Różne rodzaje stabilności rozwiązań na przestrzeniach czasowych

Różne rodzaje stabilności rozwiązań na przestrzeniach czasowych

Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Wydział Matematyki i Informatyki
Różne rodzaje stabilności rozwiązań
na przestrzeniach czasowych
Sebastian Ruszkowski
nr albumu: 219871
Toruń, 2010
Spis treści
Wstęp
1 Przestrzenie czasowe
1.1 Funkcje skoku i klasyfikacja punków
1.2 ∆-pochodna . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Całkowanie . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
3
3
4
5
5
2 Równania ∆-różniczkowe
2.1 Układy nieliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Układy liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
8
9
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Stabilność na przestrzeniach czasowych
3.1 Stabilność w sensie Lapunowa . . . . . .
3.2 Stabilność wykładnicza . . . . . . . . . .
3.3 Stabilność orbitalna . . . . . . . . . . .
3.4 Stabilność w sensie Lagrange’a . . . . .
3.5 Porównanie stabilności . . . . . . . . . .
3.6 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
11
11
12
12
13
A x∆ = f1 (t, x) czy x∆ = f2 (t, x, x◦σ)?
14
B Rozwiązania zadań
16
Bibliografia
21
1
Wstęp
Celem tej pracy jest zdefiniowanie i omówienie różnych rodzajów stabilności rozwiązań równań
∆-różniczkowych (na przestrzeniach czasowych).
W rozdziale 1 zaczynam od wprowadzenia podstawowych własności przestrzeni czasowych,
rachunku różniczkowego (czy też ściślej: ∆-różniczkowego) i całkowego na tych przestrzeniach.
Następnie w rozdziale 2 przedstawiam elementy teorii równań ∆-różniczkowych. Znajdują się tu
pewne dokonane przeze mnie uogólnienia teorii nieliniowej.
Ostatni i zarazem kluczowy rozdział 3 pracy jest w większości autorski. Stabilności, które
pojawiają się w tym rozdziale, są przeniesieniem na przestrzenie czasowe definicji z [2]. Zakładam
również, że czytelnik zna podstawy teorii równań różniczkowych zwyczajnych, dzięki czemu naturalne staną się metody postępowania przeniesione właśnie z teorii stabilności w sensie Lapunowa
dla równań różniczkowych.
Do każdej części prezentuję również zestaw ułożonych przez siebie zadań wraz z rozwiązaniami.
2
Rozdział 1
Przestrzenie czasowe
Przestrzenią czasową (Time scale) nazwiemy dowolny domknięty podzbiór liczb rzeczyRb
wistych R oznaczany T. Zdefiniujemy w tym rozdziale pojęcia ∆-pochodnej f ∆ i całki a f (t)∆t
dla funkcji f : T → X o wartościach w przestrzeni Banacha (zazwyczaj będziemy brali X = Rn
lub X = R), oraz podstawowe własności tych pojęć. Posłuży nam to w następnym rozdziale do
rozważania równań ∆-różniczkowych, które są unifikacją równań różniczkowych na R i równań
różnicowych na Z, oraz uogólnieniem na innych przestrzeniach czasowych.
1.1
Funkcje skoku i klasyfikacja punków
Podstawowymi funkcjami opisującymi przestrzeń T są funkcje skoku σ, ρ : T → T i µ : T → R,
określone w następujący sposób:
Definicja 1.1.1.
• σ(t) = inf{s ∈ T : s > t}
(forward jump operator)
funkcja następnika / funkcja skoku przedniego
• ρ(t) = sup{s ∈ T : s < t}
(backward jump operator)
funkcja poprzednika / funkcja skoku wstecznego
• µ(t) = σ(t) − t
funkcja ziarnistości (graininess function)
gdzie na potrzeby definicji przyjmiemy odpowiednio: inf ∅ = sup T i sup ∅ = inf T.1
Dzięki takiemu przyjęciu wartości na ekstremach T, funkcja następnika jest niemalejąca i funkcja
poprzednika jest nierosnąca.
Każdy punkt t ∈ T ma charakteryzację poprzez funkcje skoku.
Definicja 1.1.2.
Punkt t jest:
• lewostronnie gęsty (left dense) jeżeli ρ(t) = t > inf T
• prawostronnie gęsty (right dense) jeżeli σ(t) = t < sup T
• lewostronnie izolowany (left scattered) jeżeli ρ(t) < t
• prawostronnie izolowany (right scattered) jeżeli σ(t) > t
• gęsty (dense) jeżeli jest jednocześnie lewo- i prawostronnie gęsty
• izolowany (isolated) jeżeli jednocześnie lewo- i prawostronnie izolowany
1 Oznacza
to, że jeżeli T osiąga swój kres górny (dolny), to funkcje następnika (poprzednika) nie byłaby określona
na całym T jedynie przy pomocy definicji kresowej i trzeba ją rozszerzyć na kresie, przyjmując σ(sup T) = sup T
(ρ(inf T) = inf T).
3
4
Rozdział 1. Przestrzenie czasowe
Przykład 1.1.1.
Podstawowymi przykładami przestrzeni czasowych są R i Z:
a) dla T = R, mamy: σ(t) = ρ(t) = t, µ(t) = 0, wszystkie punkty są gęste
b) dla T = Z, mamy: σ(t) = t + 1, ρ(t) = t − 1, µ(t) = 1, wszystkie punkty są izolowane
1.2
∆-pochodna
Celem uzależnienia ∆-pochodnej od własności T użyjemy funkcji następnika.
Definicja 1.2.1.
∆-pochodną funkcji f : T → X w punkcie t nazwiemy liczbę f ∆ (t) o własności:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀s∈B(t,δ)∩T kf (σ(t)) − f (s) − f ∆ (t)(σ(t) − s)k ≤ ε|σ(t) − s|
Zauważmy, że jeżeli T jest ograniczony z góry i tM = sup T = max T jest punktem lewostronnie izolowanym, to dla każdej wartości f ∆ (tM ) powyższy warunek jest spełniony niezależnie od
funkcji f.
Ta niejednoznaczność jest przyczyną rozpatrywania różniczkowalności jedynie na zbiorze Tκ
określonym następująco:
(
i
T \ ρ(sup T), sup T sup T < ∞
