1 Elementy Fizyki Teoretycznej Stanisław Bednarek

Elementy Fizyki Teoretycznej
Stanisław Bednarek
(semestr letni 2009)
I.
•
•
•
•
•
•
II.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Wst p.
Mechanika klasyczna.
Wprowadzenie.
Wi zy.
Współrz dne uogólnione.
Zasada najmniejszego działania (elementy rachunku wariacyjnego).
Transformacja Galileusza, jednorodno i izotropowo przestrzeni i czasu.
Funkcja Lagrange’a cz stki swobodnej w inercjalnym układzie odniesienia.
Funkcja Lagrange’a dla cz stki w polu potencjalnym.
Funkcja Lagrange’a układu wielu cz stek.
Transformacja ze współrz dnych kartezja skich do współrz dnych uogólnionych.
Funkcja Lagrange’a dla cz stki swobodnej we współrz dnych sferycznych i
cylindrycznych.
Przykładowe zastosowanie formalizmu Lagrange’a.
Cz stka w polu centralnego potencjału.
Wahadło matematyczne.
III.
• Bardziej zaawansowane zastosowania formalizmu Lagrange’a.
• Wahadło zło one.
• Wydzielenie podukładu z układu cz stek oddziaływuj cych.
• Problem wahadła matematycznego, którego punkt zawieszenia wykonuje pionowe
drgania.
• Równania ruchu w nieinercjalnych układach odniesienia.
IV.
• Prawa zachowania, całki ruchu.
• Energia.
• P d.
• Moment p du.
• Zmienne cykliczne a całki ruchu.
• Równania kanoniczne Hamiltona.
• Nawiasy Poissona.
(2) Mechanika relatywistyczna
V.
• Zasada wzgl dno ci Einsteina
• Przedział czasoprzestrzenny.
• Transformacja Lorentza.
1
• Transformacja odwrotna.
• Kontrakcja długo ci i dylatacja czasu.
• Transformacja pr dko ci.
VI.
• Relatywistyczna całka działania.
• P d i energia cz stki swobodnej.
• Relatywistyczna zasada zachowania energii.
• Relatywistyczna funkcja Hamiltona.
• Transformacja energii i p du, czterowektory.
VII.
• Geometria czasoprzestrzeni, elementy rachunku tensorowego.
• Tensory kontrawariantne i kowariantne.
• Tensor metryczny.
• Tensorowe własno ci operatorów ró niczkowych.
(3) Elektrodynamika
VIII.
• Cz stka w zewn trznym polu elektrycznym i magnetycznym, czteropotencjał pola
elektromagnetycznego.
• Interpretacja czteropotencjału.
• Niezmienniczo cechowania potencjałów elektromagnetycznych.
• Transformacja Lorentza dla pól elektrycznego i magnetycznego.
IX.
• Pierwsza para równa Maxwella.
• Czterowektor g sto ci pr du, równanie ci gło ci.
• Pole elektromagnetyczne wywołane zadanym rozkładem ładunków i pr dów.
• Działanie pola elektromagnetycznego, druga para równa Maxwella.
• Równania Maxwella w postaci ró niczkowej.
• Kowariantny (jawnie relatywistyczny) zapis równa Maxwella.
X.
• Równania Maxwella w ró niczkowej i całkowej postaci.
• Refleksja nad sposobem wprowadzenia równa Maxwella.
• Zastosowanie równa Maxwella w postaci całkowej.
• Prawo Coulomba.
• Potencjał skalarny ładunku punktowego.
• Układ kilku ładunków punktowych.
• Ci gły rozkład g sto ci ładunku.
• Pole elektryczne wokół jednorodnie naładowanego walca.
• Symetria prostok tna- jednorodnie naładowana płaszczyzna, kondensator.
• Zastosowania praw Maxwella w postaci całkowej do magnetostatyki.
• Pole magnetyczne wewn trz niesko czenie długiego solenoidu.
2
XI.
• Transformacja Lorentza w magnetostatyce.
• Zastosowania równa Maxwella w postaci ró niczkowej.
• Równanie Poissona i Laplace’a.
• Twierdzenie o jednoznaczno ci rozwi za równania Laplace’a i Poissona.
• Prawo Biota-Savarta.
XII.
• Przewodniki i warunki brzegowe na ich powierzchniach.
• Ładunki indukowane.
• Pole elektrostatyczne w obecno ci przewodników. Metoda obrazów.
• Obraz a ładunek indukowany.
• Rozwini cie multipolowe
XIII.
• Pola elektryczne i magnetyczne w o rodkach, zale no ci pomi dzy E i D oraz H i B.
• Istota wektorów pól.
• Polaryzacja dielektryka.
• Dielektryki liniowe.
• Granice o rodków dielektrycznych
• Zmienne pole elektromagnetyczne. Fala płaska.
XIV.
• Elektrodynamika klasyczna w nanostrukturach półprzewodnikowych.
3
I.
Wst p.
Fizyk mo na podzieli w zale no ci od problemów jakimi si zajmuje wyró ni ró ne jej
działy, np. fizyka j drowa, ciała stałego, niskich temperatur, astrofizyka itd.
Niezale nie od podziału tematycznego istnieje podział na fizyk do wiadczaln i teoretyczn .
Ta ostatnia wyró nia si specyficznymi narz dziami pracy. S nimi kartka papieru, ołówek i
komputer jako narz dzia materialne i aparat matematyczny, który mo emy okre li jako
niematerialne narz dzia pracy teoretyka. Celem niniejszego wykładu jest zapoznanie
słuchaczy z kilkoma takimi niematerialnymi narz dziami pracy u ywanymi w kilku
wybranych działach fizyki. Wykład trwa tylko jeden semestr, w zwi zku z czym nie jest
mo liwa ani kompleksowa ani dogł bna analiza problemów. Wybrałem problemy, które
według mojej oceny s najwa niejsze lub najciekawsze. Podzieli je mo na na nast puj ce
grupy tematyczne:
I. Mechanika klasyczna
II. Mechanika relatywistyczna
III. Elektrodynamika
Ł czy je b dzie zasada najmniejszego działania, przy pomocy której uzyskane zostan
wszystkie podstawowe prawa fizyki. Prze ledzimy jednocze nie ewolucj funkcji działania.
Zostanie ona pocz tkowo zaproponowana dla mechaniki klasycznej nast pnie uogólniona do
mechaniki relatewistycznej, a kolejna modyfikacja pozwoli na obj cie ni elektrodynamiki.
4
Klasyczna Mechanika Teoretyczna.
Jest to dział Fizyki, który opisuje ruch bardziej lub mniej zło onych układów fizycznych. Na
wst pie musimy pogodzi si z faktem, i nie jeste my w stanie opisa całego wszech wiata
w całej jego zło ono ci. Jeste my zmuszeni posłu y si przybli eniami i ograniczy si do
opisu jego niewielkiej cz stki. Przyst puj c do analizy jakiegokolwiek zjawiska musimy
wypunktowa wszystkie przybli enia i zało enia wchodz ce do rachunku. Ich spełnienie jest
warunkiem wiarygodno ci uzyskanych wyników. W celu unikni cia nieporozumie
j zykowych ustali musimy na wst pie kilka najwa niejszych poj i przybli e .
• Układem nazywa b dziemy cz
wszech wiata, któr opisujemy. Mo emy zało y brak
oddziaływania układu z reszt wszech wiata, mówimy wówczas o układzie izolowanym
(np. cz stka swobodna), lub uwzgl dniamy to oddziaływanie traktuj c je jako
oddziaływanie zewn trzne (np. ciało w polu sił ci ko ci).
• Najprostszym układem (lub jego elementem) jest punkt materialny (cz stka), który
rozumie b dziemy jako obiekt fizyczny, którego rozmiary mo na zaniedba przy opisie
jego ruchu (np. elektron w polu j dra, planeta na orbicie).
• Przestrze , w której rozgrywa si mechanika punktu materialnego jest trójwymiarowa.
Poło enie punktu materialnego opisujemy trójwymiarowym wektorem wodz cym r .
• Do zapisu wektora wodz cego posługujemy si układem współrz dnych. Najcz ciej
stosowa b dziemy układ prostok tny kartezja ski, lub krzywoliniowy: sferyczny,
cylindryczny, paraboliczny.
• Równie wa n rol jak przestrze , w której rozgrywa si b d zjawiska spełnia czas.
B dziemy go rozumieli jako parametr numeruj cy kolejno zdarze .
• Pełn informacj o ruchu pojedynczego punktu materialnego zawiera jego trajektoria (tor)
czyli poło enie w funkcji czasu r ( t ) i stanowi szukane rozwi zanie problemu
mechanicznego.
• Znaj c trajektori mo emy wyliczy pr dko jako pierwsz i przyspieszenie jako drug
pochodn wektora wodz cego po czasie, a z nich mo emy wyliczy wszystkie pozostałe
wielko ci fizyczne np. energi , p d, siły. Uwaga: pochodne po czasie oznacza b dziemy
d
d2
kropk : r ( t ) = r ( t ), 2 r ( t ) = r ( t ) .
dt
dt
• Zwi zki pomi dzy współrz dnymi, pr dko ciami i przyspieszeniami nazywamy
równaniami ruchu. S to na ogół równania ró niczkowe 2 rz du, w których niewiadom
funkcj stanowi trajektoria r ( t ) (np. równania Newtona).
• Przy znanych równaniach ruchu warunkiem jednoznaczno ci rozwi zania jest podanie
warunków pocz tkowych. Mog by nimi poło enie i pr dko cz stki w wybranej chwili.
Warunki te okre laj stan układu.
• W przypadku gdy układ składa si z N punktów materialnych (cz stek), rozwi zaniem
problemu mechanicznego jest 3N-wymiarowa trajektoria czyli podanie wektorów
wodz cych wszystkich cz stek wchodz cych w skład układu.
• Liczb niezale nych współrz dnych konieczn do opisu układu nazywamy liczb stopni
swobody i oznaczamy liter f. Cz stka swobodna w przestrzeni trójwymiarowej ma 3, a
układ N cz stek 3N stopni swobody.
5
Wi zy.
Liczb stopni swobody ograniczy mog tzw. wi zy, czyli zwi zki pomi dzy współrz dnymi,
które musz by spełnione w dowolnej chwili czasu. Mog by zadane w postaci równo ci
lub nierówno ci:
f i ( r1 ,......rN , t ) = 0 , i=1...nw
lub
f i ( r1 ,......rN , t ) ≥ 0 , i=1....nw
Pierwszy typ wi zów nazywamy dwustronnymi, drugi jednostronnymi. Je eli równania
wi zów nie zawieraj jawnej zale no ci czasowej nosz nazw skleronomicznych, w
przeciwnym wypadku reonomicznych. Wi zy narzucone na współrz dne nosz nazw
wi zów holonomicznych. Czasem spotykamy si z wi zami narzuconymi na pr dko ci, s
one nieholonomiczne. Ka de niezale ne równanie wi zów dwustronnych ogranicza liczb
stopni swobody układu o 1.
Przykłady wi zów:
1. Ruch cz stki w płaszczy nie dwuwymiarowej (x,y) mo emy uzyska narzucaj c funkcj
wi zów:
z
ϕ
x
y
f (r) = z = 0
Liczba wi zów p=1, liczba stopni swobody f=2.
2. Ruch po okr gu :
f1 ( r ) = z
f2 ( r ) = x 2 + y2 − R 2
p=2, f=1.
W obu przykładach podane zostały wi zy holonomiczne, skleronomiczne, dwustronne.
3. Ruch piłki na boisku. (wi zy jednostronne).
z≥0
Współrz dne uogólnione.
Wyst powanie wi zów powoduje, e w równaniach ruchu uwzgl dnia musimy dodatkowe
siły reakcji wi zów. Wi e si to ze znaczn komplikacj równa . Cz sto komplikacji udaje
si unikn przez odpowiedni wybór układu współrz dnych. Np. w przykładzie 2 wystarczy
przej do współrz dnych biegunowych. Wówczas wi zy ustalaj odległo cz stki od
pocz tku układu. Współrz dn odpowiadaj c jedynemu stopniowi swobody jest k t, który
nie jest ograniczany przez wi zy.
W ten sposób dochodzimy do korzystnego z punktu widzenia ułatwie rachunkowych poj cia
współrz dnych uogólnionych.
Współrz dnymi uogólnionymi układu o f stopniach swobody nazywamy dowolny zbiór f
wielko ci q1,......qf wyznaczaj cych jednoznacznie poło enia ciał tworz cych układ.
q = {q α }(α = 1,...., f )
6
Pochodne po czasie współrz dnych uogólnionych nazywamy pr dko ciami uogólnionymi.
q = {q α }(α = 1,...., f )
np. w układzie biegunowym q = {r, ϕ},q = {r, ϕ} . Naturalnie współrz dne i pr dko ci w
układzie kartezja skim q = {x, y, z},q = {x, y, z} stanowi równie szczególny przypadek
współrz dnych i pr dko ci uogólnionych, o ile liczba stopni swobody nie jest ograniczona
przez wi zy.
Ze wzgl du na uniwersalno współrz dnych uogólnionych, wszystkie ogólne rozwa ania w
dalszej cz ci wykładu b d prowadzone w tych wła nie współrz dnych. Dopiero w
konkretnych zastosowaniach b dziemy przechodzili do najwygodniejszych (ze wzgl du na
symetri układu) konkretnych układów współrz dnych.
Zasada najmniejszego działania (elementy rachunku wariacyjnego).
Cał mechanik klasyczn mo na oprze (historycznie tak ona powstała) na równaniach
Newtona i potraktowa je jako elementarne, startowe zało enie teorii słu cej do opisu
zjawisk. Jednak e w wielu przypadkach jest to niewygodne, szczególnie w momencie
przej cia do „nieklasycznej” teorii.
Przez prawie dwie cie lat po Newtonie fizycy poszukiwali uogólnie i bardziej uniwersalnych
podej .
Takim udanym uogólnieniem teorii prowadz cym do praw ruchu w postaci najbardziej
odpowiadaj cej rozwa anemu układowi jest zasada najmniejszego działania, lub inaczej
zasada wariacyjna Hamiltona.
Rozpatrzmy układ o f stopniach swobody, opisywany współrz dnymi uogólnionymi q α .
Niech zbiór funkcji:
q α = q α ( t ) gdzie α = 1.....f
opisuje ruch rzeczywisty układu i stanowi rozwi zanie problemu.
Zdefiniujmy inny zbiór funkcji, zmieniony w porównaniu do ruchu rzeczywistego o niewielk
warto w ka dej chwili czasowej:
~
qα = q α ( t )+ δq α ( t )
i nazwijmy go ruchem porównawczym. δq α ( t ) niesko czenie małe odchylenie od ruchu
rzeczywistego nazywamy wariacj współrz dnej uogólnionej.
Je eli przez F(q α , q α , t ) oznaczymy dowoln funkcj współrz dnych i pr dko ci
uogólnionych oraz czasu, mo emy wyliczy jej wariacj jako ró nic pomi dzy funkcj od
argumentów odpowiadaj cych ruchowi porównawczemu i rzeczywistemu:
δF = F(~
q α , t ) − F(q α , q α , t ) = F(q α + δq α , q α + δq α , t ) − F(q α , q α , t ) =
qα , ~
∂F
∂F
δq α +
δq α
∂q α
∂q α
α
gdzie δq α ( t ) = ~
qα − q α stanowi wariacj pr dko ci uogólnionej. Oczywi cie ze wzgl du na
liniowo :
d
δq α ( t ) = δq α ( t )
dt
Mo emy równie zdefiniowa wariacj funkcjonału. Rozwa my funkcjonał w postaci:
=
t2
I[q α , q α ] = dtF(q α , q α , t )
t1
Jego wariacja
7
[
]
(
t2
)
t2
δI = I ~
qα , ~
qα − I[q α , q α ] = dt F(~
qα , ~
q α , t ) − F(q α , q α , t ) = dtδF
t1
t1
Mo emy teraz sformułowa zasad najmniejszego działania.
Rozwa amy ruch rzeczywisty i porównawcze w pewnym okre lonym przedziale czasu
(t1 , t 2 ) , przy zało eniu, e w chwilach odpowiadaj cych pocz tkowi i ko cowi przedziału
współrz dne uogólnione wszystkich ruchów przyjmuj jednakowe ustalone warto ci:
~
q α ( t 1 ) = q α ( t 1 ) oraz ~
q α ( t 2 ) = q α ( t 2 ) czyli δq α ( t 1 ) = δq α ( t 2 ) = 0
q
q(t)
q(t2)
~
q ( t)
q(t1)
t1
t2
Postulat:
Dla ka dego układu mechanicznego mo na znale funkcj współrz dnych i pr dko ci
uogólnionych oraz czasu L(q α , q α , t ) tak , e funkcjonał:
[
]
t2
qα , t )
S~
qα , ~
qα = dt L(~
qα , ~
t1
przyjmuje najmniejsz warto dla ruchu rzeczywistego, tj. ~
qα ( t ) = q α ( t ) . Funkcja L nosi
nazw funkcji Lagrange’a, a funkcjonał S nazywamy działaniem.
Warunek najmniejszego działania dla ruchu rzeczywistego generuje równania ruchu we
współrz dnych uogólnionych.
Narzu my ten warunek, czyli za dajmy δS = 0.
t2
t2
t2
∂L
∂L
δS = δ dt L(q α , q α , t ) = dtδL(q α , q α , t ) = dt
δq α +
δq α =
∂q α
∂q α
α
t1
t1
t1
=
=
dt
∂L
∂L d
δq α +
δq α
∂q α
∂q α dt
dt
∂L
d ∂L d
d ∂L
δq α −
δq α +
δq α
∂q α
dt ∂q α dt
dt ∂q α
t2
α
t1
t2
α
t1
∂L
d ∂L
∂L
=
dt
δq α −
δq α +
δq α
∂q α
dt ∂q α
α t1
α ∂q α
t2
t2
t1
=
t2
α
dt
t1
∂L d ∂L
−
δq α = 0
∂q α dt ∂q α
Poniewa warunek ten musi by spełniony dla dowolnego wyboru wariacji współrz dnych
uogólnionych, musi si zerowa wyra enie w nawiasie:
8
∂L d ∂L
−
=0
∂q α dt ∂q α
Równania te nosz nazw równa Lagrange’a (drugiego rodzaju). Stanowi one układ
równa ruchu (f równa ró niczkowych drugiego rz du) na funkcje q α ( t ) , stanowi ce
trajektorie ruchu rzeczywistego we współrz dnych uogólnionych.
Zanim skonstruujemy funkcj Lagrange’a dla najprostszego układu zwró my uwag na
pewne jej własno ci wynikaj ce z jej definicji i uzyskanych przy jej pomocy równa ruchu..
• Funkcja Lagrange’a zapisana w ró nych układach współrz dnych uogólnionych mo e
prowadzi do ró nych zwi zków pomi dzy nimi (równa ruchu).
• Je eli funkcja Lagrange’a zapisana w jednych współrz dnych prowadzi do poprawnych
równa ruchu, wówczas równania ruchu uzyskane z tej samej funkcji Lagrange’a zapisanej
w innych współrz dnych s równie poprawne (przetransformowane). Transformacja
funkcji Lagrange’a cz sto jest łatwiejsza ni transformacja gotowych równa ruchu.
• Funkcja Lagrange’a układu zło onego z dwóch nie oddziaływuj cych podukładów jest
sum funkcji Lagrange’a obu cz ci.
LAB=LA+LB
• Funkcja Lagrange’a nie jest zdefiniowana jednoznacznie.
∗ Pomno enie funkcji Lagrange’a przez dowoln stał (ró n od zera) prowadzi do tych
samych równa ruchu.
L′ = aL ⇔ L
∗ Dodanie do funkcji Lagrange’a pochodnej zupełnej po czasie dowolnej funkcji
współrz dnych i pr dko ci uogólnionych prowadzi do tych samych równa ruchu.
d
L ′ = L + f (q α , q α , t ) ⇔ L
dt
Własno ci powy sze s do oczywiste, pierwsza wynika z liniowo ci równa Lagrange’a,
druga daje to samo działanie, gdy po scałkowaniu i narzuceniu warunków pocz tkowych
pochodna zupełna dowolnej funkcji daje zero. Zwró my jednak uwag na odró nienie
pochodnej po czasie cz stkowej od zupełnej. Dowolna funkcja współrz dnych, pr dko ci i
czasu f (q, q, t ) dla ruchu rzeczywistego zawiera dodatkow zale no czasow poprzez
współrz dne i pr dko ci. Jej ró niczka zupełna ma posta :
∂f
∂f
df (q, q, t ) =
dq + dq + dt ,
∂q
∂q
a zupełna pochodna po czasie:
d
∂f dq ∂f dq ∂f ∂f
∂f
∂
f ( q, q , t ) =
+
+
=
q+ q+
dt
∂q dt ∂q dt ∂t ∂q
∂q
∂t
9
Podsumowanie I.
1. We wprowadzeniu ustalili my czym zajmowa si b dziemy podczas niniejszego wykładu.
2. Podane zostały podstawowe poj cia mechaniki klasycznej: układ, punkt materialny,
przestrze , czas, trajektoria, równanie ruchu, stan układu, wi zy, stopnie swobody.
3. Wi zy dwustronne ograniczaj liczb stopni swobody, zazwyczaj ka de równanie wi zów
obni a liczb stopni swobody o 1.
4. Wprowadzili my poj cie współrz dnych uogólnionych, które stanowi zbiór wielko ci,
wyznaczaj cych jednoznacznie poło enie ciała. Ich liczba jest równa liczbie stopni swobody.
5. Wprowadzili my elementy rachunku wariacyjnego definiuj c trajektorie ruchu
rzeczywistego i porównawczych, ró ni ce si o mał wielko , któr nazwali my wariacj
współrz dnej uogólnionej.
6. Wprowadzili my poj cie wariacji funkcji współrz dnych i pr dko ci uogólnoionych oraz
wariacji utworzonego z takich funkcji funkcjonału.
7. Zapostulowali my zasad najmniejszego działania, zgodnie z któr funkcjonał:
]
[
t2
S~
qα , ~
qα = dt L(~
qα , ~
qα , t )
t1
osi ga minimum dla ruchu rzeczywistego.
8. danie znikania wariacji działania prowadzi do równa Lagrange’a, które powinny
stanowi równania ruchu dla współrz dnych uogólnionych:
∂L d ∂L
−
=0
∂q α dt ∂q α
9. Funkcji Lagrange’a L jeszcze nie umiemy konstruowa , ale poznali my ju jej pewne
własno ci wynikaj ce ze sposobu jej wprowadzenia.
10
II.
Transformacja Galileusza, jednorodno i izotropowo przestrzeni i czasu.
Konstrukcja funkcji Lagrange’a bazuje na podstawowych własno ciach przestrzeni i czasu,
które musz by uwzgl dnione przy tworzeniu równa ruchu. Równania ruchu oczywi cie
zale od wyboru układu współrz dnych i nieco szerzej rozumianego układu odniesienia.
Podstawowymi układami odniesienia, w których b dziemy pracowa b d tzw. układy
inercjalne.
Inercjalnym układem odniesienia nazywamy układ odniesienia, w którym ruch swobodny
odbywa si ze stał pr dko ci (np. dla cz stki w polu sił ci ko ci układ zwi zany z
powierzchni ziemi nie jest inercjalny, ale inercjalny jest układ zwi zany ze swobodnie
spadaj c wind ).
Własno inercjalno ci jest równowa na jednorodno ci i izotropowo ci przestrzeni oraz
jednorodno ci czasu. Oznacza to, e w układzie inercjalnym nie ma wyró nionych poło e ,
kierunków i chwil.
Sformułujmy teraz bardzo wa ne zało enie teorii:
Wszystkie układy odniesienia poruszaj ce si wzgl dem pewnego inercjalnego układu
odniesienia ze stał pr dko ci s równie inercjalne.
Zało enie to wymusza jednolity opis zjawisk fizycznych we wszystkich układach odniesienia
poruszaj cych si wzgl dem siebie z jednakowymi pr dko ciami a jednocze nie pozwala na
ich swobodny wybór.
Zwi zek pomi dzy poło eniami i pr dko ciami przy przej ciu pomi dzy dwoma inercjalnymi
układami odniesienia (słuszny w mechanice klasycznej) nosi nazw Transformacji Galileusza.
Je eli mamy dwa układy odniesienia (x,y,z) i (x’,y’,z’), przy czym układ “primowany”
porusza si wzgl dem “nie primowanego” z pewn stał pr dko ci V , a wi c poło enie
pocz tku układu “primowanego” dane jest w układzie “nie primowanym” zwi zkiem:
R (t ) = R (0) + Vt
z’
z
y’
R (t )
x’
y
x
wówczas punkt o współrz dnych r ′ ma w układzie “nie primowanym” współrz dne
r = R (t ) + r ′ = R (0) + Vt + r ′
Pomi dzy pr dko ciami mamy zwi zek:
v = V + v′
Zwi zek pomi dzy pr dko ciami wynika z zało enia czasu bezwzgl dnego, czyli
jednakowego we wszystkich inercjalnych układach odniesienia (w mechanice
relatywistycznej nie dokonuje si tego zało enia).
11
Funkcja Lagrange’a cz stki swobodnej w inercjalnym układzie odniesienia.
Załó my, e układ, który opisujemy składa si z pojedynczej nie oddziaływuj cej z
otoczeniem cz stki. Układ posiada trzy stopnie swobody, poło enie cz stki opisuje wektor
wodz cy r , a pr dko jego pochodna po czasie v = r . Ich składowe potraktujmy jako
współrz dne i pr dko ci uogólnione. B d wi c one stanowi argumenty funkcji Lagrange’a
L( q, q, t ) = L( r , v, t )
Ze wzgl du na jednorodno przestrzeni (brak wyró nionego punktu) funkcja Lagrange’a nie
powinna zale e od poło enia a ze wzgl du na jednorodno czasu nie powinna równie od
niego zale e . Jedynym argumentem, od którego mo e funkcja Lagrange’a zale e jest
pr dko . Ale przestrze jest izotropowa. Brak wyró nionego kierunku w przestrzeni
pozostawia jedynie zale no od bezwzgl dnej warto ci pr dko ci. Najprostsz tak funkcj
jest :
L = αv 2 .
Przyj cie funkcji Lagrange’a w tej postaci zapewnia jednocze nie niezmienniczo równa
ruchu przy przej ciu pomi dzy ró nymi układami inercjalnymi. Zauwa my, e
2
d
L ( v ) = α v 2 = α v ′ + V = α v ′ 2 + 2α v ′ ⋅ V + α V 2 = α v ′ 2 + ( 2α r ′ ⋅ V + α V 2 t ) ⇔
dt
2
⇔ L( v ′) = αv ′
Zało enie innej, np. nieliniowej zale no ci funkcji Lagrange’a od kwadratu pr dko ci jest
dopuszczalne ze wzgl du na jednorodno i izotropowo przestrzeni i czasu, nie daje jednak
niezmienniczo ci równa ruchu przy przej ciach pomi dzy inercjalnymi układami
odniesienia.
W uzyskanym wyra eniu stała α nie jest wyznaczona jednoznacznie i mo e by przyj ta
m
dowolnie. Je eli przyjmiemy α = , uzyskamy:
2
(
)
mv 2
=T
2
gdzie przez T oznaczamy energi kinetyczn układu.
Wykorzystajmy uzyskan posta funkcji L i wstawmy j do równa Lagrange’a:
d ∂L
∂L
−
=0
∂q α dt ∂q α
Otrzymujemy:
∂ m 2
d ∂ m 2
d
0=
( r )−
( r ) = − mri = − mri
∂ri 2
dt ∂ri 2
dt
czyli
mr = 0
jest to znane nam równanie Newtona dla ruchu cz stki swobodnej w inercjalnym układzie
odniesienia.
Zauwa my, e z zupełnie ogólnych rozwa a uzyskali my precyzyjnie wyznaczon (z
dokładno ci do b d cych jej ogóln własno ci niejednoznaczno ci) funkcj Lagrange’a dla
cz stki swobodnej a uzyskane z równa Lagrange’a równanie ruchu jest poprawne. Postulat
spełnienia zasady najmniejszego działania jest wi c dla cz stki swobodnej słuszny.
Uzyskany wynik mo emy natychmiast uogólni na układ N nie oddziaływuj cych z
otoczeniem i pomi dzy sob cz stek:
L=
L=
N
a =1
La =
N
Ta = T
a =1
Funkcj Lagrange’a takiego układu stanowi jego całkowita energia kinetyczna.
12
Funkcja Lagrange’a dla cz stki w polu potencjalnym.
Powró my do układu zło onego z jednej cz stki, tym razem oddziaływuj cej z otoczeniem.
