V0=20m/s zaczyna hamować i porusza się
ruchem jednostajnie opóźnionym ze stałym opóźnieniem a op = 5m / s 2 . Jaka będzie droga hamowania?
V0
V02
Po jakim czasie samochód zatrzyma się? Odp. t h =
= 4s , S h =
= 40m
a op
2a op
Zad. 5. Droga hamowania pojazdu poruszającego się po linii prostej była równa Sh=30m. Wiadomo iż w
trakcie hamowania, które trwało th=4s pojazd jechał ruchem jednostajnie opóźnionym. Określić wartość
początkowej prędkości (początkową szybkość) z jaką jechał pojazd.
Zad. 6. Rowerzysta porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. W ciągu czasu t=10s przejechał on
drogę S=30m, przy czym wartość jego prędkości wzrosła pięciokrotnie. Określić przyspieszenie
rowerzysty.
4S
Odp. a = 2 = 0,4m / s 2
3t
Zad. 7. Maszynista pociągu osobowego jadącego z prędkością o wartości V1 spostrzega w odległości d od
początku swojego pociągu pociąg towarowy jadący po tym samym torze w tym samym kierunku z
mniejszą prędkością o wartości V2. Uruchamiając hamulce nadaje on swojemu pociągowi stałe
opóźnienie o wartości aop>0. Pokazać, że jeżeli d >
(V1 − V2 )2 to nie dojdzie do zderzenia, a jeżeli
2aop
(V1 − V2 ) to nastąpi zderzenie. Po jakim czasie ono nastąpi?
2
d≤
2a op
Zad. 8. Z balonu wznoszącego się pionowo do góry ruchem jednostajnym z prędkością o wartości
V0=5,0m/s wypadł przedmiot. Na jakiej wysokości nad ziemią był balon w chwili wypadnięcia
przedmiotu, jeśli przedmiot po czasie tc=4,0s od chwili wypadnięcia spadł na ziemię? Jaka była wartość
prędkości przedmiotu (szybkość) w momencie upadku jego na ziemię? Po jakim czasie przedmiot
osiągnął najwyższą wysokość nad ziemią i na jakiej wysokości znajdował się on wówczas nad ziemią?
Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g=9,81m/s2.
Zad. 9*. Położenie samochodu poruszającego się po linii prostej wzdłuż osi OX zmienia się z czasem
zgodnie ze wzorem
3
x(t ) = At 3 gdzie A = 1m / s
Określić zależność prędkości i przyspieszenia samochodu od czasu.
Określić średnią szybkość samochodu w ruchu zachodzącym w przedziale czasu od tp=1s do tk=4s.
Zad. 10. Kula wystrzelona poziomo ze strzelby znajdującej się na wysokości h nad ziemią z
początkową szybkością (prędkością o wartości równej) V0 przebiła dwie pionowo ustawione kartki
papieru umieszczone w odległościach l1 i l2 od strzelby.
y
r
1) Określić wartość prędkości kuli w chwili przebijania
r
V0
V =?
kartki położonej w odległości l1 od strzelby.
r
g
2) Określić różnice wysokości, na jakiej znajdują się
h
otwory w kartkach.
d=? r
l1
3) Znaleźć równanie toru kuli w pokazanym na
V =?
rysunku układzie współrzędnych.
l2
4) Znaleźć odległość od początku układu
O
współrzędnych do punktu, w którym kula uderzyła o
x
Z=?
ziemię oraz wartość prędkości kuli tuż przez jej
spadkiem na ziemię.
Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g. Założyć, iż w trakcie przechodzenia przez kartki
prędkość kuli nie ulegała zmianie
r
2V02 h
g 2l 2
g 2 2
gx 2
Odp. 1) V1 = V02 + 21 , 2) d =
(
l
−
l
)
3)
y
=
h
−
4)
Z
=
Vk = V02 + 2hg
2
1
2
2
g
V0
2V0
2V0
Zad. 11. Ciało rzucono poziomo z wieży o pewnej wysokości nadając mu prędkość początkową o
wartości V0 =4,0m/s skierowaną równoległe do powierzchni ziemi. Wartość prędkości ciała (szybkość) w
momencie upadku na ziemię jest 4 razy większa od wartości prędkości początkowej. Obliczyć wysokość
wieży, z której wyrzucono ciało oraz czas spadku ciała z wieży. Znana jest wartość przyspieszenia
15V02
15V0
2
ziemskiego g=9,81m/s . Odp. h =
≈ 12m , t s =
≈ 1,6 s
2g
g
Zad. 12. U szczytu zbocza o wysokości h wznoszącego się pod kątem β do poziomu wystrzelono kulę z
armaty. Kula wyleciała z lufy z prędkością o wartości V0 poziomo (w kierunku równoległym do osi Ox)
jak pokazano na rysunku. Na kulę działa wyłącznie siła ciężkości zwrócona pionowo w dół. Znana jest
y
wartość przyspieszenia ziemskiego g.
r
V0
Wyznaczyć w przyjętym na rysunku układzie współrzędnych
β
a) równanie toru kuli,
r
g
h
b) współrzędne punktu, w którym kula trafi w zbocze,
c) czas po którym kula uderzy w zbocze,
d) wartość prędkości kuli w chwili uderzenia w zbocze.