κ
T =
T
sup T = ∞
Warto zauważyć, że dla punktów t nie będących supremum T, można znaleźć na tyle małe
sąsiedztwo (lub nawet otoczenie jeżeli t jest prawostronnie izolowany) punktu t, aby dla s z tego
sąsiedztwa σ(t) 6= s i wtedy:
f (σ(t)) − f (s)
f ∆ (t) = lim T
s→t
σ(t) − s
Spostrzeżenie to prowadzi natychmiast do wniosku, że:
• jeżeli za T przyjmiemy R, to: f ∆ (t) = f 0 (t) (klasyczna pochodna)
• jeżeli za T przyjmiemy Z, to: f ∆ (t) = ∆f (t) (przyrost różnicowy)
lub też ogólniej:
• jeżeli t = σ(t) i funkcja f jest ciągła w t, to: f ∆ (t) = lims→t
f σ(t) −f t
• jeżeli t 6= σ(t) (i f ciągła w t), to: f ∆ (t) =
µ(t)
f (t)−f (s)
t−s
Dodatkowo ∆-pochodna posiada wiele podobnych własności do standardowej pochodnej. Opisuje
to dokładniej poniższe twierdzenie:
Twierdzenie 1.2.1.
Jeśli f i g są w punkcie t ∈ T różniczkowalne, to:
a) (αf + βg)∆ (t) = αf ∆ (t) + βg ∆ (t)
b) X = R ⇒ (f · g)∆ (t) = f ∆ (t)g(σ(t)) + f (t)g ∆ (t) = f ∆ (t)g(t) + f (σ(t))g ∆ (t)
c) jeżeli dodatkowo X = R i g(t)g(σ(t)) 6= 0 to:
∆
f
f ∆ (t)g(t) + f (t)g ∆ (t)
f ∆ (t)g(σ(t)) + f (σ(t))g ∆ (t)
(t) =
=
g
g(t)g(σ(t))
g(t)g(σ(t))
Dowód tego twierdzenia przebiega prawie identycznie jak w dowodzie standardowych własności
pochodnej na R (patrz [1, Th. 1.20, str 8]).
1.3. Całkowanie
1.3
5
Całkowanie
Sposób w jaki uzyskamy pojęcie całki jest to tak zwane podejście Newtona–Leibniza. W tym
celu potrzebujemy kilku definicji wstępnych.
Definicja 1.3.1.
Funkcją pierwotną funkcji f na zbiorze D ⊂ T nazwiemy ciągłą funkcję F : T → X taką,
że ∀t∈D F ∆ (t) = f (t)
Definicja 1.3.2.
Funkcję f nazwiemy pg-ciągłą jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje
skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych, oznaczamy to: f ∈ Cpg
Twierdzenie 1.3.1.
Dla każdej funkcji f pg-ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna F na Tκ . Na dodatek F jest
wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.
(patrz [1, Th. 1.74, str 27])
Powyższe twierdzenie pozwala nam zdefiniować całkę dla funkcji pg-ciągłych
Zt
def
f (x)∆x := F (t) − F (t0 )
t0
Twierdzenie 1.3.2.
Własności całki:
Rb
Rb
Rb
a) a αf (t) + βg(t)∆t = α a f (t)∆t + β a g(t)∆t
R σ(t)
b) t
f (τ )∆τ = f (t)µ(t)
Rb
Rb
c) [a, b] ⊂ T ⇒ a f (t)∆t = a f (t)dt
Rb
Ra
d) a f (t)∆t = − b f (t)∆t
Rb
Rc
Rb
e) a f (t)∆t = a f (t)∆t + c f (t)∆t
R
R
b
b
f ) a f (t)∆t 6 a kf (t)k∆t
R
R
b
b
g) dla X = R mamy również: |f (t)| 6 g(t) ⇒ a f (t)∆t 6 a g(t)∆t
(patrz [1, Th. 1.75,1.77 str 28])
1.4
Zadania
Zadanie 1.1.
Znaleźć funkcje skoku i charakteryzację punktów przestrzeni
1
: n ∈ Z \ {0} ∪ {0}
T=
n
Zadanie 1.2.
2
S Zbadać ∆-różniczkowalność oraz dwukrotną ∆-różniczkowalność funkcji f (t) = t na T =
n∈Z [2n, 2n + 1], oraz wskazać ∆-pochodną i drugą ∆-pochodną.
Zadanie 1.3.
Policzyć na T = 1 −
1
n
: n ∈ N+ ∪ [1, 3] całkę:
Z e
1
∆t
1
t
2
Rozdział 2
Równania ∆-różniczkowe
Równania ∆-różniczkowe są uogólnieniem równań różniczkowych i różnicowych. Podaję tutaj moją definicję równania ∆-różniczkowego, będącą próbą unifikacji i rozszerzenia pojęcia z
różnych zagadnień, chociaż zazwyczaj rozpatruje się nieco uproszczoną wersję definicji równania
∆-różniczkowego (x∆ (t) = f (t, x(t))). Dyskusję na ile jest to ogólniejsze podejście przeprowadzimy w dodatku A.
2.1
Układy nieliniowe
Niezbędne będzie kilka pojęć wstępnych.
Definicja 2.1.1.
f : T × X2 → X jest:
a) pg-ciągła, jeżeli dla każdej funkcji ciągłej x : T → X funkcja ϕ(t) = f (t, x(t), x(σ(t))) jest
pg-ciągła
b) lipschitzowska na S ⊂ (T × X × X), jeżeli
∃L>0 ∀(t,x1 ,y1 ),(t,x2 ,y2 )∈S kf (t, x1 , y1 ) − f (t, x2 , y2 )k 6 L · max{kx1 − x2 k, ky1 − y2 k}
Definicja 2.1.2.
Równaniem ∆-różniczkowym zwyczajnym nazywamy:
∆
x = f (t, x, x ◦ σ)
x(t0 ) = x0
gdzie f : T × X2 → X jest pg-ciągła.
Niech B(x0 , b) kulą w X o promieniu b i Ia = (t0 − a, t0 + a) ∩ T.
Twierdzenie 2.1.1 (Istnienie i jednoznaczność rozwiązań).
Jeżeli f : T × X2 → X jest pg-ciągła, lipschitzowska na (Ia × B(x0 , b)2 ) (ze stałą L > 0)
i ograniczona przez M , wtedy układ:
∆
x (t) = f (t, x(t), x(σ(t)))
x(t0 ) = x0
b 1−ε
ma dokładnie jedno rozwiązanie na J = [t0 − α, t0 + α] ∩ T, gdzie α = min{a, M
, L }
Dowód. Skorzystamy z twierdzenia Banacha dla kontrakcji.
Dla ułatwienia zapisu przyjmujemy, że x(σ(max(t ∈ J))) = x(max(t ∈ J)).
Dla C(D, Y) = {g : D → Y : g jest ciągłe} z normą sup zadamy odwzorowanie funkcji:
ψ : C(J, B(x0 , b)) → C(J, X)
6
2.1. Układy nieliniowe
7
Z
t
ψ(x)(t) = x0 +
f (t, x(t), x(σ(t)))∆s
t0
sprawdźmy, czy spełnione są założenia tw. Banacha.
Z t
f (t, x(t), x(σ(t)))∆s
kψ(x)(t) − x0 k = 6 |t − t0 |M 6 αM 6 b
t0
więc ψ(C(J, B(x0 , b))) ⊂ C(J, B(x0 , b)).
Korzystając z twierdzenia 1.3.2a,f,g oraz kx − yk > kx ◦ σ − y ◦ σk otrzymujemy ciąg szacowań:
Z t
f (s, x(s), x(σ(s))) − f (s, y(s), y(σ(s)))∆s
kψ(x) − ψ(y)k = sup 6
t∈J
Z
t0
t
kf (s, x(s), x(σ(s))) − f (s, y(s), y(σ(s)))k∆s 6
6 sup
t∈J
t0
Z t
L · max{kx(s) − y(s)k, kx ◦ σ(s) − y ◦ σ(s)k}∆s 6
6 sup
t∈J
t0
Z t
L · max{kx − yk, kx ◦ σ − y ◦ σk}∆s =
6 sup
t∈J
t0
= sup |t − t0 |Lkx − yk 6 αLkx − yk 6
t∈J
6 (1 − ε)kx − yk