Funkcj Lagrange’a musimy uzupełni o wyraz odpowiedzialny za oddziaływanie. Wyraz ten
powinien zale e od współrz dnych i jest dany pewn funkcj zmiennych
przestrzennych U( r ) :
L(r , r , t ) = T(r ) − U( r )
Wstawiwszy j do równa Lagrange’a uzyskujemy:
d ∂L ∂L
∂U ( r )
−
= mri +
=0
dt ∂ri ∂ri
∂ri
lub
mr = −∇U( r )
Rozpoznajemy tu równanie Newtona w polu sił danych potencjałem U( r ) . Uzyskali my wi c
interpretacj składnika funkcji Lagrange’a odpowiedzialnego za oddziaływanie z polem
zewn trznym. Jest nim energia potencjalna przyj ta ze znakiem przeciwnym.
Funkcja Lagrange’a układu wielu cz stek.
Uogólnienie uzyskanego wyniku na układ wielu cz stek przeprowadzamy podobnie jak dla
układu cz stek nie oddziaływuj cych, uwzgl dniaj c w energii potencjalnej oddziaływanie
cz stek z polem zewn trznym oraz pomi dzy sob :
L =T−U
T – stanowi całkowit energi kinetyczn cz stek tworz cych układ, a U- sum energii
potencjalnych cz stek:
N
N
ma 2
L = Ta − U( r1 ,....., rN ) =
ra − U( r1 ,....., rN )
a =1
a =1 2
Transformacja ze współrz dnych kartezja skich do współrz dnych uogólnionych.
Energi kinetyczn układu cz stek najłatwiej zapisa we współrz dnych kartezja skich:
N 3 m
a 2
T=
x ai .
a =1i =1 2
Jednak e potencjał posiada cz sto symetri preferuj c inny układ współrz dnych. Dlatego
cz sto musimy dokona transformacji energii kinetycznej. Dla ułatwienia dyskusji zmie my
oznaczenia zmiennych:
x ai = x α , α = 1,....,3N
3N m
α
x 2α .
2
α =1
Współrz dne układu kartezja skiego wyra amy przez współrz dne uogólnione
x α = f α (q 1 ,..... q f )
T=
xα =
f ∂f
α
β =1∂q β
qβ
wstawiamy to do wyra enia na energi kinetyczn
m α f ∂f α
T=
qβ
2
∂
q
β
α =1
β =1
gdzie
3N
2
=
f
m α ∂f α ∂f α
q β q β′ =
t ββ′ q β q β′
2
∂
q
∂
q
β
β
′
α =1 β =1β′=1
β,β′=1
3N f
f
13
({ })
m α ∂f α ∂f α
= t ββ′ q β .
α =1 2 ∂q β ∂q β
Wyra one powy szymi wzorami formalne przej cie do innego układu zmiennych wygl da
do skomplikowanie. Nie zawsze jednak konieczny b dzie taki sposób post powania.
Natomiast zwró my uwag na uzyskan ogóln własno : energia kinetyczna jest form
kwadratow pr dko ci uogólnionych o współczynnikach b d cych funkcjami współrz dnych
uogólnionych.
t ββ′ =
3N
Funkcja Lagrange’a dla cz stki swobodnej we współrz dnych sferycznych i
cylindrycznych.
Dokonajmy dla ilustracji przej cia z układu kartezja skiego do dwóch najcz ciej
stosowanych krzywoliniowych układów współrz dnych – cylindrycznego i sferycznego.
1. Współrz dne cylindryczne
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z=z
Energia kinetyczna napisana we współrz dnych kartezja skich ma posta :
m
T = (x2 + y2 + z2 )
2
Wyst puj ce w niej pr dko ci przeprowadzamy do współrz dnych cylindrycznych
x = r cos ϕ − ϕr sin ϕ
y = r sin ϕ + ϕr cos ϕ
m 2
T=
r cos 2 ϕ − 2 rϕr sin ϕ cos ϕ + ϕ 2 r 2 sin 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ + 2 rϕr sin ϕ cos ϕ + ϕ 2 r 2 cos2 ϕ + z 2 =
2
m 2
= (r + r 2ϕ 2 + z2 )
2
Poniewa energia potencjalna dla cz stki swobodnej jest równa 0, funkcja Lagrange’a
zawiera wył cznie energi kinetyczn :
m
L(r , ϕ, z, r , ϕ, z, t ) = ( r 2 + r 2 ϕ 2 + z 2 )
2
(
)
ϑr
2. Współrz dne sferyczne
x = r cos ϕ sin ϑ
y = r sin ϕ sin ϑ
ϑ
z = r cos ϑ
ϕ
Mo emy podobnie jak poprzednio dokona
podstawienia. Wymaga to troch dłu szego rachunku
r
ni przy przej ciu do współrz dnych cylindrycznych.
Posłu ymy si zatem inn metod , dzi ki której
wyra enie na kwadrat pr dko ci mo na uzyska bez
adnych rachunków. Wektor pr dko ci w ka dym
punkcie przestrzeni rozkładamy na trzy ortogonalne lecz nie kartezja skie składowe:
r = r,ϑr,ϕr sin ϑ .
Otrzymujemy:
m 2
T=
r + ϕ 2 r 2 sin 2 ϑ + ϑ 2 r 2
2
r
ϕr sin ϑ
(
)
(
)
14
Przykładowe zastosowanie formalizmu Lagrange’a.
Cz stka w polu centralnego potencjału.
O wyborze współrz dnych krzywoliniowych cz sto decyduje symetria potencjału, który
odejmujemy od energii kinetycznej przy tworzeniu Lagrangianu. W szeregu problemów
spotykamy si z potencjałem o symetrii sferycznej zale nym wył cznie od odległo ci od
wyró nionego punktu w przestrzeni, tzw. potencjałem centralnym (np. planeta w obecno ci
potencjału grawitacyjnego gwiazdy). Pracujemy wówczas we współrz dnych sferycznych.
Lagrangian ma posta :
m 2
L=
r + ϕ 2 r 2 sin 2 ϑ + ϑ 2 r 2 − V( r ) ,
2
d ∂L
∂L
Z równa Lagrange’a:
−
=0
dt ∂q α ∂q α
Powinni my otrzyma układ równa ruchu. Liczymy odpowiednie pochodne cz stkowe:
∂L
∂L
∂L
= mr,
= mϕ r 2 sin 2 ϑ,
= mr 2 ϑ
∂r
∂ϕ
∂ϑ
∂L
∂V ∂L
∂L
= m(ϕ 2 r sin 2 ϑ + rϑ 2 ) −
,
= 0,
= mϕ 2 r 2 cos ϑ sin ϑ
∂r
∂r
∂ϕ
∂ϑ
Po wstawieniu ich do równa Lagrange’a otrzymujemy układ równa :
∂V
mr − m(ϕ 2 r sin 2 ϑ + rϑ 2 ) +
=0
∂r
mr 2 sin 2 ϑ ϕ + 2 mr sin 2 ϑ r ϕ + 2 mr 2 cos ϑ sin ϑ ϑ ϕ = 0
mr 2 ϑ + 2 mr ϑ r − mr 2 ϕ 2 cos ϑ sin ϑ = 0
Uzyskali my układ trzech równa ró niczkowych drugiego stopnia wzgl dem czasu na
szukan trajektori ( r ( t ), ϕ( t ), ϑ( t ) ).
Analityczne rozwi zanie tego układu równa jest niestety skomplikowane. Znacznie łatwiej
wykona to rozwi zuj c problem numerycznie.
(
)
Wahadło matematyczne.
eby naprawd doceni zalety stosowania formalizmu Lagrange’a rozwa my prosty przykład,
w którym wyst puj ce wi zy utrudniaj wydobycie równa ruchu z zasad dynamiki Newtona.
Rozwa my układ jaki stanowi płaskie wahadło matematyczn, czyli
punkt materialny o masie M zawieszony na nierozci gliwej nici o
R
długo ci R. Układ taki ma tylko jeden stopie swobody, który we
l=Rcosϕ
współrz dnych biegunowych stanowi k t odchylenia wahadła od pionu.
W tych współrz dnych energia kinetyczna układu ma posta :
ϕ
l
M 2 2
T= R ϕ
2
Energia potencjalna liczona wzgl dem punktu zawieszenia
wahadła dana jest wyra eniem:
U = − MgR cos ϕ
Zatem funkcja Lagrange’a:
M
L = T − U = R 2 ϕ 2 + MgR cos ϕ
2
Równanie Lagrange’a generuje równanie ruchu:
MR 2 ϕ + MgR sin ϕ = 0 ,
które po uproszczeniu przyjmuje posta :
Rϕ + g sin ϕ = 0 .
15
Oczywi cie to samo równanie ruchu powinni my uzyska bezpo rednio z równania Newtona.
Przyjrzyjmy si takiemu rozumowaniu.
Przy zało eniu płaskiego ruchu poło enie wahadła opisywane jest dwuwymiarowym
wektorem wodz cym r (t ) . Równanie ruchu
M r = F = Mg + Fr
zawiera sił ci ko ci i sił reakcji wi zów. Warto tej ostatniej siły nie jest znana, ale z
warunku przenoszenia tej siły przez elastyczn ni znamy kierunek jej działania i wiemy, e
b dzie równowa y równoległ do nici składow siły ci ko ci.
ϕ
R
M
ϕ
F
ϕ
x
Mg
y
W rezultacie wypadkowa siła działaj ca na ciało jest prostopadła do nici a jej warto :
F = Mg sin ϕ .
Dwuwymiarowe równanie Newtona rozpisujemy na składowe kartezja skie:
Mx = − Mg sin ϕ cos ϕ
My = Mg sin 2 ϕ
Przechodzimy teraz do współrz dnych biegunowych
x = R sin ϕ
y = R cos ϕ
x = R ϕ cos ϕ
x = R ϕ cos ϕ − R ϕ 2 sin ϕ
y = − Rϕ sin ϕ
y = − Rϕ sin ϕ − Rϕ 2 cos ϕ
Uzyskane pochodne wstawiamy do obu równa ruchu
M (Rϕ cos ϕ − Rϕ 2 sin ϕ) = − Mg sin ϕ cos ϕ
M (Rϕ sin ϕ + Rϕ 2 cos ϕ) = − Mg sin 2 ϕ
Górne równanie mno ymy przez cos ϕ dolne przez sin ϕ i dodajemy stronami. Wynik po
redukcji niektórych elementów przyjmuje posta :
Rϕ = −g sin ϕ
16
Uzyskali my to samo równanie ruchu, ale porównanie długo ci rachunków wypada na
korzy formalizmu Lagrange’a.
Podsumowanie II.
• Wprowadzili my poj cie układu inercjalnego, zało yli my równowa no praw
mechaniki we wszystkich układach inercjalnych.
• Wprowadzili my poj cie transformacji Galileusza opisuj cej przej cia pomi dzy
układami inercjalnymi w mechanice klasycznej.
• Korzystaj c z jednorodno ci i izotropowo ci przestrzeni oraz jednorodno ci czasu
uzyskali my wyra enie na funkcj Lagrange’a dla cz stki swobodnej. Sprawdzili my, e
równania Lagrange’a s równowa ne równaniom Newtona.
• Uogólnili my funkcj Lagrange’a na przypadek cz stki w polu zewn trznego potencjału
oraz układu wielu cz stek oddziaływuj cych z polem zewn trznym i pomi dzy sob .
• Pokazali my, e przy przej ciu do dowolnych współrz dnych uogólnionych energia
kinetyczna cz stki jest biliniow form pr dko ci uogólnionych.
• Napisali my funkcje Lagrange’a we współrz dnych cylindrycznych i sferycznych.
Znale li my równania ruchu we współrz dnych sferycznych dla problemu cz stki w polu
sił centralnych.
• Na przykładzie wahadła matematycznego porównali my sposób pozyskiwania równa
ruchu z formalizmu Lagrange’a i z zasad dynamiki Newtona.
17
III. Bardziej zaawansowane zastosowania formalizmu Lagrange’a.
Na poprzednim wykładzie poznali my najprostsze zastosowania formalizmu Lagrange’a.
Mam nadziej , e ju one pozwoliły pokaza jego zalety. Oba problemy mo na było
rozwi za łatwiej i nieco szybciej ni startuj c z równa Newtona. Dla osób, które jeszcze nie
s przekonane do tego formalizmu przygotowałem kilka przykładów wykorzystania
formalizmu Lagrange’a.
Wahadło zło one.
Powró my do wahadła matematycznego o masie M i długo ci R ale do niego przyczepmy
drugie wahadło o masie m i długo ci r. Problem si znacznie komplikuje. Znalezienie sił
reakcji wi zów staje si znacz cym problemem rachunkowym. W takich przypadkach
formalizm Lagrange’a stanowi znakomite narz dzie pracy usuwaj ce kłopoty.
x
R
ϕ
M
y
r
α
m
Dodatkowe ciało wnosi dodatkowy stopie swobody. Opiszemy go przy pomocy k ta α
okre laj cego odchylenie nici r od pionu. Poło enie masy m mo emy zapisa we
współrz dnych kartezja skich jako:
x = R sin ϕ + r sin α
y = R cos ϕ + r cos α
Energia kinetyczna ciała o masie m:
m
Tm = (R 2 ϕ2 + r 2α 2 + 2Rr cos(ϕ − α)ϕα)
2
Energia potencjalna
U m = − mg(R cos ϕ + r cos α)
Funkcja Lagrange’a dla drugiego ciała
m
L m = (R 2ϕ 2 + r 2 α 2 + 2Rr cos(ϕ − α)ϕα) + mg(R cos ϕ + r cos α)
2
Po dodaniu funkcji Lagrange’a dla obu ciał uzyskujemy funkcj Lagrange’a całego układu:
M
L = L M + L m = TM − U M + Tm − U m = R 2 ϕ2 + MgR cos ϕ +
2
m
+ (R 2 ϕ2 + r 2α 2 + 2Rr cos(ϕ − α)ϕα + mg(R cos ϕ + r cos α)
2
18
Wzór ten mo na uporz dkowa i wyliczy układ dwóch równa ruchu odpowiadaj cych obu
stopniom swobody.
Przykład zastosowania formalizmu Lagrange’a do opisu ruchu bryły sztywnej.
Poniewa zagadnienia mechaniki klasycznej nie ograniczaj si do układów punktów
materialnych, rozwi my zadanie, w którym dyskutowa b dziemy problem niepunktowego
ciała.
Poszukajmy równa ruchu dla jednorodnej kulki o masie m i promieniu r, tocz cej si bez
po lizgu po wewn trznej stronie pobocznicy walca o promieniu R, umieszczonego w polu sił
ci ko ci tak, e jego o nachylona jest pod k tem α do poziomu. Dla utrudnienia załó my,
e promie kulki r nie jest zaniedbywalnie mały w porównaniu z promieniem cylindra R.
W tym przypadku wybór układu współrz dnych podyktowany b dzie warunkami wi zów.
R-r
r
R
ϕ
α
Układ ma dwa stopnie swobody. We współrz dnych cylindrycznych s nimi
U 1 = −m 2 g(d + r cos ϕ) .
W energii kinetycznej musimy uwzgl dni energi ruchu post powego i obrotowego kulki
Iω2 mv 2
T=
+
2
2
gdzie I jest momentem bezwładno ci kuli:
2
I = mr 2
5
L = TA (q A , q A , t ) − U(q A , q B ( t ))
Pr dko ruch post powego rozdzielamy na składow wzdłu osi walca i prostopadł do niej:
Vz = z i Vϕ = (R − r )ϕ .
Z warunku toczenia bez po lizgu wyznaczamy zwi zek pomi dzy pr dko ci k tow ruchu
obrotowego kuli i pr dko ci ruchu post powego. Pr dko ruchu obrotowego musimy
równie rozło y na dwie składowe:
ωz r = z, ωϕ r = − Rϕ
Po podstawieniu uzyskanych wyra e na składowe pr dko ci do wzoru na energi kinetyczn
uzyskujemy:
m(z 2 + R 2 ϕ2 ) m(z 2 + (R − r ) 2 ϕ 2 ) 7 m 2
R 2 (R − r )
T=
+
=
z +m
+
ϕ2
5
2
10
5
2
2
Energia potencjalna pola sił ci ko ci zwi zana jest z wysoko ci ponad zało ony poziom
odniesienia, który umie cimy tak, by wyra enie na energi było najprostsze. Jako punkt
odniesienia przyjmiemy najni szy punkt osi walca.
V(z, ϕ) = mg(z sin α + (R − r ) sin ϕ cos α)
Ł cz c energi kinetyczn i potencjaln uzyskujemy funkcj Lagrange’a:
19
7m 2
R 2 (R − r )
+
z +m
ϕ2 − mg(z sin α + (R − r ) sin ϕ cos α)
10
5
2
2
L=T−V=
∂L 7m ∂L
2R 2
2
=
z, = m
+ (R − r ) ϕ
∂z
5 ∂ϕ
5
∂L
∂L
= − mg sin α,
= −mg(R − r ) cos cϕ cos α
∂z
∂ϕ
I równania ruchu:
7m
z + mg sin α = 0
5
2R 2
2
m
+ (R − r ) ϕ + mg(R − r ) cos ϕ cos α = 0
5
W rozwa anym przykładzie równania na współrz dne odpowiadaj ce obu stopniom swobody
s niezale ne. Mówimy o separacji zmiennych. W kierunku równoległym do osi walca mamy
toczenie kulki po równi pochyłej a w kierunku prostopadłym, toczenie kulki po wn trzu
okr gu. Tej separacji mogli my oczekiwa i oba ruchy potraktowa niezale nie.
Mo liwo separacji ruchu pojawia si zawsze kiedy zarówno energia kinetyczna jak i
potencjalna dadz si przedstawi w postaci sumy składników, z których ka dy zawiera tylko
jedn zmienn .
Wydzielenie podukładu z układu cz stek oddziaływuj cych.
Rozwa my teraz nast puj cy przykład. Załó my, e układ udaje si podzieli na dwa
podukłady A i B. Wówczas funkcja Lagrange’a całego układu zawiera sum Lagrangianów
obu podukładów, oraz potencjał oddziaływania pomi dzy nimi, zale ny wył cznie od
współrz dnych uogólnionych obu podukładów:
L = L A (q A , q A , t ) + L B (q B , q B , t ) − U (q A , q B )
Je eli ustalimy rzeczywisty ruch podukładu B, zadaj c odpowiednie trajektorie:
q B = q B (t)
Współrz dne uogólnione podukładu B przestaj by swobodnymi parametrami układu.
Lagrangian układu B mo emy potraktowa jako funkcj czasu i potraktowa j jako
pochodna zupełn po czasie jej całki nieoznaczonej
d
L B ( t )dt
dt
Mo na j wtedy usun z Lagrangianu.
Równie energia potencjalna staje si wówczas funkcj współrz dnych uogólnionych
podukładu A i czasu. Tak wi c otrzymujemy:
L = L A (q A , q A , t ) − U(q A , q B ( t ))
funkcj Lagrange’a układu A w polu zewn trznego potencjału wywołanego oddziaływaniem
z podukładem B.
LB = LB (t) =
Zilustrujmy to przykładem.
Chcemy rozwi za problem wahadła matematycznego, którego punkt zawieszenia wykonuje
pionowe drgania zadane fukcj : d( t ) = d 0 + C cos ωt .
20
Startuj c z równa Newtona z cał pewno ci b dziemy mieli w tpliwo ci jakie siły działaj
na wahadło. U yjemy formalizmu Lagrange’a i przedstawionego powy ej tricku z podziałem
układu na cz ci.
d(t)
d
r
M
m
r
Rozwa amy układ zło ony z punktowej masy m1 zawieszonej na
spr ynie o długo ci d 0 i współczynniku spr ysto ci k. Masa m1
m
mo e wykonywa pionowe ruchy. Do masy m1 podwieszone jest
wahadło matematyczne o długo ci r i masie m 2 mog ce porusza si w wyró nionej
płaszczy nie pionowej. Znajd my Lagrangian tego układu.
Układ posiada 2 stopnie swobody: długo spr yny d i k t odchylenia wahadła od pionu ϕ .
Poło enie pierwszego ciała wyznacza długo spr yny d, poło enie drugiego rozkładamy na
dwie składowe pionow y i poziom x:
y = d + r cos ϕ, y = d − r sin ϕϕ
x = r sin ϕ, x = r cos ϕϕ
Wyra amy energie kinetyczne obu ciał przez pr dko ci uogólnione odpowiadaj ce stopniom
swobody:
M
T1 = d 2
2
2
m
m 2
T2 =
d − r sin ϕϕ + r 2 cos 2 ϕϕ 2 =
d − 2dϕr sin ϕ+ r 2 ϕ 2
2
2
Podobnie energie potencjalne:
k
U1 = (d − d 0 ) 2 − Mgd
2
U 2 = −Mg(d + r cos ϕ)
Otrzymujemy:
L = T1 + T2 − U1 − U 2 =
(
(
)
(
)
)
M 2 m 2
k
d +
d − 2d ϕr sin ϕ+ r 2 ϕ2 − (d − d 0 ) 2 + Mgd + mg(d + r cos ϕ)
2
2
2
Rozwa any układ mo emy podzieli na dwie cz ci. Niech cz
A stanowi wahadło, a cz
B masa M na spr ynie. Ustalmy ruch cz ci B układu, zakładaj c, e masa m wykonuje
ustalone drgania dane funkcj :
d( t ) = d 0 + C cos ωt
Przy tym zało eniu mo emy odrzuci Lagrangian pierwszej cz stki oraz w pozostałej cz ci
zast pi zmienn niezale n d funkcj czasu d ( t ) .
m
L = + d ( t ) 2 − 2d ( t )ϕr sin ϕ+ r 2 ϕ2 + mg(d( t ) + r cos ϕ) =
2
m
= + C 2ω2 sin 2 ωt + 2Cωϕ sin ωt r sin ϕ+ r 2 ϕ2 + mg(d 0 + C cos ωt + r cos ϕ)
2
=
(
(
)
)
21
Mo emy dokona dalszych zabiegów na Lagrangianie polegaj cych na usuni ciu wszystkich
składników daj cych si przedstawi w postaci pochodnej zupełnej po czasie. Pozostaje jego
równowa na posta :
m
L′ = + 2Cωϕ sin ωt r sin ϕ+ r 2 ϕ 2 + mgr cos ϕ
2
Układ posiada oczywi cie tylko jeden stopie swobody odpowiadaj cy współrz dnej ϕ.
(
)
Równania ruchu w nieinercjalnych układach odniesienia.
Zasad najmniejszego działania i wynikaj ce z niej równania Lagrange’a wprowadzili my
przed zdefiniowaniem poj cia układu inercjalnego. Formalizm Lagrange’a jest wi c słuszny
w dowolnych, równie nieinercjalnych układach odniesienia. Wystarczy zna funkcj
Lagrange’a a z niej mo na otrzyma równania ruchu. Funkcj Lagrange’a na razie potrafimy
skonstruowa tylko w układzie inercjalnym. W układzie nieinercjalnym uzyskamy j
przechodz c z układu inercjalnego. Załó my, e w układzie inercjalnym który oznaczymy
przez Σ znajduje si cz stka oddziaływuj ca z zewn trznym potencjałem U( r ) . Funkcja
Lagrange’a w tym układzie odniesienia ma posta :
m
L = v 2 − U( r )
2
Oznaczmy przez Σ′ drugi układ odniesienia poruszaj cy si wzgl dem układu Σ z
pr dko ci V(t ) . Układ ten b dzie równie inercjalny, je eli pr dko V(t ) b dzie stała w
czasie. Zało enie zale no ci czasowej pr dko ci wzgl dnej układów prowadzi do układu
nieinercjalnego.
Je eli w układzie Σ′ cz stka porusza si z pr dko ci v′ , to w układzie Σ posiada pr dko
v = v ′ + V (t )
Wstawmy to wyra enie do funkcji Lagrange’a :
2
m
m
m
2
L=
v′ + V(t ) − U = v′2 + mv′V(t ) + V(t ) − U
2
2
2
Zauwa my, e trzeci składnik sumy stanowi pochodn zupełn pewnej funkcji i mo e zosta
z funkcji Lagrange’a usuni ty.
Składnik drugi przekształcimy korzystaj c ze zwi zku:
d
d
mv′V(t ) =
m r ′V(t ) − m r ′ V(t )
dt
dt
Pierwsz cz
tego wyra enia mo na równie usun z funkcji Lagrange’a. Pozostaje:
m 2
L = v′ − m r ′V(t ) − U
2
Mo emy teraz uzyska równania ruchu:
(
)
(
)
m r ′ + mV(t ) + ∇U = 0
lub
m r ′ = − mV(t ) − ∇U
Zauwa my, e w równaniu ruchu pojawiła si proporcjonalna do masy cz stki jednorodna siła
skierowana przeciwnie do kierunku przyspieszenia układu nieinercjalnego. Mo emy j
nazwa sił bezwładno ci. Wynik wydaje si do oczywisty. Przejd my zatem do analizy
mniej oczywistego problemu. Rozwa my teraz układ Σ , którego pocz tek pokrywa si z
pocz tkiem układu Σ′ , lecz obracaj cy si wzgl dem niego z pr dko ci k tow Ω (zale n
od czasu). Wybierzmy osie z i z’ równolegle do pr dko ci k towej Ω i znajd my zwi zki
pomi dzy pr dko ciami w obu układach.
22
Składowe wektora wodz cego r w płaszczy nie x, y wyra amy przez odległo r od
pocz tków układów i k t ϕ w układzie Σ :
x = r sin ϕ
y = r cos ϕ
Je eli w czasie dt cz stki przebywaj w układzie Σ odcinek (dx,dy), to w układzie Σ′
przeb d dodatkowe odcinki wynikaj ce ze zwi kszenia k ta ϕ o Ωdt .
dx ′ = dx + r sin(ϕ + Ωdt ) − r sin ϕ = dx + rΩdt cos ϕ = dx + yΩdt
dy′ = dy + r cos(ϕ + Ωdt ) − r cos ϕ = dx − rΩdt sin ϕ = dx − xΩdt
Po podzieleniu przez dt otrzymujemy:
r ′ = r + Ω( y,− x ,0)
y
Poniewa układ współrz dnych wybrali my tak, eby
rΩdt
ϕ
Ω = (0,0, Ω )
zatem
0 0 Ω
Ω × r = x y z = Ωx j − Ωy i = Ω(− y, x,0) .
i j k
x
Poprzednie wyra enie mo na zapisa jako:
r′ = r − Ω × r
Wstawmy ten wynik do odpowiedniego wyra enia na funkcj Lagrange’a. Otrzymujemy:
2
m
m
m
2
L = v′2 + mv′V(t ) + V(t ) − U =
r − Ω × r + m r − Ω × r V(t ) − U zatem
2
2
2
2
m
m
L = r 2 − mr ⋅ Ω × r +
Ω × r − m r V (t ) − m r V (t ) × Ω − U
2
2
Jest to funkcja Lagrange’a dla cz stki w układzie nieinercjalnym, poruszaj cym si wzgl dem
pewnego układu inercjalnego z pr dko ci liniow V( t ) i obracaj cego si wzgl dem niego z
(
(
)
)
(
(
)
)
pr dko ci k tow Ω(t ) .
Napiszmy równania ruchu dla tej cz stki.
Dla uproszczenia zapisu wprowadz poj cie pochodnej kierunkowej, któr oznacz jako
∂
.
∂r
B dzie oznacza wektor o składowych
∂ ∂ ∂
, ,
.
∂x ∂y ∂z
Dla pochodnej kierunkowej po wektorze wodz cym jest to po prostu operator ∇ , a dla
pochodnej po pr dko ci odpowiednik ∇ r .
W tym zapisie równania Lagrange’a maj posta :
d ∂L ∂L
−
=0.
dt ∂r ∂ r
Wykorzystajmy je do uzyskanej funkcji Lagrange’a.
∂L
= m r − mΩ × r
∂r
d ∂L
= m r − mΩ × r − mΩ × r
dt ∂ r
23
(
)
(
)
∂L
= − m r × Ω − m Ω × r × Ω − mV(t ) − m V(t ) × Ω − ∇U
∂r
Równania ruchu przyjmuj posta :
(
)
(
)
(
)
m r = mΩ × r + mΩ × r − m r × Ω − m Ω × r × Ω − mV(t ) − m V(t ) × Ω − ∇U co po
uporz dkowaniu daje:
(
)
m r = −∇U − mV(t ) + mΩ × r + 2mΩ × r − m Ω × r × Ω − m V(t ) × Ω
Tak wi c oprócz siły wynikaj cej z potencjału U pojawia si podobnie jak poprzednio
jednorodna siła bezwładno ci wynikaj ca z przyspieszonego ruchu prostoliniowego układu.
