Czwórniki i filtry

ROZDZIAŁ IV: Czwórniki
Temat 14 : Klasyfikacja czwórników. Poj cia podstawowe.
Czwórnikiem (dwuwrotnikiem) nazywamy układ maj cy cztery zaciski, a
ci le dwie pary uporz dkowanych zacisków.
Dla czwórnika musi by spełniony warunek
I1 = I `1
I 2 = I `2
Rys.14.1. Symbol graficzny czwórnika w postaci tzw. „czarnej skrzynki”.
Jedn par zacisków nazywamy wej ciem, a drug wyj ciem. Wielko ci
zwi zane z wej ciem opatrujemy wska nikiem 1, a wielko ci zwi zane z
wyj ciem – wska nikiem 2. Przewa nie do wej cia doprowadzone jest
ródło energii, a na wyj ciu doł czony jest element odbiorczy.
Je eli wszystkie elementy wchodz ce w skład struktury czwórnika s
liniowe, to taki czwórnik nazywamy czwórnikiem liniowym. Je eli
czwórniki zawiera chocia jeden element nieliniowy, zaliczamy go do
klasy czwórników nieliniowych.
Czwórnik nazywamy symetrycznym, je eli przy zamianie miejscami
wej cia z wyj ciem nie zmieni si rozpływ pr dów i rozkład napi w
obwodzie poza czwórnikiem, tzn. w obwodzie doł czonym do wej cia i w
obwodzie doł czonym do wyj cia.
Czwórniki dzielimy na odwracalne i nieodwracalne. Je eli do zacisków
wej ciowych czwórnika odwracalnego doprowadzimy idealne ródło
napi cia E, które w zwartym obwodzie wyj cia wywoła pr d I, to po
przeniesieniu tego ródła do wyj cia w zwartym obwodzie wej cia te
popłynie pr d I. Czwórnik, dla którego spełniony jest podany warunek,
zwany warunkiem odwracalno ci, nazywamy czwórnikiem odwracalnym.
Czwórniki dzielimy na pasywne i aktywne.
Czwórnik nazywamy pasywnym, je eli całkowita energia pobrana przez
elementy czwórnika przy doł czeniu do jego zacisków ródła energii, jest
nieujemna, tzn. dodatnia lub równa zeru.
Do chwili doł czenia ródła do zacisków czwórnika pasywnego pr d w
nim nie płynie. Czwórnik pasywny zbudowany jest np. z rezystorów,
cewek i kondensatorów.
Rys.14.2. Przykładowy schemat czwórnika pasywnego.
Czwórnik, który nie spełnia opisanego wymogu nazywamy czwórnikiem
aktywnym. Czwórnik aktywny charakteryzuje si tym, e w jego
schemacie zast pczym wyst puje ródło, sterowane b d niesterowane.
Tranzystor p-n-p w układzie wspólnej bazy mo e by przedstawiony za
pomoc
schematu zast pczego maj cego struktur
czwórnika
zawieraj cego ródło sterowane.
Rys.14.3. Tranzystor p-n-p o wspólnej bazie jako czwórnik aktywny: a) schemat;
b) schemat zast pczy ze ródłem pr du sterowanym pr dem emitera.
Równie tranzystor pracuj cy w układzie o wspólnym kolektorze i w
układzie o wspólnym emiterze maj schematy zast pcze zawieraj ce
ródła sterowane. Czwórniki pasywne s z reguły odwracalne, natomiast
czwórniki aktywne s przewa nie nieodwracalne.
Temat 15 : Schematy zast pcze czwórników.
Czwórniki, jako schematy zast pcze wielu urz dze , mo na
prawie zawsze przedstawi
za pomoc
trzech impedancji
tworz cych struktur jak na rysunku poni ej.
Z1
I1
Z2
I2
I’
U1
Y
Z
I1
U1
U’
Y1
U2
I2
Y2
U2
Rys.15.1. Czwórniki o schemacie: a) typu T; b) typu
.