więc jest to kontrakcja.
Spełnione są założenia tw. Banacha. Otrzymujemy więc istnienie dokładnie jednego rozwiązania równania x = ψ(x), a tym samym dokładnie jedno rozwiązanie układu początkowego.
Twierdzenie 2.1.2 (Globalne istnienie i jednoznaczność rozwiązań).
Jeżeli f : T×X2 → X jest pg-ciągła i dla każdego punktu (t, x) ∈ (T × X) istnieje jego otoczenie
(S × B(x, bx )) ⊂ (T × X) takie, że na (S × B(x, bx )2 ) f jest ograniczona i lipschitzowska ze stałą
Lt,x > 0 spełniającą warunek Lt,x µ(t) < 1 ∧ Lt,x (t − ρ(t)) < 1, wtedy układ:
∆
x (t) = f (t, x(t), x(σ(t)))
x(t0 ) = x0
ma dokładnie jedno nierozszerzalne rozwiązanie na maksymalnym przedziale istnienia Imax , który
jest otwarty w T.
Lemat 2.1.2.1.
Niech X będzie przestrzenią Banacha, y ∈ X i ϕ(x) : X → X będzie zwężające. Wtedy istnieje
dokładnie jedno rozwiązanie x ∈ X równania:
y = (id + ϕ)(x)
(*)
Dowód. (Lematu)
Rozważmy odwzorowanie g(x) := y − ϕ(x). Dla x, z ∈ X mamy:
kg(x) − g(z)k = ky − y + ϕ(z) − ϕ(x)k 6 λkz − xk
więc g jest zwężające, a stąd z twierdzenia Banacha istnieje dokładnie jedno rozwiązanie równania:
x = g(x) = y − ϕ(x), które można zapisać również jako (*).
Dowód. (Twierdzenia o globalnym istnieniu i jednoznaczności rozwiązań)
Pokażemy najpierw, że z założeń i x(t) = y wynika istnienie i jednoznaczność rozwiązań w ρ(t)
dla t lewostronnie izolowanego i σ(t) dla t prawostronnie izolowanego.
x(σ(t)) = x(t) + µ(t)x∆ (t) = y + µ(t)f (t, y, x(σ(t)))
więc (id − µ(t)f (t, y, · ))(x(σ(t))) = y.
Rozdział 2. Równania ∆-różniczkowe
8
Odwzorowanie −µ(t)f (t, y, · ) jest zwężające ponieważ µ(t0 )Lt,x < 1, więc podstawiając ϕ :=
−µ(t)f (t, y, · ), x := x(σ(t)), y := y do (*) otrzymujemy z lematu istnienie i jednoznaczność
rozwiązania w x(σ(t)).
Analogicznie postępujemy z ρ(t):
y = x(t) = x(ρ(t)) + µ(ρ(t))x∆ (ρ(t)) = x(ρ(t)) + µ(ρ(t))f (t, x(ρ(t)), x(σ(ρ(t)))) =
= x(ρ(t)) + µ(ρ(t))f (t, x(ρ(t)), y)
więc (id + µ(t)f (t, ·, y))(x(ρ(t))) = y, co z Lematu daje istnienie i jednoznaczność rozwiązania w
x(ρ(t)).
Teraz możemy przejść do właściwej części twierdzenia.
Z twierdzenia 2.1.1 wiemy, że istnieje lokalne rozwiązanie. Rozszerzmy je teraz w lewo i prawo
tak długo jak to możliwe uzyskując nierozszerzalne rozwiązanie x1 . Gdyby x1 było określony na
t1 sup = sup{t ∈ T; x1 (t) określone} prawostronnie gęstego otrzymujemy możliwość rozszerzenia
z tw. 2.1.1, a dla t1 sup prawostronnie izolowanego możemy rozszerzyć na jego następnik z pierszej
części dowodu. Analogicznie rozumując dla t1 inf = inf{t ∈ T; x1 (t) określone} otrzymujemy, że
I1 max = (t1 inf , t1 sup ) ∩ T, a więc jest otwarte w T.
Załóżmy nie wprost, że znajdziemy inne nierozszerzalne rozwiązanie x2 na I2 max . Z domkniętości T oraz ciągłości x1 i x2 wiemy, że zbiór {t ∈ T; x1 (t) = x2 (t)} jest domknięty w I1 max ∩I2 max .
Załóżmy teraz, że różnica pojawia się na lewo od t0 . Z domkniętości {t ∈ T; x1 (t) = x2 (t)}
wiemy, że w punkcie s := sup{t ∈ T; t < t0 ∧ x1 (t) 6= x2 (t)} obie funkcje są równe. Jeżeli s jest
lewostronnie gęsty to na podstawie twierdzenia 2.1.1 otrzymujemy jednoznaczność rozwiązania
na jakimś otoczeniu s, a tym samym równość x1 i x2 , co jest sprzeczne z definicją tego punktu.
Jeżeli zaś s jest lewostronnie izolowany to z pierwszej części dowodu uzyskujemy jednoznaczność
rozwiązania dla ρ(s), co również przeczy definicji s.
Analogiczne rozumowanie dla różnicy między x1 a x2 dla jakiegoś t > t0 również prowadzi do
sprzeczności. Otrzymujemy więc jednoznaczność rozwiązania nierozszerzalnego.
2.2
Układy liniowe
Definicja 2.2.1.
Przekształcenie cylindryczne definiujemy dla h > 0 i z ∈ C następująco:
1
h Log(1 + zh) dla h > 0
ξh (z) :=
z
dla h = 0
Przekształcenie cylindryczne ma swoje podłoże ideologiczne w uogólnionych liczbach zespolonych
(patrz [1, podrozdział 2.1]).
Łatwo zauważyć, że ξh (− h1 , ∞) = R
Definicja 2.2.2.
Uogólniona funkcja exponenta dla funkcji p : T → R:
Z t
ep (t, s) := exp
ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ
s
wprost z definicji
Twierdzenie 2.2.1.
Jeżeli ∀t∈T 1 + µ(t)p(t) > 0 to ∀t,t0 ∈T ep (t, t0 ) > 0.
Twierdzenie 2.2.2.
Niech p : T → R spełnia warunki: p ∈ Cpg , ∀t∈Tκ 1 + µ(t)p(t) 6= 0, wtedy dla ustalonego t0
uogólniona funkcja exponenta ep (·, t0 ) jest rozwiązaniem układu:
∆
x (t) = p(t)x(t)
x(t0 ) = 1
(patrz [1, Th. 2.33, str 59])
2.3. Zadania
2.3
9
Zadania
Zadanie 2.1.
Dla T = [0, 1] ∪ N znaleźć rozwiązanie układu:
 ∆
 x1 (t) = πx2 (t)
x∆ (t) = −πx1 (σ(t))
 2
x1 (0) = 0, x2 (0) = 1
Zadanie 2.2. S
Dla T = Z∪ k∈Z {k+1/n : n ∈ N+ } zbadać w zależności od parametru a czy zagwarantowane
jest istnienie rozwiązania na mocy twierdzenia 2.1.2 dla równania:
x∆ (t) =
√
1
+ a3 · x(σ(t))
2
a + x (t)
Zadanie 2.3.
Dla T = 2n2 : n ∈ Z znaleźć e−1 (t, 0).
Rozdział 3
Stabilność na przestrzeniach
czasowych
W tym rozdziale rozpatrywać będziemy równania ∆-różniczkowe postaci:
x∆ (t) = f (t, x(t), x(σ(t)))
2n
(3.1)
gdzie sup(T) = ∞ oraz f : T × R → R jest pg-ciągła i dla każdego punktu (t, x) ∈ (T × Rn )
istnieje jego otoczenie (S × B(x, bx )) ⊂ (T × Rn ) takie, że na (S × B(x, bx )2 ) f jest ograniczona
