pomiar modułu sprę ystości stali przez pomiar wydłu enia drutu

pomiar modułu sprę ystości stali przez pomiar wydłu enia drutu

Ćwiczenie M-3
POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR
WYDŁUŻENIA DRUTU
I.
Cel ćwiczenia: zapoznanie z teorią odkształceń sprężystych ciał stałych oraz z prawem Hooke’a .Wyznaczanie modułu sprężystości (modułu Younga) metodą pomiaru
wydłużenia.
II. Przyrządy: mechaniczno-optyczny układ pomiarowy, śruba mikrometryczna, suwmiarka,
miarka milimetrowa, obciążniki.
III. Literatura: 1. J. L. Kacperski, „I Pracownia fizyczna”,
2. H. Szydłowski „Pracownia fizyczna”,
IV.
Wprowadzenie
Ciała o strukturze krystalicznej mają odpowiednio uporządkowane i w określony sposób rozmieszczone cząsteczki, jony lub atomy. Uporządkowanie to odpowiada stanowi równowagi czyli
stanowi minimum energii potencjalnej. Wypadkowa wszystkich sił działających na dowolną cząsteczkę ciała ze strony otaczających ją cząstek równa jest zeru. Takiemu stanowi równowagi odpowiadają w układzie makroskopowym określone rozmiary geometryczne ciała (objętość, kształt).
Działanie sił zewnętrznych na ciało stałe może prowadzić do odkształcenia ciała stałego (deformacji). Odkształcenie ciała stałego jest to zmiana jego rozmiarów geometrycznych i kształtu.
Podczas odkształcenia następuje przemieszczenie się cząsteczek z początkowych położeń równowagi w nowe położenia. Prowadzi to do pojawienia się sił wzajemnego oddziaływania cząsteczkowego. W ten sposób w odkształconym ciele pojawiają się wewnętrzne siły sprężyste.
Jeśli po usunięciu zewnętrznych sił odkształcających, odkształcenie znika, to takie odkształcenie nazywamy sprężystym. Takie odkształcenie jest odwracalne.
Odkształceniem niesprężystym, przy działaniu dostatecznie dużych sił zewnętrznych, towarzyszą nieodwracalne zmiany w budowie krystalicznej. W tym przypadku po usunięciu sił zewnętrznych ciało nie powraca do rozmiarów pierwotnych. Następuje trwałe odkształcenie plastyczne.
Przy ustalonym odkształceniu sprężystym wypadkowa wewnętrznych sił sprężystych, powstających w ciele, równoważy siły zewnętrzne działające na ciało. Dzięki temu można wyznaczyć
wartość wewnętrznych sił sprężystych poprzez pomiar wartości sił zewnętrznych przyłożonych do
ciała.
Wewnętrzne siły sprężyste charakteryzuje stosunek siły do powierzchni, na którą ta siła działa. Stosunek ten nazywany jest napięciem lub naprężeniem
p=
F
S
(1)
gdzie F – siła zewnętrzna, S − powierzchnia na którą ta siła działa.
Zależnie od tego w jakim kierunku działa siła w stosunku do badanej powierzchni rozróżnia
się naprężenie normalne pn, gdy F ⊥ S i naprężenie styczne ps, gdy F || S.
Naprężenie normalne działa na ciało ściskająco lub rozciągająco.
1
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie M-3
∆l
lo
∆l
lo
ξ
ξ
F
F
x
x
lo+∆l
lo−∆l
a)
b)
Rys.1 Odkształcenie podłużne (naprężenie normalne): a) rozciąganie, b) ściskanie.
Punkt o współrzędnej x (rys.1a, b) na skutek rozciągania (ściskania) przesuwa się o ξ, natomiast punkt o współrzędnych x + ∆x przesunie się o ξ + ∆ξ. Zatem odkształcenie w punkcie o
współrzędnej x dla przypadku, który tu rozpatrujemy (ciała izotropowego, gdzie przesunięcie jest
równolegle do działającej siły) jest definiowane jako:
ε=
dξ
dx
(2)
Dla ciał izotropowych wszystkie elementy ciała ulegają odkształceniu w ten sam sposób. Jest
to odkształcenie jednorodne. W przypadku kiedy odkształcenie jest takie samo dla wszystkich elementów ciała wzór (1) można zapisać w postaci:
ε=
ξ
x
(3)
Z doświadczenia wynika, że odkształcenie jest proporcjonalne do naprężenia, które je wywołało, a więc
ε=kp
gdzie k nazywamy współczynnikiem sprężystości.