Czwórnik przedstawiony na rys. 15.1a, nazywamy czwórnikiem
typu (kształtu) T, a czwórnik z rysunku 15.1b – czwórnikiem
typu
. Pierwszy z tych czwórników nazywany jest te
czwórnikiem gwiazdowym, gdy jego gał zie tworz gwiazd , a
drugi nazywany jest czwórnikiem trójk towym, gdy poł czenie
elementów odpowiada poł czeniu w trójk t.
W odniesieniu do gał zi wzdłu nych posługujemy si poj ciem
impedancji gał zi, a w odniesieniu do gał zi poprzecznej –
poj ciem admitancji.
Czwórnik typu T
- równanie bilansu napi
prawem Kirchhoffa
w oczku, zgodnie z drugim
U1 = U 2 + Z 2 I 2 + Z1I1
(1)
- równanie bilansu pr dów w w le, zgodnie z pierwszym
prawem Kirchhoffa
'
I1 = I 2 + I
(2)
Poniewa
I = Y U = Y (U 2 + Z 2 I 2 )
'
'
(3)
zatem po podstawieniu (3) do (2) otrzymujemy
I 1 = I 2 + Y (U 2 + Z 2 I 2 ) = Y U 2 + (1 + Z 2 Y )I 2
(4)
Podstawiamy do równania (1) pr d I 1 opisany równaniem (4) i w wyniku
przekształce otrzymamy:
U 1 = (1 + Z 1Y )U 2 + (Z 1 + Z 2 + Z 1 Z 2 Y )I 2
(5)
Równania (5) i (4) maj posta tak jak równania postaci ła cuchowej
prostej
U 1 = AU 2 + B I 2
I 1 = CU 2 + D I 2
a zatem z porównania tych układów równa mo na wywnioskowa , e dla
czwórników typu T:
A = 1 + Z 1Y
B = Z 1 + Z 2 + Z1 Z 2Y
C =Y
(6)
D = 1 + Z 2Y
Maj c zatem elementy gał zi tworz cych czwórnik typu T mo na
wyznaczy parametry ła cuchowe tego czwórnika:
AD − BC = (1 + Z 1Y )(1 + Z 2 Y ) − (Z 1 + Z 2 + Z 1 Z 2 Y )Y = 1 + Z 2 Y + Z 1Y +
2
2
+ Z 1 Z 2 Y − Z 1Y − Z 2 Y − Z 1 Z 2 Y = 1
Rozpatrywany czwórnik pasywny typu T jest wi c czwórnikiem
odwracalnym. Czwórnik jest symetryczny, je eli A = D . Z równa (6)
wynika, e warunek symetrii jest spełniony przy Z 1 = Z 2 . Patrz c na
schemat czwórnika typu T, w którym Z 1 = Z 2 jest oczywiste, e taki
czwórnik jest symetryczny i mo na zamieni wej cie z wyj ciem.
Czwórnik typu
- równanie bilansu napi
prawem Kirchhoffa
w oczku, zgodnie z drugim
U 1 = U 2 + Z (I 2 + Y 2 U 2 ) = (1 + Y 2 Z )U 2 + Z I 2
- równanie bilansu pr dów w w
prawem Kirchhoffa
(7)
le, zgodnie z pierwszym
I 1 = I 2 + Y 2 U 2 + Y 1U 1
(8)
Podstawiamy do równania (8) napi cie U 1 wyra one równaniem (7), w
rezultacie czego otrzymujemy
I 1 = I 2 + Y 2 U 2 + Y 1 [(1 + Y 2 Z )U 2 + Z I 2 ] = (Y 1 + Y 2 + Y 1 Y 2 Z )U 2 + (1 + Y 1 Z )I 2
Powy sze równania maj posta tak jak równania postaci ła cuchowej
prostej
U 1 = AU 2 + B I 2
I 1 = CU 2 + D I 2
a zatem, w wyniku porównania tych równa otrzymamy dla czwórnika
typu
A =1+ Y 2 Z
B=Z
C = Y 1 + Y 2 + Y 1Y 2 Z
D =1+ Y1Z
Sprawdzamy zale no
:
AD − BC = 1
AD − BC = (1 + Y 2 Z )(1 + Y 1 Z ) − Z (Y 1 + Y 2 + Y 1 Y 2 Z ) = 1 + Y 2 Z + Y 1 Z +
2
2
+ Y 1Y 2 Z − Y 1 Z − Y 2 Z − Y 1Y 2 Z = 1
Rozpatrywany czwórnik pasywny typu jest czwórnikiem odwracalnym.