Dodatkowe wyra enia maj równie charakter sił bezwładno ci wynikaj cych z ruchu
obrotowego układu. Pierwsza z nich wynika ze zmian pr dko ci k towych, nast pna ma
charakter siły Coriolisa, a druga siły od rodkowej. Zwró my uwag na kierunki i zwroty
kolejnych składników sił bezwładno ci.
Łatwo sprawdzi , e w przypadku ciała spoczywaj cego w poruszaj cym si ruchem
obrotowym układzie odniesienia Kierunek tej ostatniej siły pokrywa si z promieniem
wodz cym cz stki w układzie. Kierunek siły Coriolisa jest prostopadły do osi obrotu układu
nieinercjalnego oraz wektora pr dko ci.
Podsumowanie III.
• Zastosowali my formalizm Lagrange’a do podwójnego wahadła matematycznego.
• Nast pnie do uzyskania równa ruchu bryły sztywnej.
• Nauczyli my si jak sobie radzi z trajektori narzucon na jedn ze zmiennych przez
wydzielenia z układu jego cz ci, zadania jego ruchu i potraktowania jej jako układu
zewn trznego.
• Na zako czenie uzyskali my równanie ruchu w nieinercjalnym układzie odniesienia.
Zało yli my ruch nieinercjalnego układu odniesienia z zale n od czasu pr dko ci
liniow oraz jego obrót ze zmienn pr dko ci k tow .
24
IV.
Prawa zachowania, całki ruchu.
Spo ród wszystkich wielko ci fizycznych, które mo na obserwowa w układzie szczególne
znaczenie maj te wielko ci, które s stałe w czasie. Mówimy o ich zachowaniu. W ró nych
układach, czyli w zale no ci od charakteru potencjałów (sił) zewn trznych mog by
zachowane ró ne wielko ci. Wiedz c jakie prawa zachowania słuszne s w rozpatrywanym
układzie mo emy wykorzysta je w celu ułatwienia rozwi zania problemu. Wielko ci
zachowane w czasie słu nam równie do klasyfikacji (okre lenia) stanu układu.
Zacznijmy od zupełnie ogólnych rozwa a , które pozwol nam okre li liczb niezale nych
wielko ci fizycznych, dla których mo na sformułowa prawa zachowania. Wielko ci te
nazywamy całkami ruchu.
Układ o f stopniach swobody jest podczas ruchu opisywany przez 2f wielko ci b d cych
funkcjami czasu - współrz dnych i pr dko ci uogólnionych. Szukamy nie zmieniaj cych si
w czasie funkcji tych wielko ci
f (q α , q α ) = const ( t ) .
Zauwa my, e trajektorie, czyli zale no ci czasowe współrz dnych uogólnionych wyliczamy
rozwi zuj c układ f równa ruchu. Poniewa równania ruchu s równaniami ró niczkowymi
drugiego rz du, do rozwi za szczególnych wprowadzamy 2f warunków pocz tkowych.
Rozwi zania musz zatem zawiera 2f stałych:
q α = q α ( t , c1 ,....., c 2 f )
q α = q α ( t , c1 ,....., c 2 f )
Traktuj c powy sze zwi zki jako układ równa mo emy go rozwikła wzgl dem stałych ci i
uzyska 2f wielko ci, które niew tpliwie od czasu nie zale , a stanowi funkcje
współrz dnych i pr dko ci uogólnionych.
Jedn z tych stałych usuwamy ustalaj c chwil pocz tkow , np.: c 2 f = t 0 . Pozostaje 2f-1
wielko ci. Mo emy wi c sformułowa ogóln reguł :
Dla układu zawieraj cego f stopni swobody mo na okre li 2f-1 całek ruchu.
Całki ruchu jako wielko ci stałe w czasie mo na wykorzysta przy rozwi zywaniu równa
ruchu, mo na równie posługiwa si nimi do okre lania stanu układu.
Niektóre z nich maj bardziej uniwersalny charakter. Szczególne znaczenie maj całki ruchu
bezpo rednio zwi zane z własno ciami czasu i przestrzeni – jednorodno ci i izotropowo ci .
Maj one szczególn własno - s addytywne. Ich warto dla układu, który mo na podzieli
na dwa nie oddziaływuj ce podukłady jest sum ich odpowiednich warto ci dla podukładów.
Energia.
Zacznijmy od całki ruchu zwi zanej z jednorodno ci czasu. Je eli rozwa any układ jest
izolowany, z warunku jednorodno ci czasu wynika, e funkcja Lagrange’a nie zawiera jawnej
zale no ci czasowej:
∂L
=0.
∂t
Zatem jej zupełna pochodna po czasie wynika wył cznie z zale no ci czasowej
współrz dnych i pr dko ci uogólnionych:
dL
∂L
∂L
=
qα +
qα .
dt
∂q α
∂q α
α
Korzystaj c z równa Lagrange’a przekształcamy j do:
dL
d ∂L
∂L
d ∂L
d
∂L
=
qα
+
qα =
qα =
qα
dt
dt ∂q α ∂q α
dt α ∂q α
α
α dt ∂q α
25
Odejmuj c od siebie obie strony równania uzyskujemy:
d
∂L
qα − L = 0 ,
dt α ∂q α
sk d wynika:
∂L
q α − L = E = const ( t )
α ∂q α
Wielko E ma wymiar energii i jest całk ruch dla ka dego układu izolowanego. Poniewa
∂L
jej niezale no czasow uzyskali my przy zało eniu
= 0 , wynik ten mo emy
∂t
natychmiast uogólni na układy znajduj ce si w polu sił zewn trznych niezale nych od
czasu. Takie układy nazywamy zachowawczymi.
Poniewa uprzednio pokazali my, e energia kinetyczna układu cz stek jest form
kwadratow pr dko ci uogólnionych mo emy zauwa y , e:
∂L
∂T
= qα
=2T ,
qα
∂q α α
∂q α
α
czyli:
E = 2 T ( q, q ) − L .
Poniewa funkcja Lagrange’a jest ró nic energii kinetycznej i potencjalnej
L = T( q, q ) − U( q ) ,
otrzymujemy:
E = T( q, q ) + U ( q ) .
Całka ruchu E jest sum energii kinetycznej i potencjalnej, stanowi wi c energi całkowit
układu.
P d.
Wydob d my teraz całki ruchu zwi zane z jednorodno ci przestrzeni. Rozpatrzmy
izolowany układ kilku cz stek. Załó my, e nie wyst puj w nim potencjały zewn trzne. W
takim przypadku przestrze mo emy traktowa jako jednorodn , co oznacza, e aden punkt
w przestrzeni nie jest wyró niony.
Rozpatrujemy niesko czenie małe przesuni cie równoległe całego układu i damy
niezmienniczo ci funkcji Lagrange’a wzgl dem takiego przesuni cia. Jest ona wynikiem
jednorodno ci przestrzeni.
ra → ra + ε , rai → rai + ε i
∂L
∂L
δL =
εi = εi
=0
ai ∂rai
i
a ∂rai
Poniewa ε i s dowolne, otrzymujemy warunek:
∂L
=0
a ∂rai
Korzystaj c z równa Lagrange’a otrzymujemy:
∂L
d ∂L
d
∂L
0=
=
=
dt a ∂rai
a ∂rai
a dt ∂rai
Wyra enie, którego pochodna si zeruje stanowi nast pn całk ruchu:
∂L
Pi =
= const ( t ) .
a ∂rai
Poniewa we współrz dnych kartezja skich
26
ma 2
ri − U( ri ) ,
ai 2
dla nowej całki ruchu otrzymujemy:
Pi = m a rai lub P = m a ra
L=
a
a
Uzyskana całka ruchu stanowi p d całkowity układu.
Z drugiej strony ten sam warunek
∂L
∂U
0=
=−
= Fi
∂
r
∂
r
ai
ai
a
a
a
oznacza zerowanie si sumy sił w układzie (prawo akcji i reakcji).
Mo emy teraz zdefiniowa now wielko , któr nazywamy p dem odpowiadaj cym
okre lonej współrz dnej układu. We współrz dnych kartezja skich
∂L
pi =
= mri
∂ri
(Uwaga. P d pojedynczej cz stki nie jest całk ruchu. Całk ruchu jest p d całkowity.)
Podobn wielko mo emy zdefiniowa we współrz dnych uogólnionych:
∂L
pα =
∂q α
Nazywamy j p dem uogólnionym sprz onym ze współrz dna uogólnion q α .
Dla układu cz stek we współrz dnych kartezja skich p d uogólniony odpowiadaj cy
poło eniu cz stki pokrywa si ze znanym z fizyki ogólnej wyra eniem
p i = mri .
W przypadku współrz dnych krzywoliniowych, p dy uogólnione nie musz mie nawet
wymiaru p du, jednak e zawsze s liniowymi funkcjami pr dko ci uogólnionych.
Podobnie mo emy zdefiniowa sił uogólnion
∂L
Fα =
∂q α
i napisa wynikaj cy z równa Lagrange’a zwi zek
p α = Fα .
Moment p du.
Znajd my teraz całk ruchu wynikaj c z izotropowo ci przestrzeni. W tym celu zapiszmy
wektory wodz ce cz stek we współrz dnych sferycznych i dokonajmy obrotu o jednakowy
dla wszystkich cz stek niesko czenie mały k t δϕ . Przy takim obrocie bezwzgl dna warto
zmiany wektora wodz cego dana jest wyra eniem:
δ r = r sin ϑδϕ
Poniewa ponadto kierunek δ r jest prostopadły do δϕ i
δ r = δϕ × r
a jego pochodna po czasie:
r:
27
δ r = δϕ × r
Załó my, e funkcja Lagrange’a nie zale y w sposób jawny od czasu (układ izolowany) i
za dajmy jej niezmienniczo ci przy obrocie δϕ .
∂L
∂L
δrai +
δrai = 0
∂rai
ai ∂rai
Korzystamy z definicji p du i jego czasowej
pochodnej:
∂L
d ∂L ∂L
pi =
, pi =
=
∂ri
dt ∂ri ∂ri
uzyskujemy:
(p ai δrai + p ai δrai ) = 0 ,
δL =
δϕ
δr
ai
a po wstawieniu wyra e uzyskanych
na δϕ i δ r , otrzymujemy:
ϑ
ai
r
(p ai (δϕ × ra ) i + p ai (δϕ × ra ) i ) = 0
lub w zapisie wektorowym:
p a ⋅ (δϕ × ra ) + p a ⋅ (δϕ × ra ) = 0
a
(
)
Po zmianie kolejno ci czynników w iloczynie
przed nawias δϕ :
d
δϕ ⋅
ra × p a + ra × p a = δϕ ⋅
ra × p a = 0
dt a
a
Korzystaj c z dowolno ci δϕ otrzymujemy:
d
ra × p a = 0
dt a
czyli uzyskali my całki ruchu
J = ra × p a = const ( t )
mieszanym mo emy wyci gn
(
)
a
Jest to wektor całkowitego momentu p du układu. Mo emy go potraktowa jako sum
momentów p du cz stek tworz cych układ:
J = ja gdzie ja = ra × p a
a
Całkowity moment p du jest zachowany w przypadku układu izolowanego.
Jest zachowany równie wtedy gdy w przestrzeni nie jest wyró niony aden kierunek, a wi c
na przykład dla cz stki w polu sił centralnych, tzn. gdy potencjał zale y wył cznie od
odległo ci od pocz tku układu, a nie zale y od k tów.
Zmienne cykliczne a całki ruchu.
Wracaj c do równa Lagrange’a mo emy zauwa y inny sposób poszukiwania całek ruchu.
∂L
d ∂L
−
=0
∂q α dt ∂q α
Je eli funkcja Lagrange’a nie zale y od pewnej współrz dnej uogólnionej np. q α ,
współrz dn tak nazywamy zmienn cykliczn . Zauwa my, e wówczas:
∂L
d ∂L
d
=0=
= pα
∂q α
dt ∂q α dt
28
co oznacza, e p d uogólniony sprz ony ze zmienn cykliczn jest całk ruchu. Zilustrujmy
t mo liwo poszukiwania całek ruchu prostym przykładem. Napiszmy we współrz dnych
sferycznych funkcj Lagrange’a dla cz stki w polu sił centralnych:
m 2
L=
r + ϕ 2 r 2 sin 2 ϑ + ϑ 2 r 2 − U(r )
2
Zauwa my, e funkcja ta nie zale y od k ta ϕ . Zatem ϕ jest zmienn cykliczn . Całk ruchu
powinien by p d sprz ony do tej zmiennej.
∂L
pϕ =
= mϕr 2 sin 2 ϑ
∂ϕ
Łatwo sprawdzi , e p d ten stanowi poznan ju całk ruchu, mianowicie “zetow ”
składow momentu p du.
J = r×p
(
)
Równania kanoniczne Hamiltona.
W poznanym przez nas formalizmie Lagrange’a układ mechaniczny opisywany był przy
u yciu współrz dnych i pr dko ci uogólnionych. W pewnych zastosowaniach, wygodniej jest
opisa układ przy pomocy innych wielko ci fizycznych. W mechanice kwantowej nie operuje
si poj ciem pr dko ci cz stki, gdy ona jest naogół nieokre lona, ale p dem maj cym
znacznie lepsz interpretacj fizyczn . Przejd my wi c do formalizmu, w którym układ
zostanie opisany przy u yciu współrz dnych i p dów uogólnionych. Nosi on nazw
formalizmu Hamiltona.
Ró niczk funkcji Lagrange’a
∂L
∂L
dL =
dq α +
dq α
∂q α
α ∂q α
korzystaj c z definicji p du uogólnionego oraz z równa Lagrange’a
∂L
pα =
∂q α
d ∂L
∂L
=
dt ∂q α ∂q α
mo emy przekształci do postaci:
dL = ( p α dq α + p α dq α ) = ( p α dq α + p α dq α + q α dp α − q α dp α ) =
pα =
α
=d
α
α
pα q α +
α
( p α dq α − q α dp α )
co mo na zapisa jako:
d ( p α q α − L) = − ( p α dq α − q α dp α )
α
α
Lew stron potraktujmy jako ró niczk zupełn nowej funkcji, któr nazwiemy funkcj
Hamiltona:
∂L
H = ( p α q α − L) = (
q α − L) = E
∂q α
α
α
Zauwa my, e funkcja Hamiltona odpowiada zdefiniowanej poprzednio energii całkowitej
układu.
Ró niczka zupełna funkcji Hamiltona dana jest wyra eniem
dH = (q α dp α − p α dq α )
α
29
Mo emy zauwa y bardzo istotn w tym momencie własno funkcji Hamiltona. Zgodnie z
definicj ró niczki zupełnej, ró niczki po prawej stronie okre laj niezale ne argumenty
funkcji. S nimi współrz dne i p dy uogólnione. Funkcja Hamiltona jest funkcj
współrz dnych i p dów (pami tamy, e funkcja Lagrange’a była funkcj współrz dnych i
pr dko ci). Poniewa
∂H
∂H
dH =
dp α +
dq α
dp α
dq α
α
porównuj c to wyra enie z poprzednim uzyskujemy równania:
∂H
∂H
= qα
oraz
= − pα
dp α
dq α
Nosz one nazw równa Hamiltona. Jest to układ 2f równa ró niczkowych pierwszego
rz du. Zauwa my, e je eli równania Hamiltona s spełnione, wówczas:
dH
∂H
∂H
∂H
∂H ∂H
=
qα +
pα +
= (− p α q α + q α p α ) +
=
dt
∂q α
∂p α
∂t
∂t
∂t
α
α
W przypadku braku jawnej zale no ci hamiltonianu od czasu otrzymujemy prawo
zachowania energii.
Podsumujmy uzyskany wynik.
Funkcja Hamiltona odpowiada wyra eniu na energi całkowit b d c sum energii
kinetycznej i potencjalnej:
H = T+U,
w którym zale no od pr dko ci została zast piona zale no ci od p dów:
H = H( q α , p α , t )
Równania Hamiltona:
∂H
∂H
= qα
oraz
= − pα
dp α
dq α
podobnie jak równania Lagrange’a prowadz do równa ruchu.
Nawiasy Poissona.
W formalizmie hamiltonowskim wielko ci fizyczne wyra amy funkcjami poło e i
sprz onych z nimi p dów uogólnionych. Dotyczy to zarówno hamiltonianu okre laj cego
energi całkowit układu jak i innych wielko ci fizycznych. Rozwa my pewn wielko
fizyczn , której zale no od współrz dnych, p dów i czasu dana jest pewn funkcj f(q,p,t) .
Zupełn pochodn czasow tej funkcji
df ∂f
∂f
∂f
=
+
qα +
pα
dt ∂t α ∂q α
∂p α
mo emy przekształci korzystaj c z równa Hamiltona:
∂H
∂H
= qα
oraz
= − pα
dp α
dq α
do postaci:
df ∂f
∂f ∂H ∂H ∂f
∂f
=
+
−
= (f , H ) +
dt ∂t α ∂q α ∂p α ∂q α ∂p α
∂t
Wyst puje tutaj wyra enie zbudowane z pochodnych cz stkowych po p dzie i poło eniu
wyj ciowej funkcji f, oraz hamiltonianu. Wyra enie to nosi nazw nawiasu Poissona funkcji f
i funkcji H. Poniewa nawias Poissona wielko ci fizycznej f i hamiltonianu okre la jej
zupełn pochodn czasow mo e by pomocny w poszukiwaniu całek ruchu. Je eli funkcja f
30
nie zale y jawnie od czasu, co oznacza zerowanie si jej pochodnej cz stkowej, to warunkiem
by była całk ruchu jest znikanie jej nawiasu Poissona z hamiltonianem:
(H, f ) = 0 .
Nawiasy Poissona mo na zdefiniowa dla dowolnej pary wielko ci fizycznych zapisanych w
formalizmie Hamiltona (zatem b d cym funkcjami poło e i p dów). Dowolnej parze A(q,p)
i B(q,p) przyporz dkujemy funkcj nosz c nazw nawiasów Poissona, zdefiniowan jako:
n
∂A ∂B
∂B ∂A
(A, B) =
−
∂q α ∂p α
α =1 ∂q α ∂p α
W dalszym ci gu wykładu nie b dziemy wykorzystywa nawiasów Poissona, przejdziemy
bowiem do innych zagadnie , jednak e musimy im po wi ci nieco uwagi ze wzgl du na ich
rol w przej ciu od mechaniki klasycznej do kwantowej. Na czym ona polega dowiemy si w
przyszłym semestrze, dzisiaj ograniczymy si do poznania kilku ich własno ci, do których
odwołamy si w przyszłym semestrze podczas wykładu mechaniki kwantowej.
1. (A , B) = − ( B, A ) ,
2. (A,A)=0
3. (A + B, C) = (A , C) + ( B, C) ,
4. (AB, C) = A ( B, C) + (A , C) B ,
5. ((A, B),C) + ((C,A), B) + ((B,C),A) = 0 ,
6. ( A, W ) = 0, ( WA, B) = W(A, B) dla stałej (niezale nej od poło e i p dów) W:
7. (q i , q j ) = 0, ( p i , p j ) = 0, (q i , p j ) = δ ij
∂A
∂p i
∂A
9. ( A, p i ) =
∂q i
8. ( A, q i ) = −
(
)
10. j x , j y = − j z
Pierwsza własno (antysymetria) jest widoczna na pierwszy rzut oka bez wykonywania
adnych rachunków:
(A , B) = − ( B, A )
Z niej z kolei wynika bezpo rednio:
( A, A ) = 0 .
Ze wzgl du na liniowo nawiasów Poissona wzgl dem obu wielko ci fizycznych równie
bez trudu uzyskujemy ich rozdzielno wzgl dem sumowania:
(A + B, C) = (A , C) + ( B, C) .
Własno rozdzielno ci dla iloczynu wielko ci fizycznych musimy policzy :
n
∂( AB) ∂C
∂C ∂( AB)
( AB, C) =
−
=
∂q α ∂p α ∂q α ∂p α
α =1
=
n
B
α =1
∂A ∂C
∂B ∂C
∂C ∂A
∂C ∂B
+A
−B
−A
=
∂q α ∂p α
∂q α ∂p α
∂q α ∂p α
∂q α ∂p α
n
∂A ∂C
∂C ∂A
∂B ∂C
∂C ∂B
−B
+
A
−A
=
∂q α ∂p α
∂q α ∂p α
∂q α ∂p α
∂q α ∂p α
α =1
α =1
= A(B, C) + B( A, C)
Podobnie liczymy własno 5. Własno 6 wynika bezpo rednio z definicji nawiasów
Poissona:
=
n
B
31
( A, W ) = 0, ( WA, B) = W(A, B) ,
a własno ci 7-9 równie sprawdzamy w pami ci.
Podsumowanie IV.
• Wprowadzili my poj cie całki ruchu jako wielko ci fizycznej niezmiennej w czasie. Z
ogólnych rozwa a wynika, e układ o f stopniach swobody mo e mie 2f-1 niezale nych
całek ruchu.
• Kilka najwa niejszych całek ruchu wynika z podstawowych własno ci przestrzeni i czasu.
Dzi ki jednorodno ci czasu całk ruchu jest energia, dzi ki jednorodno ci przestrzeni p d
całkowity a całk ruchu wynikaj c z izotropowo ci przestrzeni jest całkowity moment
p du.
• Nast pnie wprowadzili my poj cie zmiennej cyklicznej i pokazali my, e p d uogólniony
sprz ony do zmiennej cyklicznej jest równie całk ruchu.
• Korzystaj c z wprowadzonej uprzednio definicji p du uogólnionego przeszli my do
nowego formalizmu, w którym jako zmienne niezale ne traktowane s nie współrz dne i
pr dko ci ale współrz dne i p dy. Nosi on nazw formalizmu Hamiltona.
• W formalizmie tym rol funkcji Lagrange’a przejmuje funkcja Hamiltona, maj ca sens
energii całkowitej układu wyra onej poprzez poło enia i p dy. Równania ruchu
generowane s przez tzw. równania kanoniczne Hamiltona. Dla f stopni swobody
stanowi one układ 2f równa ró niczkowych pierwszego rz du wzgl dem czasu
(równania Lagrange’a stanowiła układ f równa drugiego rz du).
• W formalizmie Hamiltona definiujemy tzw. Nawiasy Poissona, które w mechanice
klasycznej s pomocne przy poszukiwaniu całek ruchu a najwa niejszym ich
zastosowaniem jest przej cie od mechaniki klasycznej do kwantowej.
Podsumowanie mechaniki klasycznej.
1. Mechanik teoretyczn zbudowali my postuluj c na wst pie zasad najmniejszego
działania:
Dla ka dego układu mechanicznego mo na znale funkcj współrz dnych i pr dko ci
uogólnionych oraz czasu L(q α , q α , t ) tak , e funkcjonał:
[
]
t2
S q~ α , ~
q α = dt L(~
q α , q~ α , t )
t1
przyjmuje najmniejsz warto dla ruchu rzeczywistego, tj. ~
q α ( t ) = q α ( t ) . Funkcja L nosi
nazw funkcji Lagrange’a, a funkcjonał S nazywamy działaniem.
2. W ogólno ci funkcja Lagrange’a jest ró nic energii kinetycznej i potencjalnej:
L(r , r , t ) = T(r ) − U( r )
3. Znaj c funkcj Lagrange’a mo emy uzyska równania ruchu wykorzystuj c równania
Lagrange’a II rodzaju:
∂L d ∂L
−
=0
∂qα dt ∂qα
4. Wprowadzili my poj cie całki ruchu. Mo emy znale 2f-1 niezale nych całek ruchu.
Niektóre z nich zwi zane s z podstawowymi własno ciami przestrzeni i czasu: E, P, J .
Ponadto całkami ruchu s p dy kanonicznie sprz one do zmiennych cyklicznych oraz
wielko ci fizyczne, których nawias Poissona z hamiltonianem znika.
32
5. Przy pomocy funkcji Lagrange’a mo emy zdefiniowa p dy uogólnione:
∂L
pα =
∂q α
6. Traktuj c jako zmienne niezale ne współrz dne uogólnione i p dy uogólnione mo emy
przej do alternatywnego formalizmu Hamiltona, w którym równania ruchu uzyskujemy z
równa Hamiltona
∂H
∂H
= qα
oraz
= − pα
dp α
dq α
gdzie funkcja Hamiltona stanowi wyra enie na energi całkowit układu wyra on jako
funkcj poło e i p dów.
H( q α , p α , t ) = T + U
7. W formalizmie Hamiltona ka dej parze wielko ci fizycznych mo na przypisa nawias
Poissona:
n
∂A ∂B
∂B ∂A
−
( A, B) =
∂q α ∂p α
α =1 ∂q α ∂p α
posiadaj cy cały szereg ciekawych własno ci. Tych ostatnich przypomina nie b d ,
poniewa omówili my je przed chwil .
33
(2) Mechanika relatywistyczna
V.
Zasada wzgl dno ci Einsteina
Mechanika klasyczna opisuje poprawnie szereg zjawisk fizycznych i pod koniec XIX w
wydawało si , e przy jej pomocy mo na zinterpretowa wszystkie zjawiska wyst puj ce w
przyrodzie. Jednak e w miar udoskonalania metod pomiarowych i rozszerzania kierunków
bada eksperymentalnych zaobserwowano zjawiska, których mechanika klasyczna nie była w
stanie poprawnie opisa . Pierwszym faktem do wiadczalnym wykraczaj cym poza obszar
stosowalno ci mechaniki klasycznej a przez to zaprzeczaj cy jej poprawno ci był
eksperyment Michelsona i Morleya, którzy (w 1881r) pokazali, e pr dko wiatła nie zale y
od pr dko ci układu odniesienia w którym dokonujemy pomiaru.
V
l
Tymczasem zgodnie z mechanik klasyczn , je eli układ porusza si z pr dko ci V wzdłu
długo ci l, to czas potrzebny na jej pokonanie przez wiatło byłby:
l
l
l
+
= 2
(c + v + c − v ) = 2 2cl 2 .
t1 =
2
c−v c+v c −v
c −v
Natomiast je eli układ obrócimy, tak by układ poruszał si prostopadle do l, potrzebny jest
czas:
2l
t 2 = . Zauwa my, e t1>t2 co nie jest zgodne z wynikiem eksperymentu.
c
Stało pr dko ci wiatła w układach poruszaj cych si wzgl dem siebie jest sprzeczna z
wynikiem transformacji Galileusza, której prawdziwo stanowi jedno z podstawowych
zało e mechaniki klasycznej (pami tamy, e korzystali my z niej konstruuj c pierwsz
funkcj Lagrange’a). Bł dna jest zatem cała teoria klasyczna.
Problem polega na zało eniu niesko czonej szybko ci rozchodzenia si oddziaływa .
Zało enie to jest bł dne. Okazuje si mianowicie, e istnieje maksymalna pr dko
przesyłania informacji, z t maksymaln pr dko ci rozchodzi si wiatło i dlatego nazwano
j pr dko ci wiatła. Naturalnie problemy pojawiaj si dopiero przy bardzo du ych
pr dko ciach cz stek tworz cych układ, dla których pr dko rozchodzenia si oddziaływa
jest nie do zaniedbania.
Teoria uwzgl dniaj ca nowy fakt eksperymentalny została sformułowana w 1905r. przez
Einsteina. Bazuje ona na dwóch podstawowych zało eniach, które nosz nazw zasad
wzgl dno ci Einsteina.
• Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegaj jednakowo we wszystkich inercjalnych układach
odniesienia.
• Maksymalna pr dko rozchodzenia si oddziaływania (informacji) jest w ka dym
inercjalnym układzie odniesienia jednakowa i wynosi c=2.998*108 m/s.
34
Teoria bazuj ca na tej zasadzie nosi nazw mechaniki relatywistycznej. W granicznym
przypadku małych pr dko ci przechodzi ona w mechanik klasyczn .
O ile pierwsza zasada nie odbiega tre ci od postulowanej w mechanice klasycznej, o tyle
zasada druga powoduje okre lone konsekwencje. Przede wszystkim zmusza do rezygnacji z
bezwzgl dno ci czasu. Wyobra my sobie dwa układy odniesienia poruszaj ce si wzgl dem
siebie z pewn pr dko ci . Niech układ primowany porusza si wzgl dem nieprimowanego z
pr dko ci V w kierunku osi x.
Z punktu A zwi zanego z układem “primowanym” wysłane zostaj sygnały w kierunku
równoodległych punktów B i C zwi zanych z tym samym układem. Sygnały obserwowane z
tego układu osi gn oba punkty jednocze nie. Jednak e, je eli sygnały b d obserwowany z
układu “nie primowanego”, przy zało eniu e równie w tym układzie poruszaj si w obu
z
z’
x
y
B
A
x’
C
V
y’
kierunkach z jednakowymi pr dko ciami, wówczas punkt B zostanie osi gni ty wcze niej ni
punkt C, poniewa w czasie zu ytym przez sygnał punkt B przemieszcza si w kierunku
przeciwnym do kierunku biegu sygnału, a punkt C odwrotnie.
