Ekstrema lokalne i punkty otwartości funkcji ciągłej.

Transkrypt

Ekstrema lokalne i punkty otwarto±ci funkcji ci¡gªej
Julia Wódka
Politechnika ódzka, Instytut Matematyki
Konopnica, maj 2016
Julia Wódka
Plan
Wspóªautorzy
Omawiane wyniki zostaªy uzyskane w pracy M. Balcerzak, M.
Popªawski, J. Wódka, Local extrema and nonopenness points for
continuous functions, wysªanej do Amer. Math. Monthly.
Julia Wódka
Plan
Wspóªautorzy
Omawiane wyniki zostaªy uzyskane w pracy M. Balcerzak, M.
Popªawski, J. Wódka, Local extrema and nonopenness points for
continuous functions, wysªanej do Amer. Math. Monthly.
1
2
3
4
Punkty otwarto±ci
Wszystkie drogi prowadz¡ do Rzymu
Zbiór ekstremów ci¡gªej funkcji f : [0, 1] → R
Problemy otwarte
Julia Wódka
Punkty otwarto±ci
Niech X oraz Y b¦d¡ przestrzeniami topologicznymi.
Denicja
Powiemy, »e odwzorowanie f : X → Y jest otwarte w punkcie
x ∈ X je»eli f (x) ∈ intf [U] dla dowolnego otoczenia U punktu x .
Powiemy, »e odwzorowanie f jest otwarte je»eli jest otwarte
w ka»dym punkcie x ∈ X .
Julia Wódka
Punkty otwarto±ci
Denicja
Odwzorowanie jest otwarte je»eli obraz zbioru otwartego jest
otwarty.
Julia Wódka
Punkty otwarto±ci
Denicja
otwarty.
Zbiór punktów otwarto±ci funkcji f : X → Y oznacza¢ b¦dziemy
symbolem Op(f ).
Julia Wódka
Punkty otwarto±ci
Denicja
otwarty.
Zbiór punktów otwarto±ci funkcji f : X → Y oznacza¢ b¦dziemy
symbolem Op(f ).
Uwaga
Denicja otwarto±ci kojarzy si¦ w sposób naturalny z denicj¡
ci¡gªo±ci. Jednak»e istniej¡ przykªady funkcji ci¡gªych, które nie s¡
otwarte i vice-versa.
Julia Wódka
Niektóre wyniki
Twierdzenie
Niech X i Y b¦d¡ przestrzeniami metrycznymi a f : X → Y funkcj¡
ci¡gª¡. Zbiór Op(f ) jest typu Gδ .
Szkic dowodu
T
S
Op(f ) = ε>0 δ>0 Aεδ , gdzie
Aεδ := {x ∈ X : B(f (x), δ) ⊂ f [B(x, ε)]}.
Je»eli f jest ci¡gªa, to Aεδ ⊂ intA2ε δ .
2
⊂ ε∈Q+ δ>0 intA2ε δ =
2
T
S
T
S
ε∈Q+ δ>0 intAεδ ⊂ ε∈Q+ δ>0 Aεδ .
T
ε∈Q+
S
δ>0 Aεδ
T
S
Julia Wódka
Punkty otwarto±ci funkcji ci¡gªej
Niech Y = R. atwo wida¢, »e je»eli punkt x jest ekstremum
funkcji f (x ∈ Extr f ), to odwzorowanie f nie jest otwarte w x .
Julia Wódka
Punkty otwarto±ci funkcji ci¡gªej
Niech Y = R. atwo wida¢, »e je»eli punkt x jest ekstremum
funkcji f (x ∈ Extr f ), to odwzorowanie f nie jest otwarte w x .
Prawdziwe jest ogólniejsze twierdzenie.
Twierdzenie
Zaªó»my, »e X jest przestrzeni¡ lokalnie zwart¡ oraz funkcja
f : X → R jest ci¡gªa. Niech x ∈ X . Nast¦puj¡ce warunki s¡
równowa»ne:
1 x jest ekstremum lokalnym funkcji f ;
2
odwzorowanie f nie jest otwarte w x .
Przestrze« lokalnie zwarta
Przestrze« topologiczna X jest lokalnie zwarta je»eli dla dowolnego
x ∈ X oraz dowolnego otoczenia U punktu x istnieje zwarty zbiór
E ⊂ U speªniaj¡cy warunek x ∈ intE .
Julia Wódka
Historia
Na sesji problemowej w czasie 34th Winter School in Abstract
Analysis (stycze« 2006) M.R. Wójcik zapytaª, czy zbiór
Extr(f ) mo»e by¢ równy [0, 1] dla funkcji f : [0, 1] → R, która
jest ci¡gªa, ale nie staªa.
Julia Wódka
Historia
W 2008 roku S. Geschke udowodniª, »e zbiór ekstremów
lokalnych nigdzie niestaªej funkcji ci¡gªej f : [0, 1] → R jest