Mo na jednoznacznie stwierdzi , e czwórnik typu jest symetryczny,
je li Y 1 = Y 2 .
Temat 16 : Poł czenia czwórników.
Rozró niamy trzy podstawowe układy poł cze czwórników:
- kaskadowe (ła cuchowe);
- równoległe;
- szeregowe.
Poł czeniem kaskadowym czwórników nazywamy takie poł czenie, przy
którym zaciski wyj ciowe pierwszego
czwórnika s przył czone do zacisków
wej ciowych drugiego czwórnika.
Rys.16.1. Poł czenie ła cuchowe dwóch
czwórników:
a) schemat; b) czwórnik równowa ny.
Je eli parametry ła cuchowe pierwszego czwórnika oznaczymy przez A1 , B1 ,
C 1 , D 1 , a parametry ła cuchowe drugiego czwórnika – przez A 2 , B2 , C 2 , D 2 ,
to parametry ła cuchowe czwórnika równowa nego obliczamy ze wzorów
A = A1 A 2 + B1 C 2
B = A1 B 2 + B1 D 2
C = C 1 A 2 + D1 C 2
D = C 1 B 2 + D1 D 2
Przy poł czeniu ła cuchowym dwóch czwórników symetrycznych, czwórnik
zast pczy nie jest symetryczny. Wniosek ten wynika z powy szych równa .
Je li bowiem A1 = D 1 oraz A 2 = D 2 , to jak wida A ≠ D , gdy B 1 C 2 nie
musi by równe C 1 B 2 .
Poł czeniem równoległym czwórników nazywamy takie poł czenie, przy
którym zaciski wyj ciowe pierwszego czwórnika
s
przył czone z zaciskami wej ciowymi
drugiego czwórnika, jak równie zaciski
wyj ciowe pierwszego czwórnika s poł czone z
zaciskami wyj ciowymi drugiego czwórnika.
Rys. 16.2. Poł czenie równoległe dwóch czwórników:
schemat; b) czwórnik równowa ny.
Je li parametry admitancyjne pierwszego czwórnika oznaczymy przez
Y '11 , Y '12 , Y '21 , Y '22 , a parametry admitancyjne drugiego czwórnika oznaczymy
przez Y ' '11 , Y ''12 , Y ' '21 , Y ' '22 , to parametry admitancyjne czwórnika wynosz
Y 11 = Y '11 +Y ' '11
Y 12 = Y '12 +Y ' '12
Y 21 = Y '21 +Y ' '21
Y 22 = Y '22 +Y ' '22
Poł czenie szeregowe czwórników zachodzi wtedy, gdy zacisk 1’ pierwszego
czwórnika jest poł czony z zaciskiem 1 drugiego
czwórnika, jak równie zacisk 2’ pierwszego
czwórnika jest poł czony z zaciskiem 2 drugiego
czwórnika.
Rys.16.3. Poł czenie szeregowe dwóch czwórników:
a) schemat; b) czwórnik równowa ny.
Je li parametry impedancyjne pierwszego czwórnika oznaczymy przez
Z '11 , Z '12 , Z '21 , Z '22 , a parametry impedancyjne drugiego czwórnika – przez
Z ' '11 , Z ''12 , Z ' '21 , Z ' '22 , to parametry impedancyjne czwórnika równowa nego
wynosz
Z 11 = Z '11 + Z ' '11
Z 12 = Z '12 + Z ' '12
Z 21 = Z '21 + Z ' '21
Z 22 = Z '22 + Z ' '22
Czwórniki mog te by ł czone w sposób mieszany, czyli na wej ciu
szeregowo na wyj ciu równolegle, lub odwrotnie – na wej ciu równolegle a na
wyj ciu szeregowo.
Temat 17 : Parametry czwórników.