Zjawisko (wysłanie sygnału wietlnego z A i jego dotarcie do punktów B i C ) zachodzi w
realnej przestrzeni. Układy odniesienia słu jedynie do opisu zjawiska. Tak wi c poj cie
równoczesno ci a zatem równie kolejno ci zdarze straciło bezwzgl dny sens i stało si
zale ne od układu odniesienia. Oznacza to równie , e czas jako parametr numeruj cy
kolejno zdarze musi zale e od układu odniesienia.
Niezale no pr dko ci wiatła od pr dko ci układu odniesienia burzy poj cie
równoczesno ci.
Nowa teoria bazuj ca na zasadzie wzgl dno ci Einsteina jest mniej intuicyjna od mechaniki
klasycznej, gdy bezpo rednio na co dzie obserwowane zjawiska, do których jeste my
przyzwyczajeni nie s relatywistyczne i przyzwyczaili my si do bezwzgl dno ci czasu.
Wyniki rozwa a relatywitycznych s cz sto tak bardzo “nieoczywiste”, e nale y teori
bardzo ci le sformułowa i starannie prowadzi rachunki, eby unikn bł du. Wynikom
rachunków, nawet tym zaskakuj cym mo na zaufa , ale pod warunkiem, e mamy pewno
i zostały poprawnie przeprowadzone.
Konstruowanie nowej teorii zaczniemy od dookre lenia pewnych nowych poj , którymi
b dziemy si posługiwa .
Zdarzenie okre la b dziemy przez podanie miejsca w trójwymiarowej przestrzeni i czasu.
Zbiór wszystkich mo liwych zdarze wyznacza czasoprzestrze .
Przedział czasoprzestrzenny.
Rozpatrzmy dwa inercjalne układy odniesienia U i U’, zakładaj c geometri tak sam jak na
poprzednim rysunku. Rozwa my dwa zdarzenia. Pierwsze polega na wysłaniu sygnału z
punktu (x1,y1,z1) w chwili t1, drugie na odbiorze sygnału w punkcie (x2,y2,z2) w chwili t2.
35
(x1,y1,z1,t1)
(x2,y2,z2,t2)
Sygnał rozchodzi si z pr dko ci c, zatem
c(t2-t1)=[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2]1/2
lub
(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2-c2(t2-t1)2=0
Poniewa pr dko wiatła c jest jednakowa w dowolnym inercjalnym układzie odniesienia,
te same dwa zdarzenia obserwowane w układzie U’ daj zwi zek:
(x’2-x’1)2+(y’2-y’1)2+(z’2-z’1)2-c2(t’2-t’1)2=0
Zdefiniowan powy ej wielko , która si zeruje dla tych dwóch zdarze niezale nie od
układu odniesienia nazywamy przedziałem czasoprzestrzennym. Podobnie interwał
(przedział) czasoprzestrzenny mo emy zdefiniowa dla dwóch zdarze dowolnej natury:
s212 =c2(t2-t1)2 -(x2-x1)2-(y2-y1)2-(z2-z1)2
Je eli oba zdarzenia s niesko czenie bliskie w przestrzeni i czasie interwał
czasoprzestrzenny zapisujemy w postaci zwi zku pomi dzy ró niczkami:
ds2= c2dt2-dx2-dy2-dz2
W wyniku przyj tej definicji wiemy, e je eli w jednym inercjalnym układzie odniesienia
przedział czasoprzestrzenny ds si zeruje, to ds’ w ka dym innym inercjalnym układzie
odniesienia równie si zeruje.
Bazuj c na jednorodno ci i izotropowo ci przestrzeni oraz jednorodno ci czasu mo na
zało y , e wielko ifinitezymalnego interwału czasoprzestrzennego jest jednakowa we
wszystkich inercjalnych układach odniesienia:
ds=ds’
a st d wynika równo przedziałów sko czonych
s=s’.
Własno ta nie wynika z definicji przedziału czasoprzestrzennego i stanowi zało enie teorii
prowadz cej do wybranego sposobu opisu zjawisk.
Zało enie to b dzie niesprzeczne z zasadami wzgl dno ci Einsteina, a jednocze nie pozwoli
na wyprowadzenie zwi zków pomi dzy współrz dnymi i czasem w ró nych inercjalnych
układach odniesienia.
Transformacja Lorentza.
Bazuj c na poczynionych zało eniach spróbujmy przyjrze si zale no ci parametrów
opisuj cych zdarzenie ( poło enie i czas) w ró nych inercjalnych układach odniesienia.
Rozwa my ponownie dwa układy inercjalne U i U’. Ustawmy je tak by ich odpowiednie osie
były równoległe do siebie, a o x i x’ równoległe do kierunku ich wzajemnej pr dko ci. Niech
pocz tek układu U’ porusza si w układzie U z pr dko ci V. Chwile pocz tkowe dla czasów
w obu układach wybierzmy tak, by odpowiadały zdarzeniu w którym poło enia pocz tków
obu układów si pokrywaj (wtedy zdarzenie okre laj ce pocz tki układów w chwili
pocz tkowej maj te same parametry (0,0,0,0) w obu układach). Je eli znajdziemy reguły
przej cia pomi dzy tymi układami, b d one wystarczaj ce do opisu przej cia pomi dzy
dowolnymi układami, poniewa wybór kierunków osi i chwil pocz tkowych jest zawsze
dowolny.
W mechanice klasycznej przej cie pomi dzy ró nymi inercjalnymi układami odniesienia
opisywała transformacja Galileusza. Je eli w układzie U pewnemu zdarzeniu odpowiadaj
współrz dne x,y,z,t to w układzie U’
t’=t
x=x’+Vt
y’=y
36
z’=z
W mechanice relatywistycznej transformacja nieco si komplikuje ze wzgl du na brak
bezwzgl dno ci czasu (t’ nie jest równe t).
Okazuje si na szcz cie, e do wyprowadzenia zwi zków pomi dzy współrz dnymi
zdarzenia w ró nych inercjalnych układach odniesienia całkowicie wystarcza wykorzystanie
własno ci niezmienniczo ci przedziału czasoprzestrzennego (dlatego wprowadzili my to
poj cie i sprawdzili my zwi zek pomi dzy jego niezmienniczo ci i stało ci pr dko ci
wiatła w ró nych inercjalnych układach odniesienia).
2 2 2 2 2 2
s =c t -x -y -z
okre la przedział czasoprzestrzenny pomi dzy zdarzeniem (t,x,y,z), a zdarzeniem
okre laj cym pocz tek układu (0,0,0,0). Poniewa układy U i U’ wybrali my tak, by ich
pocz tki si pokrywały, odpowiedni przedział w układzie U’ dany jest wyra eniem
s’2=c2t’2-x’2-y’2-z’2
danie równo ci s i s’ powinno da nam reguły transformacyjne. Pozornie nie jest to proste,
ale ułatwimy sobie spraw , je eli zamiast czasu wprowadzimy now zmienn :
τ = ict
wówczas w układzie U
− s 2 = τ2 + x 2 + y 2 + z2
i ono ma by równe
− s′ 2 = τ′ 2 + x ′ 2 + y′ 2 + z′ 2
Zauwa my, e -s2 oznacza kwadrat długo ci wektora wodz cego w przestrzeni
czterowymiarowej (τ,x,y,z). Wiemy, e długo ci wektorów wodz cych punktów nie
zmieniaj si przy obrotach układu odniesienia, zatem przej cia pomi dzy układami
inercjalnymi s obrotami w czterowymiarowej przestrzeni (τ,x,y,z).
Chcemy opisa transformacj pomi dzy wybranymi przez nas układami U i U’. Poniewa
zało yli my, e oba układy poruszaj si wzgl dem siebie w kierunku x (x’). Zatem
współrz dne y i z nie ulegaj zmianie:
y’=y
z’=z
Oznacza to obrót w płaszczy nie (τ,x), co znacznie ułatwia dalsze rozwa ania.
Je eli dokonujemy obrotu o k t ϕ,
mo emy wynik transformacji napisa w
postaci:
τ′ = x sin ϕ + τ cos ϕ
x ′ = x cos ϕ − τ sin ϕ
Łatwo sprawdzi , e τ 2 + x 2 = τ′ 2 + x ′ 2
Naturalnie k t obrotu zale e mo e
wył cznie od pr dko ci wzgl dnej układu
τ′
V. eby go wyznaczy znajd my
ϕ
poło enie pocz tku układu U w układzie
U’.
x
τ
Poło enie pocz tku układu U ma w nim
współrz dn
x=0
Zwi zki transformacyjne daj jego
poło enie w układzie U’ :
ϕ
x’
37
τ′ = τ cos ϕ
x ′ = − τ sin ϕ
τ na razie jest dowolne (warunki powinny by spełnione dla dowolnej chwili), ale mo emy je
wyeliminowa dziel c równania stronami
x′
τ sin ϕ
=−
= − tg ϕ
τ′
τ cos ϕ
Poniewa pocz tek układu U porusza si w układzie U’ z pr dko ci -V czyli mo emy
napisa zwi zek
x’=-Vt’
lub
x′
= −V
t′
lub
x′ x′
V
=
=i
τ′ ict ′
c
Porównuj c oba zwi zki otrzymujemy
V
tg ϕ = −i
c
Mo emy teraz znale sinus i cosinus k ta ϕ
V
−i
tg ϕ
c
sin ϕ =
=
2
1 + tg ϕ
V2
1− 2
c
1
1
cos ϕ =
=
1 + tg 2 ϕ
V2
(1 − 2 )
c
Po wstawieniu uzyskujemy nast puj ce zwi zki:
V
V
−i
τ−i x
1
c +τ
c
τ′ = x
=
2
2
V
V
V2
1− 2
1− 2
1− 2
c
c
c
V
V
i
x +i τ
1
c
c
+τ
=
x′ = x
2
2
V
V
V2
1− 2
1− 2
1− 2
c
c
c
a po podstawieniu τ = ict :
V
t− 2 x
c
t′ =
V2
1− 2
c
x − Vt
x′ =
V2
1− 2
c
38
y’=y
z’=z
Zauwa my, e w przypadku granicznym V>>c wzory te przechodz we wzory transformacji
Galileusza mechaniki klasycznej. Stanowi to naturalnie warunek ich poprawno ci.
Dla skrócenia zapisu stosuje si zwykle umowne podstawienia:
V
β=
c
1
γ=
1 − β2
wtedy transformacja ma posta
x
t ′ = γ(t − β )
c
x ′ = γ ( x − β ct )
Transformacja ta pozwala znale zwi zki pomi dzy współrz dnymi i czasem w dowolnych
inercjalnych układach odniesienia. Mo emy natychmiast zauwa y , e niemo liwa jest
transformacja do układów poruszaj cych si z pr dko ci wi ksz od pr dko ci wiatła
β > 1 ⇔ urojoneγ
gdy wielko ci fizyczne okre laj ce poło enie i czas musz by rzeczywiste.
Uwaga! W przedstawionym rachunku zast pili my t przez τ = ict w celu uzyskania pełnej
analogii z obrotem w przestrzeni trójwymiarowej. Mo na tego nie robi , zachowa zmienn
czasow . Wtedy we wzorach transformacji obrotu w płaszczy nie (x,t) nale y zast pi
funkcje trygonometryczne hiperbolicznymi.
Transformacja odwrotna.
Łatwo mo na sprawdzi , e transformacja odwrotna odpowiada obrotowi o k t − ϕ i dana
jest zwi zkami:
V
t′ + 2 x′
c
t=
V2
1− 2
c
x ′ + Vt ′
x=
V2
1− 2
c
′
y=y
z = z′
Mo na j tak e uzyska rozwikłuj c transformacj prost wzgl dem zmiennych
“primowanych”.
Konsekwencj transformacji Lorentza s niespotykane w przypadku klasycznym efekty.
Przyjrzyjmy si najciekawszym.
39
Kontrakcja długo ci i dylatacja czasu.
Załó my, e w układzie U spoczywa pr t o długo ci l. W wybranej chwili t jednakowej (w
układzie U) dla obu zdarze dokonujemy pomiaru poło e jego ko ców x1 i x2. Jego długo
b d ca wynikiem tych pomiarów wynosi l=x2-x1.
x’2
t’
x’1
x2
l
t
x2
W układzie U’, poruszaj cym si wzgl dem U z pr dko ci V dokonujemy podobnego
pomiaru wyznaczaj c poło enia x’1 i x’2 w chwili t’ jednakowej dla obu zdarze w układzie
U’. Zmierzona długo jest równa l’=x’2-x’1. Zauwa my jednak, e to co było jednoczesne w
układzie U’ nie było jednoczesne w układzie U. Oba zdarzenia 1 i 2 (scharakteryzowane
przez poło enie i czas) nie mogły by to same w obu układach odniesienia.
Skoncentrujmy si na pomiarze długo ci pr ta w układzie U’. Zdarzeniom 1 i 2 odpowiada
ten sam czas t1’=t2’=t’. Oczywi cie je eli t’1=t’2 to t1 ≠ t2, bo
x′
t 1 = γ t 1′ + β 1
c
x′
t 2 = γ t ′2 + β 2
c
a x’1 nie jest równe x’2 (zakładamy niezerow długo pr ta). Zbadajmy skutki tego faktu.
Poło enia ko ców pr ta w układzie U’ wyra amy przez współrz dne zdarzenia w układzie U:
x ′2 = γ ( x 2 − β ct 2 )
x 1′ = γ ( x 1 − βct 1 )
Długo pr ta w układzie U’
l′ = x ′2 − x1′ = γ (x 2 − x1 − β c(t 2 − t 1 ))
Poniewa chwile t2 i t1 nie s w układzie U to same, wyra amy je ponownie przez parametry
zdarze w układzie U’:
x′
x′
′
′
l′ = γ x 2 − x1 − β cγ t 2 + β 2 − t 1 − β 1
c
c
Teraz korzystamy z jednoczesno ci pomiarów w układzie U’ i uzyskujemy :
l′ = γl − β 2 γ 2 l′
Przekształcamy to równanie wydobywaj c z niego l’:
1 + β 2 γ 2 l′ = γl
(
)
1+
β2
l′ = γl
1 − β2
1
l′ = γl
1 − β2
γ 2 l′ = γl
40
1
V2
l′ = l = 1 − 2 l < l
γ
c
długo pr ta jest najwi ksza w układzie, w którym spoczywa. Nazywamy go układem
własnym pr ta (ciała). Długo ciała zmierzona w ka dym innym układzie odniesienia jest
mniejsza.
Je eli zmianie ulega długo odcinka w przestrzeni, zastanówmy si jak zachowuje si
długo odcinka czasu. Niech teraz w pocz tku układu U spoczywa zegar. Porównujemy jego
wskazania ze wskazaniami zegarów poruszaj cego si wzgl dem niego układu U’. Poniewa
jego współrz dna przestrzenna w układzie U jest równa zero (x=0):
t
t ′ = γt =
V2
1− 2
c
odcinek czasu mierzony w poruszaj cym si układzie jest dłu szy. Najkrótszy odcinek czasu
pokazuj zegary w układzie w którym spoczywaj . Ten czas nazywamy czasem własnym
układu.
Podsumowanie V.
• Eksperymentalny fakt stałej pr dko ci wiatła w inercjalnych układach odniesienia zmusił
nas do rewizji całej mechaniki klasycznej i podj cia dyskusji całkiem od nowa.
Stracili my uniwersalne poj cie jednoczesno ci. Czas uzale nili my od układu
odniesienia.
• Podstaw nowej teorii jest zasada wzgl dno ci Einsteina, w której c=const jest
dodatkowym zało eniem.
• Wprowadzili my poj cie przedziału czasoprzestrzennego s 2 = c 2 t 2 − x 2 .
• Zerowanie si s w jednym układzie inercjalnym implikuje zerowanie si w drugim
s = 0 s′ = 0 .
• Zało yli my niezmienniczo infinitezymalnych przedziałów czasoprzestrzennych
ds = ds ′ .
• Uogólnili my j na przedziały sko czone s = s ′ .
• Z niezmienniczo ci s uzyskali my transformacj Lorentza (szczególn ).
x
t ′ = γ(t − β )
c
x ′ = γ ( x − β ct )
y’=y
z’=z
gdzie:
1
V
γ=
,β =
c
V2
c2
41
VI.
Transformacja pr dko ci.
z
z’
x
y
x’
V
y’
Załó my, e w układzie U’ (poruszaj cym si wzgl dem U z pr dko ci (V,0,0)) ciało
dx ′ dy ′ dz ′
posiada pr dko v′ = ( x ′, y′, z′) = (
,
, ) . Znajd my jego pr dko wzgl dem układu
dt ′ dt ′ dt ′
U.
Klasycznie otrzymaliby my naturalnie v = v ′ + V . W przypadku relatywistycznym musimy
wykona rachunek. Dla kierunku x:
dx
x=
dt
dx = γ (dx ′ + Vdt ′)
V
dt = γ (dt ′ + 2 dx ′)
c
dzielimy stronami i przekształcamy
dx ′
+V
dx γ (dx ′ + Vdt ′)
x′ + V
′
d
t
x=
=
=
=
dt γ (dt ′ + V dx ′) 1 + V dx ′ 1 + Vx ′
c2
c 2 dt ′
c2
Dla kierunków prostopadłych do V :
dy′
′
V2
dy
dy
1
y′
dt ′
y=
=
=
=
1− 2
dt γ (dt ′ + V dx ′) γ 1 + V dx ′ 1 + Vx ′
c
2
2
2
′
c
c dt
c
oraz
z′
V2
z=
1− 2
Vx ′
c
1+ 2
c
Wyniki s istotnie ró ne ni w przypadku klasycznym. Jednak e w granicy V<<c, przechodz
w klasyczny odpowiednik.
Przeanalizujmy dokładniej zło enie pr dko ci w kierunku x.
v′ + V
v=
Vv′
1+ 2
c
Poka my, e je eli składane pr dko ci V i v’ <c, wówczas równie v <c.
W tym celu zró niczkujmy v wzgl dem v’
42
Vv′ Vv′ V 2
V2
−
−
−
1
dv
1
c =
c2
c2
c2 =
c2
=
−
2
2
2
Vv′
dv ′
Vv′
Vv′
Vv′
1+ 2
1+ 2
1+ 2
1+ 2
c
c
c
c
2
2
Poniewa V <c uzyskane wyra enie musi by dodatnie, v jest rosn c funkcj v’.
Zatem v osi ga najwi ksz warto dla maksymalnego v’czyli dla v’=c (foton w układzie U’),
a wtedy
c+V
=c
v=
Vc
1+ 2
c
Czyli maksymalna pr dko (pr dko fotonu) w układzie U jest równie równa c. Tak wi c
transformacja Lorentza jest spójna z zało on na wst pie zasad wzgl dno ci Einsteina.
(v′ + V ) V2
1+
Relatywistyczna całka działania.
Przejd my teraz do znalezienia równa ruchu w mechanice relatywistycznej. Posłu ymy si
zasad najmniejszego działania i skorzystamy z formalizmu Lagrange’a podobnie jak w
mechanice klasycznej. Okre lmy działanie dla cz stki swobodnej. Działanie powinno by
niezale ne od wyboru inercjalnego układu odniesienia. Poznali my ju pewn wielko
posiadaj c t własno . Jest nim przedział czasoprzestrzenny. Z niezmienniczo ci interwału
czasoprzestrzennego przy przej ciach pomi dzy inercjalnymi układami odniesienia
korzystali my przy wyprowadzaniu wzorów na transformacj Lorentza. Teraz ta wielko
fizyczna posłu y nam do konstrukcji całki działania. Przyjmijmy niesko czenie mały
przedział czasoprzestrzenny jako elementarne działanie. Wówczas całka interwału
Z2
x
t
Z1
czasoprzestrzennego wykonana po linii wiata (czyli zbiorze kolejnych zdarze ) od pewnego
zdarzenia pocz tkowego Z1 do zdarzenia ko cowego Z2 stanowi działanie (z dokładno ci do
pewnej multiplikatywnej stałej a, któr dobierzemy pó niej):
Z2
Z2
Z1
Z1
S = −a ds = −a
c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2
Znak minus przed całk wybrano po to by przy dodatniej stałej a działanie posiadało
minimum dla ruchu rzeczywistego. Całk po linii wiata mo na przekształci w całk po
czasie
43
S = −a
t2
t
2
dt 2 dx 2 dy 2 dz 2
c
−
−
−
dt
=
−
a
c 2 − x 2 − y 2 − z 2 dt =
dt 2 dt 2 dt 2 dt 2
t1
2
t1
= −ac
t2
1−
t1
v2
dt
c2
i zapisa podobnie jak poprzednio jako całk z funkcji Lagrange’a
t2
S = Ldt
t1
gdzie
v2
L = −ac 1 − 2
c
Z warunku przej cia do granicy klasycznej przy v<<c wyznaczamy stał a:
dlac → ∞
1 v2
av 2
)
=
−
ac
+
2 c2
2c
Odrzucaj c stał -ac jako zupełn pochodn czasow funkcji -act, dostajemy klasyczn
funkcj Lagrange’a je eli przyjmiemy a=m0c (m0 oznacza klasyczn mas cz stki,
wprowadzamy indeks 0 w celu odró nienia od tzw. masy relatywistycznej, która zostanie
zdefiniowana pó niej, ale dla niej rezerwujemy literk m bez indeksu). Teraz:
L = −ac(1 −
Z2
S = − m 0 c ds ,
Z1
a funkcja Lagrange’a
L = −m 0 c 2 1 −
v2
x2
2
=
−
m
c
1
−
0
c2
c2
P d i energia cz stki swobodnej.
Korzystaj c z funkcji Lagrange’a mo emy znale p d cz stki:
∂L
pα =
∂q α
którego składowe we współrz dnych kartezja skich s nast puj ce:
x
− 2i
m0 vi
∂L
c
pi =
= −m 0 c 2
=
= m 0 γv i
∂x i
v2
x2
1− 2
1− 2
c
c
p = γm 0 v
Znajdujemy równie energi :
E = pαqα − L
α
E = p⋅v−L =
m0 v2
v2
1− 2
c
+ m 0c
2
m0c2
v 2 m0 v2 + m0c2 − m0 v2
1− 2 =
=
c
v2
v2
1− 2
1− 2
c
c
czyli:
44
m0c2
E=
= γm 0 c 2
2
v
c2
W granicy klasycznej γ = 1 dla p du dostajemy wyra enie klasyczne, ale energia przechodzi
w:
m v2
E ≈ m0c2 + 0
2
Wyra enie to odpowiada klasycznej energii kinetycznej przesuni tej o stał równ m0c2.
Warto t nazywamy energi spoczynkow cz stki.
Wyra enie na p d relatywistyczny zapisujemy cz sto w postaci bardziej przypominaj cej
klasyczn , wprowadzaj c zale n od pr dko ci cz stki mas relatywistyczn
m0
m = m( v) = γm 0 =
v2
1− 2
c
m0 b dziemy dalej nazywa mas spoczynkow , a m mas relatywistyczn . Dla zerowej
pr dko ci cz stki masa relatywistyczna jest naturalnie równa spoczynkowej.
Korzystaj c z wprowadzonej masy relatywistycznej wyra enia na p d i energi przepisujemy
w postaci:
p = mv
1−
E = mc 2
Sens wprowadzenie masy relatywistycznej jest nieco gł bszy ni samo uproszczenie wyra e
na energi i p d. Masa wyst puj ca jako współczynnik w równaniach Newtona nosi nazw
„masy bezwładnej” ze wzgl du na jej rol w równaniach. Masa wyst puje równie w
wyra eniu na sił grawitacji. Tamta nosi nazw „masy ci kiej”. Okazuje si , e obie masy s
ze sob to same i w przypadku relatywistycznym ich rol spełnia wła nie „masa
relatywistyczna”.
Relatywistyczna zasada zachowania energii.
W zwi zku z niezerow energi spoczynkow cz stki, prawo zachowania energii całkowitej
zaczyna mie nieco inn ni klasyczne wymow . Je eli opisywany układ o energii E i masie
spoczynkowej m0 jest układem zwi zanym, zło onym z kilku oddziaływuj cych pomi dzy
sob cz stek, wówczas na energi całego układu składaj si energie spoczynkowe cz stek
ε0 =
N
n =1
m 0n c 2
ich energie kinetyczne
εk =
N
n =1
E kn
oraz energie oddziaływania pomi dzy nimi
εI =
N
U ij
i , j=1
Całkowita energia spoczynkowa układu
E 0 = m0c2 = ε0 + εk + εI
w zale no ci od energii kinetycznej i energii oddziaływa mo e by zarówno wi ksza jak i
mniejsza od sumy energii spoczynkowych składników. Je eli jest wi ksza, układ nie jest
stabilny i mo e si rozpa wydzielaj c energi równ ró nicy energii spoczynkowej całego
układu i sumy energii spoczynkowych składników. Je eli masa spoczynkowa układu
45
zwi zanego jest mniejsza od sumy mas spoczynkowych składników, wówczas układ
zwi zany jest stabilny a energia jest wydzielana przy jego syntezie.
Relatywistyczna funkcja Hamiltona.
Je eli w wyra eniu na energi zast pimy pr dko ci p dami uzyskamy relatywistyczn funkcj
Hamiltona. Wyra my wi c pr dko przez p d.
m 02 v 2
p =
v2
1− 2
c
2
p
c2 − v2 = v2
2 2
m0 c
2
(
)
p2
p2
)
=
2
2
m0 c2
m0
v 2 (1 +
p2
2
m0
p 2c 2
2
=
v =
2
p2
m0 c2 + p2
(1 +
)
2
m0 c2
Mo emy teraz skorzysta z wyra enia na energi zast puj c pr dko ci p dami. Otrzymujemy
m 0c 2
m0c2
m0c2
2
E=
=
=
= c m0 c2 + p2
2
2
2 2
v
p
m c
1− 2
1− 2 2
2
c
m0 c + p2
m0 c2 + p 2
Czyli funkcja Hamiltona ma posta :
H = c m0 c2 + p2
2
Transformacja energii i p du, czterowektory.
Zastanówmy si teraz jak zmieniaj si obie wprowadzone wielko ci fizyczne (energia i p d)
przy zmianie układu odniesienia. Przypomnijmy sobie transformacj Lorentza dla
współrz dnych zdarzenia:
x
t ′ = γ(t − β )
c
x ′ = γ ( x − β ct )
gdzie
1
V
γ=
,β=
2
c
V
1− 2
c
Zauwa my, e przy zmianie układu odniesienia przestrzenna x i czasowa t współrz dna
zdarzenia mieszaj si ze sob . Mno c t przez pr dko wiatła ujednolicamy wymiary obu
wielko ci i mo emy utworzy obiekt, który nazywamy czterowektorem poło enia i czasu:
(ct, x, y, z).
Przy transformacji Lorentza współrz dne tego wektora w układzie U’ wyra amy przez jego
współrz dne w U.
46
Zauwa my, e równie p d i energia cz stki zale od układu odniesienia, w którym s
opisywane (zreszt w mechanice klasycznej równie ). Pomi dzy energi i składowymi p du
w ró nych inercjalnych układach odniesienia mo na znale zwi zki podobne do zwi zków
pomi dzy współrz dnymi i czasem. Postarajmy si znale te zwi zki.
Niech cz stka porusza si w układzie odniesienia U z pr dko ci v. Czas w układzie U
wyra my przez jej czas własny, czyli czas w układzie poruszaj cym si wzgl dem u z
pr dko ci v:
dt = γdτ
Zauwa my, e czas własny cz stki jest niezale ny od układu w którym cz stk opisujemy.
