Analiza wrażliwości

Badania operacyjne
Ćwiczenia 4
Temat:
Wrażliwość rozwiązania optymalnego na zmiany uwarunkowań. 1
Rozwiązanie optymalne programu liniowego umożliwia podjęcie trafnej decyzji. Równocześnie jednak może
stanowić punkt wyjścia do analizy, jak zmiany parametrów modelu (spowodowane zmianami warunków działania
przedsiębiorstwa) mogą wpłynąć na rozwiązanie optymalne. Badanie wpływu zmian wartości parametrów na
rozwiązanie optymalne programu liniowego nosi nazwę analizy wrażliwości lub analizy postoptymalizacyjnej.
Przedmiotem analizy wrażliwości są zmiany:
a) współczynników funkcji celu – w jakich granicach mogą zmieniać się te parametry, aby dotychczasowe
rozwiązanie pozostało optymalne,
b) wyrazów wolnych w warunkach ograniczających – w jakich granicach mogą się zmieniać wyrazy wolne,
aby w rozwiązaniu optymalnym pozostały dotychczasowe zmienne bazowe,
c) współczynników występujących po lewej stronie układu warunków ograniczających,
d) dodanie nowych warunków ograniczających.
W praktyce najczęściej ogranicza się do badania wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany
współczynników funkcji celu oraz wyrazów wolnych w warunkach ograniczających; informacje te podawane są
obok rozwiązania optymalnego przez większość pakietów komputerowych z zakresu programowania liniowego.
Analizę wrażliwości można przeprowadzić przy użyciu:
a) metody graficznej (w przypadku, gdy w zadaniu występują dwie zmienne decyzyjne):
− analizując nachylenie izolinii funkcji celu,
− analizując położenie i nachylenie prostych odpowiadających kolejnym warunkom ograniczającym,
b) metody simplex.
Opracowanie teoretyczne na podstawie: Karol Kukuła (red.), Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 1996
1
1
Badania operacyjne
Ćwiczenia 4
Zadanie 1
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyrobu W1 i W2. Ograniczeniem w procesie produkcji są zapasy trzech
surowców: S1, S2 i S3. Niezbędne informacje o zapasach surowców, jednostkowych nakładach surowców na
produkcję wyrobów oraz ceny wyrobów zawarto w tablicy:
Zużycie surowca (w kg)
na 1 szt. wyrobu
W1
W2
Zapas
surowca
(w kg)
S1
S2
S3
2
3
1,5
1
3
–
1000
2400
600
Cena (w zł)
30
20
Surowce
a) Znajdź rozmiary produkcji wyrobów W1 i W2, które gwarantują maksymalny przychód z ich sprzedaży
przy istniejących zapasach surowców.
b) Ustal w jakich granicach mogą zmieniać się współczynniki funkcji celu, aby dotychczasowe rozwiązanie
pozostało optymalne.
c) Ustal w jakich granicach mogą się zmieniać wyrazy wolne, aby w rozwiązaniu optymalnym pozostały
dotychczasowe zmienne bazowe.
Polecenia b) i c) wykonaj przy użyciu metody graficznej a następnie przy użyciu metody simplex.
Materiały pomocnicze do zadania 1
Metoda geometryczna – wykres
x1 – wielkość produkcji wyrobu W1 [szt.]
x2 – wielkość produkcji wyrobu W2 [szt.]
 2 x1 + x2 ≤ 1000
 3 x + 3 x ≤ 2400