i lipschitzowska ze stałą Lt,x > 0 spełniającą warunek
Lt,x µ(t) < 1 ∧ Lt,x (t − ρ(t)) < 1.
Z twierdzenia 2.1.2 wiemy, że układ (3.1) ma dla dowolnego punktu t0 ∈ T, x0 ∈ Rn dokładnie
jedno nierozszerzalne rozwiązanie przechodzące przez ten punkt.
+
Odtąd przyjmujemy oznaczenie: I = [t0 , ∞) ∩ T
3.1
n
Stabilność w sensie Lapunowa
Definicja 3.1.1.
Mówimy, że rozwiązanie χ przechodzące przez (t0 , x0 ) układu (3.1) jest stabilne w sensie
Lapunowa jeżeli:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈B(x0 ,δ) ∀t∈I+ kχ(t) − η(t0 ,x) (t)k < ε
gdzie η(t0 ,x) jest rozwiązaniem układu (3.1) przechodzącym przez (t0 , x).
Z definicji wynika w szczególności, że η(t0 ,x) są nieograniczenie przedłużalne w prawo.
Jeżeli teraz przyjmiemy: y = x − χ to przez odpowiednie podstawienia otrzymujemy:
y ∆ (t) = f (t, (y + χ)(t), (y + χ)(σ(t))) − f (t, χ(t), χ(σ(t)))
(3.2)
Nowy układ (3.2) spełnia wszystkie założenia twierdzenia 2.1.2 i nazywamy go układem zredukowanym. Ma on rozwiązanie stałe równe 0 (które nazywa się rozwiązaniem trywialnym)
odpowiadające rozwiązaniu χ(t) w wyjściowym układzie (3.1).
Widzimy więc, że w tej teorii wystarczy rozpatrywać układ zredukowany (3.2) z rozwiązaniem
trywialnym.
W miejscach, w których będzie można przeprowadzić podobne rozumowanie sprowadzające
badanie stabilności rozwiązania układu (3.1) do rozwiązania trywialnego układu zredukowanego
będę opisywał już w układzie (3.2).
Definicja 3.1.2.
Mówimy, że rozwiązanie trywialne układu zredukowanego jest asymptotycznie stabilne
w sensie Lapunowa (lub w skrócie asymptotycznie stabilne) o ile jest ono stabilne w sensie
Lapunowa oraz:
∃δ>0 ∀x∈B(0,δ) lim y(t0 ,x) (t) = 0
t→∞
gdzie y(t0 ,x) jest rozwiązaniem przechodzącym przez (t0 , x).
10
3.2. Stabilność wykładnicza
11
Definicja 3.1.3.
Mówimy, że rozwiązanie trywialne układu zredukowanego jest globalnie asymptotycznie
stabilne (w sensie Lapunowa) o ile jest ono stabilne w sensie Lapunowa oraz:
∀(s,x)∈(T,Rn ) lim x(s,x) (t) = 0
t→∞
Z definicji widzimy, że jest to zawężenie pojęcia stabilności asymptotycznej oraz, że jest to
bardziej własność całego układu niż konkretnego rozwiązania rozwiązania.
3.2
Stabilność wykładnicza
Definicja 3.2.1.
Mówimy, że rozwiązanie trywialne układu zredukowanego jest stabilne wykładniczo o ile
jest stabilne w sensie Lapunowa oraz:
∃h,N,α>0 (∀t∈T 1 − µ(t)α > 0) ∧ ∀(t0 ,x0 )∈(T,Bn (0,h)) ∀t∈I+ kx(t0 ,x0 ) (t)k ≤ N kx0 ke−α (t, t0 )
gdzie x(t0 ,x0 ) jest rozwiązaniem przechodzącym przez (t0 , x0 ).
Z definicji exponenta otrzymujemy, że dla y(t) := e−α (t, t0 ) mamy:
Rt
∀s∈T ξµ(s) (−α) < 0, więc dla t > t0 mamy t0 ξµ(τ ) (−α)∆τ < 0, więc y(t) jest malejąca, co
w połączeniu z tw.2.2.1 daje istnienie granicy:
limt→∞ y(t) =: a > 0
Z twierdzenia 2.2.2 otrzymujemy więc:
0 = limt→∞ 0 = limt→∞ (y ∆ (t) + αy(t)) = αa + limt→∞ y ∆ (t)
gdyby a > 0 to limt→∞ y ∆ (t) < 0, a stąd limt→∞ y(t) = −∞.
Powyższa sprzeczność dowodzi, że limt→∞ e−α (t, t0 ) = 0
Widzimy więc, że stabilność wykładnicza jest zawężeniem pojęcia stabilności asymptotycznej.
Mówi jednak dodatkowo jak szybko rozwiązania z otoczenia zbliżają się do rozwiązania stabilnego.
Powyższe ograniczenie zostało dobrane naturalnie do asymptotyki rozwiązania układu liniowego.
Analogicznie można wprowadzić pojęcie globalnej stabilności wykładniczej, nie ograniczając
po prostu doboru x0 :
Definicja 3.2.2.
Mówimy, że rozwiązanie trywialne układu zredukowanego jest globalnie stabilne wykładniczo o ile:
∃N,α>0 (∀t∈T 1 − µ(t)α > 0) ∧ ∀(t0 ,x0 )∈(T,Rn ) ∀t∈I+ kx(t0 ,x0 ) (t)k ≤ N kx0 ke−α (t, t0 )
Jest to naturalne połączenie dwóch podanych wcześniej ograniczeń.
O tym jak bardzo globalne jest to pojęcie oraz, że wcale nie jest niewykonalne, może świadczyć
chociażby poniższe twierdzenie:
Twierdzenie 3.2.1.
Jeżeli na T = R rozwiązanie trywialne układu liniowego jednorodnego jest asymptotycznie stabilne, to wszystkie rozwiązania tego układu są globalnie stabilne wykładniczo. (patrz [2, str. 294])
3.3
Stabilność orbitalna
Definicja 3.3.1.
Mówimy, że rozwiązanie x układu jest stabilne orbitalnie o ile:
∀ε>0,t0 ∃δ>0 ∀y0 ∈B(x0 ,δ) %(y(t0 ,y0 ) (t), Γ+
t0 ) < ε
gdzie y(t0 ,y0 ) jest jak zwykle rozwiązaniem przechodzącym przez (t0 , y0 ), a Γ+
t0 jest górną półtrajektorią rozwiązania x.
12
Rozdział 3. Stabilność na przestrzeniach czasowych
Z definicji widzimy, że jest to uogólnienie pojęcia stabilności w sensie Lapunowa oraz, że niestety do sprawdzania stabilności orbitalnej nie można rozpatrywać jedynie układu zredukowanego
(na którym jest ono równoważne stabilności w sensie Lapunowa).
Definicja 3.3.2.
Mówimy, że rozwiązanie x układu jest stabilne orbitalnie asymptotycznie o ile są stabilne
orbitalnie oraz:
lim %(y(t0 ,y0 ) (t), Γ+
t0 ) = 0
t→∞
gdzie
Γ+
t0
jest jak ostatnio górną półtrajektorią rozwiązania x.
Widzimy, że jest to uogólnienie pojęcia asymptotycznej stabilności w sensie Lapunowa.
Poniższy przykład dla T = R (zapisany dla ułatwienia we współrzędnych biegunowych)
pokazuje zasadność wprowadzania takiej definicji.