Pr dko w układzie U mo emy wyrazi przy pomocy ró niczki poło enia i czasu własnego:
dx dx
v=
=
dt γdτ
Wstawmy to do wyra enia na p d cz stki w układzie U
dx
p = m 0 γv = m 0
dτ
dt
W wyra eniu na energi zast pujemy γ przez
dτ
dt
E = m 0 γc 2 = m 0 c 2
dτ
Poniewa ani masa spoczynkowa ani czas własny nie zale od wyboru inercjalnego układu
odniesienia, natomiast od jego wyboru zale dx i dt , mo emy wykorzysta zwi zki
transformacji Lorentza pomi dzy (cdt, dx, dy, dz) dla jego odpowiednika (E/c, px, py, pz) przy
przej ciu pomi dzy inercjalnymi układami odniesienia. Poniewa :
cdt ′ = γ (cdt − β dx )
dx ′ = γ (dx − β cdt )
dy′ = dy
dz′ = dz
Uzyskujemy zwi zki pomi dzy odpowiednimi składowymi p du i energi :
dt ′
dt β dx
E
β px
E′ = m 0 c 2
) = m 0c 2 γ(
= m0c 2 γ( −
−
) = γ (E − β cp x )
2
dτ
dτ c dτ
m0c
c m0
β
dx ′
dx
dt
p′x = m 0
= m 0 γ ( − βc ) = γ (p x − E)
dτ
dτ
dτ
c
Oba powy sze zwi zki przepisujemy tak by upodobni je do zwi zków pomi dzy
współrz dnymi
E′
E
= γ ( − βp x )
c
c
E
p′x = γ (p x − β )
c
p y′ = p y
p z′ = p z
Zauwa my, e przy zmianie inercjalnego układu odniesienia składowe p du i energia
mieszaj si nawzajem. Cztery wielko ci: trzy składowe p du i energia transformuj si
podobnie jak trzy współrz dne przestrzenne i czas. Stanowi wi c wektor w
czterowymiarowej przestrzeni tzw. czterowektor. Poznali my wi c dwa czterowektory (cdt
,dx,dy,dz) i (E/c,px,py,pz). Pr dko wiatła przy dt i E ujednolica wymiar współrz dnych
wektora. Uzyskane powy ej zwi zki nie s jedynymi zwi zkami pomi dzy wielko ciami
47
fizycznymi zachodz cymi przy transformacji Lorentza. Mo na je zreszt znale przy
pomocy ogólnych geometrycznych rozwa a , którym warto po wi ci odrobin czasu.
Podsumowanie VI.
• Znale li my transformacj pr dko ci, pokazali my jej zgodno z zasad Einsteina.
• Przeszli my do rekonstrukcji całej teorii (mechaniki relatywistycznej) bazuj c na zasadzie
najmniejszego działania. Jako elementarne działanie przyj li my elementarny przedział
czasoprzestrzenny dS = − m 0 cds .
• Uzyskali my relatywistyczn funkcj Lagrange’a dla cz stki swobodnej
2
•
v
.
c2
Znale li my relatywistyczne wyra enia na najwa niejsze całki ruchu: p d i energi
p = mv , E = mc 2 , m = γm 0 .
•
Okre lili my relatywistyczn funkcj Hamiltona H = c m 0 c 2 + p 2 .
•
Pokazali my, e przy zmianie inercjalnego układu odniesienia współrz dne p du i energia
mieszaj si nawzajem i transformuj si analogicznie do transformacji składowych
poło enia i czasu.
Dwie czwórki wielko ci (cdt,dx,dy,dz) i (E/c,px,py,pz) wykazuj ce analogiczne reguły
transformacyjne nazwali my czterowektorami.
L = −m 0 c 2 1 −
2
•
48
VII.
Geometria czasoprzestrzeni, elementy rachunku tensorowego.
Wyprowadzona dotychczas transformacja Lorentza dotyczyła przej cia pomi dzy dwoma
układami odniesienia których osie s odpowiednio równoległe i o x wybrana w kierunku ich
wzgl dnej pr dko ci.
W czasoprzestrzeni stanowi ona obrót wokół osi prostopadłej do płaszczyzny (x,t). Nazywa
si j czasem szczególn transformacj Lorentza:
cdt ′ = γ (cdt − β dx )
dx ′ = γ (dx − β cdt )
dy′ = dy
dz′ = dz
Transformacj pomi dzy układami dowolnie usytuowanymi wzgl dem siebie mo na zło y z
transformacji obrotu w przestrzeni trójwymiarowej, szczególnej transformacji Lorentza i
kolejnego obrotu trójwymiarowego do poprzedniego wzajemnego usytuowania. W ogólnym
przypadku zwi zki pomi dzy współrz dnymi punktów w obu układach odniesienia s
bardziej skomplikowane, jednak e zawsze nowe współrz dne s liniowymi kombinacjami
starych współrz dnych:
3
x ′ν =
Cν µ x µ
µ =0
Zauwa my, e współczynniki rozwini cia mo emy zapisa w postaci pochodnych
odpowiednich współrz dnych primowanych po nieprimowanych:
∂x ′ ν ν
Cν µ =
x′
∂x µ
Transformacj mo emy zatem zapisa w postaci:
3
∂x ′ ν µ
ν
′
x =
x
µ
µ = 0 ∂x
Sumowanie przebiega po czterech składowych w czasoprzestrzeni. Do okre lania sumy po
czterech składowych b dziemy w dalszym ci gu u ywa wska ników greckich
przyjmuj cych warto ci od 0 do 3, łaci skie (od 1 do 3) pozostawimy do okre lania
składowych wektora w przestrzeni trójwymiarowej. Przyjmijmy ponadto nast puj c
kolejno składowych ( x µ ) = (ct , x , y, z) , czas stanowi zerow składow czterowektora
poło enia.
W przypadku szczególnej transformacji Lorentza współczynniki transformacji tworz
nast puj c macierz:
γ
− γβ 0 0
− γβ
γ
0 0
∂x ′ ν
(C ν µ ) =
=
µ
0
0
1 0
∂x
0
0
0 1
Z transformacj współrz dnych przy zmianie układu odniesienia wi
si ci le własno ci
obiektów geometrycznych, które nazywamy tensorami. S one niezwykle u yteczne w
rachunkach relatywistycznych, dlatego warto je wprowadzi i wykorzysta .
Skalarem (tensorem 0 rz du) nazywamy obiekt geometryczny opisywany jedn liczb
niezmienniczy wzgl dem transformacji układu współrz dnych. Skalarem w czasoprzestrzeni
jest wi c masa spoczynkowa, czas własny, interwał czasoprzestrzenny, nie jest natomiast
czas, energia, nie s składowe p du.
49
Wektorem kontrawariantnym (tensorem 1 rz du) w n wymiarowej przestrzeni nazywamy
obiekt geometryczny opisywany przy pomocy n liczb, transformuj cy si zgodnie z
transformacj współrz dnych. Tak wi c wektorem w czasoprzestrzeni jest oczywi cie
czterowektor poło enia i czasu, jest nim równie czterowektor energii i p du
E
(p µ ) =
, px , py , pz
c
( za p0 przyj li my E/c). Jak ju si przekonali my spełnia on reguł transformacyjn tak
sam jak czterowektor poło enia i czasu:
3
3
∂x ′ ν µ
ν
ν
µ
′
p = C µp =
p
µ
µ =0
µ =0 ∂x
Wiele wielko ci fizycznych ma charakter wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej. Je eli
uda si dopasowa czwart (zerow ) współrz dn i skompletowa czterowektor, wówczas
mamy rozwi zany problem transformacji takiej wielko ci fizycznej przy zmianie układu
odniesienia.
Jednak e nie zawsze si to udaje. Nie wszystkie wielko ci fizyczne daje si przedstawi jako
skalary lub składowe czterowektora. Na przykład ładunek punktowy w układzie własnym
generuje wył cznie pole elektrostatyczne, w układzie wzgl dem którego si porusza generuje
równie pole magnetyczne. W rezultacie składowe pola elektrycznego i magnetycznego
mieszaj si nawzajem przy transformacji Lorentza (wkrótce si o tym przekonamy):
E′z = γ (E z − β cB y )
Trzy składowe pola elektrycznego i trzy magnetycznego nie mog stanowi współrz dnych
czterowektora. Dlatego musimy posun si jeszcze o jeden krok dalej i zdefiniowa tensory
wy szych rz dów (b d ce w sensie własno ci transformacyjnych uogólnieniem wektorów).
Tensorem kontrawariantnym 2-giego rz du nazwiemy obiekt geometryczny opisywany przy
pomocy n2 liczb, których składowe transformuj si odpowiednio zgodnie z transformacj
współrz dnych:
∂x ′ µ ∂x ′ ν µ1ν1
T ′ µν =
T
µ1
∂x ν1
µ1ν1 ∂x
Wska niki µ i ν przebiegaj w czasoprzestrzeni cztery warto ci od 0 do 3, zatem n=4 a
n2=16, zatem tensor drugiego rz du posiada 16 współrz dnych.
Liczb niezale nych współrz dnych tensora mo na ograniczy narzucaj c na jego
współrz dne warunek symetrii lub antysymetrii. Własno ci te s zachowywane przy
transformacji Lorentza. Tensor symetryczny spełnia warunek:
T µν = T νµ
n2 − n
n2 + n
+n =
= 10 niezale nych współrz dnych, a tensor antysymetryczny,
i posiada
2
2
spełniaj cy warunek:
T µν = −T νµ
n2 − n
(dzi ki któremu składowe diagonalne si zeruj ) posiada
= 6 niezale nych
2
składowych. Podobnie definiujemy tensory kontrawariantne wy szych rz dów.
Tensory kowariantne.
W rachunkach wa n rol spełnia mo liwo tworzenia wielko ci skalarnych z wielko ci
wektorowych (niezmienniki wzgl dem transformacji, np. interwał czasoprzestrzenny
konstruujemy z wektora poło enia w czasoprzestrzeni). Dla ułatwienia zapisu wprowadzimy
poj cie drugiego rodzaju tensorów, mianowicie tensorów kowariantnych. S to podobnie jak
50
poprzednio obiekty geometryczne, ale transformuj ce si zgodnie z transformacj odwrotn
do transformacji układu współrz dnych
cdt = γ (cdt ′ + β dx ′)
dx = γ (dx ′ + β cdt ′)
dy = dy′
dz = dz′
Macierz takiej transformacji jest:
γ γβ 0 0
µ
γβ γ 0 0
∂x
=
.
ν
0 0 1 0
∂x ′
0 0 0 1
Dla odró nienia od tensorów kontrawariantnych wska niki składowych tensora
kowariantnego umie cimy u dołu. Zatem kowariantny wektor transformuje si
3
∂x µ
p′ν =
p ,
ν µ
µ = 0 ∂x ′
a kowariantny tensor rz du drugiego:
∂x µ1 ∂x ν1
′ =
Tµ1ν1 .
Tµν
µ
ν
µ1ν1 ∂x ′ ∂x ′
Wielko ci fizyczne mog by zapisywane przy pomocy obu typów tensorów.
Przy pomocy wektorów kontra i kowariantnego mo na utworzy skalar:
∂x ′µ ν ∂x ν1
∂x ′µ ∂x ν1 ν
µ
′
′
q pµ =
q
pν =
q p ν1
ν
∂x ′µ 1 νν1 µ ∂x ν ∂x ′µ
µ
µνν1 ∂x
Zauwa my, e
1 gdy ν = ν1
∂x ν1 ∂x ′µ ∂x ν1
ν1
=
=
δ
=
ν
µ
0 gdy ν ≠ ν1
∂x ν
∂x ν
µ ∂x ′
zatem
q′µ p′µ = δ νν1 q ν p ν1 = q µ p µ
µ
νν1
µ
jest jednakowe w dowolnym inercjalnym układzie odniesienia. Stanowi zatem skalar.
Tensor metryczny.
Poznajmy przykład tensora drugiego rz du. Napiszmy ogólne wyra enie na kwadrat
odległo ci dwóch punktów w przestrzeni odległych o wektor dx µ . Wyra a si on form
kwadratow :
ds 2 = g µν dx µ dx ν
( )
µν
Zauwa my, e przy zmianie układu odniesienia (obrotach w czterowymiarowej
czasoprzestrzeni):
∂x µ ∂x ν
ds 2 = g µν dx µ dx ν =
g µν
dx ′ µ1 dx ′ ν1 =
µ1
ν1
′
′
∂x ∂x
µν
µνµ1ν1
= ds ′ 2 =
µν
g ′µ1ν1 dx ′ µ1 dx ′ ν1
współczynniki g µν maj okre lon reguł transformacji:
51
∂x µ ∂x ν
∂x ′µ1 ∂x ′ ν1
µν
Poniewa transformuj si zgodnie z transformacj odwrotn do transformacji
współrz dnych, g µν stanowi tensor kowariantny, nosi on nazw kowariantnego tensora
metrycznego.
W trójwymiarowej przestrzeni (euklidesowej), w której ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ,
tensor metryczny g ij = δ ij . Natomiast w czasoprzestrzeni (pseudoeuklidesowej)
g′µ1ν1 =
g µν
ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2
tensor metryczny ma posta
1 0 0 0
(g µν ) = 00 −01 −01 00
0 0 0 −1
Korzystaj c z macierzy okre laj cej współczynniki szczególnej transformacji Lorentza,
mo na sprawdzi jego posta w innych inercjalnych układach odniesienia:
∂x µ1 ∂x ν1
g µ1ν1
g ′µν =
µ
ν
µ1ν1 ∂x ′ ∂x ′
Do wyliczenia współczynników tensora w nowych współrz dnych wykorzystamy zapis
macierzowy pilnuj c kolejno ci sumowania po wierszach i kolumnach:
γ γβ 0 0 1 0 0 0
γ γβ 0 0
µ
µ
(g ′µν ) = ( ∂x′ ν )(g µν )( ∂x′ ν ) T = γβ0 0γ 10 00 00 −01 −01 00 γβ0 0γ 10 00
∂x
∂x
0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 1
γ γβ 0 0
γ
γβ 0 0
γ 2 − γ 2β 2
γβ γ 0 0 − γβ − γ 0 0
γ 2β 2 − γ 2 β 2
=
=
0 0 1 0
0
0 −1 0
0
0 0 0 1
0
0
0 −1
0
γ 2β 2 − γ 2 β 2
γ 2β 2 − γ 2
0
0
0
0
1
0
0
0
=
0
1
1 0 0 0
0 −1 0 0
=
0 0 −1 0
0 0 0 −1
Tak wi c jego składowe nie ulegaj zmianie przy przej ciu do innego inercjalnego układu
odniesienia.
Tensor metryczny pozwala na zamian tensora kontrawariantnego na kowariantny:
h µ = g µν p ν , który oznaczamy tak sama literk h µ = p µ , poniewa odpowiada tej samej
ν
wielko ci fizycznej.
Przykład: dx ν = (ct , dx, dy, dz)
( )
52
1 0 0 0 cdt
cdt
− dx
0 − 1 0 0 dx
=
− dy
0 0 − 1 0 dy
− dz
0 0 0 − 1 dz
zatem (dx ν ) = (ct ,−dx,−dy,−dz)
Kontrawariantna wersja czterowektora energii i p du
E
E
p µ = ( , p x , p y , p z ) ma kowariantny odpowiednik p µ = ( ,− p x ,− p y ,−p z ) .
c
c
Podobnie mo emy zdefiniowa kontrawariantny tensor metryczny
ds 2 = g µµ dx µ dx ν = c 2 dt 2
µν
ds =
2
µν
g µµ dx µ dx ν = c 2 dt 2 − (−dx ) 2 − (−dy) 2 − (−dz) 2
Zauwa my, e tensor metryczny kowariantny ma takie same składowe co tensor metryczny
kontrawariantny
g µν = g µν .
Jest to ogólna własno tzw. płaskiej czasoprzestrzeni. W przypadku czasoprzestrzeni
zakrzywionej, któr posługuje si ogólna teoria wzgl dno ci własno ta nie zachodzi.
Przy pomocy tensora metrycznego mo emy zamienia tensory kontrawariantne w
kowariantne i odwrotnie. Oznacza to obni anie lub podnoszenie wska ników tensora. W
tensorach wy szych rz dów (ju dla drugiego) mo emy podnie cz
wska ników.
Otrzymany obiekt nosi nazw tensora mieszanego:
T µ ν = g νν′ T µν′
ν′
Tensorowe własno ci operatorów ró niczkowych.
Zauwa my, e operatory ró niczkowania po zmiennych przestrzennych maj okre lone
reguły transformacyjne przy zmianie układu odniesienia. Maj wi c własno ci tensorowe.
Operator ró niczkowania po kontrawariantnej zmiennej przestrzennej
∂
∂x ν ∂
=
µ
ν
∂x ′µ
ν ∂x ′ ∂x
jest wektorem (tensorem pierwszego rz du) kowariantnym i oznaczamy go cz sto jako
∂
= ∂µ
∂x µ
Podobnie operator ró niczkowania po składowych wektora kowariantnego ma własno ci
wektora kontrawariantnego
∂
= ∂µ ,
∂x µ
a operator ró niczkowy drugiego stopnia utworzony z operatorów ró niczkowania po
składowych kontra i kowariantnych
1 ∂2
∂2
∂2
∂2
∂µ∂µ = 2 2 − 2 − 2 − 2
c ∂t
∂x
∂y
∂z
µ
jest niezmienniczy wzgl dem transformacji Lorentza.
53
Podsumowanie VII.
• Wprowadzili my poj cie tensora jako obiektu geometrycznego o okre lonej regule
transformacji.
• Je eli wiemy jakie własno ci transformacyjne ma wielko fizyczna (jest tensorem)
mo emy znaj c jej składowe tensorowe w jednym układzie przej do innego układu
inercjalnego.
• Poznali my:
♦ tensory kontrawariantne ró nych rz dów: s, V µ , T µν (skalar, wektor, tensor drugiego
rz du), transformuj ce si zgodnie z transformacj współrz dnych
♦ tensory kowariantne : s, Vµ . Tµν transformuj ce si zgodnie z transformacj odwrotn do
transformacji współrz dnych.
• Potrafimy zamienia tensory kontrawariantne na kowariantne przy pomocy tensora
metrycznego:
V µ = g µν Vν , Vµ = g µν V ν
ν
•
ν
Kombinuj c tensory mo emy tworzy tensory innych rz dów, a w szczególno ci skalary:
s = a µ b µ = a µ b µ = g µν a µ b µ = g µν a µ b ν
µ
µ
µν
µν
54
VIII.
(3) Elektrodynamika
Teoria Maxwella powstała kilkadziesi t lat przed sformułowaniem szczególnej teorii
wzgl dno ci (1854-1867). Jednak e zwi zek obu teorii jest tak cisły, e aby to pokaza
skonstruujemy elektrodynamik w odwróconej historycznie kolejno ci, startuj c z teorii
relatywistycznej przejdziemy do sformułowania podstawowych praw elektrodynamiki.
Posłu ymy si konsekwentnie zasad najmniejszego działania. Pracowa b dziemy w
czasoprzestrzeni, granic klasyczn uzyskamy przez przej cie z pr dko ci wiatła do
niesko czono ci.
Poniewa b dziemy stosowa zapis tensorowy, korzystnie jest wprowadzi konwencj
sumowania Einsteina, w której powtarzaj cy si wska nik tensorowy na ró nych poziomach
oznacza wykonanie po nim sumowania. Np.
a µ bµ ⇔ a µ bµ = s
µ
µν
a µT ⇔
∂ µ T µν ⇔
µ
µ
a µ T µν = V ν
∂ µ T µν =
µ
∂ µν
T = Vν
µ
x
Cz stka w zewn trznym polu elektrycznym i magnetycznym, czteropotencjał pola
elektromagnetycznego.
Rozpatrzmy problem cz stki relatywistycznej poruszaj cej si w zewn trznym polu
elektromagnetycznym.
Działanie cz stki swobodnej zostało wprowadzone poprzednio, oznaczymy go jako:
Z2
Sm = − m 0c ds
Z1
Do działania cz stki swobodnej musimy doda wyraz opisuj cy oddziaływanie z polem
elektromagnetycznym. Wprowadzamy tzw. czteropotencjał pola elektromagnetycznego,
b d cy wektorem w czasoprzestrzeni.
A µ = (ϕ, cA) (wektor kontrawariantny)
Jego kowariantny odpowiednik ma składowe
A µ = (ϕ,−cA)
Pierwsza składowa ϕ nosi nazw skalarnego, druga A wektorowego potencjału pola
elektromagnetycznego (wyst puj ce w nazwie poj cia skalarny i wektorowy pochodz z
elektrodynamiki klasycznej i nie nale y ich myli z własno ciami transformacyjnymi w
czasoprzestrzeni). Zakładamy, e czteropotencjał zawiera informacj o polach elektrycznym i
magnetycznym, na razie nie precyzujemy w jaki sposób.
Działanie reprezentuj ce oddziaływanie cz stki z polem powinno zale e liniowo od pola.
Najprostszym skalarem liniowym w A jest:
A µ dx µ ( w wyra eniu tym u yto konwencji sumowania).
Przyjmijmy wi c dodatkowe działanie w postaci
Z
e 2
Smf = −
A µ dx µ
c Z1
Współczynnik i jego znak mog by dowolne dopóki nie dookre limy A.
Pełne działanie
55
S = Sm + Smf
Z2
Z
e 2
= − m 0c ds −
A µ dx µ =
c Z1
Z1
Z2
(− m cds − eϕdt + eAdr )
0
Z1
mo emy podobnie jak poprzednio zamieni na całk po czasie
t2
S=
− m 0c2 1 −
t1
2
v
− eϕ + eAv dt
c2
Mamy wi c funkcj Lagrange’a
v2
− eϕ + eAv
c2
Traktuj c pole ϕ i A jako zewn trzne mo emy wyliczy p d układu:
m0 v
∂L
P=
=
+ eA = p + eA .
∂v
v2
1− 2
c
Wyst puj ce w powy szym wyra eniu ró niczkowanie po wektorze b dziemy rozumie jako
wektor o składowych b d cych pochodnymi po odpowiednich składowych.
∂L
Pi = i
∂v
Oznaczony du liter P p d układu cz stka + pole, jest sum oznaczonego mał liter p p du
cz stki (bez pola) i potencjału wektorowego pomno onego przez ładunek cz stki.
Maj c p d mo emy znale energi
L = −m0c2 1 −
E = P ⋅ v − L = vp + eAv + m 0 c
m0 v2
v2
1 − 2 + eϕ − eAv =
c
2
m 0c 2
v2
+
e
ϕ
=
+ eϕ
c2
v2
v2
1− 2
1− 2
c
c
a po zast pieniu pr dko ci p dami:
p 2c 2
2
v = 2 2
m0c + p 2
otrzymujemy funkcj Hamiltona dla cz stki w polu:
=
+ m 0c 2 1 −
(
)
2
H = c m 0 c 2 + p 2 + eϕ = c m 0 c 2 + P − eA + eϕ
2
2
Interpretacja czteropotencjału.
Korzystaj c z równa Lagrange’a uzyskajmy równania ruchu:
d ∂L ∂L
=
dt ∂v ∂ r
d
P=
p + eA = −e∇ϕ + e∇(A ⋅ v)
dt
Ostatni wyraz przekształcamy korzystaj c z to samo ci (bez dowodu):
∇ a ⋅ b = (a ⋅ ∇ )b + (b ⋅ ∇)a + b × ∇ × a + a × ∇ × b
(
)
( )
Przyjmujemy a = A , b = v , zatem:
(
) (
)
∇ A ⋅ v = A ⋅ ∇ v + (v ⋅ ∇ )A + v × ∇ × A + A × ∇ × v
56
Wyrazy pierwszy i czwarty zawieraj pochodne składowych pr dko ci liczone po zmiennych
przestrzennych. Poniewa pr dko ci s wielko ciami niezale nymi wyrazy te zeruj si .
Otrzymujemy:
d
p + eA = −e∇ϕ + e(v ⋅ ∇ )A + ev × ∇ × A
dt
Poniewa zupełna pochodna czasowa wektora A ma posta :
d
∂A
∂A ∂x i ∂A
A=
+
=
+ (v ⋅ ∇ )A
dt
∂t
∂t
i ∂x i ∂t
(
)
d
∂A
+ e(v ⋅ ∇ )A = −e∇ϕ + e(v ⋅ ∇ )A + ev × ∇ × A
p+e
dt
∂t
uzyskujemy:
d
∂A
+ ev × ∇ × A
p = −e∇ϕ − e
dt
∂t
Dotychczas nie okre lili my jeszcze znaczenia czteropotencjału, mo emy to teraz zrobi ,
daj c by wyra enie po prawej stronie było znan z eksperymentu sił Lorentza .
dp
= F = eE + ev × B
dt
Porównuj c ze sob oba wyra enia uzyskujemy interpretacj wprowadzonych potencjałów
elektromagnetycznych:
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
oraz
B = ∇×A
Zwi zki te s znane z elektrodynamiki klasycznej, w której A definiuje si jako wektorowy,
a ϕ jako skalarny potencjał pola elektromagnetycznego. Uzyskali my wi c interpretacj
składowych zapostulowanego na wst pie relatywistycznego czterowektora opisuj cego pole
elektromagnetyczne. Interpretacja ta pozwala uzgodni teori relatywistyczn ze znan
wcze niej teori nierelatywistyczn .
Niezmienniczo cechowania potencjałów elektromagnetycznych.
Czteropotencjał jest w elektrodynamice jedynie wielko ci pomocnicz (nie jest bezpo rednio
mierzalny), jednak e jest cz sto wykorzystywany w rachunkach. Dlatego warto po wi ci
troch uwagi jego własno ciom.
Okazuje si , e potencjały pola elektromagnetycznego nie s okre lone jednoznacznie przez
pola elektryczne i magnetyczne. Mo emy si o tym przekona definiuj c nowy
czteropotencjał ró ny od poprzedniego o czterowektor stanowi cy “czterogradient” pewnej
dowolnej funkcji okre lonej w czasoprzestrzeni.
~
∂f
A µ = A µ − µ = A µ + ∆A µ
∂x
W całce działania pojawia si zmiana:
z
e 2
∆S = −
∆A µ dx µ ,
c z1
co po podstawieniu daje:
z
z
e 2 ∂f
e 2
µ
∆S =
dx =
df .
c z1 ∂x µ
c z1
57
Ró niczka zupełna dzi ki warunkom brzegowym daje po scałkowaniu zerowy wkład do
wariacji działania. Równania ruchu (pola elektryczne i magnetyczne) liczone z nowym
potencjałem nie powinny ulec zmianie. Mo na to sprawdzi odejmuj c składowe czterodywergencji
∂f
1 ∂f
= ∂µf =
, ∇f
µ
c ∂t
∂x
do składowych czteropotencjału:
~ = ϕ − 1 ∂f
ϕ
A µ = (ϕ,− Ac)
c ∂t
~
~
1
− cA = −cA − ∇f
A = A + ∇f
c
Wstawiaj c uzyskane wyra enia do wzorów na wektory pola otrzymujemy:
~
~
∂A
∂A
1 ∂f ∂A 1 ∂
~
E = −∇ϕ −
= −∇ϕ + ∇ −
−
∇f = −∇ϕ −
=E
∂t
∂t
c ∂t ∂t c ∂t
oraz
~
~
1
B = ∇ × A = ∇ × A − ∇ × ∇f = ∇ × A = B
c
Niejednoznaczno wyboru potencjałów nosi nazw niezmienniczo ci cechowania i mo e by
wykorzystana do wyboru potencjałów ułatwiaj cych rachunek. Przykładowo w przypadku
gdy ϕ nie zale y od czasu (problem statyczny) mo na za da aby potencjał skalarny był
równy zero:
∂f
~=0
ϕ
= cϕ → f = ctϕ
∂t
1
wtedy do potencjału wektorowego musimy doda gradient f , zatem:
c
~
1
A = A + ∇ctϕ = A + t∇ϕ
c
a wektory pola
~
~
∂A
∂A ∂
∂A
=−
− ∇( tϕ) = −
− ∇ϕ = E
E=−
∂t
∂t ∂t
∂t
oraz
~
~
B = ∇ × A = ∇ × A − ∇ × ∇ tϕ = ∇ × A = B
nie ulegaj zmianie.
Transformacja Lorentza dla pól elektrycznego i magnetycznego.
Korzystaj c ze zwi zków pomi dzy wektorami pola a potencjałami elektromagnetycznymi
mo na wykorzystuj c reguły transformacyjne czterowektora znale wzory zmiany pól
elektrycznego i magnetycznego przy przej ciach pomi dzy ró nymi układami inercjalnymi.
Rachunek bezpo redni jest skomplikowany. Znakomite ułatwienie stanowi tzw. tensor pola
elektromagnetycznego, którego składowymi s wektory pola.
df ∂A
∂A
f µν = µν − νµ
∂x
∂x
58
Tensor ten jest antysymetryczny f µν = −f νµ , zeruj si wi c jego elementy diagonalne, a
pozadiagonalne w górnej połówce ró ni si jedynie znakiem od elementów w dolnej.
Posiada wi c 6 niezale nych elementów.