Impedancja wej ciowa czwórnika – jest to stosunek napi cia
na wej ciu do pr du na wej ciu czwórnika.
W zale no ci od stanu pracy czwórnika mo emy wyznaczy
impedancj wej ciow czwórnika w stanie obci enia, w stanie
jałowym i w stanie zwarcia.
W stanie obci enia impedancj Z 0 mamy zale no ci
U 1 = AU 2 + B I 2
I 1 = CU 2 + D I 2
U2 = Z0I2
Podstawiaj c ostatni zale no do równa 1 i 2 otrzymamy
U 1 = AZ 0 I 2 + B I 2 = ( AZ 0 + B )I 2
I 1 = C Z 0 I 2 + D I 2 = (C Z 0 + D )I 2
Zgodnie z definicj , impedancja wej ciowa
Z we =
U 1 AZ 0 + B
=
I1 CZ 0 + D
Wynika st d, e impedancja wej ciowa czwórnika w stanie
obci enia zale y od impedancji obci enia Z 0 i parametrów
ła cuchowych A, B, C, D.
Impedancj
charakterystyczn
lub falow
czwórnika
symetrycznego nazywamy tak
impedancj
Z C , która
doł czona do zacisków wyj ciowych powoduje, e impedancja
wej ciowa czwórnika jest równa Z C .
Zgodnie ze wzorem impedancja wej ciowa Z we = U 1 , a wi c przy
I1
obci
eniu czwórnika symetrycznego impedancj Z C
Zatem
U 2 = ZC I2
U 1 = AU 2 + B
U2
B
= A+
U2
ZC
ZC
I 1 = C Z C I 2 + A I 2 = (C Z C + A)I 2
Zgodnie z definicj
B
U1
ZC U 2
=
⋅
I1 CZ C + A I 2
A+
Skoro
ZC =
U2
I2
, oraz
Z C = Z we =
U1
I1
, wi c mo emy zapisa
A +
Z
C
=
CZ
C
B
ZC
⋅Z
+ A
C
Lewa strona b dzie równa prawej wtedy i tylko wtedy, gdy licznik ułamka
b dzie równy mianownikowi, tzn. przy
B
A+
= CZ C + A
ZC
St d
B
ZC =
C
Je eli czwórnik symetryczny obci ymy impedancj charakterystyczn ZC,
to jak mówimy czwórnik znajduje si w warunkach dopasowania falowego.
Przy obci eniu czwórnika symetrycznego impedancj charakterystyczn ,
stosunek napi U1 do U2 jest równy stosunkowi pr dów I1 do I2 i wynosi
A + BC = e g
Wielko g jest liczb zespolon , wyra on w postaci algebraicznej nazywamy
współczynnikiem przenoszenia czwórnika.
g = a + jb
Cz
rzeczywist (a) współczynnika przenoszenia nazywamy współczynnikiem
tłumienia czwórnika, a cz
urojon (b) – współczynnikiem fazowym
czwórnika.
Temat 18 : Filtry cz stotliwo ci.
Charakterystyki amplitudowe i fazowe filtrów.
Filtrem nazywamy układ o strukturze czwórnika, który przepuszcza bez
tłumienia lub z małym tłumieniem napi cia i pr dy o okre lonym pasmie
cz stotliwo ci, a tłumi napi cia i pr dy le ce poza tym pasmem.
Pasmo cz stotliwo ci, które filtr przepuszcza bez tłumienia nazywamy pasmem
przepustowym, a pasmo cz stotliwo ci, które filtr tłumi nazywamy pasmem
tłumieniowym.
Cz stotliwo , która oddziela pasmo przepustowe od pasma
tłumieniowego nazywamy cz stotliwo ci graniczn filtra.
W zale no ci od poło enia pasma przepustowego rozró niamy filtry:
- dolnoprzepustowe;
- górnoprzepustowe;
- pasmowe;
- zaporowe.
Rys.18.1. Poło enie pasma przepustowego i tłumieniowego w filtrze:
a) dolnoprzepustowym; b) górnoprzepustowym;
c) pasmowym; d) zaporowym.
