spis treści

SPIS TREŚCI
PRZEDMOWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
CZĘŚĆ I. ALGEBRA ZBIORÓW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
ROZDZIAŁ 1. ZBIORY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Oznaczenia i określenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Działania na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Klasa zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
17
20
22
22
23
ROZDZIAŁ 2. RELACJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Określenia i przykłady relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Relacje równoważności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Relacje porządkujące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
30
32
36
36
36
ROZDZIAŁ 3. ODWZOROWANIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Określenie i przykłady odwzorowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Obraz i przeciwobraz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Superpozycja odwzorowań. Odwzorowanie odwrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Indeksowana rodzina zbiorów. Działania uogólnione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Moc zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
47
50
56
58
61
62
62
CZĘŚĆ II. ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Wyznaczniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Algebra macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Rząd macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Układ równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
65
70
73
74
79
79
83
6
Spis treści
ROZDZIAŁ 2. ZASTOSOWANIE RACHUNKU MACIERZOWEGO
W EKONOMII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Modele ekonomiczne. Składniki modelu matematycznego . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Znaczenie równowagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Częściowa równowaga rynkowa — model liniowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Ogólna równowaga rynkowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Równania w analizie dochodu narodowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12. Zastosowanie rachunku macierzowego do modeli rynku i dochodu
narodowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13. Modele nakładów i wyników Leontiewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
98
105
105
106
ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE POJĘCIA PRZESTRZENI WEKTOROWEJ .
3.1. Określenie i własności przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Podprzestrzenie wektorowe. Suma i iloczyn podprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Liniowa zależność i niezależność układu wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Macierz przejścia. Zmiana współrzędnych wektora przy zmianie bazy . . . .
3.6. Przestrzeń euklidesowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Układy ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Wektory w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
108
110
112
116
121
124
126
129
131
132
134
CZĘŚĆ III. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
ROZDZIAŁ 1. CIĄGI LICZBOWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Ciąg liczbowy i jego granica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Działania na ciągach i ich granicach. Symbole nieoznaczone . . . . . . . . . . . . .
1.3. Warunki zbieżności ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Liczba e = 2, 718281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
137
145
147
150
151
85
85
87
88
91
91
91
92
93
95
95
95
Spis treści
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
7
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ekonomiczna interpretacja liczby e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
153
154
159
159
160
ROZDZIAŁ 2. SZEREGI LICZBOWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Szereg liczbowy i jego suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Kryteria zbieżności szeregu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
161
162
166
167
168
CZĘŚĆ IV. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ
ZMIENNEJ I FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH . . . . . . . . . . . . . . .
171
ROZDZIAŁ 1. POJĘCIE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Funkcja, dziedzina, przeciwdziedzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Funkcje różnowartościowe i odwrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Własności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Warunki istnienia granicy. Rachunek granic niewłaściwych . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Ciągłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Własności funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
171
173
178
180
188
190
193
196
197
198
ROZDZIAŁ 2. POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Różniczka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Twierdzenia Rolle’a, Lagrange’a i Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Twierdzenie de l’Hospitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Ekstrema funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Wklęsłość i wypukłość. Punkt przegięcia. Tempo zmian wartości funkcji .
2.7. Asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Badanie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
200
206
207
210
212
216
219
220
228
229
231
8
Spis treści
ROZDZIAŁ 3. EKONOMICZNA INTERPRETACJA POCHODNEJ FUNKCJI
JEDNEJ ZMIENNEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Tempo wzrostu funkcji i jego interpretacja ekonomiczna . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Interpretacja ekonomiczna pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Ekonomiczny sens elastyczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Badanie funkcji ekonomicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Krzywa (funkcja) logistyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
235
236
246
253
254
255
258
264
269
269
270
ROZDZIAŁ 4. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Określenie funkcji dwóch zmiennych i wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Granica funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Ciągłość funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Różniczkowalność funkcji. Różniczka zupełna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Ekstremum funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Formy liniowe i kwadratowe dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11. Zastosowanie funkcji dwóch zmiennych w ekonomii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15. Optymalizacja przy warunkach w postaci równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16. Ekstremum warunkowe funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.19. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
273
276
280
281
285
286
286
292
293
294
295
300
300
301
301
303
314
314
315
ROZDZIAŁ 5. FUNKCJE TRZECH I WIELU ZMIENNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Funkcje trzech zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Formy liniowe i kwadratowe trzech zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Pochodne cząstkowe i różniczki funkcji trzech zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Ekstremum funkcji trzech zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Ekstremum warunkowe funkcji trzech zmiennych (warunki wystarczające)
318
318
319
320
325
329
Spis treści
9
5.6. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. Funkcje n zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10. Ekstremum funkcji n zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11. Ekstremum warunkowe funkcji n zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15. Funkcje jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.16. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.17. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.18. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CZĘŚĆ V. RACHUNEK CAŁKOWY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
332
333
334
336
342
343
346
346
347
349
354
355
355
357
ROZDZIAŁ 1. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ
ZMIENNEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Całkowanie przez części i podstawianie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Całkowanie funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Całka oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Całki niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Zastosowania geometryczne i fizyczne całek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
357
357
359
361
364
368
372
377
377
377
ROZDZIAŁ 2. EKONOMICZNE ZASTOSOWANIA RACHUNKU
CAŁKOWEGO FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Ekonomiczne zastosowania całek nieoznaczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ekonomiczne zastosowania całek oznaczonych i niewłaściwych . . . . . . . . . . .