Tensor utworzony jest przy pomocy dwóch czterowektorów – czterowektora poło enia i
czasu:
x µ = (ct , x, y, z)
oraz zdefiniowanego wcze niej czteropotencjału (w postaci kowariantnej):
A µ = (ϕ,−cA)
Zgodnie z uzyskan wcze niej interpretacj czteropotencjału, składowe pola elektrycznego
spełniaj zwi zki:
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
a składowe pola magnetycznego:
( )
i
∂
B = ∇×A =
∂x
Ax
j
∂
∂y
Ay
k
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=i
Az − A y + j
A x − Az + k
Ay − Ax
∂z
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Az
Korzystaj c z tych własno ci znajdujemy elementy tensora f.
f 00 = f11 = f 22 = f 33 = 0
∂A ∂A
∂A
∂ϕ
f 01 = 01 − 10 = − x −
= Ex
∂x
∂x
∂t
∂x
∂A
∂A ∂A
∂ϕ
f 02 = 02 − 20 = − y −
= Ey
∂x
∂x
∂t
∂y
∂A ∂A
∂A ∂ϕ
f 03 = 03 − 30 = − z −
= Ez
∂x
∂x
∂t
∂z
∂A y ∂A x
∂A ∂A
f12 = 12 − 21 = −c
−
= −c ∇ × A z = −cBz
∂x
∂x
∂x
∂y
(
(
)
)
∂A 3 ∂A1
∂A z ∂A x
− 3 = −c
−
= c ∇ × A y = cB y
1
∂x
∂x
∂x
∂z
∂A ∂A
∂A z ∂A y
f 23 = 23 − 32 = −c
−
= −c ∇ × A x = −cBx
∂x
∂x
∂y
∂z
Zatem:
0
Ex
Ey
Ez
f13 =
(
(f ) =
µν
− Ex
− Ey
− Ez
0
cBz
− cBy
− cBz
0
cBx
)
cBy
− cBx
0
Do nowego układu inercjalnego przechodzimy dokonuj c transformacji tensora
kowariantnego:
∂x µ1 ∂x ν1
f µν′ =
f
µ
ν µ1ν1
µ1ν1 ∂x ′ ∂x ′
Podobnie jak w przypadku transformacji tensora metrycznego mo emy skorzysta z zapisu
macierzowego:
59
(f ′ ) = (C~ )(f )(C~
ν
µν
µ
µν
µ
ν T
) ,
lub
Ex
Ey
Ez
γ γβ 0 0
γ γβ 0 0 0
0
− cBz cBy γβ γ 0 0
γ 0 0 − Ex
(f µν′ ) = γβ
0
− cBx 0 0 1 0
0 0 1 0 − E y cBz
0
0 0 0 1 − Ez − cBy cBx
0 0 0 1
Po wykonaniu elementarnego mno enia macierzy uzyskujemy:
=
0
− Ex
Ex
0
− γ(E y − βcBz ) γ(cBz − βE y )
− γ(Ez + βcBy ) − γ(cBy + βE z )
γ(E y − βcBz ) γ(Ez + βcBy )
− γ(cBz − βE y ) γ(cBy + βE z )
− cBx
0
0
cBx
Wynik ten porównujemy z
0
E′x
E′y
E′z
− E′
− cB′ cB′
0
(f µν′ ) = − E′x cB′ 0 z − cBy′ .
y
z
x
− E′z − cB′y cB′x
0
Mo emy wi c odczyta :
E′x = E x
B′x = Bx
β
E′y = γ (E y − β cBz ) B′y = γ B y + E z
c
β
E′z = γ (E z + β cBy ) B′z = γ Bz − E y
c
Widzimy wi c, e przy transformacji Lorentza współrz dne obu pól elektrycznego i
magnetycznego mieszaj si nawzajem. Jako ciowo wynik ten jest do oczywisty. Załó my,
e obserwujemy pole pochodz ce od ładunku punktowego. W jego układzie spoczynkowym
jest on ródłem wył cznie pola elektrycznego. W układzie poruszaj cym si wzgl dem niego,
ładunek porusza si a taki ładunek jest ródłem równie pola magnetycznego.
Podsumowanie VIII.
• Zrobili my pierwszy krok w kierunku elektrodynamiki. Zaproponowali my działanie dla
cz stki w zewn trznym polu elektromagnetycznym.
• Składnik działania opisuj cy oddziaływanie z polem elektromagnetycznym
zaproponowali my w postaci niezmiennika transformacji Lorentza A µ dx µ zbudowanego z
czterowektorowego potencjału pola elektromagnetycznego A µ = (ϕ,−cA) i wektora
•
przesuni cia w czasoprzestrzeni dx µ = (cdt , dx ) .
Utworzyli my funkcj Lagrange’a, otrzymali my wyra enia na p d układu (p d cz stki i
pola), energi i funkcj Hamiltona.
60
•
Korzystaj c z formalizmu Lagrange’a uzyskali my równania ruchu. daj c odtworzenia
wzoru na sił Lorentza znale li my zwi zki pomi dzy wektorami pola elektrycznego i
magnetycznego oraz czteropotencjałem.
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
B = ∇×A
Przedyskutowali my niezmienniczo cechowania potencjału elektromagnetycznego
polegaj c na mo liwo ci dodania do czterowektora potencjału czterogradientu dowolnej
~
∂f
funkcji okre lonej w czasoprzestrzeni: A µ = A µ − µ
∂x
Wprowadzili my poj cie tensora pola elektromagnetycznego. Jest nim antysymetryczny
tensor, którego 6 niezale nych składowych stanowi składowe pola elektrycznego i
magnetycznego w przestrzeni trójwymiarowej.
Korzystaj c ze znajomo ci reguł transformacji tensora znale li my wyra enia na zmian
współrz dnych pola elektrycznego i magnetycznego przy przej ciach pomi dzy
inercjalnymi układami odniesienia.
•
•
•
61
IX.
Pierwsza para równa Maxwella.
Przypomnijmy uzyskane poprzednio wyra enia na wektory pola elektrycznego i
magnetycznego, które dały nam interpretacj składowych czteropotencjału pola
elektromagnetycznego:
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
oraz
B = ∇×A
Je eli nie chcemy posługiwa si potencjałami pola (nie s bezpo rednio mierzalnymi
wielko ciami fizycznymi) mo na z uzyskanych równa usun potencjały. Podziałajmy na
obie strony równa operatorem ∇ :
∂A
∂
∇ × E = −∇ × ∇ϕ − ∇ ×
= − ∇ × A = −B
∂t
∂t
oraz
∇⋅B = ∇⋅∇×A = 0
Równania te tworz pierwsz par równa Maxwella:
Czterowektor g sto ci pr du, równanie ci gło ci.
Dotychczas uzyskali my aparat matematyczny pozwalaj cy opisa pojedyncz cz stk w
zewn trznym polu elektromagnetycznym.
Załó my jednak sytuacj nieco ogólniejsz umo liwiaj c nam konstrukcj teorii nie
ograniczaj cej si do ruchu pojedynczych cz stek. Rozwa my pewien ci gły rozkład
ładunków, zadany okre lon w przestrzeni funkcj g sto ci ładunku ρ(r ) oraz g sto ci pr du
∂r
j ( r ) = ρ( r )
∂t
i spróbujmy dla nich odtworzy wyra enie na działanie.
Wprowadzaj c g sto ładunku i pr du musimy zapewni zachowanie ładunku. Uzyskujemy
to daj c spełnienia równania ci gło ci:
d
ρdV = − j dσ
dt V
Σ
(narysowa powierzchni zamkni t z zaznaczeniem wektora elementu powierzchni)
Lewa strona równania okre la przyrost ładunku w pewnej obj to ci całkowania V, prawa
strumie ładunku wpływaj cy do obj to ci V przez otaczaj c obszar całkowania
powierzchni . Poniewa zazwyczaj przyjmujemy kierunek wektora elementu powierzchni
prostopadły do powierzchni i skierowany na zewn trz, przed całk umieszczony jest znak
minus.
Do prawej strony równania zastosujemy twierdzenie Gaussa słuszne dla dowolnego ci głego
pola wektorowego:
∇ ⋅ W ( r )dV = W ( r )dσ
Σ
V
gdzie Σ stanowi zamkni t powierzchni otaczaj c obj to
Przyjmuj c W ( r ) = j( r ) otrzymujemy:
V.
62
d
ρdV = j dσ = − ∇ j dV = − div j dV ,
dt V
Σ
V
V
sk d wynika równanie ci gło ci w postaci ró niczkowej:
d
∂ρ
ρ + div j dV = 0
div j +
=0
dt
∂t
V
Równanie to mo na równie zapisa w tzw. relatywistycznie niezmienniczej postaci
poniewa g sto ładunku i g sto pr du stanowi składowe czterowektora. Mo na to
pokaza prowadz c nast puj ce rozumowanie. Je eli zadamy g sto ładunku ρ , wówczas w
elementarnej obj to ci dV znajduje si ładunek:
de = ρdV .
Po pomno eniu przez elementarne przesuni cie w czasoprzestrzeni otrzymujemy:
dx µ
dx µ
=ρ
dΩ = jµ dΩ
dedx µ = ρdVdx µ = ρdVdt
dt
dt
Usuwamy z tego wyra enia element obj to ci czasoprzestrzennej:
dΩ = dVdt = dydzdxdt ,
który dzi ki kompensacji skrócenia odcinka z dylatacj czasu jest skalarem:
1
l′ = l 0 , t ′ = γτ dΩ ′ = dΩ ,
γ
uzyskujemy tzw. czterowektor g sto ci pr du:
dx µ
jµ = ρ
= ρc, j .
dt
Jego zerowa składowa jest g sto ci ładunku w okre lonym punkcie przestrzeni pomno on
przez pr dko wiatła, a pozostałe trzy składowe wektora j = ρv stanowi nierelatywistyczna
g sto pr du. Ró niczkowa posta równania ci gło ci narzuca na czterowektor g sto ci
pr du warunek:
∂ρ
+ ∇ j = ∂ µ jµ = 0
∂t
Powró my do uzyskanej poprzednio całki działania odpowiedzialnej za oddziaływanie
zewn trznego pola z cz stk relatywistyczn :
Z
e 2
Smf = −
A µ dx µ .
c Z1
( )
Zast pmy w niej ładunek cz stki e całk z rozkładu g sto ci ładunku:
e → ρdV
V
Wówczas całka działania przechodzi w:
Z2
t2
1
1
dx µ
1
dx µ
Smf = − ρdV A µ dx µ = − ρdV A µ
dt = − A µρ
dVdt =
cV
cV
dt
cΩ
dt
Z1
t1
1
A µ jµ dΩ
cΩ
Uzyskali my wi c działanie odpowiedzialne za oddziaływanie ci głego rozkładu g sto ci
ładunku i pr du danego czterowektorem jµ z zewn trznym polem elektromagnetycznym
zadanym przez czteropotencjał A µ .
=−
63
Pole elektromagnetyczne wywołane zadanym rozkładem ładunków i pr dów.
Pole elektryczne i magnetyczne, o którym mówili my było traktowane jako pole zewn trzne,
w którym znajduje si cz stka. Odwró my zagadnienie i przeanalizujmy sytuacj odwrotn .
Potraktujmy cz stk jako ródło pola. Umo liwi to nam przej cie do opisu układów cz stek w
polach przez nie wytworzonych. Wtedy pola nie b d musiały by traktowane jako
zewn trzne.
Działanie pola elektromagnetycznego, druga para równa Maxwella.
Musimy utworzy całk działania pól swobodnych Sf . Powinno by ono niezmiennikiem
transformacji Lorentza kwadratowym w funkcji wektorów pola (równania pola maj by
liniowe). Poniewa czteropotencjał A µ nie jest jednoznaczn funkcj pola nie nadaje si do
tego celu (ze wzgl du na nieliniowo ). Mo na natomiast utworzy niezmiennik transformacji
Lorentza spełniaj cy warunek jednoznaczno ci z tensora pola elektromagnetycznego.
Przyjmijmy:
ε
Sf = − 0 Fµν Fµν dΩ
4
ε 0 oznacza tzw. przenikalno dielektryczn pró ni. Współczynnik został dobrany z
wyprzedzeniem tak, by prowadził do poprawnych równa pola.
Całka działania dyskutowanego układu przyjmuje posta :
1
ε
1
cε
S = Smf + Sf = − Aµ jµdΩ − 0 FµνFµνdΩ = −
Aµ jµ + 0 FµνFµν dΩ
c
4
c
4
damy znikania wariacji całki działania
cε
1
1
δS = −
jµ δA µ + 0 δ(Fµν Fµν ) dΩ = −
c
4
c
jµ δA µ +
cε 0 µν
F δFµν dΩ
2
Poniewa :
∂A
∂A
Fµν = µν − νµ
∂x
∂x
∂A ν ∂A µ
∂δA ν ∂δA µ
δFµν = δ
−
=
−
∂x µ ∂x ν
∂x µ
∂x ν
δS = −
1
c
jµ δA µ +
cε 0 µν ∂δA ν ∂δA µ
F
−
∂x µ
∂x ν
2
dΩ
w wyra eniu tym korzystaj c z antysymetrii tensora pola elektrycznego i magnetycznego
mo emy pozby si jednego wyrazu:
∂δA µ
1
δS = −
jµ δA µ − cε 0 Fµν
dΩ
c
∂x ν
Korzystaj c z twierdzenia Gaussa w przestrzeni czterowymiarowej:
∂ ν W ν dΩ = W ν dσν
Ω
∂Ω
i przyjmuj c za W:
W ν = Fµν δA µ
64
uzyskujemy:
(
)
∂ ν F µν δA µ dΩ =
F µν δA µ dσ ν = 0
Ω
∂Ω
Wyraz po prawej stronie znika ze wzgl du na znikanie wariacji na granicy obszaru Ω . Po
lewej stronie wykonujemy ró niczkowanie pod całk :
(F
µν
)
∂ ν δA µ + δA µ ∂ ν Fµν dΩ = 0
Ω
sk d:
Fµν ∂ ν δA µ dΩ = − δA µ ∂ ν Fµν dΩ = δA µ ∂ ν Fνµ dΩ
Ω
Ω
Ω
Wykorzystuj c ten zwi zek w wyra eniu na wariacj całki działania otrzymujemy:
1
∂
δS = −
jµ − cε 0 ν Fνµ δA µ dΩ
c
∂x
Przyrównanie do zera wariacji całki działania dla dowolnej wariacji czteropotencjału daje
∂
jµ − cε 0 ν Fνµ = 0
∂x
czyli:
∂ νµ
1 µ
F =
j
ν
∂x
cε 0
Otrzymali my 4 równania pola w zapisie tensorowym. Mo emy je rozszyfrowa wstawiaj c
jawn posta elementów tensora F. W kontrawariantnej wersji:
(F ) = (g
)(F )(g ) =
1 0
0 −1
=
0 0
0 0
0
0
−1
0
µν
µν
µν
µν
0
Ex
Ey
Ez
0
0
− cBz cBy
0 − Ex
0
− cBx
0 − Ey cBz
0
−1 − Ez − cBy cBx
1 0
0 −1
0 0
0 0
0
0
−1
0
0
0
=
0
−1
0 − Ex − Ey − Ez
Ex
0
− cBz cBy
=
Ey cBz
0
− cBx
Ez − cBy cBx
0
∂ µ0
1 0
1
F =
j ⇔ ∇E = ρ
µ
∂x
cε 0
ε0
∂B
∂ µ1
∂B
1 1
1 ∂E x
1 x
F =
j ⇔−
+c z −c y =
j
µ
∂x
∂y
∂z
cε 0
c ∂t
cε 0
∂ µ2
1 2
1 ∂E y
∂B
∂B
1 y
−c z +c x =
F =
j ⇔−
j
µ
∂x
∂x
∂z
cε 0
c ∂t
cε 0
∂B
∂ µ3
1 3
1 ∂E z
∂B
1 z
+c y −c x =
F =
j ⇔−
j
µ
∂x
cε 0
c ∂t
∂x
∂y
cε 0
Co mo na przepisa jako:
65
ε 0∇E = ρ oraz − ε 0 E + c 2ε 0∇ × B = j
a po wykorzystaniu znanych zwi zków:
1
c2 =
, ε 0 E = D, µ 0 H = B
ε 0µ 0
dostajemy:
∇D = ρ
∇×H = D + j
S to kolejne dwa równania Maxwella.
Równania Maxwella w postaci ró niczkowej.
Uzyskali my wła nie dwa równania daj ce zwi zki pomi dzy polami magnetycznym i
elektrycznym a ich ródłami g sto ci ładunku i pr du. Wraz z równaniami uzyskanymi
poprzednio tworz one komplet równa Maxwella stanowi cych baz dla całej
elektrodynamiki. Zestawmy je razem:
1. ∇ × E = − B
2. ∇ ⋅ B = 0
3. ∇ ⋅ D = ρ
4. ∇ × H = D + j
Do równa Maxwella dorzuci nale y równanie ci gło ci, które pojawiło si po
wprowadzeniu g sto ci ładunku i pr du:
∂ρ
5. div j +
=0
∂t
Kowariantny (jawnie relatywistyczny) zapis równa Maxwella.
Równania Maxwella mo na równie zapisa w jawnie relatywistycznej postaci. Kowariantny
zapis dwóch ostatnich równa Maxwella ju znamy:
1 µ
∂ ν Fνµ =
j
cε 0
Dwa pierwsze równania mo na zapisa podobnie:
∂ ν G νµ = 0 ,
gdzie G nosi nazw tensora dualnego, a jego składowe wyra aj si podobnie jak w
przypadku tensora F przez składowe pola elektrycznego i magnetycznego:
0
cBx cBy cBz
− cBx
0 − Ez Ey
Gµν =
− cBy Ez
0 − Ex
− cBz − Ey Ex
0
( )
Po podstawieniu do poprzedniego wzoru otrzymujemy:
∂ µ0
G = 0 ⇔ ∇B = 0
∂x µ
oraz
66
∂ µ1
∂B x ∂E z ∂E y
G =0⇔
+
−
=0
µ
∂x
∂t
∂y
∂z
∂B y ∂E z ∂E x
∂ µ2
G =0⇔
−
+
= 0,
µ
∂x
∂t
∂x
∂z
∂ µ3
∂Bz ∂E y ∂E x
G
=
0
⇔
+
−
=0
∂x µ
∂t
∂x
∂y
co w zapisie wektorowym daje
B = −∇ × E .
Równie znamy odpowiedni zapis równania ci gło ci:
∂ µ jµ = 0 .
Podsumowanie IX.
• Uzyskali my pierwsz par równa Maxwella:
•
∇ × E = −B
∇⋅B = 0
Wprowadzili my poj cie czterowektora g sto ci pr du: jµ = ρc, j
•
Narzucili my na ten czterowektor warunek ci gło ci: ∂ µ jµ = 0
•
5. Uzyskali my wyra enie na działanie wynikaj ce z oddziaływania g sto ci ładunku i
pr du z zewn trznym polem elektromagnetycznym:
1
Smf = − A µ jµ dΩ
cΩ
Przy pomocy tensora pola elektrycznego i magnetycznego utworzyli my niezmiennik,
pozwalaj cy na uzyskanie z zasady najmniejszego działania opisu pól, których ródłami
s (traktowane jako zewn trzne) g sto ci ładunków i g sto ci pr dów:
ε
Sf = − 0 Fµν Fµν dΩ
4
( )
•
•
•
Uzyskali my drug par równa Maxwella.
∇⋅D = ρ
∇×H = D + j
Zebrali my razem równania Maxwella i równanie ci gło ci w ró niczkowej i
relatywistycznie niezmienniczej (kowariantnej) postaci.
67
X.
Równania Maxwella w postaci całkowej.
W wielu zastosowaniach znacznie wygodniej jest posługiwa si równaniami Maxwella w
postaci całkowej, któr uzyskuje si stosuj c odpowiednio cytowane ju wcze niej
twierdzenie Gaussa pozwalaj ce na zamian całki po obj to ci na całk po powierzchni t
obj to otaczaj cej:
∇WdV = W ⋅ dσ ,
Σ
V
lub twierdzenie Stockesa, które równie jest słuszne dla dowolnej funkcji wektorowej:
W ⋅ d l = ∇ × W ⋅ dS
C
S
i pozwala zamienia całki po powierzchni S na całki po jej obwodzie oznaczonym jako
kontur.
Pierwsze równanie Maxwella
1. ∇ × E = − B
przekształcamy przyjmuj c w równaniu Stockesa W ( r ) = E ( r ) :
d
E ⋅ d l = ∇ × E ⋅ dS = − B ⋅ dS =
B ⋅ dS .
dt S
C
S
S
Drugie równanie:
2. ∇ ⋅ B = 0
przekształcamy podstawiaj c W ( r ) = B( r ) w równaniu Gaussa
B ⋅ dσ = ∇BdV =0 .
Σ
V
Trzecie równanie
3. ∇ ⋅ D = ρ
otrzymujemy z równania Gaussa podstawiaj c W ( r ) = D( r ) :
D ⋅ dσ = ∇DdV = ρdV = q ,
Σ
V
V
gdzie q stanowi ładunek obj ty powierzchni całkowania Σ .
Czwarte równanie:
4. ∇ × H = D + j
przekształcamy znowu przy pomocy równania Stockesa podstawiaj c W ( r ) = H ( r ) :
H ⋅dl =
C
(D + j)⋅ dS =
∇ × H ⋅ dS =
S
S
,
d
d
=
D ⋅ dS + j ⋅ dS =
D ⋅ dS + I
dt S
dt S
S
gdzie przez I oznaczamy pr d ograniczony konturem C.
Zestawione razem całkowe odpowiedniki ró niczkowych równa Maxwella i równania
ci gło ci maj posta :
d
1. E ⋅ d l =
BdS
dt S
C
2.
B ⋅ dσ = 0
68
D ⋅ dσ = q
3.
d
DdS + I
dt S
4. H ⋅ d l =
C
d
ρdV = − j ⋅ dσ
dt V
∂V
5.
Refleksja nad sposobem wprowadzenia równa Maxwella.
Równania Maxwella wraz z równaniem ci gło ci pozwalaj opisa wszystkie zjawiska
elektrodynamiki. Wystarczy je tylko rozwi za . Zauwa my, e udało nam si je wyprowadzi
wykorzystuj c zasad najmniejszego działania startuj c z mechaniki relatywistycznej. Po
drodze zainwestowali my naprawd niewielk informacj fizyczn . Wła ciwie tylko tak ,
która prowadziła do ujednolicenia tworzonej teorii ze znan wcze niej elektrodynamik .
Maxwell jednak e swoje równania zaproponował nie znaj c mechaniki relatywistycznej. Jego
teoria powstała na bazie kilku sformułowanych wcze niej praw eksperymentalnych i były ich
syntez oraz uogólnieniem. Jako ciekawostk mo na poda , e „czwarte” prawo Maxwella,
które wyprowadzone zostało z prawa Ampera, w oryginale nie zawierało pochodnej pola
elektrycznego
∇×H = j,
poniewa eksperyment, który pozwolił na jego sformułowanie był prowadzony przy stałych
pr dach. Maxwell formułuj c swoje równania zauwa ył, asymetri tego równania z
równaniem „pierwszym”.
∇ × E = −B
Ze wzgl du na wyst puj cy w obu równaniach iloczyn wektorowy, gradient lewych stron obu
równa musi si zerowa . Policzmy gradient prawych stron obu równa . Dla równania
„pierwszego”:
∇ ⋅ ∇ × E = −∇B = 0
zeruje si dzi ki równaniu „drugiemu”. W przypadku Prawa Ampera w oryginalnym
brzmieniu:
∇⋅∇× H = ∇⋅ j
dywergencja g sto ci pr du na ogół nie zeruje si . Korzystaj c z całkowicie teoretycznych
rozwa a (symetria równa ) Maxwell uogólnił równanie Ampera dodaj c do jego prawej
strony czasow pochodn pola elektrycznego. Uzyskał dzi ki temu zerowanie si prawej
strony równania przy wykorzystaniu trzeciego prawa Maxwella i równania ci gło ci.
∂
∇ ⋅ ∇ × H = ∇ ⋅ j + ∇D = ∇ j + ρ = 0
∂t
Poprawka ta potwierdziła si w eksperymentach wykraczaj cych poza megnetostatyk .
W historycznej kolejno ci najpierw pojawiły si prawa elektrodynamiki sformułowane na
bazie eksperymentu, nast pnie prawa teoretyczne Maxwella a na ko cu fizyka
relatywistyczna. My wyszli my od relatywistyki, uzyskali my z niej prawa Maxwella, eby
uzupełni brakuj ce ogniwo, uzyskamy z praw Maxwella eksperymentalne prawa
elektrodynamiki.
Zastosowanie równa Maxwella w postaci całkowej.
Rozwi zywanie układów równa ró niczkowych cz stkowych jakimi s równania Maxwella
jest na ogół dosy mudne i kłopotliwe. W wielu przypadkach a w szczególno ci do opisu
69
układów o wysokiej symetrii znacznie łatwiej jest zastosowa ich całkow posta . Rozwa my
kilka takich przykładów.
Prawo Coulomba.
Jako pierwszy przykład zastosowania równa Maxwella znajdziemy rozkład pola wokół
punktowego ładunku. Umie my w pocz tku układu ładunek q. Poniewa wyró nia on tylko
jeden punkt w przestrzeni rozkład pól powinien mie symetri sferyczn . Oczekujemy pola
D skierowanego zgodnie z promieniem wodz cym punktu w którym mierzymy pole
r
D=D
r
Wybieramy powierzchni sferyczn o promieniu r i korzystamy z równania
D ⋅ dσ = q
Wektor dσ jest prostopadły do powierzchni
sfery Σ i skierowany na zewn trz, jest wi c
równoległy do wektora D . Całka powierzchniowa
po lewej stronie równania jest łatwa do wyliczenia
i przyjmuje warto 4πr 2 D . Po prawej stronie
równania wyst puje całkowity ładunek zawarty w
obj to ci obj tej powierzchni Σ .
q
4πr 2 D = q
D=
4πr 2
a w zapisie wektorowym:
q r
q r
D(r ) =
lub E (r ) =
2
4πr r
4πε 0 r 2 r
D dσ
q
r
Potencjał skalarny pochodz cy od ładunku punktowego.
Znaj c rozkład pola elektrostatycznego mo emy wyliczy jego potencjał. Pami tamy zwi zek
pomi dzy wektorem nat enia pola elektrostatycznego a czteropotencjałem:
∂A
E = −∇ϕ −
∂t
Je eli zało ymy brak czasowej zale no ci pól, pozostaje
E = −∇ϕ
Mo emy wi c wyliczy potencjał skalarny pola we wszystkich przypadkach, w których
wyliczyli my rozkład pola elektrycznego. Zauwa my, e przez zało enie niezale no ci
czasowej potencjału wektorowego, z niejednoznaczno ci czteropotencjału pozostała tylko
mo liwo dodania dowolnej stałej, czyli przyj cia poziomu odniesienia dla potencjału
skalarnego.
~
1
A = A + ∇f
c
~ = ϕ− 1 ∂ f
ϕ
c ∂t
Je eli pole magnetyczne ma nie zale e od czasu, to
∂ ~ ∂
1∂
1∂
A = A+
∇f =
∇f = 0
∂t
∂t
c ∂t
c ∂t
70
Zatem funkcja f nie zale y od czasu albo zmiennych przestrzennych. W pierwszym
przypadku potencjał skalarny nie ulega zmianie, w przypadku drugim do potencjału
skalarnego dodajemy stał .
Zazwyczaj jako zerowy przyjmujemy potencjał w niesko czono ci. Policzmy rozkład
potencjału pochodz cego od ładunku punktowego. Ze wzgl du na symetri sferyczn
scałkujemy potencjał poruszaj c si wzdłu promienia od niesko czono ci (gdzie potencjał
si zeruje) do punktu, w którym potencjał wyznaczamy.
dϕ = d r ⋅ ∇ϕ = −d r ⋅ E = − Edr
r
r
r
q
q
q
ϕ(r ) = dϕ = − E (r′)dr′ = −
dr ′ =
=
2
4πε 0 r′
4πε 0 r′ ∞ 4πε 0 r
∞
∞
Uzyskali my zatem prawo, które Coulomb wyznaczył
eksperymentalnie.
dr
Układ kilku ładunków punktowych.
W przypadku kilku ładunków punktowych b d cych
ródłami pola układ nie posiada wysokiej symetrii i stosowanie w takim przypadku prawa
Gaussa nie ułatwia rozwi zania. Stosujemy wtedy zasad superpozycji pól. Liniowo
równa Maxwella wzgl dem ródeł pola pozwala liczy oddzielnie rozkłady pól
pochodz cych od ró nych ródeł i dodawanie ich. Zarówno wektory pola jak i potencjały s
wielko ciami addytywnymi.
qi
q i (r − ri )
ϕ( r ) =
E( r ) +
3
i 4 πε 0 r − ri
i 4πε 0 r − ri
gdzie r jest wektorem wodz cym punktu, w którym liczymy pole, a ri poło eniem ładunku
qi .
Ci gły rozkład g sto ci ładunku.
W przypadku gdy mamy zadany ci gły rozkład ładunku w przestrzeni, oraz za damy
znikania potencjału w niesko czono ci mo emy skorzysta z wyra enia na potencjał
pochodz cy od układu ładunków punktowych dokonuj c przej cia:
qi → ρ( r ′)dV = ρ( r ′)d 3 r ′
Sum po poło eniach ładunków zast pujemy całk po rozkładzie g sto ci i rozwi zanie
przyjmuje posta :
ρ( r ′)
ρ( r ′)( r − r ′) 3
ϕ( r ) =
d 3r ′
E( r ) =
d r′
ρ S
3
4πε 0 r − r ′
4πε 0 r − r ′
Pole elektryczne wokół jednorodnie naładowanego
walca.