Przykład 3.3.1.
Okrąg jednostkowy jest górną półtrajektorią rozwiązania równania różniczkowego:
ṙ = r(1 − r)
α̇ = 1
Jest to rozwiązanie stabilne orbitalnie asymptotycznie, do której to trajektorii zbliżają się wszystkie rozwiązania za wyjątkiem zerowego. Nie jest to jednak rozwiązanie stabilne asymptotycznie
w sensie Lapunowa
3.4
Stabilność w sensie Lagrange’a
Definicja 3.4.1.
Mówimy, że układ jest stabilny w sensie Lagrange’a o ile:
∀(t0 ,x0 )∈(T,Rn ) ∃M ∈R ∀t∈I+ kx(t0 ,x0 ) (t)k < M
Warunek z definicji znaczy po prostu, że wszystkie rozwiązania są nieograniczenie przedłużalne
w prawo i są ograniczone.
Z definicji widzimy, że nie odnosi się to pojęcie do konkretnego rozwiązania a do całej przestrzeni
rozwiązań, tym samym nie jest to rozszerzenie ani zawężenie standardowej stabilności Lapunowa.
Nie wystarczy również rozpatrywać układu zredukowanego z rozwiązaniem trywialnym.
Twierdzenie 3.4.1.
Dla T = R układ jest stabilny w sensie Lagrange’a wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja
V (t, y) taka, że:
1. V (t, y) ≥ W (y), gdzie limkyk→∞ W (y) = ∞
2. dla każdego (t0 , x0 ) funkcja V (t, x(t0 ,x0 ) (t)) jest nierosnąca względem t
Powyższe twierdzenie mówi o funkcji podobnej (pod względem roli jaką pełni) do funkcją
Lapunowa. Nawet dowód "w prawo"można przeprowadzić analogicznie do twierdzenia Lapunowa
(patrz [2, str. 324]).
Tutaj również dość często rozwiązaniem jest drobna modyfikacja funkcji: kxk2 .
3.5
Porównanie stabilności
W ramach porównania zamieszczam diagram ilustrujący zależności zachodzące między różnymi
rodzajami stabilności.
Rodzaj stabilności położony w diagramie poniżej innej i połączony z nią linią - implikuje
powyższą.
Linia falowana przy stabilności w sensie Lagrange’a odnosi się do spostrzeżenia, że jeżeli istnieje ograniczone rozwiązanie orbitalnie globalnie asymptotycznie stabilne, to układ jest stabilny
w sensie Lagrange’a.
3.6. Zadania
3.6
13
Zadania
Zadanie 3.1.
Dla T = R zbadać równanie:
ẋ = y(x2 + y 2 )
ẏ = −x(x2 + y 2 )
ze względu na wszystkie wymienione w tym rozdziale stabilności.
Zadanie 3.2.
Dla T = R oraz a, b 6 0 znaleźć funkcję V z twierdzenia warunkującego stabilność Lagrange’a
dla układu:
ẋ = y + ax(1 − x2 − y 2 )
ẏ = −x + by(1 − x2 − y 2 )
Dodatek A
x∆ = f1(t, x) czy x∆ = f2(t, x, x◦σ)?
Definicje oraz założenia twierdzeń w rozdziale 2 odnośnie teorii nieliniowej zostały tak dobrane, aby x∆ = f1 (t, x)(*) ze standardowej teorii równań ∆-różniczkowych było szczególnym
przypadkiem x∆ = f2 (t, x, x◦σ)(**).
Naturalnym wydaje się pytanie: czy takie uogólnienie wnosi coś do teorii?
Dzięki założeniom wiemy, że z równania (**) można uzależnić x ◦ σ od x i tym samym po
podstawieniu sprowadzić równanie (**) do postaci (*). Jest to jednak często równoznaczne ze
znalezieniem rozwiązania równania (**).
Dla t prawostronnie gęstych mamy x(t) = x ◦ σ(t), co nie musi zachodzić w punktach prawostronnie izolowanych. Ta różnica daje nam udogodnienie w zapisie funkcji.
Dodatkowo w odniesieniu do założeń o lipschitzowości już najprostsze przykłady uwidaczniają
przewagę równania (**).
Przykład A.1.
Rozpatrzmy równanie przy założeniu ∀t∈T µ(t) < 2 oraz ∃t1 ∈T µ(t1 ) > 1:
x∆ (t) =
x(σ(t))
2
możemy je zapisać kolejno:
(
(
(
x∆ (t) =
x∆ (t) =
x(σ(t))−x(t)
= x(σ(t))
µ(t)
2
x∆ (t) = x(t)
2
dla µ(t) > 0
dla µ(t) = 0
x(σ(t))(1 − µ(t)
2 ) = x(t) dla µ(t) > 0
x∆ (t) = x(t)
dla µ(t) = 0
2
x(σ(t))−x(t)
µ(t)
x(t)
2−0
=
x(t)
2
µ(t) ( 2−µ(t)
− 1) =
x(t)
2−µ(t)
dla µ(t) > 0
dla µ(t) = 0
x∆ (t) =
x(t)
2 − µ(t)
1
lewa strona tej równości ma stałą Lipschitza Lt,x = 2−µ(t)
, więc Lt1 ,x µ(t1 ) =
równanie w tej postaci nie spełnia założeń twierdzenia 2.1.2.
µ(t1 )
2−µ(t1 )
>1
Niestety nie zawsze równanie w postaci (**) jest lepsze od (*).
Następny przykład pokaże zaburzenie lipschitzowości prawej strony mimo, że po sprowadzeniu do
postaci (*) mamy lipschitzowość, na dodatek spełniającą założenia twierdzenia 2.1.2.
Przykład A.2.
Rozpatrzmy równanie dla µ 6
1
2
i X = R:
x∆ (t) =
p
|x(t)x(σ(t))|
14
15
postępując jak w poprzednim przykładzie:
(
p
x(σ(t))−x(t)
|x(t)x(σ(t))| dla µ(t) > 0
µ(t) p =
∆
dla µ(t) = 0
x (t) = |x(t)x(t)|
p
p
x(σ(t)) − |x(σ(t))|µ(t) |x(t)| − x(t) = 0
x∆ (t) = |x(t)|
dla µ(t) > 0
dla µ(t) = 0
x(σ(t)) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x(t) = 0. p
Załóżmy więc, że x(σ(t)) 6= 0. Wtedy podstawiając y := |x(σ(t))|, pierwszą z równości można
zapisać w postaci równania kwadratowego:
p
y 2 sgn (x(σ(t))) − y µ(t) |x(t)| − x(t) = 0
teraz policzymy pierwiastki równania kwadratowego:
∆ = µ2 (t)|x(t)| + 4x(t)sgn (x(σ(t)))
aby ∆ była nieujemna: sgn (x(σ(t))) = sgn (x(t)) =: s i wtedy:
∆ = |x(t)|(µ2 (t) +
√ 4)
p
µ(t)± µ2 (t)+4
y = |x(t)|
2s
uwzględniając to, że y > 0 mamy:
p
p
µ2 (t) + 4 + sµ(t)
y = |x(t)|
2
p
p
µ2 (t) + 4 + 2sµ(t) µ2 (t) + 4 + µ(t)2
µ2 (t) + 2 + sµ(t) µ2 (t) + 4
x(σ(t)) = sy 2 = s|x(t)|
=
x(t)
22
2
s
p
2
2
2 (t) + 4
µ
(t)
+
2
−
2
+
sµ(t)
µ
µ(t)
x(σ(t))
−
x(t)
x(t)µ(t)
∆
x (t) =
= x(t)
=
+ |x(t)|
+1
µ(t)
2µ(t)
2
2
r czyli funkcja lipschitzowska ze stałą Lt =