2.3. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379
379
381
392
392
393
CZĘŚĆ VI. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE . . . . . . . . . . .
397
ROZDZIAŁ 1. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU . . . . . . .
1.1. Przykłady zagadnień ekonomicznych prowadzących do równań
różniczkowych pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Ogólna teoria równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu . . . . .
1.3. Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
397
397
403
406
10
1.4.
1.5.
1.6
1.7
1.8
Spis treści
Równania Bernoulli’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Równanie różniczkowe zupełne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
410
412
415
415
417
ROZDZIAŁ 2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE DRUGIEGO RZĘDU . . . . . . . . . .
2.1. Ekonomiczne zagadnienia prowadzące do równań różniczkowych drugiego
rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu sprowadzalne do równań
różniczkowych pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach
2.5. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
419
423
423
428
438
438
439
CZĘŚĆ VII. RÓWNANIA RÓŻNICOWE PIERWSZEGO RZĘDU
I ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ . . . . . . . . . . . . . . . . .
441
ROZDZIAŁ 1. RÓWNANIA RÓŻNICOWE PIERWSZEGO RZĘDU . . . . . . . . . .
1.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Równania różnicowe pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Modele ekonomiczne rynku dla jednego dobra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
441
441
442
446
446
446
446
449
450
450
ROZDZIAŁ 2. ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Procenty i ich zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Uwagi wstępne o oprocentowaniu i dyskontowaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Rachunek odsetkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Oprocentowanie składane — przyszła wartość pieniądza.
Oprocentowanie ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Obecna wartość pieniądza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
451
451
452
452
453
453
453
419
457
461
463
Spis treści
11
2.10. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
464
464
DODATEK. GEOMETRIA ANALITYCZNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
465
1.
2.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
5.
5.1.
5.2.
5.3.
Układ współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wektory w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Płaszczyzna w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prosta na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linia prosta w przestrzeni trójwymiarowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
465
469
474
483
483
484
484
486
486
487
487
495
495
497
LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
499
SKOROWIDZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
500
MATEMATYKA DLA EKONOMISTÓW. STRESZCZENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . .
503
MATHEMATICS FOR ECONOMISTS. SUMMARY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
504
Przedmowa
Niniejszy podręcznik jest przeznaczony dla studentów Wyższej Szkoły
Handlu i Prawa w Warszawie i dostosowany do wykładów i ćwiczeń
z przedmiotu matematyka oraz zastosowań matematyki w ekonomii, prowadzonych na studiach licencjackich i magisterskich. Mogą również z niego
z powodzeniem korzystać studenci kierunków ekonomicznych uniwersytetów, Szkoły Głównej Handlowej, kierunków ekonomicznych innych wyższych uczelni oraz osoby interesujące się zastosowaniami matematyki w ekonomii. Podręcznik składa się z siedmiu części.
W części pierwszej podano zwięźle podstawowe pojęcia teorii zbiorów,
relacje oraz odwzorowania niezbędne do zrozumienia pozostałej części materiału.
Druga część jest poświęcona algebrze liniowej. Przedstawiono w niej
teorię macierzy, wyznaczników, układów równań liniowych oraz ich zastosowanie w ekonomii do badania równowagi rynku oraz analizy dochodu
narodowego. Zaprezentowano również podstawowe pojęcia przestrzeni wektorowej oraz niezbędne informacje o wektorach w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej.
Część trzecia zawiera teorię ciągów i szeregów liczbowych wraz z ekonomiczną interpretacją liczby e.
W części czwartej zaprezentowano podstawy teoretyczne rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej. Jeden rozdział tej części poświęcono
zastosowaniu rachunku różniczkowego w ekonomii; zawiera on dużo przykładów z zakresu zarządzania, handlu i marketingu. W części tej zawarto
również wykład z zakresu funkcji dwóch, trzech i wielu zmiennych wraz z ich
zastosowaniami w ekonomii.
