Wykład 3 1. Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru (ciąg dalszy) Dla

Wykład 3 1. Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru (ciąg dalszy) Dla

Wykład 3
1. Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru (ciąg dalszy) Dla każdego zbioru możemy też wyróżnić
punkty, które są punktami skupienia jednocześnie dla A i Ac :
Definicja 1. Brzeg zbioru A to zbiór ∂A = A ∩ Ac .
Inne oznaczenie: Fr(A). Warto też zapamiętać wzór:
∂A = A \ int (A)
Przykłady:
1. Domknięcia, wnętrza i brzegi K(0, 1), Z, Q w R z naturalną metryką.
2. Domknięcie kuli otwartej to niekoniecznie kula domknięta. Wnętrze kuli domkniętej
to niekoniecznie kula otwarta - patrz metryka dyskretna.
Klasyfikacja punktów przestrzeni (względem ustalonego zbioru A):
Definicja 2. Niech A ⊂ X. Punkt x ∈ X nazywamy:
1. punktem wewnętrznym zbioru A, gdy istnieje > 0, dla którego K(x, ) ⊂ A,
2. punktem brzegowym zbioru A, gdy dla każdego > 0 zachodzi K(x, ) ∩ A 6= φ i
K(x, ) ∩ Ac 6= φ,
3. punktem zewnętrznym zbioru A, gdy istnieje > 0, dla którego K(x, ) ⊂ Ac ,
Stwierdzenie 1. Wnętrze zbioru A to zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A.
Domknięcie A to zbiór wszystkich punktów wewnętrznych i brzegowych zbioru A.
Dowód. Jeśli x ∈ int (A), to z otwartości wnętrza x zawiera się w int (A), a tym bardziej w
A, wraz z pewną kulą, więc jest punktem wewnętrznym. Na odwrót, jeśli x jest punktem
wewnętrznym A, to odpowiednia kula K(x, ) zawarta w A musi zawierać się w int (A) jako
zbiór otwarty (ale niekoniecznie największy) zawarty w A.
Przypuśćmy teraz, że x ∈ A, ale x nie jest punktem wewnętrznym A. Wtedy istnieje
ciąg elementów xn ∈ A zbieżny do x, czyli K(x, )∩A 6= φ dla każdego > 0. Ale skoro x nie
jest punktem wewnętrznym, to w każdej kuli K(x, ) można znaleźć punkt z Ac , więc x jest
brzegowy. Na odwrót, jeśli x jest wewnętrzny lub brzegowy, ale należy do A, to oczywiście
x ∈ A, bo A ∈ A, a jeśli x jest brzegowy i nie należy do A, to w każdej kuli K(x, ) znajduje
się element z A (i musi być różny od x 6∈ A), więc x ∈ A.
2. Topologia
Wprowadzimy pojęcie, które może mieć sens nawet, gdy nie ma metryki.
Definicja 3. Zbiór U nazywamy otoczeniem punktu x, gdy x ∈ U i U jest otwarty.
W przestrzeni metrycznej otoczenia można stosować właściwie zamiennie z kulami, bo z
jednej strony każda kula otwarta o środku w x jest otoczeniem x, a z drugiej każde otoczenie
x zawiera wraz z tym x jakąś kulę otwartą. Można więc na przykład powiedzieć, że x jest
punktem wewnętrznym A, gdy istnieje otoczenie x zawarte w A, a A jest otwarty wtedy i
tylko wtedy, gdy każdy x siedzi w A wraz z pewnym otoczeniem.
1
Definicja 4. Rodzinę wszystkich zbiorów otwarych w X nazywamy topologią w X.
Niektóre metryki mogą zadawać takie same rodziny zbiorów otwartych mimo, że odległości między poszczególnymi punktami są różne. Wtedy w obu tych metrykach zbieżne są
te same ciągi (i to do tych samych granic). Może być tak, że topologia jednej metryki d1 jest
zawarta w topologii metryki d2 (ta pierwsza nazywana jest słabszą, a ta druga mocniejszą),
wtedy każdy ciąg zbieżny w d2 jest automatycznie zbieżny w d1 , ale niekoniecznie odwrotnie. A możliwe, że nie ma żadnych istotnych związków między dwiema różnymi topologiami
w X.
Pojęcie zbieżności jest więc faktycznie związane raczej z konkretną topologią niż z konkretną metryką. Dlatego można (lub trzeba!) niekiedy zrezygnować z metryki, a podać jaka
jest topologia. Przestrzenie w których zadano topologię nazywamy przestrzeniami topologicznymi, a od topologii τ wymaga się jedynie by spełniała warunki:
1. φ ∈ τ i X ∈ τ
2. Suma dowolnej liczby elementów τ należy do τ
3. Przekrój skończonej elementów τ należy do τ .
2