µ(t)
µ(s)Lt = µ(s) 
+
2
µ(t)
2
+
µ(t)
2
2
+ 1, co daje:



s
s 2
2
µ(t)
1
1
1
+ 1 6  +
+ 1 < 1
2
2 4
4
Dodatek B
Rozwiązania zadań
Rozdział 1
1.1
Z definicji 1.1.1 mamy:
σ(1) = σ(sup T) = sup T = 1
σ(0) = inf{s ∈ T : s > 0} = inf{ n1 : n ∈ N} = 0
Dla t = 1/n gdzie n ∈ N \ {1} mamy:
1
1
1
1
t
n
σ(t) = n−1
= ( 1 )−1
= 1−n 1 = 1−t
−1 1
n
n
n
Dla t = −1/n gdzie n ∈ N mamy:
1
1
−n
1
n
σ(t) = − n+1
= ( 1 )−1
−1 +1 1 = 1−(− 1 ) =
n
n
n
t
1−t
otrzymujemy
więc ostatecznie wzór:
t
t
6= 1
1−t
σ(t) =
1
t=1
a stąd:
t2
1−t
t 6= 1
0
t=1
Analogicznie otrzymujemy kolejno:
ρ(−1) = −1
σ(0) = sup{s ∈ T : s < 0} = sup{− n1 : n ∈ N} = 0
µ(t) = σ(t) − t =
1
t ∈ {1/n : n ∈ N \ {1} } ⇒ ρ(t) = − n−1
=
1
−1
1 −1
(n
) −1
1
1
n
1
n
=
1
−n
1
1− n
=
t
1+t
1
t
1
n
n
= ( 1 )−1
t ∈ {−1/n : n ∈ N } ⇒ ρ(t) = n+1
1 =
1 = 1+t
+1 n
1− n
n
t
t 6= −1
1+t
ρ(t) =
−1 t = −1
Na podstawie powyższych wyników, z definicji 1.1.2 wnioskujemy, że: 0 jest punktem gęstym,
1 – lewostronnie izolowanym, −1 – prawostronnie izolowanym, a pozostałe punkty t ∈ T są
izolowane.
1.2
Z twierdzenia 1.2.1b otrzymujemy:
f ∆ (t) = (t · t)∆ = t∆ t + σ(t)t∆ = t + σ(t)
funkcja t + σ(t) jako nieciągła w punktach {2n + 1 : n ∈ Z} nie jest tam różniczkowalna, a w pozostałych punktach z T przyjmuje postać 2t, więc ∆-pochodna to 2.
Podsumowując:
16
17
S
2t
t ∈ n∈Z [2n, 2n + 1)
2t + 1 t ∈ {2n + 1 : n ∈ Z}
S
2
t ∈ n∈Z [2n, 2n + 1)
∆∆
f (t) =
nie istnieje t ∈ {2n + 1 : n ∈ Z}
f ∆ (t) =
1.3
Korzystając z twierdzenia 1.3.2e,b,c otrzymujemy kolejno:
Z
2
1
2
1
∆t =
t
=
Z
1
1
2
1
∆t +
t
∞
X
1
1−
n=2
1
n
2
Z
1
1
∆t =
t
X
t∈T∩[ 12 ,1)
1
µ(t) +
t
Z
2
1
1
dt =
t
1
1
1−
− (1 − ) + ln(t)|e1 =
n+1
n
∞
X
1
n
1
+1−0=
+1=
n
−
1
n(n
+
1)
(n
−
1)(n
+ 1)
n=2
n=2
∞
X
1
1
1 1 1
7
1
=
−
+1=
+
+1=
2
n
−
1
n
+
1
2
1
2
4
n=2
=
∞
X
Rozdział 2
2.1
Policzmy rozwiązanie najpierw dla t ∈ [0, 1].
Możemy zapisać wtedy równanie, które jest już różniczkowe:

 x˙1 (t) = πx2 (t)
x˙2 (t) = −πx1 (t)

x1 (0) = 0, x2 (0) = 1
co ma rozwiązanie: (x1 (t), x2 (t)) = (sin(πt), cos(πt))
Zajmiemy się teraz x1 .
Z ciągłości funkcji wiemy, że:
∆
∆
x1 (2) = x1 (σ(1)) = x∆
1 (1)µ(1) + x1 (1) = x1 (1) = limt→1 x1 (t) = −π
podstawiając aby uzyskać równanie jedynie z x1 :
 ∆∆
 x1 (t) = π 2 x1 (σ(t))
x1 (1) = 0

x1 (2) = −π
można zapisać:
∆
2
2
0 =(x∆
1 (σ(t)) − x1 (t))/1 − π x1 (σ(t)) = (x1 (σ(σ(t))) − 2x1 (σ(t)) + x1 (t)) − π x1 (σ(t)) =
= x1 (σ(σ(t))) − (2 + π 2 )x1 (σ(t)) + x1 (t)
co jest równaniem rekurencyjnym i można rozwiązać poprzez wielomian charakterystyczny:
0 = λ2 − (2 + π 2 )λ + 1
λ1,2
√
2 + π2 ± π 4 + π2
=
2
po uwzględnieniu warunku początkowego dla n = 1 i n = 2 otrzymujemy:
∀n∈N+
√
√
n−1
n−1
2 + π2 − π 4 + π2
− 2 + π2 + π 4 + π2
√
x1 (n) =
2n−1 4 − π 2
18
Dodatek B. Rozwiązania zadań
znając x1 można obliczyć x2
x∆
x1 (n + 1) − x1 (n)
1 (n)
=
=
π
1·π
√
√
√
√
n−1
n−1
− (π + 4 + π 2 ) 2 + π 2 + π 4 + π 2
(π − 4 + π 2 ) 2 + π 2 − π 4 + π 2
√
=
2n 4 − π 2
x2 (n) =
2.2
W mianowniku pojawia się wyrażenie a + x2 (t), więc z dowolności x mamy warunek a > 0.
√
√
a + x22 − a − x21 √
1
1
3y −
3y 6 + a3 (y1 − y2 ) =
+
a
−
a
1
2
2
2
2
a + x2
a + x2
(a + x1 )(a + x2 )
1
√
√
x2 + x1
x2 + x1
|x1 − x2 | + a3 |y1 − y2 | 6 + a3 max{|x1 − x2 |, |y1 − y2 |}
= (a + x2 )(a + x2 ) (a + x21 )(a + x22 ) 1
2
Stąd w celu wyznaczenia
stałej lipschitza naszej funkcji wystarczy policzyć stałą lipschitza funkcji
√
1
3.
i
dodać
a
a+x2
0
1
−2x
=
a + x2
(a + x2 )2
0
−2x
2(3x2 − a)
=
(a + x2 )2
(a + x2 )3
√
więc pochodna przyjmuje ekstrema w ±
3a
3
√
2 3a 3
Lx = =
(a + a3 )2 r
3
4a
!3
więc
r
L=
biorąc b =
√
a3 mamy:
3
4a
!3
√
+
a3
√
L=
33
+b
23 b
funkcja nie zależy od czasu, więc wystarczy:
√
0 > L sup{µ(t) : t ∈ T} − 1 =
33
+b
3
2 b
!
1
−1=
2
więc licząc pierwiastki otrzymujemy warunek na b:

v
v
u
u
√ !3
u
u
3

t
b ∈ 1 − 1 −
, 1 + t1 −
2
√
33 + 23 b2 − 24 b
24 b

√ !3
3


2
czyli równanie spełnia założenia twierdzenia 2.1.2 wtedy i tylko wtedy gdy:
v
 v
 
u
u
v
v
!3 2 u
!3 2
u
u
u
√
√
u
u
u
3
3
3 
3 
 u
 
u
t1 −
u
t1 −
a∈
1
−
,
1
+



 
t
t


2
2
19
2.3
dla t = n2 mamy:
µ(t) = 2(n + 1)2 − t = 2 (t/2)1/2 + 1 − t = (2t)1/2 + 2
Z twierdzenia 2.2.2 mamy dla y(t) := e−1 (t, 0):
y(t) = −y ∆ (t) = −
y(σ(t)) − y(t)
y(σ(t)) − y(t)
=−
µ(t)
(2t)1/2 + 2
stąd:
y(t)((2t)1/2 + 2 − 1) = −y(σ(t))
więc:
y(σ(t)) = −y(t)((2t)1/2 + 1)
i rekurencyjnie powtarzając otrzymujemy:
(t/2)1/2 −1
e−1 (t, 0) =
Y
−(2k + 1) = (−1)(t/2)
1/2
((2t)1/2 − 1)!!
k=0
gdzie symbol n!! oznacza iloczyn co drugich liczb aż do n.
Rozdział 3
3.1
Układ ma rozwiązanie stacjonarne (0, 0) oraz rozwiązania okresowe
(r sin(r2 (t − t0 ) + α), r cos(r2 (t − t0 ) + α)).
Jako rozwiązania okresowe (i stacjonarne) wszystkie rozwiązania są ograniczone (i nieskończenie przedłużalne), tym samym układ jest stabilny w sensie Lagrange’a.
Ponieważ wszystkie rozwiązania są okresowe (bądź stacjonarne), żadne rozwiązanie nie może
zbiegać do innego, a tym samym nie ma stabilności orbitalnej asymptotycznej, ani tym bardziej
żadnej stabilności, będącej jej zawężeniem.
Wszystkie rozwiązania pozostają w stałej odległości od (0, 0), więc rozwiązanie stacjonarne
(0, 0) jest stabilne w sensie Lapunowa.
Ustalając punkt x0 = (r sin(α), r cos(α)) (dla r > 0) oraz ε takie, że 2r > ε > 0, otrzymujemy:
π
π
) − x(x0 r+δ ,t0 ) (t0 +
)k =
2
r
2rδ + δ
2rδ + δ 2
π
π
= k(r sin(r2 ((t0 +
) − t0 )α) − (r + δ) sin((r + δ)2 ((t0 +
) − t0 ) + α),
2rδ + δ 2
2rδ + δ 2
π
π
r cos(r2 ((t0 +
) − t0 )α) − (r + δ) cos((r + δ)2 ((t0 +
) − t0 )α))k =
2rδ + δ 2
2rδ + δ 2
πr2
πr2
= k(r sin(
+
α)
−
(r
+
δ)
sin(π
+
+ α),
2rδ + δ 2
2rδ + δ 2
πr2
πr2
r cos(
+
α)
−
(r
+
δ)
cos(π
+
+ α))k =
2rδ + δ 2
2rδ + δ 2
πr2
πr2
= k((2r + δ) sin(
+ α), (2r + δ) cos(π +
+ α))k = 2r + δ > ε
2
2rδ + δ
2rδ + δ 2
∀δ>0 kx(x0 ,t0 ) (t0 +
a tym samym rozwiązania niestacjonarne nie są stabilne w sensie Lapunowa.
Rozwiązania tworzą jednak okręgi o wspólnym środku, więc ustalając rozwiązanie x oraz
t0 ∈ R2 otrzymujemy: ∀y0 %(y(t0 ,y0 ) (t), Γ+
t0 ) = constant, więc każde rozwiązanie jest stabilne
orbitalnie.
3.2
20
Dodatek B. Rozwiązania zadań
Sprawdźmy, że funkcja: V (t, (x, y)) = k(x, y)k2 χ{(x,y); 1−x2 −y2 <0} spełnia założenia twierdzenia.
Dla (x(t), y(t)) ∈ {(x, y); 1 − x2 − y 2 = 0} otrzymujemy trajektorie okresowe.
Dla rozwiązania (x(t), y(t)) powyższego układu policzmy pochodną V̇ (t, (x(t), y(t))) po t dla
(x(t), y(t)) ∈ {(x, y); 1 − x2 − y 2 < 0}:
V̇ (t, (x(t), y(t))) = 2x(t)ẋ(t) + 2y(t)ẏ(t) =
= 2(x(t)(y(t) + ax(t)(1 − x2 (t) − y 2 (t))) + y(t)(−x(t) + by(1 − x2 (t) − y 2 (t))) =
= 2(ax2 (t) + by 2 (t))(1 − x2 (t) − y 2 (t)) 6 0
więc jest nierosnąca wzdłuż rozwiązania.
Naturalnie limkzk→∞ V (t, z) = ∞, więc V spełnia założenia twierdzenia.
Bibliografia
[1] M. Bohner, A. Peterson, Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications, Birkhäuser, 2001
[2] B. P. Demidowicz, Matematyczna teoria stabilności, WNT, 1972
21