W zale no ci od konstrukcji filtry dzielimy na:
- filtry reaktancyjne L, C, zbudowane z cewek i kondensatorów,
- filtry bezindukcyjne, pasywne R, C, zbudowane z rezystorów i
kondensatorów,
- filtry piezoceramiczne,
- filtry aktywne.
Dla filtrów miarodajne s charakterystyki cz stotliwo ciowe. Na
podstawie charakterystyki zmienno ci w funkcji cz stotliwo ci
takich wielko ci jak współczynnik tłumienia a i współczynnik
fazowy b okre lamy warunki przenoszenia sygnałów przez filtr.
W pasmie przepustowym współczynnik tłumienia powinien by równy zeru lub
niewiele ró ni si od zera, natomiast w pasmie tłumieniowym współczynnik
ten powinien by du y.
Poniewa filtry reaktancyjne powinny pracowa w warunkach
dopasowania falowego, tzn. przy obci eniu filtra impedancj
charakterystyczn , podaje si dla filtrów równie charakterystyki
cz stotliwo ciowe impedancji charakterystycznej.
Najcz ciej funkcj transmitancji
podaje si w postaci wykładniczej
jϕ
ku =
U wy
U we
=
U wy e
wy
U we e jϕ we
=
U wy
U we
e
j (ϕ wy −ϕ we )
= ku e
j (ϕ wy −ϕ we )
Moduł tej liczby okre la stosunek amplitudy sygnału (tutaj napi cia)
wyj ciowego do amplitudy sygnału wej ciowego. Argument liczby wykładniczej
okre la natomiast przesuni cie fazy napi cia wyj ciowego wzgl dem napi cia
wej ciowego.
Je eli funkcj k u ( f ) przedstawi si w postaci wykładniczej, to otrzymamy
charakterystyk modułu transmitancji
napi ciowej, nazywan charakterystyk
amplitudow .
Charakterystyk
argumentu funkcji
transmitancji
nazywana
jest
charakterystyk przesuni cia fazowego
lub charakterystyk fazow .
Rys.18.2. Filtr dolnoprzepustowy RC;
b) logarytmiczna charakterystyka
amplitudowa (modułu transmitancji);
c) logarytmiczna charakterystyka fazowa
(argumentu transmitancji).
Temat 19 : Filtry LC i RC.
Do tłumienia t tnie napi cia wyprostowanego słu obwody RC lub LC,
zwane filtrami. Filtry powinny przepuszcza na wyj cie składow stał , a
jednocze nie blokowa składow zmienn , czyli t tnienia. Wymagania te
spełniaj filtry dolnoprzepustowe, np. układ inercyjny RC lub LR. Ze wzgl du
na du e straty energii powstaj ce w rezystorach, filtry RC stosuje si jedynie w
zasilaczach małej mocy (np. w radioodbiornikach lub telewizorach).
W zasilaczach du ej mocy natomiast, u ywa si wył cznie filtrów LC.
Rys.19.1. Filtry napi cia wyprostowanego: a) schemat ogólny; b) filtr LC; c) filtr z wej ciem
pojemno ciowym; d) filtr z obwodem rezonansowym; e) filtr RC z wej ciem
pojemno ciowym; f) filtr dwuelementowy.
Rozwa ania na temat budowy i działania filtrów napi cia t tnie w zasilaczach
mo emy podsumowa w nast puj cy sposób:
Filtr napi cia t tnie powinien by tak zbudowany, by impedancja Z1 ł cz ca
zaciski A i B była:
- jak najwi ksza przy cz stotliwo ci t tnie oraz jak najmniejsza dla pr du
stałego (przy cz stotliwo ci f = 0).
- element Z2 powinien stanowi zwarcie dla t tnie i rozwarcie dla pr du
stałego. Z tego wzgl du zaciski B i C s zawsze ł czone z okładzinami
kondensatora o du ej pojemno ci (kilkudziesi ciu, a nawet kilku tysi cy
mikrofaradów).
Zalet filtrów z wej ciem pojemno ciowym jest to, e kondensator wej ciowy
C1 ładuje si przez rezystor o bardzo małej rezystancji. Zatem ładowanie
przebiega bardzo szybko. Zd y si on naładowa prawie do warto ci
szczytowej napi cia wyprostowanego.
