Model nakładajacych sie pokolen

Model nakªadaj¡cych si¦ pokole«
dr hab. Marcin Kolasa, prof. SGH
Szkoªa Gªówna Handlowa
M. Kolasa (SGH)
OLG
1 / 40
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Dynamika i stan ustalony
4
Dynamiczna (nie)efektywno±¢
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Rozszerzenia: ryzyko indywidualne
M. Kolasa (SGH)
OLG
2 / 40
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Dynamika i stan ustalony
4
Dynamiczna (nie)efektywno±¢
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Rozszerzenia: ryzyko indywidualne
M. Kolasa (SGH)
OLG
3 / 40
Wst¦p
Autorzy: Peter Diamond (1965)
W skrócie: model Ramseya ze sko«czonym horyzontem planowania
Jeden z wa»niejszych modeli wspóªczesnej makroekonomii, punkt
wyj±cia dla bardziej zªo»onych modeli zachowa« gospodarstw
domowych
Popularne zastosowania: skutki polityki skalnej, systemy emerytalne
M. Kolasa (SGH)
OLG
4 / 40
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Dynamika i stan ustalony
4
Dynamiczna (nie)efektywno±¢
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Rozszerzenia: ryzyko indywidualne
M. Kolasa (SGH)
OLG
5 / 40
Gªówne zaªo»enia
Zamkni¦ta gospodarka
Brak polityki skalnej
Ceny doskonale elastyczne - model realny
Brak roli dla polityki monetarnej
Jedno homogeniczne dobro, jego cena znormalizowana do jedno±ci
Dwa typy agentów:
Przedsi¦biorstwa
Gospodarstwa domowe
Gospodarstwa domowe »yj¡ przez 2 okresy (mªodo±¢ i staro±¢)
M. Kolasa (SGH)
OLG
6 / 40
Przedsi¦biorstwa
Produkuj¡ dobra nalne w warunkach doskonaªej konkurencji
Neoklasyczna funkcja produkcji z post¦pem technicznym wg Harroda
yt = F (kt , At lt )
(1)
Kapitaª i praca wynajmowane od gospodarstw domowych
Technologia ro±nie w staªym tempie g ≥ 0:
At+1 = (1 + g )At
Problem rm
max{F (kt , At lt ) − wt lt − rk,t kt }
lt ,kt
Firmy maksymalizuj¡ zysk traktuj¡c ceny jako dane
Warunki konieczne optimum:
wt =
M. Kolasa (SGH)
∂F
∂lt
rk,t =
OLG
∂F
= F 0 (kt )
∂kt
(2)
7 / 40
Gospodarstwa domowe I
W ka»dym okresie rodzi si¦ Nt osób mªodych, gdzie (dla n ≥ 0)
Nt+1 = (1 + n)Nt
Gospodarstwo domowe narodzone w okresie t maksymalizuje swoj¡
»yciow¡ u»yteczno±¢:
o
Ut = u(cty ) + βu(ct+
1)
(3)
gdzie:
cty - konsumpcja osoby mªodej w okresie t
o
ct+
1 - konsumpcja osoby starej w okresie t + 1