W konsekwencji
p=
F 1
= ⋅ε = E ε
S k
(4)
1
nazywamy modułem sprężystości albo modułem Younga.
k
Moduł Younga ma wymiar naprężenia i wynosi N m-2.
Wobec stałości współczynnika E naprężenie jest zgodnie z (4) proporcjonalne do odkształcenia. Formuła ta stanowi treść prawa Hooke`a.
Wykorzystując wzory (3) i (4) mamy:
E=
F
ξ
=E
S
x
(5)
Dla pręta o długości lo przesuniecie ξ odpowiada przyrostowi długości pręta o ∆l, czyli mamy:
2
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie M-3
F
∆l
(6)
=E
S
lo
Prawo Hooke`a jest spełnione tylko dla naprężeń p < pp, gdzie pp jest granicą proporcjonalności . Po przekroczeniu tej granicy odkształcenie nie jest zgodne z prawem Hooke`a − proporcjonalność między naprężeniem i odkształceniem nie jest już zachowana, jednak po usunięciu działającej siły ciało wraca do poprzedniej postaci. Odkształcenie jest więc w dalszym ciągu sprężyste.
Jeśli przekroczona zostanie granica sprężystości psp a naprężenie dalej rośnie, wówczas odkształcenie nie zanika po ustąpieniu siły. Jest to obszar odkształceń niesprężystych. Przy dalszym
zwiększaniu naprężenia po przekroczeniu granicy wytrzymałości pw ciało ulega zniszczeniu (zerwaniu, rozkruszeniu). Ciała, które mają psp > pp nazywamy ciałami plastycznymi (podlegają działaniu plastycznemu: kuciu, zginaniu, walcowaniu, rozciąganiu, tłoczeniu itp.), natomiast jeśli
psp ≤ pp, to ciało nazywamy ciałem kruchym (żeliwo szkło, ceramika).
p pw
psp
pp
ε
Rys.2 Zależność między naprężeniem i odkształceniem ε ciał stałych
W wyniku odkształceń sprężystych pod wpływem działania sił normalnych następuje zmiana
wymiarów poprzecznych ∆z i ∆y badanego materiału (w przypadku pręta zmiana jego promienia).
Doświadczalnie można stwierdzić, że
∆z ∆y
=
z
y
(dla ciał izotropowych)
(7)
a względne zwężenie jest proporcjonalne do względnego wydłużenia czyli
∆y
∆x
=µ
y
x
Dla pręta względne zmiany promienia są proporcjonalne do względnego przyrostu długości
∆r
∆l
=µ
ro
lo
(8)
Współczynnik proporcjonalności µ nazywamy współczynnikiem Poissona. Jest to wielkość
niemianowana.
Gdy w czasie deformacji nie zachodzi zmiana objętości, współczynnik Poissona ma wartość
µ = 0,5. Dla większości materiałów przybiera wartość od 0,25 do 0,5.
3
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie M-3
V. Metoda pomiarów
Z zależności (6) wynika, że pomiędzy siłą F rozciągającą pręt i wydłużeniem ∆l istnieje związek liniowy:
∆l = b F
(9)
gdzie b = lo/E S.
Wyznaczenie współczynnika b daje możliwość obliczenia modułu sprężystości:
l
E= o
bS
VI.