zawsze I kategorii, cho¢ mo»e by¢ peªnej miary.
Julia Wódka
Historia
W 2008 roku S. Geschke udowodniª, »e zbiór ekstremów
lokalnych nigdzie niestaªej funkcji ci¡gªej f : [0, 1] → R jest
zawsze I kategorii, cho¢ mo»e by¢ peªnej miary.
W 2007 roku E. Behrends, S. Geschke, T. Natkaniec
pokazali, »e ka»da ci¡gªa funkcja f : X → R speªniaj¡ca
warunek Extr(f ) = X jest staªa je»eli zachodzi który±
z warunków:
X jest spójn¡ i o±rodkow¡ przestrzen¡ metryczn¡;
X jest spójn¡ i o±rodkow¡ liniowo uporz¡dkowan¡ przestrzeni¡
topologiczn¡;
X jest spójn¡, lokalnie spójn¡ i zupeªn¡ przestrzeni¡ metryczn¡.
Julia Wódka
Nowy
problem
Problem
Co mo»na powiedzia¢ o zbiorze ekstremów ci¡gªej funkcji
f : [0, 1] → R?
Oczywi±cie dla f : [0, 1] → R zbiór Extr f jest typu Fσ .
Julia Wódka
Nowy
problem
Problem
Co mo»na powiedzia¢ o zbiorze ekstremów ci¡gªej funkcji
f : [0, 1] → R?
Oczywi±cie dla f : [0, 1] → R zbiór Extr f jest typu Fσ .
Naturalnie nasuwa si¦ pytanie:
Pytanie
Niech A ⊂ [0, 1] b¦dzie zbiorem typu Fσ . Czy istnieje ci¡gªa funkcja
f : [0, 1] → R, dla której Extr f = A?
Julia Wódka
Odpowied¹ na pytanie
Twierdzenie
Dla »adnej funkcji ci¡gªej f : [0, 1] → R zbiór Extr(f ) nie jest:
(i) dopeªnieniem niepustego zbioru przeliczalnego;
(ii) nigdzie g¦stym niepustym zbiorem doskonaªym.
Szkic dowodu
Obraz f [Extr(f )] jest zawsze zbiorem przeliczalnym.
Przypu±¢my, »e [0, 1] \ A = Extr f .
Przypu±¢my, »e D = Extr(f ), wówczas D jest przeliczaln¡
sum¡ domkni¦tych zbiorów Dy := f −1 [{y }] ∩ D , gdzie
y ∈ f [Extr(f )]. Istnieje takie y , »e zbiór Dy zawiera niepust¡
porcj¦ zbioru D , tj. podzbiór D postaci D ∩ (a, b). Rozwa»my
spójn¡ skªadow¡ (c, d) ⊂ (a, b) zbioru R \ D . Skoro f (x) = y
dla dowolnego x ∈ Dy , to f (c) = y = f (d) ma ekstremum
lokalne w pewnym punkcie przedziaªu (c, d). Sprzeczno±¢.
Julia Wódka
Ekstrema niewªa±ciwe
Rozró»nia¢ b¦dziemy dwa rodzaje ekstremów niewªa±ciwych funkcji
ci¡gªej f : [0, 1] → R: punkty nale»¡ce do przedziaªów staªo±ci
funkcji f (b¦dziemy je nazywa¢ c -ekstremami) oraz pozostaªe
punkty.
Przykªady
Rozwa»amy funkcj¦ dziaªaj¡c¡ z przedziaªu [0, 1] w R.
Zdeniujmy
(
f (x) :=
0,
dla x ∈ [0, 1/2],
(x − 1/2) sin(1/(x − 1/2)), dla x ∈ (1/2, 1].
Maj¡c klasyczny zbiór Cantora C , rozwa»my funkcj¦
g (x) = d(x, C ), gdzie d jest odlegªo±ci¡ punktu od zbioru C .
Julia Wódka
Zbiór Extrc (f
)
Twierdzenie
Je»eli f : [0, 1] → R jest monotoniczn¡ funkcj¡ ci¡gª¡, to Extrc (f )
jest przeliczaln¡ sum¡ parami rozª¡cznych niepustych przedziaªów
S
In . Odwrotnie, je»eli A := n In , dla przeliczalnej rodziny parami
rozª¡cznych domkni¦tych niezdegenerowanych przedziaªów
In ⊂ [0, 1], to istnieje niemalej¡ca funkcja ci¡gªa f : [0, 1] → R, dla
której Extrc (f ) = A.
Julia Wódka
Lemat
Lemat
S
Je»eli B = n Jn , gdzie Jn to otwarte przedziaªy zawarte
w J := [α, β] oraz dist(Jm , Jn ) > 0 dla dowolnych m 6= n, to zbiór
W := J \ B jest nieprzeliczalny (precyzyjniej, jest mocy
continuum).
Julia Wódka
Lemat
Lemat
S
Je»eli B = n Jn , gdzie Jn to otwarte przedziaªy zawarte