β - czynnik dyskontuj¡cy (0 < β < 1)
u(ct ) - chwilowa funkcja u»yteczno±ci:
u(ct ) =
ct 1−θ
1−θ
(4)
gdzie:
θ>0
Je±li θ = 1,
M. Kolasa (SGH)
to
u(ct ) = ln ct
OLG
8 / 40
Gospodarstwa domowe II
Tylko mªodzi pracuj¡, starzy konsumuj¡ oszcz¦dno±ci st zgromadzone
w czasie mªodo±ci
Ograniczenia bud»etowe w mªodo±ci i staro±ci
cty + st = wt
(5)
o
ct+
1 = st (1 + rt+1 )
(6)
gdzie: rt - stopa procentowa
M. Kolasa (SGH)
OLG
9 / 40
Czyszczenie si¦ rynków
Produkcja rm musi by¢ równa wydatkom gospodarstw domowych:
yt = Nt cty + Nt−1 cto + it
(7)
gdzie inwestycje it powi¦kszaj¡ zasób kapitaªu zgodnie z równaniem
kt+1 = (1 − δ)kt + it
(8)
Zasób kapitaªu musi by¢ równy oszcz¦dno±ciom
kt+1 = Nt st
(9)
Poda» pracy musi by¢ równa popytowi na prac¦
Nt = lt
M. Kolasa (SGH)
OLG
(10)
10 / 40
Równowaga ogólna
Denicja równowagi konkurencyjnej
∞
Sekwencja kt , yt , cto , cty , it , wt , rk,t t=0 dla zadanej sekwencji {lt , At }∞
t=0
oraz pocz¡tkowego zasobu kapitaªu k0 , takie »e: (i) gospodarstwa domowe
maksymalizuj¡ u»yteczno±¢ traktuj¡c ceny czynników produkcji
{wt , rk,t }∞
t=0 jako dane; (ii) przedsi¦biorstwa maksymalizuj¡ zyski traktuj¡c
ceny czynników produkcji jako dane; (iii) ceny czynników produkcji
zapewniaj¡ czyszczenie si¦ rynków.
M. Kolasa (SGH)
OLG
11 / 40
Charakterystyka równowagi
Zaªó»my dla uproszczenia brak post¦pu technicznego i staª¡ populacj¦
(n = g = 0) i znormalizujmy poda» pracy (a wi¦c te» liczebno±¢ jednej
kohorty) do jedno±ci (lt = Nt = 1)
Funkcja Lagrange'a (po wyeliminowaniu oszcz¦dno±ci z równa« (5) i
(6)):
L=
o
(c o )1−θ
ct+
(cty )1−θ
1
+ β t+1
+ λt [wt − cty −
]
1−θ
1−θ
1 + rt+1
Warunki konieczne optimum:
M. Kolasa (SGH)
∂L
y −θ
= λt
y = 0 =⇒ (ct )
∂ct
(11)
∂L
λt
o
−θ
= 0 =⇒ β(ct+
=
1)
o
∂ct+1
1 + rt+1
(12)
OLG
12 / 40
Równanie Eulera
Równania (11) i (12) implikuj¡:
o
ct+
1
cty
θ
= β (1 + rt+1 )
Interpretacja:
Dla
y
o
θ > 0: ct+
1 > ct ⇐⇒
1 + rt+1
(13)
> β −1
Aby konsumpcja byªa wy»sza na staro±¢ ni» w mªodo±ci, (rynkowa)
stopa procentowa musi przekracza¢ subiektywn¡ stop¦ dyskonta
stosowan¡ przez gospodarstwa domowe
Gospodarstwom domowym opªaca si¦ odkªada¢ konsumpcj¦ na staro±¢
je±li zwi¡zana z tym utrata u»yteczno±ci jest wi¦cej ni» skompensowana
stop¡ zwrotu z oszcz¦dno±ci
Rola θ:
Im wy»sze