(10)
Układ pomiarowy
zwierciadło
walec o promieniu. R
2r
ruchoma przesłona
F = mg
Rys.3 Układ do pomiaru współczynnika sprężystości metalu
przekrój walca
drut stalowy
R+r
α
d
Z
∆l
2α
S
P
a
Rys.4 Fragment układu pomiarowego obrazujący sposób obliczenia wydłużenia ∆l drutu
Drut stalowy o promieniu r jest zamocowany na stałe z jednej strony i nawinięty na walec o
promieniu R (rys.3 i rys.4). Długość początkową drutu mierzy się od punktu zamocowania do
miejsca jego styczności z walcem (zaniedbujemy rozciąganie odcinka nawiniętego na walec). Na
walcu znajduje się zwierciadełko Z. Na to zwierciadełko kierowana jest wiązka światła ze źródła
S, która odbijając się w nim jest następnie obserwowana przez otwór w ruchomej przesłonie P. Po
obciążeniu niezamocowanego końca drutu następuje jego wydłużenie, co powoduje obrót zwierciadełka. W konsekwencji następuje przesunięcie odbitej od zwierciadełka wiązki światła na odległość a.
Z rys.4 wynika:
∆l = (R+r) α
(kąt α wyrażony jest w radianach) oraz
4
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie M-3
a
= tg2α
d
gdzie a jest przesunięciem wiązki świetlnej, d odległością zwierciadełka od ruchomej przesłony.
Kąt α wynosi zatem
1
a
α = arc tg
2
d
a co za tym idzie
1
a
∆l = (R+r) arc tg
(11)
2
d
Bezpośrednio w doświadczeniu mierzy się zależność przesunięcia wiązki światła od przyłożonej
siły do drutu stalowego: a = a(F). Wykorzystując wzór (11), można zbadać zależność ∆l = ∆l(F).
Biorąc pod uwagę równanie (9) oczekiwany jest związek liniowy.
VII. Pomiary
1.
2.
Obciążyć drut jednym krążkiem metalowym, aby wyeliminować błędy wynikające z niewielkich skrzywień drutu.
Zmierzyć pięciokrotnie długość drutu lo, średnicę drutu 2r (na próbce drutu), średnicę walca
2R, odległość d przesłony od zwierciadła. Pomiary zanotować w tabeli 1.
Tab.1
Lp.
3.
4.
5.
lo
[m]
2r
[m]
r
[m]
2R
[m]
R
[m]
d
[m]
Zwierciadełko ustawić w położeniu, w którym wiązka padająca i odbita są prostopadle do
przysłony.
Zawiesić następny krążek na uchwycie. Następuje rozciągnięcie drutu z siłą F = mg (m jest
masą krążka). Zmierzyć wartość a przesunięcia wiązki świetlnej.
Kontynuować pomiary dla zawieszonych 2, 3, 4 krążków (nie bierzemy pod uwagę „zerowego” obciążnika). Zmierzone wartości wpisać w tabelę 2.
Tabela 2
Lp.
m
[kg]
F
[N]
a
[m]
∆l
[m]
VIII. Opracowanie wyników
1.
Wykorzystując tab.1 wyznaczyć wartości średnie lo , r , R , d .
Oszacować niepewności pomiarowe ∆lo, ∆r, uwzględniając dokładność zastosowanych przyrządów (miarka milimetrowa, śruba mikrometryczna). Pamiętać, że niepewność pomiaru promienia jest równa połowie niepewności wyznaczenia średnicy.
2.
Na podstawie wzoru (11) wyznaczyć wydłużenie drutu ∆l i uzupełnić tabelę 2. Wykreślić zależność wydłużenia ∆l od przyłożonej siły: ∆l = ∆l(F).
5
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie M-3
3.
Metodą najmniejszych kwadratów obliczyć współczynnik b nachylenia prostej (patrz wzór
(9)) oraz jego niepewność ∆b lub znaleźć jego wartość graficznie i ocenić niepewność jego
wyznaczenia.
4.
Obliczyć przekrój drutu stalowego S = π r2 oraz niepewność ∆S = 2πr∆r.
5.
Wykorzystując wzór (10) obliczyć wartość modułu sprężystości E oraz jego niepewność ∆E.
Logarytmując wzór (10) a następnie różniczkując go, po przekształceniach otrzymuje się
 ∆l   ∆b   ∆S 
∆E = ± E  o  +   +  
 lo   b   S 
6.
Przeprowadzić dyskusję wyników.
6
I PRACOWNIA FIZYCZNA