β
x
1
k
O
Wsk. Równanie płaszczyzny zbocza w przyjętym na rysunku układzie
współrzędnych ma postać y = h − tg (β )x
2V tg (β )
Odp. (częściowa) c) t = 0
d) V = V0 1 + 4tg 2 (β )
g
Zad. 13. Ciało o masie m w chwili t=0 wyrzucono z powierzchni ziemi z prędkością początkową o
wartości V0 pod kątem α do poziomu.
a) Znaleźć czas po którym ciało spadnie na ziemię tc, zasięg rzutu ciała Z (odległość pomiędzy miejscem
wyrzutu ciała i miejscem jego spadku na ziemię), maksymalną wysokość h na jaką wzniesie się ciało nad
powierzchnię ziemi
b) Pod jakim kątem do poziomu należy wyrzucić ciało z powierzchni ziemi, aby zasięg rzutu ciała był
maksymalny?
c) Znaleźć równanie toru ciała.
Znana jest stała wartość przyspieszenia ziemskiego g.
Zad. 14. U podnóża zbocza wznoszącego się pod katem β do poziomu y
wystrzelono kule z armaty. Kula wyleciała z lufy z prędkością o wartości V0
pod kątem α do poziomu. Wyznaczyć współrzędne punktu, w którym kula
trafi w zbocze oraz czas po którym to nastąpi.
Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g.
V0
2V02 cos 2 (α )(tg (α ) − tg (β ))
α β
Odp. x P =
g
2V02 cos 2 (α )(tg (α ) − tg (β ))
2V cos(α )(tg (α ) − tg (β ))
y P = x P tg (β ) =
tg (β )
tz = 0
g
g
x
Zad. 15. Kula armatnia wystrzelona z powierzchni ziemi pod
kątem α do poziomu z prędkością o pewnej wartości przebiła
l2
dwie pionowo ustawione przegrody umieszczone w
l1
odległościach l1 i l2 od armaty. Wiadomo, iż otwory w obu
V=?,an=?
przegrodach znajdowały się na tej samej wysokości nad ziemią.
r
Określić wartość początkowej prędkości kuli w chwili
r
V0 = ?
g
wystrzału. Założyć, iż w trakcie przebijania przez kulę każdej z
przegród jej prędkość nie ulegała zmianie. Znana jest wartość
α
przyspieszenia ziemskiego g.
g (l1 + l 2 )
g (l1 + l 2 )
Odp. V0 =
=
sin (2α )
2 sin (α ) cos(α )
Zad. 16. Znaleźć promień obracającego się koła jeśli wiadomo, że szybkość (wartość prędkości) punktu
znajdującego się na obwodzie koła jest n=3 razy większa od wartości prędkości punktu położonego o
n
d=4cm bliżej osi koła. Odp. R =
d = 6cm
n −1
Zad. 17 . Punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu R. Wiadomo iż czas
jednego pełnego obiegu okręgu jest równy T. Znaleźć długość wektora przyspieszenia z jakim porusza się
ten punkt.
r
4π 2 R
Odp. a = a d =
T2
Zad. 18. Dwie tarcze wirują ze stałą prędkością kątową wykonując 3000 obrotów w ciągu minuty. Tarcze
są umieszczone na wspólnej osi w odległości d=5cm. Równolegle do osi został wystrzelony pocisk, który
przebił obie tarcze. Otwór w drugiej tarczy jest przesunięty kątowo względem otworu w pierwszej tarczy
o kąt ∆ϕ = π / 10 rad. Jak była szybkość pocisku poruszającego się ze stałą prędkością?
Odp. V = 50m / s
Zad. 19. Punkt materialny poruszający się ruchem jednostajnie przyspieszonym po okręgu ze stałym
przyspieszeniem kątowym wykonał n=100 pełnych obiegów okręgu w ciągu tk =20s. Jaką prędkość
kątową osiągnął ten punkt po upływie tego czasu? Zakładamy iż w chwili początkowej punkt spoczywał.
rad
Odp. ω k = 20π
s
Zad. 20. Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu R ruchem jednostajnie opóźnionym ze
stałym ujemnym przyspieszeniem kątowym. Wiadomo iż w chwili początkowej t=0 wartość prędkości
kątowej punktu materialnego była równa ω (t = 0 ) = ω 0 . W trakcie ruchu punktu materialnego przebył on
do chwili zatrzymana drogę S. Określić:
a) opóźnienie kątowe punktu materialnego ε op = −ε > 0 ( ε -przyspieszenie kątowe)
b) czas trwania ruchu
ω 02 R
2S
Odp. ε op =
th =
2S
ωo R