θ
tym mniej wra»liwa konsumpcja na stop¦ procentow¡,
czyli tym silniejszy motyw wygªadzania konsumpcji (ni»sza
mi¦dzyokresowa elastyczno±¢ substytucji)
M. Kolasa (SGH)
OLG
13 / 40
Konsumpcja i oszcz¦dno±ci
›yciowe ograniczenie bud»etowe:
cty +
o
ct+
1
= wt
1 + rt+1
(14)
Wykorzystuj¡c równanie Eulera (13)
1
cty
[β(1 + rt+1 )] θ y
+
ct = wt
1 + rt+1
Czyli
1
cty
M. Kolasa (SGH)
(15)
=
(1 + rt+1 )1− θ
1
1
(1 + rt+1 )1− θ + β θ
OLG
wt
(16)
14 / 40
Oszcz¦dno±ci
Oszcz¦dno±ci
1
st = wt − cty =
βθ
1
1
(1 + rt+1 )1− θ + β θ
wt
(17)
Oszcz¦dno±ci dodatnio zale»¡ od czynnika dyskontuj¡cego β : cierpliwi
oszcz¦dzaj¡ wi¦cej
Wpªyw stopy procentowej na oszcz¦dno±ci zale»y od θ:
Wzrost stopy procenowej zach¦ca do oszcz¦dno±ci przez efekt
substytucji, ale zniech¦ca przez efekt dochodowy
1
θ < 1 oznacza silny motyw wygªadzania konsumpcji (niska elastyczno±¢
subtytucji mi¦dzyokresowej) i spadek oszcz¦dno±ci w reakcji na wzrost
stopy procentowej
r
1
Odwrotny efekt dla θ > 1
Dla θ = 1 efekt substytucyjny i dochodowy znosz¡ si¦
M. Kolasa (SGH)
OLG
15 / 40
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Dynamika i stan ustalony
4
Dynamiczna (nie)efektywno±¢
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Rozszerzenia: ryzyko indywidualne
M. Kolasa (SGH)
OLG
16 / 40
‘cie»ka kapitaªu
Z warunku czyszczenia si¦ rynku kapitaªu (9), równania oszcz¦dno±ci
(17) oraz rozwi¡zania problemu rm (2), wykorzystuj¡c te» denicj¦
stopy procentowej rt ≡ rk,t − δ = F 0 (kt ) − δ oraz równanie na pªace
wynikaj¡ce z doskonaªej konkurencji (a wi¦c zerowych zysków)
wt = F (kt ) − F 0 (kt )kt otrzymujemy
1
kt+1 =
βθ
(1 +
F 0 (kt+1 )
1
1− θ
− δ)
+β
1
(F (kt ) − F 0 (kt )kt )
(18)
θ
Powy»sze równanie przedstawia uwikªan¡ zale»no±¢ kt+1 od kt
Przy ogólnej postaci funkcji produkcji i funkcji u»yteczno±ci CRRA
niewiele mo»na powiedzie¢ o tej zale»no±ci
W szczególno±ci mo»e ona implikowa¢ wi¦cej ni» jeden stan ustalony,
w tym takie niestabilne
M. Kolasa (SGH)
OLG
17 / 40
Dynamika kapitaªu - przypadek ogólny
kt+1
kt +1
k∗1
k∗2
k∗3 kt
kt
(a)
(b)
kt+1
kt +1
k∗1
k∗2 kt
ka kb
(c)
M. Kolasa (SGH)
kt
(d)
OLG
18 / 40
Dynamika modelu - podsumowanie
Kluczem do rozwi¡zania modelu jest rozwikªanie zale»no±ci (18), która
dla danego kt daje nam kt+1 , a wi¦c te» kt+2 itd.