Wad filtrów z wej ciem pojemno ciowym jest to, e po wł czeniu zasilacza do
sieci, pr d ładowania kondensatora C1 jest bardzo du y. Wymaga to stosowania
diod o kilkakrotnym zapasie dopuszczalnego pr du przewodzenia.
Temat 20 : Linie długie.
Przewody (kable) o długo ci co najmniej kilkakrotnie wi kszej od długo ci
fali przesyłanego sygnału elektromagnetycznego wielkiej cz stotliwo ci
nazywamy liniami długimi.
Liniami długimi rzeczywistymi, które s stosowane w praktyce s linie
przesyłowe o odpowiedniej długo ci, słu ce do przesyłania energii w.cz. A
wi c takimi liniami s np. linie radiokomunikacyjne i telewizyjne (dla
cz stotliwo ci 0,1 .... 1000 MHz) lub linie mikrofalowe dla cz stotliwo ci do 10
GHz. Wi kszo takich linii jest skonstruowana jako kable współosiowe.
Rys.20.1. Rodzaje i wymiary podstawowe linii długiej: a) symetrycznej; b) współosiowej
(koncentrycznej). ds – odległo mi dzy rodkami przewodów symetrycznych w linii
symetrycznej, as – promie przewodu linii symetrycznej, dw – promie wewn trzny kabla
zewn trznego w linii współosiowej, aw – promie rdzenia.
Rzeczywista linia dwuprzewodowa (symetryczna) lub współosiowa, niezale nie
czy jest to linia długa czy nie, charakteryzuje si nast puj cymi wielko ciami
jednostkowymi, tj. przypadaj cymi na jednostk długo ci, np. 1 m:
• rezystancja jednostkowa R – iloraz ł cznej rezystancji obu przewodów
linii przez jej długo ,
• indukcyjno jednostkowa L – iloraz indukcyjno ci całkowitej obu
przewodów linii przez jej długo ,
• pojemno jednostkowa C – iloraz pojemno ci mi dzy przewodami linii
do jego długo ci,
• upływno jednostkowa G – iloraz upływno ci mi dzy przewodami linii
do jej długo ci.
Rys.20.2. Schemat zast pczy linii długiej
R – rezystancja jednostkowa; L – indukcyjno jednostkowa;
C – pojemno jednostkowa, G – upływno jednostkowa.
Np. Linia dwuprzewodowa z miedzi o rednicy przewodów 4 mm, których osie s oddalone
od siebie o 20 cm, umieszczona w powietrzu o temperaturze 12OC ma parametry:
R = 2,87 ⋅ 10 −3 Ω / m
L = 1,94 ⋅ 10 −6 H / m
C = 6,35 ⋅ 10 −12 F / m
G = 0,7 ⋅ 10 −9 S / m
Tutaj opisane zostały tylko zale no ci i zjawiska fizyczne wyst puj ce w liniach długich bez
strat, to jest w liniach, w których R = 0 i G = . W wielu przypadkach takie przybli enie jest
wystarczaj ce do zrozumienia rzeczywistych zjawisk i zale no ci fizycznych wyst puj cych
w linii długiej. Indukcyjno jednostkow i pojemno jednostkow linii długiej symetrycznej
dwuprzewodowej i współosiowej, lub inaczej koncentrycznej, jak i impedancj falow ZC
oblicza si z nast puj cych wzorów:
Linia symetryczna:
L = 0,4 ln
ds
as
εr
C = 27,8
ln
ZC =
120
εr
ds
as
ln
ds
as
Przy czym:
L – indukcyjno 1 m linii symetrycznej [ H/m]
C – pojemno 1 m linii symetrycznej [pF/m]
as – promie przewodu [mm]
ds – odległo mi dzy osiami przewodów [mm]
Linia współosiowa:
L = 0,2 ln
dw
aw
εr
C = 55,5
ln
ZC =
60
εr
dw
aw
ln
dw
aw
aw – promie przewodu wewn trznego [mm]
dw – promie wewn trzny przewodu zewn trznego w linii współosiowej [mm]