w J := [α, β] oraz dist(Jm , Jn ) > 0 dla dowolnych m 6= n, to zbiór
W := J \ B jest nieprzeliczalny (precyzyjniej, jest mocy
continuum). Zamiast przedziaªów otwartych mo»na rozwa»a¢ te»
przedziaªy domkni¦te.
Szkic dowodu
- oczywi±cie W zawiera przedziaª.
intW = ∅- konstruujemy zbiór Cantora.
intW 6= ∅
Julia Wódka
Szkic dowodu ⇐"
Niech F := cl([0, 1] \ A) oraz bd F = P ∪ E .
Je»eli P = ∅, zdeniujmy g (x) := 0 dla x ∈ [0, 1]. Gdy P 6= ∅,
to P jest zbiorem typu Cantora, wi¦c mo»emy rozwa»y¢ ci¡gª¡
niemalej¡c¡ funkcj¦ g dziaªaj¡c¡ z przedziaªu [a, b] na [0, 1],
gdzie a := min P and b := max P .
Niech h(x) := λ(F ∩ [0, x]) dla x ∈ [0, 1], gdzie λ jest miar¡
Lebesgue'a na R.
Zauwa»my, »e f := g + h jest ci¡gªa, monotoniczna oraz staªa
na domkni¦ciu ka»dej skªadowej spójno±ci zbioru [0, 1] \ F ,
wi¦c zbiór Extrc f rozª¡cznych przedziaªów domkni¦tych.
Julia Wódka
Problem otwarty
Problem
Scharakteryzowa¢ rodzin¦ zbiorów, które mog¡ by¢ zbiorem
ekstremów funkcji ci¡gª¦j f : [0, 1] → R.
Julia Wódka
A.V. Arhangel'skii, Some metrization theorems, Uspehi Mat. Nauk,
18 (1963), no. 5 (113), 139145 (in Russian).
E. Behrends, S. Geschke, T. Natkaniec, Functions for which all
points are local extrema, Real Anal. Exchange 33 (2007/2008).
A. Bella, J.J. Charatonik, A. Villani, Many continuous functions
have many proper local extrema, J. Math. Anal. Appl. 154, (1991),
558571.
W.G. Bloch, Open discontinuous maps from Rn onto Rn , Amer.
Math. Monthly 122 (2015), 268271.
F.S. Cater, Functions with preassigned local maximum points, Rocky
Mountain J. Math. 15 (1985), 215217.
V. Drobot, M. Morayne, Continuous functions with a dense set of
proper local maxima, Amer. Math. Monthly 92 (1985), 209211.
R. Engelking, General Topology, PWN, Warsaw 1977.
Julia Wódka
A. Fedeli, A. Le Donne, On metric spaces and local extrema,
Topology Appl. 156 (2009), 21962199.
S. Geschke, Functions with many local extrema, KURENAI (Kioto
University Research Information Repository) (2008), 1619: 43-47;
URL: http://hdl.handle.net/2433/140207
L. Holá, A.K. Mirmostafaee, Z. Piotrowski, Points of openness and
closedness of some mappings, Banach J. Math. Anal. 9 (2015),
243252.
V. Kelar, On strict local extrema of dierentiable functions, Real
Anal. Exchange 6 (1980-1981), 242244.
E.E. Posey, J.E. Vaughan, Functions with a proper local maximum in
each interval, Amer. Math. Monthly 90 (1983), 281282.
A. Schoenies, Die Entwickelung der Lehre von den
Punktmanningfaltigkeiten, Bericht, esrstattet der Deutschen
Mathematiker-Vereinigung, 1900.
Z. Zalcwasser, Sur le fonctions de Kepcke, Prace Mat. Fiz. 35
(1927-1928), 5799.
Julia Wódka
Thank you for your attention
Julia Wódka

Ekstrema lokalne i punkty otwartości funkcji ciągłej.

Transkrypt

Podobne dokumenty

Seria 7. 1. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji (może sie okazać, że

Wódka korzenna

Butelka 0,75 l - 35 pln WÓDKI Wódka Wyborowa 0,5 l

Julia musi umrzeć wg Romea i Julii Williama

BIULETYN CTTM

Kliknij aby pobrać dokument w formacie PDF

Wino, piwo, wódka oraz inne wyborne specjały