Przedyskutujmy teraz podobny problem, ale dla układu
posiadaj cego symetri cylindryczn .
Rozwa ymy niesko czenie długi jednorodnie
naładowany g sto ci przestrzenn ładunku ρ pr t, o
powierzchni przekroju S. Wyliczymy rozkład pola
elektrycznego na zewn trz pr ta w odległo ci r od jego
D
osi. W tym celu otaczamy pr t powierzchni
cylindryczn o promieniu podstawy r i zadanej długo ci
l. Pole elektryczne jest prostopadłe do pobocznicy cylindra, i równoległe do jego podstaw.
Wkład do całki powierzchniowej daje pole jedynie na pobocznicy
D
r
= const
71
2πrlD = ρSl
zatem
ρS r
D=
2πr r
gdzie promie wodz cy r jest prostopadły do osi walca.
Symetria prostok tna- jednorodnie naładowana płaszczyzna, kondensator.
Jednorodne pole pochodz ce od płaszczyzny naładowanej jednorodnym ładunkiem
powierzchniowym σ . Wybieramy powierzchni prostopadło cienn obejmuj c cz
płaszczyzny i zawarty na niej ładunek. Oczekujemy wektora nat enia pola w kierunku
prostopadłym do naładowanej powierzchni. Całkowanie po czterech ciankach
prostopadło cianu równoległych do pola daje zero a po dwóch ciankach prostopadłych do
pola daje
2SD = q
Ładunek q z kolei wyra ony przez g sto powierzchniow jest:
σ
q = Sσ
Ostatecznie:
D
1
D= σ.
2
Na naładowanej powierzchni wektor D doznaje skoku o
warto
ładunku powierzchniowego.
Pole wytworzone przez niesko czon
dσ
−σ
σ
płaszczyzn jest jednorodne i nie zale y
od odległo ci. Zupełnie podobnie
rozwa amy problem kondensatora
płaskiego. Wstawmy drug płaszczyzn
naładowan ładunkiem
powierzchniowym − σ (dla zachowania
neutralno ci ładunkowej). Co si
DS = q = Sσ
zmieniło. Je eli zbudujemy
prostopadło cian obejmuj cy obie
powierzchnie ładunek w nim zawarty si
zeruje. Na zewn trz kondensatora pole jest zerowe. Prostopadło cian obejmuj cy tylko jedn
powierzchni obejmuje ładunek:
q = Sσ
Pole elektrostatyczne pomi dzy okładkami
D=σ
Rozwi zanie dla kondensatora mo emy równie uzyska z zasady superpozycji.
Oczywi cie, eby przybli enie niesko czenie du ych płaszczyzn (okładek) było poprawne,
odległo pomi dzy okładkami musi by du o mniejsza od ich zewn trznych rozmiarów,
eby mogły by zaniedbane efekty niejednorodno ci pola na brzegach kondensatora.
Zastosowania praw Maxwella w postaci całkowej do magnetostatyki.
Przedyskutowany poprzednio układ o symetrii cylindrycznej
wykorzystajmy do rozwi zania nieco odmiennego problemu. Załó my, e
przez pr t płynie pr d elektryczny o g sto ci j , czyli nat eniu I = jS
G sto ci pr du lub zmienne pola elektryczne s ródłami pola
magnetycznego. Odpowiednie równanie Maxwella
r
72d l
d
Ddσ + I
dt S
C
ograniczone do magnetostatyki (zakładamy brak zale no ci czasowej pól) ma posta :
H⋅dl = I
H ⋅dl =
C
Mo emy je wykorzysta do policzenia nat enia pola magnetycznego wokół niesko czenie
długiego prostoliniowego przewodnika w którym płynie pr d o zadanym nat eniu I.
Poniewa układ posiada symetri cylindryczn , nat enie indukowanego pola magnetycznego
zale y wył cznie od odległo ci r od przewodnika. Otaczamy wi c przewodnik okr giem o
promieniu r poło onym w płaszczy nie prostopadłej do przewodnika. Wówczas d l jest
równoległe do H i równanie Maxwella daje:
2πrH = I
Zatem
I
H=
2πr
Pozostaje ustalenie zwrotu wektora H . Musimy zapami ta , e kierunek całkowanie po
konturze d l wybieramy prawoskr tnie wzgl dem elementu całkowania po powierzchni dσ .
Je eli wi c płaszczyzn ( dσ ) skierujemy zgodnie z kierunkiem pr du, to wektor H b dzie
miał zwrot zgodny z kierunkiem ruby prawoskr tnej.
Pole magnetyczne wewn trz niesko czenie długiego solenoidu.
Wewn trz i na zewn trz niesko czenie długiego solenoidu pole magnetyczne powinno by
równoległe do jego osi. Korzystamy z całkowej postaci równania
H⋅dl = I
I = ln i
C
Poniewa aden kontur
całkowania
przeprowadzony na
zewn trz solenoidu nie
obejmuje pr du, pole
magnetyczne musi by
l
równe zeru. Dla
wyznaczenia pola
wewn trz solenoidu
wybieramy kontur
całkowania przebiegaj cy równolegle do jego osi wybranej długo ci l, nast pnie prostopadle
przecinaj cy jego brzegi i zamykamy go dowoln lini na zewn trz solenoidu. Kontur
obejmuje ł cznie pr d l ⋅ n ⋅ i , gdzie n oznacza liczb zwojów przypadaj cych na jednostk
długo ci solenoidu. Całka po konturze
H ⋅dl = H ⋅l = l⋅ n ⋅i
C
zatem
H = n ⋅i
i nie zale y od odległo ci od osi solenoidu. Pole magnetyczne w jego wn trzu jest
jednorodne.
Przedstawione przykłady zastosowa równa Maxwella w postaci całkowej nie wyczerpuj
wszystkich mo liwo ci, ale ilustruj sposób ich stosowania.
73
Podsumowanie X.
• Korzystaj c z praw Gaussa i Stockesa znale li my całkowe odpowiedniki ró niczkowych
równa Maxwella.
• Posta całkowa jest du ym udogodnieniem, je eli układ ma wysok symetri .
• Korzystaj c z całkowej postaci równa Maxwella wyprowadzili my prawo Coulomba wyliczyli my rozkład potencjału wokół ładunku punktowego. Był to problem o symetrii
sferycznej.
• Wynik dzi ki zasadzie superpozycji uogólnili my na układ ładunków punktowych a
nast pnie na ci gły rozkład ładunku.
• Dla symetrii cylindrycznej wyliczyli my rozkład pola elektrycznego wokół jednorodnie
naładowanego niesko czenie długiego pr ta oraz rozkład pola magnetycznego wokół
prostoliniowego przewodnika z pr dem, znany jako prawo Ampera.
• Dla symetrii prostok tnej wyliczyli my pole elektryczne wokół naładowanej powierzchni
i w kondensatorze płaskim, oraz pole magnetyczne wewn trz niesko czenie długiego
solenoidu.
74
XI.
Transformacja Lorentza w magnetostatyce.
Dyskusj zastosowa równa Maxwella w układach o wysokiej symetrii zako cz dygresj z
zakresu teorii relatywistycznej.
Omówiony wcze niej problem pola magnetycznego pochodz cego od przewodnika z pr dem
mo emy rozwi za równie inn ciekaw metod , korzystaj c z transformacji Lorentza dla
pól elektrycznego i magnetycznego. Załó my, e pr d I jest spowodowany przepływem
jednorodnego ładunku o g sto ci ρ poruszaj cego si z jednostajn pr dko ci V. Mo emy
wyliczy nat enie pola elektrycznego pochodz cego od g sto ci ρ w układzie odniesienia w
którym ładunek spoczywa, czyli poruszaj cego si z pr dko ci V. Nast pnie korzystaj c z
transformacji Lorentza mo emy przeprowadzi pola do układu spoczynkowego. Skierujmy
układ odniesienia osi x w kierunku pr dko ci pr du, o y w kierunku promienia wodz cego
(ł cz cego przewodnik z punktem w którym liczymy pole) r . Korzystaj c z rozwi zanego
wcze niej problemu elektrostatyki otrzymujemy niezerow jedynie składow
ρS
Dy =
2πr
Pozostałe składowe pola elektrycznego, oraz pole magnetyczne s zerowe.
Przej cie do układu spoczywaj cego dokonujemy przy pomocy uzyskanych wcze niej
wzorów. Uzyskujemy niezerowe
E′y = γE y − γβcBz = γE y i
β
β
B′z = γBz − γ E y = γ E y
c
c
Je eli problem nie jest relatywistyczny γ = 1
E′y = E y
i
β
V
ρS
jS µ 0 I
B′z = E y = 2 E y = µ 0ε 0 VE y = µ 0 VD y = µ 0 V
= µ0
=
lub
c
c
2πr
2πr 2πr
I
Hz =
2πr
Je eli przewodnik jest ładunkowo neutralny, poruszaj cemu si ładunkowi musi towarzyszy
spoczywaj cy ładunek przeciwny. Korzystaj c z zasady superpozycji, pole pochodz ce od
niego liczymy w jego układzie spoczynkowym, czyli docelowym. Jest on ródłem pola
elektrostatycznego, które neutralizuje składow E′y .
Wynik jest identyczny z uzyskanym z drugiego prawa Maxwella. wiadczy to o wewn trznej
spójno ci omawianej teorii.
Zastosowania równa Maxwella w postaci ró niczkowej.
Nie zawsze układ ródeł pola elektromagnetycznego jest na tyle symetryczny, by całkowa
posta praw Maxwella mogła by wykorzystana. Musimy wtedy odwoła si do ich
ró niczkowej postaci.
Równanie Poissona i Laplace’a.
Powró my do problemu statycznego pola elektrycznego pochodz cego od ci głego rozkładu
ładunku. Poszukajmy metody pozwalaj cej na wyliczenie rozkładu pola w układach, w
których symetria jest zbyt niska by mogły by wykorzystane całkowe równania Maxwella.
Wykorzystamy ich posta ró niczkow . Przypomnijmy sobie zwi zki:
∇ ⋅ D = ρ( r )
75
oraz
E = −∇ϕ( r )
Ł cz c je otrzymujemy równanie ró niczkowe drugiego stopnia na potencjał skalarny:
1
∇ 2ϕ( r ) = − ρ( r )
ε0
Jest to równanie Poissona pojawiaj ce si równie w innych działach fizyki. W obszarach
przestrzeni pozbawionych ładunku równanie to przechodzi w równanie Laplace’a:
∇ 2ϕ( r ) = 0 .
Jeste my zmuszeni szuka rozwi za równania Poissona lub Laplace’a we wszystkich
przypadkach w których nie uda si nam skorzysta z całkowej postaci odpowiedniego
równania Maxwella.
Poniewa równania te s równaniami ró niczkowymi drugiego rz du na pochodne cz stkowe,
ich rozwi zanie wymaga zainwestowania warunków brzegowych, które mog by zadane w
postaci warto ci pola -warunki brzegowe Dirichleta, lub jego pochodnej normalnej -warunki
brzegowe Neumanna na powierzchni zamkni tej otaczaj cej obszar przestrzeni, w którym
liczymy rozkład pola.
W przypadku numerycznego rozwi zywania równania Poissona lub Laplace’a prawidłowe
wyznaczenie warunków brzegowych jest kluczem do rozwi zania postawionego problemu.
Σ
ϕ( r ∈ )
n ⋅ ∇ϕ( r ∈ )
V
Zauwa my, e znamy rozkład potencjału pochodz cego od ci głego rozkładu ładunku przy
zało eniu zerowania si potencjału w niesko czono ci:
ρ( r ′)
ϕ( r ) =
d 3r ′
4πε 0 r − r ′
Wynik ten uzyskali my uogólniaj c prawo Coulomba. Sprawd my, czy uzyskany wynik
spełnia równanie Poissona. Wykorzystamy przy tym tzw. delt Diraca. Jest to funkcja, której
własno ci definiujemy poprzez całk :
δ( r − r ′) = d 3k eik ( r − r ′ )
oraz
d 3rδ( r ) = 1
druga własno wynika z pierwszej. Cz sto u ywane przedstawienie całkowe funkcji delta
Diraca ma posta :
δ( r − r ′) = d 3k eik ( r − r ′ )
Napiszmy równie potencjał kulombowski w postaci transformaty Fouriera:
1
4π
= d 3k 2 eik ( r − r ′ )
r
k
76
Wstawmy zatem wyra enie na potencjał do równania Poissona:
ρ( r ′)
1
4π
∇ 2ϕ( r ) = ∇ 2r
d 3r ′ =
∇ 2r d 3r′ρ( r ′) d 3k 2 eik ( r − r ′ ) =
4πε 0 r − r ′
4πε 0
k
=
1
1
1 3
d 3r′ρ( r ′) d 3k 2 ∇ 2 eik ( r − r ′ ) = −
d r′ρ( r ′) d 3k eik ( r − r ′ ) =
ε0
k
ε0
1
1
=−
d 3r′ρ( r ′)δ( r − r ′) = − ρ( r )
ε0
ε0
Twierdzenie o jednoznaczno ci rozwi za równania Laplace’a i Poissona.
Do wa n dla pó niejszych zastosowa własno równania Laplace’a mo na sformułowa
jako twierdzenie o jednoznaczno i:
1. Rozwi zanie równania Laplace’a w pewnej obj to ci V jest okre lone jednoznacznie je eli
spełnia warunek brzegowy na powierzchni zamkni tej otaczaj cej t obj to .
W celu udowodnienia tego twierdzenia musimy najpierw wykaza inn własno równania
Laplace’a:
2. Warto potencjału elektrostatycznego w wybranym punkcie r przestrzeni jest redni
potencjału liczon po sferze o rodku w punkcie r i dowolnym promieniu.
Aby to pokaza zbadamy potencjał elektrostatyczny w pocz tku układu wytworzony przez
ładunek punktowy q umieszczony w punkcie (0,0,z). Otaczamy pocz tek układu sfer o
rodku poło onym w pocz tku układu i promieniu R<z. Odległo ładunku od punktu na
sferze, którego wektor wodz cy tworzy z osi „z” k t ϑ oznaczmy przez d.
z
q
d
ds
ϑ
y
R
x
W tym punkcie potencjał wytworzony przez ładunek dany jest wyra eniem:
1 1
φ=
4πε 0 d
Wyliczmy warto redni potencjału całkuj c j po powierzchni sfery:
2π
π
1
q
1
1
q
R 2 sin ϑ
φ=
ds =
dϕ dϑ
4πR 2 4πε 0 d
4πR 2 4πε 0 0 0
z 2 + R 2 − 2zR cos ϑ
77
φ=
−q
16π 2 ε 0
2π
π
1
dϕ d cos ϑ
0
q 1
=
8πε 0 zR
z + R − 2zR cos ϑ
2
0
2
z + R − 2zR cos ϑ
2
=
π
2
=
0
q (z + R ) − (z − R )
1 q
=
8πε0
zR
4πε 0 z
Jest to dokładnie warto potencjału w rodku sfery pochodz cego od ładunku q. Pokazan
własno łatwo uogólniamy na bardziej skomplikowane układy ładunków. Potencjał w
punkcie p pochodz cy od dowolnego rozkładu ładunku jest redni potencjału liczon na
dowolnej ( o dowolnym promieniu) sferze scentrowanej w punkcie p. Zauwa my, e z
własno ci 2. natychmiast wynika nast pna własno :
3. Wewn trz obszaru pozbawionego ładunku potencjał elektrostatyczny nie mo e mie
ekstremów. Mog one wyst powa jedynie na jego brzegu. Wynika to st d, e je eli by
istniało minimum (maximum) w pewnym punkcie p wewn trz obszaru całkowania równania
Poissona, wówczas istniałaby sfera otaczaj ca punkt p na której wszystkie warto ci potencjału
byłyby wi ksze (mniejsze) - a zatem równie ich rednia - od warto ci potencjału w punkcie
p.
Ta z kolei własno pozwala nam udowodni twierdzenie 1.
Załó my, e istniej dwa rozwi zania równania Laplace’a:
∇ 2φ1 ( r ) = 0 i ∇ 2φ2 ( r ) = 0
spełniaj ce te same warunki brzegowe na powierzchni otaczaj cej rozwa any obszar. Ich
ró nica: φ = φ1 − φ2 spełnia równie równanie Laplace’a, a na brzegu obszaru jest identycznie
równa zero. Poniewa φ( r ) nie mo e mie ekstremów wewn trz obszaru, musi si w całym
obszarze zerowa , zatem oba rozwi zania s identyczne.
Podobnie dowodzimy jednoznaczno rozwi za równania Poissona:
1
1
∇ 2φ1 ( r ) = − ρ i ∇ 2φ 2 ( r ) = − ρ
ε0
ε0
poniewa ich ró nica spełnia równanie Laplace’a i zeruje si na brzegu obszaru.
Równanie Poissona (Laplace’a) wykorzystujemy najcz ciej w elektrostatyce. W
magnetostatyce, w przypadku układów o niskiej symetrii mo emy wykorzysta równie
równania Poissona lub przetworzy je do postaci daj cej prawo Biota- Savarta.
=
Prawo Biota-Savarta.
Dwa równania zawieraj ce pole magnetyczne
∇×H = D + j
∇⋅B = 0
przy zało eniu niezale no ci czasowej pól, oraz jednorodno ci o rodka przyjmuj posta :
∇×H = j
∇⋅H = 0
Pole magnetyczne zapisujemy przy pomocy potencjału wektorowego pola
µ 0 H = B = rotA = ∇ × A
Wstawiaj c ten zwi zek do równania Maxwella otrzymujemy:
∇ × ∇ × A = µ0 j
Korzystamy ze zwi zku
78
∇ × ∇ × A = ∇(∇ ⋅ A) − (∇ ⋅ ∇ )A = grad (divA) − ∇ 2 A
Uzyskujemy
∇ 2 A = −µ 0 j + grad(divA)
Niejednoznaczno wyboru czteropotencjału pozwala doda do niego czterogradient
dowolnej funkcji skalarnej:
~
∂f
Aµ = Aµ + µ
∂x
co oznacza dodanie do potencjału wektorowego gradientu funkcji f
~
A = A + ∇f
Mo na wi c za da by
~
divA = 0 ,
poniewa sprowadzi si to do znalezienia funkcji f spełniaj cej równanie
~
0 = ∇A = ∇A + ∇ 2 f ,
czyli równania Poissona
∇ 2f = −∇A
Nie musimy go rozwi zywa , wystarczy nam jego rozwi zywalno . Mo emy wi c narzuci
na potencjał wektorowy warunek
divA = 0
co pozwala odrzuci ostatni wyraz w równaniu okre laj cym ródła pola magnetycznego.
Przyjmuje ono posta :
∇ 2 A = −µ 0 j
Jest to układ trzech niezale nych równa Poissona na ka d składow potencjału
wektorowego i pr du. Analogia z równaniem Poissona dla potencjału skalarnego jest
oczywista. Je eli zało ymy podobne warunki brzegowe, czyli znikanie potencjału w
niesko czono ci, mo emy natychmiast napisa jego rozwi zanie:
µ
j ( r ′) 3
A( r ) = 0
d r′
4π r − r ′
Dla pola magnetycznego otrzymujemy:
µ
j( r ′) 3
B( r ) = rotA( r ) = 0 ∇ r ×
d r′
4π
r − r′
Poniewa ró niczkujemy po innym wektorze ni całkujemy, mo emy wej
otrzymujemy:
µ
j ( r ′) 3
µ ( r − r ′) × j ( r ′) 3
B( r ) = 0 ∇ r ×
d r′ = − 0
d r′
3
4π
r − r′
4π
r − r′
pod znak całki i
Jest to prawo Biota-Savarta dla g sto ci pr du. Przy zało eniu pr du płyn cego w cienkim
przewodniku mo na wykona całkowanie po jego przekroju poprzecznym i wyra enie na
wektor indukcji pola magnetycznego redukuje si do całki jednokrotnej:
µ
I
B( r ) = − 0
( r − r ′) × d r ′
4π r − r ′ 3
Prawo Biota Savarta zazwyczaj zapisuje si w uproszczonej
postaci:
µ I
dB = 0 3 d l × r
4π r
dl
r
79
Prawo Biota-Savarta jest prawem całkowym, ale w odró nieniu od praw Maxwella w postaci
całkowej wygenerowali my je korzystaj c z postaci ró niczkowej równa Maxwella a
nast pnie z zasady superpozycji.
Podsumowanie XI.
• Dla ilustracji zwi zku elektrodynamiki z teori relatywistyczn , korzystaj c z
transformacji Lorentza wyliczyli my rozkład pola magnetycznego wokół przewodnika z
pr dem korzystaj c ze znajomo ci potencjału elektrostatycznego pochodz cego od
jednorodnie naładowanego pr ta.
• W układach o niskiej symetrii, w których nie jest mo liwe wykorzystanie praw Maxwella
w postaci całkowej, stosujemy ich ró niczkow posta .
• Rozkładu potencjału elektrostatycznego szukamy rozwi zuj c równanie Poissona lub
Laplace’a.
• Dla uzyskania rozwi zania szczególnego musimy zada warunki brzegowe (Dirichleta lub
von Neumanna) na powierzchni zamkni tej otaczaj cej interesuj cy nas obszar.
• Przedyskutowali my jednoznaczno rozwi za równania Poissona i
Laplace’a.
• W przypadku magnetostatyki z równa Maxwella w ró niczkowej postaci uzyskujemy
równania Poissona dla pola magnetycznego, lub wyra enia na pole magnetyczne w
postaci prawa Biota Savarta.
80
XII .
Przewodniki i warunki brzegowe na ich powierzchniach.
Powró my do dyskusji warunków brzegowych niezb dnych do rozwi zania równania
Poissona lub Laplace’a. Z warunkiem brzegowym spotkali my si przy omawianiu potencjału
pochodz cego od ładunku punktowego. Wyznaczył on poziom odniesienia wzgl dem którego
mierzyli my energi potencjaln . Zało yli my, e w niesko czonej odległo ci od ładunku
b d cym ródłem pola potencjał jest równy zero. Zerowy potencjał w niesko czono ci
zawsze mo emy przyj jako warunek brzegowy w przypadku gdy ładunki b d ce ródłem
pola zawarte s w sko czonym obszarze przestrzeni.
Innym obszarem przestrzeni, w którym mo emy zada warunki brzegowe s powierzchnie
przewodników. Wynika to z ich podstawowej własno ci, któr mo emy sformułowa
nast puj co:
Idealnym przewodnikiem jest substancja zawieraj ca niesko czony zapas swobodnych
elektronów.
Jej konsekwencj s dalsze własno ci:
1. W całej obj to ci przewodnika E = 0 . Gdyby tak nie było, swobodne ładunki (a jest ich
niesko czony zapas) poruszałyby si w polu elektrycznym a do jego całkowitej
kompensacji.
2. Na zewn trznej powierzchni przewodnika pole elektryczne jest do niej prostopadłe.
Składowa pola elektrycznego równoległa do powierzchni przewodnika wywołuje ruch
elektronów i jej kompensacje.
3. ρ( r ) = 0 w całej obj to ci przewodnika. Jest to konsekwencja zerowania si pola
elektrycznego i (trzeciego) prawa Maxwella ρ = ε 0∇ ⋅ E .
4. Nie skompensowany ładunek mo e wyst pi jedynie na powierzchni przewodnika. Tam
wyst puje skok (nieci gło ) składowej pola elektrycznego prostopadłej do powierzchni
przewodnika.
5. Potencjał wewn trz jednolitego obszaru przewodnika i na jego powierzchni jest stały,
poniewa dla dwóch punktów r1 i r2 dowolnie wybranych w takim obszarze:
r2
V( r2 ) = V( r1 ) + E ⋅ d r = V( r1 )
r1
Wymienione własno ci przewodników pozwalaj na ustalenie warunków brzegowych na ich
powierzchniach.
Ładunki indukowane.
Je eli kawałek przewodnika umie cimy w zewn trznym polu elektrycznym, np.
wytworzonym przez ładunek znajduj cy si w pewnej od niego odległo ci, wówczas
wewn trz przewodnika nast puje taka redystrybucja ładunku, aby wyzerowała si równoległa
do powierzchni przewodnika składowa pola elektrycznego. Taka kompensacja jest wynikiem
pojawienia si dodatkowego pola elektrycznego, którego ródłem jest wytworzony na skutek
tej e redystrybucji ładunek powierzchniowy nazywany ładunkiem indukowanym.
Zjawisko to ma czasem interesuj ce konsekwencje. Rozwa my własno stanowi c
ciekawostk , która po przeanalizowaniu jest do oczywista, ale na pierwszy rzut oka
nieoczekiwana.
We wn trzu kuli zbudowanej z przewodnika znajduje si nie przewodz ca wn ka o
nieregularnym kształcie, w której znajduje si dodatni ładunek q a sam przewodnik nie jest
naładowany. Rysunek poni ej ilustruje przekrój przez kul i wn k .
81
P rzewodnik
P ow ierzchnia G aussa
q
q
Wewn trz wn ki pojawia si niezerowe pole elektryczne. Wywołuje ono redystrybucj
ładunku wewn trz przewodnika. Na wewn trznej powierzchni (granica przewodnik - wn ka)
indukuje si ładunek przeciwnego znaku do q, ekranuj c go całkowicie, to znaczy tak, by
wewn trz przewodnika pole elektryczne było równe zero. Je eli teraz otoczymy wn k
powierzchni zamkni t , zaznaczon na rysunku lini przerywan , to zgodnie z prawem
Gaussa całkowity ładunek obj ty t powierzchni musi si zerowa . Wielko ładunku
indukowanego musi by wi c równa dokładnie –q. Poniewa zało yli my neutralno
przewodnika, obsadzeniu powierzchni wewn trznej ładunkiem –q musi towarzyszy
obsadzenie powierzchni zewn trznej ładunkiem q. Tym razem rozkład ładunku na
powierzchni przewodnika jest równomierny a informacja o kształcie jamy zostaje całkowicie
ukryta przez przewodnik.
Pole elektrostatyczne w obecno ci przewodników. Metoda obrazów.
Jednoznaczno rozwi za równania Poissona dla zadanych warunków brzegowych pozwala
w ułatwiony sposób liczy pole elektrostatyczne w obecno ci przewodników. Metoda
rachunkowa nosi nazw metody obrazów.
q
E
d
-q
Załó my, e pojedynczy punktowy ładunek q umieszczony jest w odległo ci d od uziemionej
płaszczyzny przewodz cej. Znajd my rozkład potencjału elektrostatycznego. Je eli
wybierzemy układ współrz dnych z osiami x,y poło onymi na przewodz cej płaszczy nie,
ładunek poło ony jest w punkcie (0,0,d). Musimy rozwi za równanie Poissona w górnej
82
półprzestrzeni z warunkiem brzegowym: φ( r ) = 0 we wszystkich punktach przewodz cej
płaszczyzny, oraz w niesko czonej odległo ci od ładunku q. Zauwa my, e taki sam warunek
b dzie spełniony w problemie, w którym nie mamy przewodz cej półpłaszczyzny, ale za to
mamy drugi ładunek –q umieszczony w punkcie (0,0,-d), a wi c jak gdyby zwierciadlane
odbicie w płaszczy nie przewodnika.
W rezultacie w punkcie (x,y,z) potencjał dany jest wyra eniem:
1
4πε 0
φ( r ) =
q
q
−
x 2 + y 2 + (z − d )
x 2 + y 2 + (z + d )
Oczywi cie potencjał ten spełnia w górnej półpłaszczy nie wła ciwe równanie Poissona, a
jego warto na płaszczy nie „xy” (podstawiamy z=0) jest stała i równa 0. Dzi ki
twierdzeniu o jednoznaczno ci sposób doj cia do rozwi zania równania Poissona nie jest
istotny. Trick pozwalaj cy na uwzgl dnienie obecno ci przewodników w przestrzeni przez
dodanie do problemu dodatkowych ładunków pilnuj cych wła ciwych warunków
brzegowych nosi nazw metody obrazów. Przedstawiona metoda po prostym uogólnieniu
pozwala na wyliczenie rozkładu pola pochodz cego od dowolnego układu ładunków w
obecno ci przewodz cych płaszczyzn. Metod obrazów mo emy równie zastosowa przy
liczeniu rozkładu potencjału w obecno ci przewodników w kształcie kuli lub walca.
2
2
Obraz a ładunek indukowany.