Maj¡c ±cie»k¦ kapitaªu, mamy ±cie»k¦ oszcz¦dno±ci z równania (17), a
rozwi¡zanie problemu rm (2) daje nam ±cie»ki cen czynników
produkcji
Powy»sze wykorzystane w równaniach (5) i (6) daje nam ±cie»ki
konsumpcji starych i mªodych
M. Kolasa (SGH)
OLG
19 / 40
Dynamika kapitaªu - przypadek szczególny I
Przyjmijmy logarytmiczn¡ funkcj¦ u»yteczno±ci (θ = 1) i funkcj¦
produkcji Cobba-Douglasa (F (kt ) = ktα )
Wówczas równanie (18) przybiera posta¢
kt+1 =
β
1+β
(1 − α)ktα
(19)
Stan ustalony jest unikalny i stabilny
β(1 − α)
k =
1+β
∗
M. Kolasa (SGH)
OLG
1
1−α
(20)
20 / 40
Dynamika kapitaªu - przypadek szczególny II
o
45
kt+1
k*
k*
k0
M. Kolasa (SGH)
OLG
kt
21 / 40
Konwergencja
Tempo zbie»no±ci dla przypadku szczególnego jest równe α (Romer,
2006, ch. 2.10)
yt+1 − y ∗ ≈ α(yt − y ∗ )
Jest wi¦c szybsze ni» w modelu Solowa i (dla standardowych
parametrów) Ramseya
A wi¦c tak»e szybsze ni» wedªug danych empirycznych
M. Kolasa (SGH)
OLG
22 / 40
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Dynamika i stan ustalony
4
Dynamiczna (nie)efektywno±¢
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Rozszerzenia: ryzyko indywidualne
M. Kolasa (SGH)
OLG
23 / 40
Zªota reguªa
Warunek czyszczenia si¦ rynków (7), po podstawieniu za it z równania
akumulacji kapitaªu (8) i wykorzystuj¡c funkcj¦ produkcji (1)
F (kt ) = cty + cto + kt+1 − (1 − δ)kt
(21)
W stanie ustalonym
F (k ∗ ) = c y ∗ + c o∗ + δk ∗
(22)
Czyli maksymaln¡ konsumpcj¦ w stanie ustalonym osi¡ga si¦ przy
kapitale speªniaj¡cym warunek
F 0 (kG ) = δ
M. Kolasa (SGH)
OLG
(23)
24 / 40
Dynamiczna nieefektywno±¢
Kra«cowy produkt kapitaªu w stanie ustalonym - szczególny przypadek
(Cobb-Douglas i θ = 1), wykorzystuj¡c (20)
F 0 (k ∗ ) = αk ∗α−1 =
α(1 + β)
β(1 − α)
(24)
Powy»sze wyra»enie mo»e by¢ wi¦ksze, mniejsze b¡d¹ równe δ
Je±li F 0 (k ∗ ) < δ (czyli k ∗ > kG ), równowaga w gospodarce jest
nieoptymalna w sensie Pareto: obni»aj¡c kapitaª do kG jeste±my w
stanie zwi¦kszy¢ konsumpcj¦ zarówno starym jak i mªodym, nie tylko
dzi±, ale te» w przyszªo±ci
(Równowaga w modelu Ramseya jest zawsze optymalna w sensie
Pareto)
M. Kolasa (SGH)
OLG
25 / 40
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Dynamika i stan ustalony
4
Dynamiczna (nie)efektywno±¢
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Rozszerzenia: ryzyko indywidualne
M. Kolasa (SGH)
OLG
26 / 40
Wªadze skalne
Wydatki rz¡du: zakup dóbr i usªug gt (egzogeniczne, bez
bezpo±redniego wpªywu na u»yteczno±¢ gospodarstw domowych)
Dochody rz¡du: zryczaªtowane podatki nakªadane na mªode
gospodarstwa domowe vty i stare gospodarstwa domowe vto
Emisja dªugu bt po stopie rtg . Brak ryzyka niewypªacalno±ci rz¡du
oraz doskonale funkcjonuj¡ce rynki nansowe implikuj¡ rtg = rt
Ograniczenie bud»etowe rz¡du
gt + (1 + rtg )bt−1 = vty + vto + bt
(25)
Rz¡d prowadzi odpowiedzialn¡ polityk¦, tzn. jest wypªacalny:
lim
t→∞
bt+1
t
Y
s=1
1
1 + rsg
!