1
2

1,5
x
≤ 600
1


x1 , x2 ≥ 0
f ( x1 , x2 ) = 30 x1 + 20 x2 → max
x2
1000
(1)
(3)
800
600
400
(2)
200
200
2
400
600
800
1000
x1
Badania operacyjne
Ćwiczenia 4
Metoda simplex – kolejne tablice simplex
I tablica simplex
cb
0
0
0
30
x1
2
3
1,5
20
x2
1
3
0
0
s1
1
0
0
0
s2
0
1
0
0
s3
0
0
1
Rozwiązanie
(bi)
0
0
0
0
0
0
cj – z j
30
20
0
0
0
cj
Zmienne bazowe
30
x1
20
x2
0
s1
0
s2
s1
s2
x1
0
0
1
1
3
0
1
0
0
0
1
0
0
s3
− 43
–2
zj
30
0
0
cj – z j
0
20
cj
Zmienne bazowe
30
x1
x2
s2
x1
cj
Zmienne bazowe
s1
s2
s3
zj
1000
2400
600
II tablica simplex
cb
0
0
30
Rozwiązanie
(bi)
3
200
1200
400
0
20
12 000
0
0
–20
20
x2
0
s1
0
s2
0
0
1
1
0
0
1
–3
0
0
1
0
0
s3
− 43
2
zj
30
20
20
0
cj – z j
0
0
–20
0
20
Zmienne bazowe
30
x1
20
x2
0
s1
0
s2
0
s3
Rozwiązanie
(bi)
x2
s3
x1
0
0
1
1
0
0
–1
–1,5
1
0
1
0
600
300
200
zj
30
20
10
0
18 000
cj – z j
0
0
–10
2
III tablica simplex
cb
20
0
30
2
3
− 20 3
Rozwiązanie
(bi)
200
600
400
16 000
3
IV tablica simplex (ostatnia)
cb
20
0
30
cj
3
2
1
3
2
− 13
10
3
− 10 3
0
Badania operacyjne
Ćwiczenia 4
Zadanie 2
Asortyment zakładu produkującego meble szkolne stanowią ławki, stoły i krzesła drewniane. Produkcja każdego
wyrobu odbywa się kolejno na trzech wydziałach produkcyjnych: na wydziale obróbki wstępnej drewna, w stolarni
i wykańczalni, których dopuszczalny czas pracy wynosi odpowiednio: 960, 800 oraz 320 godzin. W poniższej
tablicy podano czas obróbki każdego wyrobu na poszczególnych wydziałach oraz zyski uzyskiwane przez zakład
ze sprzedaży wyrobów.
Wyroby
Nakład czasu pracy na jednostkę wyrobu
(w godz.) na wydziale
obróbki
wstępnej
stolarni
wykańczalni
Zysk
jednostkowy
(w zł)
8
6
1
8
4
3
4
3
1
60
30
20
Ławka
Stół
Krzesło
Optymalną strukturę produkcji tych wyrobów gwarantującą zakładowi maksymalny zysk, przy istniejących
ograniczeniach czasu pracy wydziałów produkcyjnych, stanowi rozwiązanie poniższego programu liniowego
 8 x1
8 x
 1

 4 x1

+ 6 x2
+ 4 x2
+ 3 x2
+ x3
+ 3 x3
+ x3
≤ 960
≤ 800
≤ 320
x1 , x2 , x3 ≥ 0
f ( x1 , x2 , x3 ) = 60 x1 + 30 x2 + 20 x3 → max
podane w ostatniej tablicy simplexowej postaci
cb
0
20
60
cj
xb
s1
x3
x1
zj
cj – zj
60
x1
0
0
1
30
x2
–2
–2
1,25
20
x3
0
1
0
0
s1
1
0
0
0
s2
1
1
–0,25
0
s3
–4
–2
0,75
Rozwiązanie
60
35
20
0
5
5
5600
0
–5
0
0
–5
–5
480
160
40
a) Czy wzrost ceny stołów do 40 zł spowoduje zmianę rozwiązania optymalnego?
b) Określ dopuszczalne przedziały zmienności cen ławek i krzeseł nie powodujące zmiany rozwiązania
optymalnego.
c) Określ wrażliwość rozwiązania optymalnego na zmiany dopuszczalnych czasów pracy poszczególnych
wydziałów produkcyjnych.
d) Podaj rozwiązanie optymalne w przypadku, gdy dopuszczalny czas pracy wykańczalni wzrośnie do 400
godzin.
4