Obraz ładunku pierwotnego nie jest oczywi cie adnym realnym ładunkiem, jego obecno
jest jedynie konstrukcj matematyczn pozwalaj c na uwzgl dnienie warunków
brzegowych. Jednak e na powierzchni przewodnika pojawia si realny ładunek indukowany,
stanowi cy wraz z ładunkiem pierwotnym ródło pola. Znaj c (np. uzyskany metod
obrazów) rozkład potencjału w przestrzeni mo emy korzystaj c z równania Poissona
wyliczy faktyczny rozkład ładunków:
ρ( r ) = −ε 0∇ 2ϕ( r ) .
Nale y jednak pami ta , e równanie Poissona nie odró nia ładunków indukowanych od
pierwotnych. Sam indukowany ładunek pojawia si na powierzchni przewodnika w postaci
ładunku powierzchniowego, a wi c posiada niesko czenie du g sto w kierunku
prostopadłym do powierzchni. Nie mo emy go wyliczy ró niczkuj c potencjał lub pole
elektryczne. Mo emy go jednak wyliczy korzystaj c z uzyskanych poprzednio własno ci
D≠0
D=0
przewodnika.
83
Wewn trz przewodnika pole elektryczne si zeruje. Je eli na zewn trz przewodnika znajduje
si niezerowe pole elektryczne, jest ono prostopadłe do jego powierzchni. Wybierzmy
niewielki obszar powierzchni przewodnika i otoczmy go prostopadło cienn zamkni ta
powierzchni . Zgodnie z prawem Maxwella (3):
Dd s = q .
Σ
Poniewa całka po powierzchni dolnej i bocznych si zeruje dla elementarnie małej
powierzchni , mo emy napisa :
Dd s = dq = σds ,
gdzie przez σ oznaczyli my g sto powierzchniow ładunku. Oznaczaj c przez D ⊥
prostopadł do powierzchni przewodnika składow pola elektrycznego otrzymujemy:
D ⊥ ds = σds
sk d
D⊥ = σ .
Poniewa wyliczyli my rozkład potencjału elektrostatycznego wywołany przez ładunek
umieszczony ponad przewodz c płaszczyzn , sprawd my jaki ładunek zostanie
wyindukowany na tej powierzchni. Skorzystamy ze zwi zku:
D = − ε 0 ∇φ ,
do którego wstawiamy wyra enie na potencjał:
φ( r ) =
D=
1
4πε 0
q
4π
(x
q
x + y + (z − d )
2
2
2
( x , y, z − d )
−
x + y + (z + d )
2
2
( x , y, z + d )
−
) (
3
2 2
q
2
D=
=−
q
4π
qd
2π
(x
(x
2
( x , y, − d )
+y +d
(0,0,1)
2
2
+y +d
2
)
3
2 2
(x , y, d )
−
) (x
3
2 2
2
)
3
2 2
+ y 2 + (z − d )
x 2 + y 2 + (z + d )
Na powierzchni przewodnika (z=0):
2
+y +d
2
)
3
2 2
=
.
Poniewa
D⊥ = Dz ,
na przewodniku indukuje si ładunek o g sto ci powierzchniowej:
qd
1
σ = D⊥ = −
3
2π 2
(x + y 2 + d 2 )2
Wyliczyli my rozkład g sto ci ładunku indukowanego. Mo emy sprawdzi jak du y jest
całkowity ładunek indukowany:
2π
∞
2π
∞
− qd
1
ind
q = σ( x , y)dxdy = dϕ dr r σ(r ) =
dϕ dr r
3
2π 0 0
0
0
r2 + d2 2
(
∞
( )
1
= −qd d r 2
20
∞
1
(r
2
+d
)
3
2 2
1
= −qd dx
20
)
∞
1
(x + d )
3
2 2
= qd
1
(x + d )
= −q
1
2 2
0
84
Okazuje si , e całkowity indukowany ładunek jest równy ładunkowi odpowiedniego obrazu.
Mo na si tego było spodziewa maj c przed oczami trzecie prawo Maxwella w postaci
całkowej.
Jest oczywiste, e ładunek indukowany wytwarza pole elektrostatyczne, które działa na
ładunek wywołuj cy zjawisko. Zastanówmy si teraz jaka siła b dzie działa na ładunek ze
strony obrazu i jaka b dzie energia potencjalna ładunku w zadanej odległo ci od
przewodnika. Wynik oka e si mała niespodziank .
dz
q
F
d
d
-q
Potencjał indukowany w punkcie, w którym znajduje si ładunek q liczymy korzystaj c z
metody obrazów:
−q
−q
V ind (d ) =
z =2d =
4πε 0 z
8πε 0 d
Energi potencjaln ładunku w polu liczymy zazwyczaj mno c ładunek przez warto
potencjału. Jest to słuszne zawsze z wyj tkiem przypadku potencjału indukowanego, w
którym post pujemy inaczej.
Siła działaj ca na ładunek jest równoległa do kierunku „z”, a jej warto :
∂
∂ −q
− q2
= −q
=
F = −qE = −q V ind (z )
z =2 d
∂z
∂z 4πε 0 z z =2d 4πε 0 z 2 z=2d
q2 1
q2 1
=−
=−
4πε 0 4d 2
16πε 0 d 2
Praca potrzebna do przeniesienia ładunku z punktu d do niesko czono ci stanowi jego energi
potencjaln :
∞
∞
− q2 1
q2 1
− q2 1
Ep =
dz
=
=
16πε 0 z 2
16πε 0 z d 16πε 0 d
d
Energia potencjalna ładunku jest dwa razy mniejsza ni wynikałoby to z wielko ci potencjału
indukowanego. Oddziaływanie z ładunkiem obrazu ma charakter samooddziaływania.
Podczas przesuwania ładunku odsuwa si równocze nie obraz.
Wiemy zatem jak radzi sobie w przypadku obecno ci przewodników.
Przejdziemy teraz do omówienia zjawisk pojawiaj cych si w o rodkach i na ich granicach.
Zanim jednak przejdziemy do tego tematu, przedstawi pewn metod rachunkow ,
wykorzystywan w elektrostatyce, do której elementów odwołam si dyskutuj c pola
elektryczne w o rodkach.
85
Rozwini cie multipolowe
Czasem si zdarza, e ródłem pola jest układ ładunków znajduj cych si daleko od obszaru,
w którym liczymy potencjał pola.
Wówczas w pierwszym przybli eniu mo na zsumowa ładunki, u redni odległo ci i uzyska
q1
r1
r2
r3
q2
q3
potencjał wypadkowy:
q
1 i i
V( r ) =
4πε 0 r
Przybli enie takie jest sensowne w zasadzie tylko wtedy gdy ładunek sumaryczny jest ró ny
od zera. Jednak e potencjał układu ładunków nie musi si zerowa równie w przypadku gdy
ładunek całkowity jest zerowy. Rozwa my dwa ładunki jednakowej wielko ci ale
przeciwnego znaku q i –q, umieszczone w odległo ci d od siebie Układ taki nosi nazw
dipola. Policzmy potencjał wytworzony w odległo ci r od rodka odcinka d.
q
r
d
-q
V( r ) =
1
4πε 0
q
d
r−
2
+
−q
d
r+
2
=
86
q
1
4πε 0
=
r2 −d⋅r +
d2
4
q
−
r2 +d⋅r +
d2
4
Przy zało eniu r>>d, mo emy dokona rozwini cia w szereg wzgl dem d/r i ograniczy si
do wyrazów pierwszego rz du. Otrzymujemy:
V( r ) =
1
4πε 0
q
q
−
rd
r 1− 2
r
=
rd
r 1+ 2
r
1 q
rd
rd
1 q rd
1 qd cos θ
1+ 2 −1+ 2 =
=
3
4πε 0 r
2r
2r
4πε 0 r
4πε 0
r2
=
Potencjał nie jest zerowy, ale spada z odległo ci szybciej ni potencjał kulombowski, jest
proporcjonalny do odwrotno ci kwadratu odległo ci.
Układ zło ony z czterech ładunków uło onych tak, by znikał równie potencjał dipolowy,
kwadrupol daje potencjał spadaj cy z 3 pot g promienia. Oczywi cie mo na skonstruowa
multipole wy szych rz dów, a potencjały pochodz ce od nich spadaj z kolejnymi wy szymi
pot gami odwrotno ci promienia.
Wykorzystajmy te zale no ci w troch ogólniejszej dyskusji. Rozwa my potencjał
pochodz cy od ci głego rozkładu ładunków zadany g sto ci ρ( r ) . Zgodnie z poprzednio
uzyskanymi z zasady superpozycji wzorami potencjał od niego pochodz cy
1
ρ( r ′ ) 3
V( r ) =
d r′
4πε 0 r − r ′
Je eli badamy potencjał w du ej odległo ci od ródeł, mo emy oczekiwa , e potencjał ten
uda nam si rozwin w szereg multipolowy, w którym kolejne wyrazy b d zanika zgodnie
z kolejnymi pot gami odwrotno ci odległo ci. W tym celu posłu ymy si rozwini ciem na
wielomiany Legandre’a:
n
n
1
1 ∞ r′
rr′
1 ∞ r′
=
=
Pn
Pn (cos ϑ)
r − r ′ r n =0 r
rr′
r n =0 r
gdzie ϑ jest k tem pomi dzy oboma wektorami. Rozwini cie to wstawiamy pod całk i
otrzymujemy:
1 ∞ 1
rr′ 3
V( r ) =
r′n ρ( r ′)Pn
d r′ ,
n +1
4πε 0 n =0 r
rr′
Pierwszy wyraz, po podstawieniu P0 ( x ) = 1
daje potencjał monopolowy:
1 Q
Vmon ( r ) =
4πε 0 r
gdzie Q = ρ( r ′)d 3r ′ jest ładunkiem całkowitym.
Drugi wyraz rozwini cia jest potencjałem dipolowym, uzyskujemy go podstawiaj c P1 (x ) = x
1 1
rr′
1 1
rr′
Vdip ( r ) =
r′ρ( r ′) d 3r′ =
ρ( r ′ ) d 3 r ′
2
2
4πε 0 r
rr ′
4πε 0 r
r
1 1
=
ρ(r ′)r ′ cos ϑd 3r′
2
4πε 0 r
87
Mo na go zapisa nieco inaczej wyci gaj c r przed całk :
1 r
1 p r
ρ( r ′) r ′d 3r ′ =
,
Vdip ( r ) =
3
4πε 0 r
4πε 0 r 2 r
gdzie
p = ρ( r ′)r ′d 3r′
nazywamy momentem dipolowym rozkładu ładunku. W przypadku ładunków punktowych
całka przechodzi w sum :
p = q i ri ,
i
co dla dwóch przeciwnych ładunków uło onych w odległo ci d daje p = qd .
Podobnie mo emy post powa dalej i uzyska kolejno potencjał kwadrupolowy i potencjały
wy szych rz dów.
Podsumowanie XII.
• Naturalne warunki brzegowe mo emy zada w dwóch przypadkach.
♦ W niesko czono ci - je eli ładunek b d cy ródłem pola rozło ony jest w ograniczonym
obszarze przestrzennym ( damy zerowania si potencjału w niesko czono ci).
♦ Na powierzchni przewodnika gdzie potencjał jest stały.
♦ Na powierzchni przewodnika pojawiaj si ładunki indukowane, które koryguj rozkłady
potencjału.
• Spełnienie warunku brzegowego mo na zasymulowa stosuj c tzw. metod
obrazów.
• Obrazy ładunku symuluj działanie ładunku indukowanego, wielko ci ładunku obrazu i
ładunku indukowanego s jednakowe, ró ne jest ich poło enie. Obraz umieszczamy
wewn trz przewodnika, a ładunek indukowany pojawia si na jego powierzchni.
• Przedyskutowali my rozwini cie multipolowe potencjału pochodz cego od ci głego
rozkładu ładunku.
88
XIII.
Pola elektryczne i magnetyczne w o rodkach, zale no ci pomi dzy E i D oraz H i B.
W prowadzonych rozwa aniach pojawiały si w ró nych wyra eniach zamiennie wektory:
nat enia pola elektrycznego E i indukcji elektrycznej D oraz nat enia pola magnetycznego
H i indukcji magnetycznej B . Nie wprowadzałem rozró nienia pomi dzy nimi, zakładaj c,
e jest ono znane z wykładu fizyki ogólnej. Jednak e w celu uporz dkowania poj ,
chciałbym zwróci uwag na zwi zki i ró nice pomi dzy odpowiednimi parami wektorów. W
o rodkach izotropowych (pró ni) ł cz je proste zwi zki, które wykorzystywałem:
D = εε 0 E
B = µµ 0 H
ε(µ ) s bezwymiarowymi stałymi nazywanymi przenikalno ci dielektryczn (magnetyczn )
(
)
o rodka. W pró ni i o rodkach izotropowych wektory E i D H i B s odpowiednio
równoległe. W o rodkach anizotropowych zwi zki te pozostaj liniowe, ale bardziej zło one:
D i = ε 0 ε ijE j
j
B = µ0
µ ijH j
i
j
Przenikalno ci dielektryczna i magnetyczna staj si wielko ciami tensorowymi. Wektory
E i D H i B przestaj by równoległe.
(
)
Istota wektorów pól.
Pozosta my jednak przy o rodkach izotropowych (pró ni). Wektory E i D H i B
wyra ane s w innych jednostkach. Wielko ci ε 0 (µ 0 ) nosz ce nazwy przenikalno ci
elektrycznej (magnetycznej) pró ni s w układzie SI mianowane i odpowiedzialne za zmian
jednostek.
By zauwa y ró nice pomi dzy parami wektorów musimy przyjrze si wyra eniom w
których wyst puj . Pierwszym z nich jest wzór na sił Lorentza:
F = eE + eV × B
Pola E i B zwi zane s z siłami działaj cymi na ładunek w polu elektrycznym i
magnetycznym. Pozostałe dwa wektory pojawiaj si w równaniach:
(
)
∇D = ρ i ∇ × H = D + j
w których wyst puj ródła pól g sto ładunku lub pr d. Równania te decyduj o
jednostkach, w których wyra ane s odpowiednie wektory i ostatecznie determinuj
przenikalno ci dielektryczne (magnetyczne) pró ni.
Polaryzacja dielektryka.
Zastanówmy si teraz co si dzieje w dielektrykach umieszczonych w polu elektrycznym.
Naturalnie poniewa dielektryki nie zawieraj ładunków swobodnych, nie nast pi w nich
przepływ ładunku i całkowita kompensacja pola jak miało miejsce w przewodnikach. Pole
b dzie wnika do wn trza dielektryka i oddziaływa z atomami czy cz steczkami z których
zbudowany jest materiał. Cz steczki mog wykazywa spontaniczn polaryzacj , posiada
moment dipolowy bez pola elektrycznego, przykładem takiej cz steczki jest H2O, posiadaj ca
asymetryczn budow . Atom tlenu i dwa atomy wodoru tworz trójk t a chmura elektronowa
jest przesuni ta bardziej w kierunku atomu tlenu.
89
p = qd
Inne cz steczki albo atomy mog nie wykazywa
F
momentu dipolowego bez pola elektrycznego ale
pod jego wpływem chmury elektronowe
d
+q
przesuwaj si wzgl dem j der, atomy ulegaj
polaryzacji. Indukowany moment dipolowy jest
F
proporcjonalny do nat enia pola elektrycznego
E
p = αE .
-q
Wypadkowa siła działaj ca na dipol w
jednorodnym polu elektrycznym zeruje si .
F = ± qE
Nie zeruje si natomiast moment siły
N = d×F = p×E.
Dipole b d ustawia si zgodnie z polem elektrycznym. Miar stopnia uporz dkowania
dipoli jest tzw. polaryzacja elektryczna P definiowana jako moment dipolowy jednostki
obj to ci dielektryka.
Polaryzacja dielektryka jest ródłem dodatkowego pola elektrycznego. Spróbujmy policzy
jego wielko . Potencjał pochodz cy od pojedynczego dipola umieszczonego w pocz tku
układu dany jest wyra eniem:
1 r ⋅p
.
V(r ) =
4πε 0 r 3
Potencjał pochodz cy od ci głego rozkładu g sto ci dipoli zebranych w obj to ci V
uzyskamy zast puj c pojedynczy moment dipolowy rozkładem ci głym:
p → P( r )dV
i wykonuj c całkowanie po całej obj to ci:
( r − r ′) ⋅ P ( r ′ ) d 3 r ′ .
1
V(r ) =
3
4πε 0 V
r − r′
Przekształcamy ten wzór korzystaj c ze zwi zku:
r
1
= −∇ .
3
r
r
Otrzymujemy:
1
1
V(r ) =
P( r ′)∇ r′
d 3 r′
4πε 0 V
r − r′
Ten wzór przekształcamy korzystaj c ze wzoru na pochodn iloczynu
1
P ( r ′) 3
1
V(r ) =
∇ r′
d r′ −
∇ r ′ P( r ′)d 3r′ .
4πε 0 V
r − r′
r − r′
V
Tutaj przekształcamy pierwszy składnik korzystaj c z prawa Gaussa:
1
P( r ′)
1
V(r ) =
dσ −
∇ r′ P( r ′)d 3 r ′ =
4πε 0 Σ r − r ′
r − r′
V
=
1
4πε 0
Σ
ρ zw ( r ′ ) 3
σ zw ( r ′)
dσ −
d r′ .
r − r′
r − r′
V
Pierwszy wyraz ma sens rozkładu g sto ci ładunku powierzchniowego
90
σzw = P ⋅ n
a drugi rozkładu g sto ci ładunku przestrzennego
ρ zw ( r ) = −∇P( r )
Oba typy g sto ci ładunku b dziemy nazywa ładunkiem zwi zanym, eby podkre li , e nie
nast pił tutaj przepływ ładunku lecz jedynie reorientacja dipoli.
Wypadkowe pole elektryczne.
Załó my, e w dielektryku mamy zadany rozkład ładunku ρsw (r ) . Dla odró nienia od
ładunku zwi zanego nazwiemy go ładunkiem swobodnym. Jest on ródłem pola
elektrycznego, ono z kolei powoduje polaryzacj dielektryka i pojawia si dodatkowy ładunek
zwi zany. W rezultacie całkowity rozkład ładunku w pró ni jest:
ρ( r ) = ρsw ( r ) + ρzw ( r )
Korzystaj c z prawa Maxwella dla pró ni mamy:
ε 0∇E = ρ = ρsw + ρ zw = ρsw − ∇P
zatem
∇ ε 0 E + P = ρsw
a poniewa
∇D = ρsw
otrzymujemy:
D = ε0E + P
Wektor indukcji elektrycznej D jest powi kszany w stosunku do odpowiedniej warto ci w
pró ni o polaryzacj o rodka.
(
)
Dielektryki liniowe.
Dla wielu materiałów polaryzacja dielektryka jest proporcjonalna do nat enia pola
elektrycznego (w rezultacie momentów sił działaj cych na dipole). Takie materiały
nazywamy dielektrykami liniowymi.
P = χ eε 0E
gdzie bezwymiarowy współczynnik proporcjonalno ci χ e nazywamy podatno ci elektryczn
o rodka. Wtedy
D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ e ε 0 E = (1 + χ e )ε 0 E = εε 0 E
Współczynnik proporcjonalno ci nazywamy przenikalno ci dielektryczn o rodka, a
bezwymiarowe ε = (1 + χ e )
przenikalno ci wzgl dn .
Granice o rodków.
Zastanówmy si teraz jak
zachowuj si wektory pól
elektrycznego i magnetycznego
na granicy dwóch o rodków
jednorodnych. W tym celu
skorzystamy z odpowiednich
równa Maxwella w postaci
całkowej:
1
dσ, D1⊥
d l , E1
dσ,− D
2
C
2
⊥
d l ,−E2
91
D ⋅ dσ = q
d
Bdσ
dt S
C
Pierwsze z nich przy zało eniu braku swobodnego ładunku powierzchniowego na granicy
o rodka daje ci gło prostopadłej do powierzchni składowej pola indukcji elektrycznej D ⊥ :
E ⋅ dl =
D dσ − D dσ = 0 .
Drugie w przypadku pól statycznych zapewnia ci gło
składowej nat enia pola elektrycznego E :
1
⊥
2
⊥
równoległej do granicy o rodków
E1 dl − E 2 dl = 0 .
Zatem:
E1 = E 2 i D1⊥ = D 2⊥
drugi zwi zek mo na przepisa w postaci
ε1E1⊥ = ε 2 E 2⊥ , sk d
ε
E1⊥ = 2 E 2⊥ .
ε1
Dzi ki temu:
E1 ε E 2 ε
tg α1 = 1⊥ = 2 2⊥ = 2 tg α 2
E
ε1 E
ε1
α1α 2
1
E2
2
E1
lub ε1 tg α1 = ε 2 tg α 2
Podobnie dla pola magnetycznego z równa :
d
B ⋅ dσ = 0
i
H ⋅dl =
Ddσ + I
dt S
C
uzyskujemy ci gło
składowych B⊥ i H na granicy o rodków i podobn zale no :
µ1 tg α1 = µ 2 tg α 2
Zmienne pole elektromagnetyczne.
W dotychczasowych rozwa aniach dyskutowali my pola elektryczne i magnetyczne, których
ródłami były pr dy i rozkłady ładunków. Wystarczy jednak e spojrze na równanie
Maxwella, aby przekona si , e ródłami pól mog by one same.
1. ∇ × E = − B
2. ∇ ⋅ B = 0
3. ∇ ⋅ D = ρ
4. ∇ × H = D + j
Przypomnijmy ponadto zwi zek pól elektrycznego i magnetycznego z potencjałem skalarnym
i wektorowym:
∂
E = −∇ϕ − A
∂t
B = ∇×A
Liczymy rotacje obu stron ostatniego równania
(
)
( )
∇ × ∇ × A = rotB = µ 0∇ × H = µ 0 D + j = µ 0ε 0 E + µ 0 j
praw stron równania przekształcamy dalej zast puj c pole E potencjałami:
92
1 ∂
1 ∂2
1 ∂
∂
∇
ϕ
+
A
+
µ
j
=
−
∇
ϕ
−
A + µ0 j
0
c 2 ∂t
∂t
c 2 ∂t
c 2 ∂t 2
Natomiast do lewej strony stosujemy wzór znany z analizy wektorowej :
∇ × ∇ × A = graddivA − ∇ 2 A
Po poł czeniu uzyskujemy
1 ∂
1 ∂2
graddivA − ∇ 2 A = − 2 ∇ ϕ − 2 2 A + µ 0 j
c
∂t
c ∂t
co po przegrupowaniu daje:
1 ∂2
1 ∂
1 ∂
2
∇ A − 2 2 A = graddivA + 2 ∇ ϕ − µ 0 j = ∇ divA + 2 ϕ − µ 0 j
c ∂t
c
∂t
c ∂t
Wyraz po prawej stronie równania stanowi czterodivergencj czteropotencjału. Korzystaj c z
jego niejednoznaczno ci mo na zało y
1 ∂
divA + 2 ϕ = 0
c ∂t
Jest to tzw. cechowanie Lorentza. Dostajemy na potencjał wektorowy równanie:
1 ∂2
∇ 2 A − 2 2 A = −µ 0 j
c ∂t
Podobnie uzyskujemy równanie dla potencjału skalarnego:
ρ
∂
= ∇ ⋅ E = −∇ 2 ϕ − ∇ ⋅ A
ε0
∂t
które korzystaj c z cechowania Lorentza przekształcamy w:
ρ
∂
1 ∂2
= −∇ 2 ϕ − divA = −∇ 2 ϕ + 2 2 ϕ
ε0
∂t
c ∂t
czyli
1 ∂2
ρ
2
∇ ϕ− 2 2 ϕ= −
c ∂t
ε0
Równania, które uzyskali my s odpowiednikami równa Poissona dla pól stałych i nosz
nazw równa d’Alamberta. Zapisujemy je zwykle w uproszczonej formie wprowadzaj c
nowy operator ró niczkowy, nazywany dalambercjanem:
1 ∂2
= ∇2 − 2 2
c ∂t
Korzystaj c z jego definicji zapisujemy równania d’Alamberta w postaci:
A = −µ 0 j
ρ
ϕ=−
ε0
Zauwa my, e w przypadku statyki (pola nie zale ne od czasu) równania te przechodz w
dyskutowane wcze niej równania Poissona. Tym razem jednak skoncentrujemy uwag na
rozwi zaniach dynamicznych (nie statycznych) czyli zale nych od czasu.
=−
(
)
Równanie fali elektromagnetycznej w pró ni.
Pole elektromagnetyczne mo e istnie i rozprzestrzenia si równie w przypadku gdy w
układzie nie wyst puj ładunki i pr dy. Wtedy równania na potencjały elektromagnetyczne
redukuj si do:
93
1 ∂2
A=0
c 2 ∂t 2
1 ∂2
∇ 2ϕ − 2 2 ϕ = 0
c ∂t
Korzystaj c ze zwi zków pomi dzy wektorami E i B a potencjałem wektorowym i skalarnym
uzyskujemy dla nich równie równania d’Alamberta:
1 ∂2
∇ 2B − 2 2 B = 0
c ∂t
1 ∂2
∇ 2E − 2 2 E = 0
c ∂t
∇ 2A −
Fala płaska.
Jednym z mo liwych rozwi za równania d’Alamberta jest “fala płaska”.
A( r , t ) = A 0 sin k ⋅ r − ωt
jest rozwi zaniem równania D’Alamberta je eli
ω2
k 2 = 2 czyli ω = kc
c
Zauwa my, e punkty w przestrzeni odpowiadaj ce stałej fazie tego rozwi zania
k r − ωt = const
poruszaj si z pr dko ci , która spełnia zwi zek
dr
kd r = ωdt czyli k
= ω = kc
dt
czyli pr dko rozprzestrzeniania si fazy (pr dko fazowa jest równa c, a kierunek jest
zgodny z kierunkiem wektora k , który nazywamy wektorem falowym.
Korzystaj c z wyra enia na potencjał wektorowy mo emy wyliczy odpowiadaj cy
cechowaniu Lorentza potencjał skalarny:
ϕ = −c 2divA = c 2 k ⋅ A 0 cos(k ⋅ r − ωt )
(
)
c2
c
k ⋅ A 0 sin(k ⋅ r − ωt ) = k ⋅ A 0 sin(k ⋅ r − ωt )
ω
k
Korzystaj c z wyra e na potencjały mo emy wyliczy wektory pola magnetycznego i
elektrycznego:
B = ∇ × A = k × A 0 cos(k ⋅ r − ωt )
ϕ=
E = −∇ϕ −
= −
(
)
∂
c
A = − k ⋅ A 0 k cos(k ⋅ r − ωt ) + ωA 0 cos(k ⋅ r − ωt ) =
∂t
k
ck ⋅ A 0
k + ckA 0 cos(k ⋅ r − ωt )
k
Widzimy, e wektory k i B s do siebie prostopadłe. Mo emy przekona si , e równie
wektor E jest prostopadły do k :
k⋅ −
ck ⋅ A 0
ck ⋅ A 0 2
k + ckA 0 = −
k + ckA 0 ⋅ k = 0
k
k
Podobnie pokazujemy prostopadło
wektorów B i E .
94
ck ⋅ A 0
k + ckA 0 = 0
k
k × A0 ⋅ −
Wektory k , B i E stanowi trójk wzajemnie prostopadłych wektorów. Zatem pole
elektryczne i magnetyczne s do siebie prostopadłe i prostopadłe do kierunku pr dko ci
rozchodzenia si fazy. Fala elektromagnetyczna jest fal poprzeczn .
Podsumowanie XIII.
• Przeanalizowali my zale no ci pomi dzy E i D oraz H i B.
• Przedyskutowali my zjawisko polaryzacji dielektryka.
• Przedyskutowali my pola elektryczne i magnetyczne na granicy o rodków.
• Rozwa yli my zmienne w czasie pola pochodz ce od zmiennych w czasie ródeł.
• Potencjały pól musz spełnia równania d’Alamberta.
• Przedyskutowali my rozwi zanie równania d’Alamberta w pró ni odpowiadaj ce fali
płaskiej.
• Faza fali elektromagnetycznej rozchodzi si równolegle do kierunku wektora falowego z
pr dko ci równ pr dko ci wiatła.
• Fala elektromagnetyczna jest fal poprzeczn , trzy wektory k, B, E s do siebie
wzajemnie prostopadłe.
XIV.
Elektrodynamika klasyczna w nanostrukturach półprzewodnikowych.
Podsumowanie elektrodynamiki.
Z zasady najmniejszego działania dla pól elektrycznego i magnetycznego w obecno ci
rozkładu ładunków i pr dów wyprowadzili my równania Maxwella. Równania te uzupełnione
o wzór na sił Lorentza (wynikaj cy z tego samego formalizmu), oraz równanie ci gło ci
stanowi kompletny układ równa elektrodynamiki, z których mo na uzyska wszystkie inne
prawa. Jednocze nie ich rozwi zania s spójne z mechanik relatywistyczn .
95