≤0
(26)
Wypªacalno±¢ oznacza, »e warto±¢ bie»¡ca netto wydatków rz¡dowych
jest równa warto±ci bie»¡cej netto dochodów
M. Kolasa (SGH)
OLG
27 / 40
Zmodykowane problemy agentów
Problem rm bez zmian
Brak bezpo±redniego wpªywu rz¡du na u»yteczno±¢ gospodarstw
domowych oznacza, »e cel maksymalizacji jest ci¡gle zadany przez (3)
Zmodykowane ograniczenia bud»etowe gospodarstw domowych
cty + st = wt − vty
(27)
o
o
ct+
1 = st (1 + rt+1 ) − vt+1
(28)
Czyszczenie si¦ rynków dóbr
yt = cty + cto + it + gt
(29)
Czyszczenie si¦ rynków kapitaªowych
kt+1 + bt = st
M. Kolasa (SGH)
OLG
(30)
28 / 40
Podatki a konsumpcja
›yciowe ograniczenie bud»etowe gospodarstw domowych:
cty +
o
o
vt+
ct+
1
1
= wt − vty −
1 + rt+1
1 + rt+1
(31)
Równanie Eulera bez zmian (13), wi¦c wykorzystuj¡c je przy
logarytmicznych preferencjach θ = 1 mamy
cty
=
1
1+β
wt − vty −
o
vt+
1
1 + rt+1
(32)
Konsumpcja starych w okresie t
cto = st−1 (1 + rt ) − vto
M. Kolasa (SGH)
OLG
(33)
29 / 40
Ekwiwalencja Ricardia«ska II
Zaªó»my, »e rz¡d obni»a w okresie t podatki dla starych i mªodych vty
oraz vto , zostawiaj¡c je bez zmian w kolejnym okresie i nie zmieniaj¡c
wydatków rz¡dowych
Oznacza to emisj¦ dªugu, który zostanie spªacony wzrostem podatków
po okresie t + 1, a wi¦c przez nie narodzone jeszcze pokolenia
Z równa« (32) i (33) wynika, »e konsumpcja zarówno starych jak i
mªodych w okresie t wzro±nie
Z warunku czyszczenia si¦ rynku dóbr (29) wynika, »e spadn¡
inwestycje (efekt wypierania)
Brak ekwiwalencji Ricardia«skiej - w modelu Ramseya taka obni»ka
podatków nie miaªaby wpªywu na konsumpcj¦ ani inwestycje
M. Kolasa (SGH)
OLG
30 / 40
Skutki wzrostu wydatków rz¡dowych
Zaªó»my, »e rz¡d trwale zwi¦ksza swoje wydatki gt
Skutki zale»¡ od sposobu snansowania
Snansowanie w peªni wzrostem podatków nakªadanych na mªodych
spowoduje spadek ich konsumpcji, ale te» oszcz¦dno±ci (bo
gospodarstwa domowe wygªadzaj¡ konsumpcj¦), a w konsekwencji
kapitaªu
W przeciwie«stwie do modelu Ramseya mamy wi¦c wypieranie
inwestycji i wzrost stopy procentowej
M. Kolasa (SGH)
OLG
31 / 40
Spis tre±ci
1
Wst¦p
2
Model
3
Dynamika i stan ustalony
4
Dynamiczna (nie)efektywno±¢
5
Rozszerzenie o sektor skalny
6
Rozszerzenia: ryzyko indywidualne
M. Kolasa (SGH)
OLG
32 / 40
Ryzyko indywidualne
Bazowy model OLG uwzgl¦dnia heterogeniczno±¢ ze wzgl¦du na wiek,
lecz podmioty w tej samej grupie wiekowej s¡ homogeniczne
Bardziej zªo»one modele zachowa« gospodarstw domowych
uwzgl¦dniaj¡ nieubezpieczalne ryzyko indywidualne, spowodowane np.