W części piątej omówiono rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
oraz ekonomiczne zastosowanie rachunku całkowego.
Część szósta jest poświęcona równaniom różniczkowym zwyczajnym
pierwszego i drugiego rzędu oraz ich zastosowaniom w zagadnieniach ekonomicznych.
Część siódma dotyczy równań różnicowych pierwszego rzędu oraz elementów matematyki finansowej.
Wykład jest zwięzły i ścisły, symbolika i abstrakcja wprowadzane stopniowo, a związek pojęć matematycznych z zastosowaniami ilustrują liczne
przykłady o narastającym stopniu trudności. Koncepcja metodyczna podręcznika — łączenie zagadnień teoretycznych z rozwijaniem sprawności
w rozwiązywaniu zadań i problemów doskonale sprawdza się w praktyce.
Kierując się tą zasadą w każdym rozdziale zawarto zwięzłe informacje teo-
14
Przedmowa
retyczne (definicje, twierdzenia, dowody twierdzeń, wzory), a także szczegółowe rozwiązania licznychPrzedmowa
przykładów, zadania ilustrujące wprowadzane
14
pojęcia i zastosowania poznanych twierdzeń oraz liczne przykłady z zakresu
zastosowań
ekonomii.
retyczne
(definicje,matematyki
twierdzenia,wdowody
twierdzeń, wzory), a także szczeKażdy rozdział
zawiera
na końcu
pytania
kontrolne
oraz zadania do
gółowe rozwiązania
licznych
przykładów,
zadania
ilustrujące
wprowadzane
W podręczniku
znajdują
się również
odpowiedzi
pojęciasamodzielnego
i zastosowaniarozwiązania.
poznanych twierdzeń
oraz liczne
przykłady
z zakresu
do wszystkich
zadań.
Definicje, twierdzenia, wnioski, uwagi oraz przykłady
zastosowań
matematyki
w ekonomii.
i wzory
są oznaczone
numerami,
z których
pierwszydo
oznacza
Każdy
rozdział
zawiera podwójnymi
na końcu pytania
kontrolne
oraz zadania
numer rozdziału,
a drugi
jest kolejnym
numerem
twierdzenia bądź
samodzielnego
rozwiązania.
W podręczniku
znajdują
się definicji,
również odpowiedzi
uwagi, przykładu
względnie
wzoru w danym
rozdziale.
do wszystkich
zadań. Definicje,
twierdzenia,
wnioski,
uwagi oraz przykłady
dodatku
umieszczononumerami,
podstawowe
pojęcia pierwszy
geometriioznacza
analitycznej
Dodatkupodwójnymi
i wzory sąWoznaczone
z których
z zagadnieniami
prostej definicji,
na płaszczyźnie,
prostej
numerwraz
rozdziału,
a drugi jestdotyczącymi
kolejnym numerem
twierdzenia
bądźw przeoraz względnie
płaszczyzny
w przestrzeni.
pojęcia zilustrowano
uwagi,strzeni
przykładu
wzoru
w danym Wyprowadzone
rozdziale.
przykładowymi
zadaniamipojęcia
oraz zadaniami
rozwiązania.
Wrysunkami,
dodatku umieszczono
podstawowe
geometriidoanalitycznej
Składam serdeczne
podziękowania
dr. J. Plochowi,
mgr.
K. Banawraz z zagadnieniami
dotyczącymi
prostej na płaszczyźnie,
prostej
w przedr. P. Kacprzykowi,
mgr.Wyprowadzone
W. Nalepie, mgr.
W.zilustrowano
Matuszewskiemu,
strzenichowi,
oraz płaszczyzny
w przestrzeni.
pojęcia
mgr R.
Perkowskiej, mgr
R. Pruszyńskiej
za wiele
cennych uwag dotycząrysunkami,
przykładowymi
zadaniami
oraz zadaniami
do rozwiązania.
cych treści
zawartych
w podręczniku,
Składam
serdeczne
podziękowania
dr. co
J. pozwoliło
Plochowi,znacznie
mgr. K.ulepszyć
Bana- tekst.
chowi, dr. P. Kacprzykowi, mgr. W. Nalepie, mgr. W. Matuszewskiemu,
mgr R. Perkowskiej, mgr R. Pruszyńskiej za wiele cennych uwag dotyczących treści
zawartych
w podręczniku,
pozwoliło
znacznie ulepszyć tekst.
Warszawa,
Boernerowo,
styczeńco2010
r.
Jerzy Gawinecki
Warszawa, Boernerowo, styczeń 2010 r.
Jerzy Gawinecki