mo»liwo±ci¡ utraty pracy
Kluczowy jest brak mo»liwo±ci peªnego ubezpieczenia -> oszcz¦dno±ci
przezorno±ciowe
Oszcz¦dno±ci przezorno±ciowe zale»¡ od polityki skalnej
(redystrybucyjnej)
Zmiany stóp procentowych maj¡ efekty redystrybucyjne
M. Kolasa (SGH)
OLG
33 / 40
Przykªad - redystrybucja poprzez podatki
Zmiana systemu podatkowego ma nie tylko skutki dla agregatów
makroekonomicznych, ale te» skutki redystrybucyjne
Model Castañeda et al. (1999)
Elementy cyklu »ycia (emerytura, ±mier¢)
Indywidualne ryzyko dochodowe
Eksperyment: zmiana progresywnego systemu podatkowego w USA na
liniowy
M. Kolasa (SGH)
OLG
34 / 40
Dªugookresowe skutki przej±cia na podatek liniowy
Benchmark
Model
1.000
0.635
0.166
0.189
0.087
Y
C
I
G
Tr
K
Labor Input
Total Hours
K/Y
Government Revenues/Net Output
σc /c
σl /l
Proportional
Model % Change
1.044
4.4%
0.661
4.1%
0.185
11.4%
0.189
0.0%
0.087
0.0%
1.79
1.00
1.00
1.79
32.80
2.627
0.639
1.97
1.009
1.016
1.89
31.63
3.535
0.641
11.4%
0.9%
1.6%
5.6%
– 3.7%
34.5%
0.3%
™ródªo: Castañeda et al. (1999)
M. Kolasa (SGH)
OLG
35 / 40
Redystrybucja dochodu wskutek przej±cia na podatek liniowy
Bottom
Quintiles
Top
0–1
1–5
5–10
0–20
20–40
40–60
60–80
80–100
90–95
95–99
99–100
Benchmark
Model
0.00
0.00
0.00
0.00
3.27
14.35
20.73
61.65
10.25
16.51
15.01
Proportional
Model
0.00
0.00
0.00
0.00
3.31
14.44
20.87
61.38
10.24
16.38
14.80
0.615
0.613
Gini Index
™ródªo: Castañeda et al. (1999)
M. Kolasa (SGH)
OLG
36 / 40
Redystrybucja maj¡tku wskutek przej±cia na podatek liniowy
Bottom
Quintiles
Top
0–1
1–5
5–10
0–20
20–40
40–60
60–80
80–100
90–95
95–99
99–100
Benchmark
Model
0.00
0.00
0.00
0.01
0.36
3.78
16.60
79.26
11.67
22.81
29.54
Proportional
Model
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.11
10.44
89.46
11.86
25.77
39.09
0.791
0.874
Gini Index
™ródªo: Castañeda et al. (1999)
M. Kolasa (SGH)
OLG
37 / 40
Rozkªad dochodów i maj¡tku w USA (2010)
Bottom (%)
Quintiles
Top (%)
All
0–1 1–5 5–10
1st 2nd
3rd
4th
5th 90–95 95–99 99–100 0–100
Shares of Total Sample sorted by earnings (%)
Earnings
0.0
0.0
0.0 -0.1
1.9 11.2 20.9 66.2
12.3
18.5
18.3 100.0
Income
0.4
1.5
1.9
8.1
7.2 10.4 17.7 56.5
10.2
16.3
15.8 100.0
Net worth
0.8
2.4
3.0 15.5 10.2
6.0
9.8 58.5
8.4
20.4
20.0 100.0
Shares of Total Sample sorted by net worth (%)
Earnings
0.9
2.8
2.3
8.4 10.7 14.6 17.5 48.8
10.3
15.7
10.8 100.0
Income
0.8
2.6
2.2
8.4 10.0 13.9 17.6 50.1
10.2
15.3
12.2 100.0
Net worth -0.3 -0.3
-0.1 -0.7
0.7
3.3 10.0 86.7
13.5
26.8
34.1 100.0
Data are from the 2010 Survey of Consumer Finances. Income includes all transfers including food
™ródªo: Quadrini and Rios-Rull (2013)
M. Kolasa (SGH)
OLG
38 / 40
Wska¹nik Giniego dla dochodów na ±wiecie
™ródªo: CIA (2013)
M. Kolasa (SGH)
OLG
39 / 40
Wska¹nik Giniego dla dochodów w USA
0.48
0.47
0.46
0.45
0.44
0.43
0.42
0.41
0.40
0.39
0.38
1970
1980
1990
2000
2010
Source:U.S.DepartmentofCommerce:CensusBureau
ShadedareasindicateUSrecessions-2014research.stlouisfed.org
M. Kolasa (SGH)
OLG
40 / 40